Zestaw - funkcje wielu zmiennych

Zestaw - funkcje wielu zmiennych
Zadanie 1. Naszkicować następujące zbiory na płaszczyźnie oraz określić, które z nich są
ograniczone, nieograniczone, otwarte, domknięte, obszarem:
a) A = {(x, y) : 9 < x2 + y 2 < 16}; b) B = {(x, y) : x2 − 1 6 y 6 −x2 + 1};
c) C = {(x, y) : x2 < y 6 x + 2}.
Zadanie 2. Naszkicować następujące zbiory w przestrzeni oraz określić, które z nich są
ograniczone, nieograniczone, otwarte, domknięte, obszarem:
a) A = {(x, y, z) : 4 6 x2 + y 2 + z 2 < 9}; b) B = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 > 16};
c) C = {(x, y, z) : xyz > 0}.
Zadanie 3. Wyznaczyć i narysować dziedzinę oraz zbiór wartości funkcji:
√
√
1 1
1
√
a) f (x, y) = x + y; b) f (x, y) = ln(x2 − 1) − 1 − x2 ; c) f (x, y) = + +
.
x y x+y
Zadanie 4. Narysować poziomice podanych funkcji przyjmując całkowite wartości zmiennej z z przedziału [−3, 3]:
y
a) z = x2 + y 2 ; b) z = x2 − y; c) z = .
x
Zadanie 5. Obliczyć wartość granicy:
√
a)
lim
x2 + y + 3x2 y; b)
lim
(x,y)→(−1,3)
sin(x2 y)
;
x2
(x,y)→(0,3)
c)
x3 y + yx + z + 1
.
z 2 + y 2 + x2
(x,y,z)→(1,2,3)
lim
Zadanie 6. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji:
x2 + y 2
2
2
a) f (x, y) = x5 y 3 + x3 y − xy 3 + x − y + 1; b) f (x, y) =
; c) f (x, y) = ex +y ;
x+y
sin(xyz)
d) f (x, y, z) = xyz − x2 y 2 z 2 − x3 y 3 z 3 ; e) f (x, y, z) =
.
x+y+z
Zadanie 7. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji:
2 2
ex y
2
2
2
2
;
a) z = x + y + x y ; b) z = sin(x + y) cos(x − y); c) z =
ln(x2 y 2 )
sin(x2 + y)
d) u = x3 y 2 z + zy 2 z 3 ; e) u = (xy)z ; f) u =
.
cos(y 2 + z)
Zadanie 8. Wyznaczyć różniczkę zupełną funkcji:
a) f (x, y) = x3 y 2 + x2 y + x + 5; b) f (x, y) = cos(x2 + y 2 );
c) f (x, y) = (x + 1)y−1 .
Zadanie 9. Obliczyć przybliżoną
wartość wyrażenia:
p
2
3
2
a) (1,98) · (2,01) ; b) (1,03) + (2,02)2 ; c) (0,97)0,97 .
Zadanie 10. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) z = x2 + 2y 2 − 2x + 1; b) z = 3x + 6y − x2 − xy + y 2 ; c) z = 3x2 − x3 + 3y 2 + 4y;
50 20
d) z = x3 y 2 (1 − x − y); e) z = xy +
+ ; f) z = (x2 − 2y 2 )ex−y .
x
y
Zadanie 11. Wśród prostopadłościanów o objętości 8 cm3 wyznaczyć ten, który ma
najmniejsze pole powierzchni całkowitej.
Zadanie 12. Wśród prostopadłościanów o polu powierzchni całkowitej 54 cm2 wyznaczyć
ten, który ma największą objętość.