Pobierz - mikroekonomia.net

Robert Kruszewski
ROZDZIAŁ 8
POLITYKA FISKALNA A OPTYMALNE STOPY OSZCZĘDNOŚCI
W MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM
MIGRACJI LUDNOŚCI
Wprowadzenie
W pracy skonstruuję model wzrostu gospodarczego z kapitałem fizycznym (rzeczowym) i ludzkim. Uwzględnię także wpływ procesów migracyjnych ludności. Na bazie tego
modelu badać będę wpływ polityki fiskalnej państwa na optymalne długookresowe stopy
oszczędności (inwestycji) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw. Określimę
wzajemne relację łączące stopy inwestycji sektora budżetowego i optymalne stopy oszczędności sektora gospodarstw domowych.
Do rozwiązania postawianego problemu zastosuję teorię optymalnego sterowania, będącą narzędziem dynamicznej optymalizacji. Rozwiązanie typowego zadania z teorii optymalnego sterowania składa się ze ścieżek czasowych zmiennych sterujących i zmiennych stanu. Wartości zmiennej sterującej są kształtowane w wyniku swobodnych decyzji podejmowanych przez gospodarstw domowe w danym okresie. W analizowanym modelu zmiennymi
sterującymi są stopy oszczędności (inwestycji) gospodarstw domowych i przedsiębiorstw.
Zmienna stanu, to taka zmienna, której wartości są zdeterminowane zdarzeniami z przeszłości. Przykładem zmiennych stanu są wielkości określające zasób kapitału ludzkiego i fizycznego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy.
Główne założenia modelu
W prezentowanym modelu wzrostu gospodarczego zakładam, że gospodarka jest zamknięta na produkty i kapitał zagraniczny, pracownicy mogą się swobodnie przemieszczać
między państwami. Założenie o większej mobilności ludzi niż kapitału fizycznego może wydawać się bardzo restrykcyjnym lecz wyraziście ukazuje wpływ migracji na proces wzrostu
gospodarczego.
−
Niech M ( t ) oznacza migrację ludności do rozpatrywanej gospodarki, κ( t ) ilość ka−
pitału fizycznego a λ ( t ) ilość kapitału ludzkiego posiadanego przez pojedynczego migranta.
Ilość kapitału fizycznego przenoszona w procesie migracji nie jest duża (nie można zabrać
budynków, ciężkich maszyn) choć w przypadku wielu zawodów może stanowić niemalże
kompletny warsztat pracy. Zasoby, których nie można przenieść są w całości konsumowane
przed przemieszczeniem się. Zakładam, że populacja oraz siła robocza netto L( t ) wzrasta w
stałym tempie n > 0 . Zatem ogólny poziom wzrostu siły roboczej po uwzględnieniu migracji
wyniesie:
•
L
M
=n+ =n+m,
L
L
gdzie m =
M
jest stopą migracji netto.
L
74
Robert Kruszewski
Funkcja produkcji Y(t ) = F(K ( t ), H( t ), L( t ) ) zależy od trzech czynników: kapitału fizycznego K (t ) > 0 , kapitału ludzkiego H(t ) > 0 oraz nakładu pracy L(t ) > 0 . Zakładam, że
funkcja produkcji spełnia neoklasyczne założenia: dodatniej produkcyjności krańcowej każdego czynnika wytwórczego, prawa malejących przychodów krańcowych oraz warunki Inady.
Podobnie jak Mankiw, Romer i Weil (Mankiw, Romer, Weil, 1992) przyjmuję postęp techniczny A(t ) jako wielkość egzogeniczną, wzrastającą według stałej stopy x > 0 . Zatem
•
A( t )
=x.
A( t )
Funkcja produkcji jest jednorodna stopnia pierwszego (stałe korzyści skali), zatem
można zapisać ją w postaci:
 K (t )

H (t )
Y(t ) = A(t )L(t )F
,
,1 .
 A(t )L(t ) A(t )L(t ) 
Niech
K (t )
H(t )
F(K (t ), H(t ), A(t )L(t ))
,
k≡
, h≡
, f (k, h ) =
A(t )L(t )
A(t )L(t )
A(t )L(t )
wówczas funkcję produkcji można przedstawić w postaci
Y(t ) = A(t )L(t )f (k , h ) ,
gdzie f (k, h ) oznacza funkcję produkcji w postaci intensywnej, a k i h wielkości kapitału
fizycznego i ludzkiego przypadające na jednostkę efektywnej pracy.
