Całka oznaczona i niewłaściwa 1. Oblicz sin x dx sin(3x) dx 1 (x3 +

Całka oznaczona i niewłaściwa 1. Oblicz sin x dx sin(3x) dx 1 (x3 +

Całka oznaczona i niewłaściwa
1. Oblicz
a)
Z
π
Z
1
sin x dx
b)
0
f)
Z
π/3
Z
6
sin(3x) dx
c)
0
arctg x dx
g)
0
Z
4
Z
π/2
√
3
x +
1
√
3x + 2dx
h)
!
1
dx
x−
x
d)
e
Z
3
x ln x dx
e)
1
esin x sin(2x) dx
i)
0
0
Z
Z
1
Z
3
xe−x dx
0
0
ex
dx
ex + 1
j)
√
0
dx
.
4−x
2. Oblicz pola obszarów ograniczonych krzywymi
(a) y = sin x, 0 ¬ x ¬ π, y = 0
a’) y = 3x − x2 , y = −x
(c) y = x2 − 2x − 3, y = x + 1
(d) y = x2 , y =
(b) pomiędzy parabolą y = −x2 + 7x − 10, a osią OX
x
2
(e) y = 4x, x = 9
2
√
(j) y = ln x, x − y = 1, y = −1
3
(l) y = arcsin x, y = arccos x, y = 0
(n) y = x3 − x2 − 2x, y = 0, x = −2, x = 3
(m) y = arctg x, y = arcctg x, x = 0
(o) y = 5x2 − 6x, y = 0, x = −1, x = 1
x
−x
(h) y 2 = 4 + x, x + 3y = 0
(g) y = 4 − x , y = x − 2x
(k) y = arctg x, y = 0, x =
x
(f) y = 2 , y = 4 , y = 4
2
(i) y 2 = 4 + x, y 2 + x = 2
√
(p) y = 1/x, y = 0, 1 ¬ x ¬ 3
(r) y = e , y = e , x = 1
(s) y = sin(2x), y = sin x, 0 ¬ x ¬ π.
√
√
√
Odpowiedzi: f) 12 − 9/ ln 4, g) 9, h) 20 + 5/6, i) 8 3, j) 1/2 − 1/e, k) 3/3π − ln 2, l) 2 − 1, m) ln 2
−x
3. Oblicz długość łuku krzywej
√
(a) y = x x, 0 ¬ x ¬ 4.
(b) y = ex/2 + e−x/2 , 0 ¬ x ¬ b
(eb/2 − e−b/2 )
(c) okręgu o promieniu r.
4. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej:
(a) y = ctg x, π/4 ¬ x ¬ π/2,
(b) y = ln x, 1 ¬ x ¬ e,
(c) y = e−x , 0 ¬ x ¬ 1,
(d) y = x sin x, 0 ¬ x ¬ π.
5. Oblicz pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół osi OX krzywej:
(b) y = x3 /3, 0 ¬ x ¬ 1,
(a) y = 6x, 0 ¬ x ¬ 1,
(c) y = sin x, 0 ¬ x ¬ π,
(d) y = e−x , 0 ¬ x ¬ ln 2.
6. Oblicz całki niewłaściwe
a)
Z
∞
Z
1
Z
∞
e
−x
dx
b)
0
f)
0
k)
4
∞
Z
π/2
Z
− 12
1
dx
√
x x
dx
(x − 3)2
g)
l)
1
dx
1 + x2
Z
π/4
−∞
(Odpowiedzi: i) π9 , j) 13 , k) 1, l) π
tg x dx
c)
Z
0
Z
e
xe dx
√
3
,
3
d)
h)
m)
m) −1, n) ∞).
Z
0
dx
x ln x
i)
1
ln x dx
Z
∞
Z
∞
Z
1
0
−∞
1
dx
x2 + x + 1
x
n)
√
0
3
x
dx
1 + x2
e)
1
dx
x2 + 9
j)
dx
.
(x − 1)2
dx
√
x
Z
3
Z
∞
0
3
dx
x2