W celu uwzględnienia wpływu polityki fiskalnej państwa rozważać będę dwa sektory:
pierwszy zwany sektorem budżetowym i drugi sektor gospodarstw domowych i przedsiębiorstw. Zakładam, że państwo ściąga w formie podatków τ -tą część realnego produktu, przy
czym τ ∈ (0, 1) . Wielkość τ , w dalszej części pracy, nazywana będzie stopą (stopniem) fiskalizacji gospodarki. Przy przyjętych założeniach (gospodarka zamknięta), stopa fiskalizacji
wyznacza część produktu, którą dysponuje budżet. Dochody budżetowe przeznaczane są na
inwestycje w sferze kapitału fizycznego I BK i ludzkiego I BH oraz na konsumpcję publiczną.
Zatem
I BK ( t ) = s BK τY( t ) ,
I BH ( t ) = s BH τY( t ) ,
gdzie s BK ∈ (0,1), s BH ∈ (0,1) stanowią części budżetu przeznaczane na inwestycje w sferze kapitału fizycznego i ludzkiego, przy czym 0 < s BK + s BH < 1 . Inwestycje sektora budżetowego w
sferze akumulacji kapitału fizycznego należy rozumieć jako inwestycje budżetu centralnego i
budżetów lokalnych w infrastrukturę społeczno-ekonomiczną wraz transferami inwestycyjnymi do sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw. Inwestycje budżetowe w sferze
akumulacji kapitału ludzkiego definiuję jako nakłady na oświatę, służbę zdrowia itp.
Sektor gospodarstw domowych i przedsiębiorstw, dysponujący dochodem po opodatkowaniu (1 − τ)Y( t ) , inwestuje s PK ∈ (0,1) -tą część w akumulację kapitału fizycznego I PK
oraz s PH ∈ (0,1) -tą część w akumulację kapitału ludzkiego, przy czym 0 < s PK + s PH < 1 . Zatem
I PK ( t ) = s PK (1 − τ)Y( t ) ,
I PH ( t ) = s PH (1 − τ)Y( t ) .
Wielkości s PK , s PH są więc stopami inwestycji sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw w sferze zasobów kapitału fizycznego i ludzkiego odpowiednio. O wielkościach τ ,
s BK , s BH zakładamy, że są stałe i mają charakter długookresowych zmiennych egzogenicznych.
Stopy oszczędności (inwestycji) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw są zmien-
( )
( )
( )
Polityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego ...
75
ne w czasie tzn. s PK = s PK ( t ) , s PH = s PH ( t ) i są swobodnie kształtowane przez gospodarstwa
domowe. Całkowite inwestycje w akumulację kapitału fizycznego (I K ) oraz ludzkiego (I H ) ,
stanowiące sumę inwestycji obydwu sektorów, dane są wzorami:
I K ( t ) = I BK ( t ) + I PK ( t ) = (τs BK + (1 − τ)s PK ( t ) )Y( t ) ,
I H ( t ) = I BH ( t ) + I PH ( t ) = (τs BH + (1 − τ)s PH ( t ) )Y( t ) .
Dodatkowo uwzględniam stałą stopę δ K > 0 deprecjacji kapitału fizycznego oraz
_
zmianę zasobów kapitału fizycznego spowodowaną migracją κ M ( t ) . Ostatecznie równanie
określające akumulację całkowitego zasobu kapitału fizycznego przyjmuje postać:
_
•
K ( t ) = I K ( t ) − δ K K ( t ) + κM( t ) .
_
Składnik κ M ( t ) związany z migracją określa ilość kapitału fizycznego przyniesionego przez
imigrantów bądź zabranego przez emigrantów.
Akumulacja kapitału ludzkiego jest modelowana w podobny sposób jak kapitału fizycznego i po uwzględnieniu stałej stopy deprecjacji δ H > 0 i procesu migracji równanie opisujące akumulację całkowitego zasobu kapitału ludzkiego przyjmuje postać:
_
•
H( t ) = I H ( t ) − δ H K ( t ) + λ M( t ) .
_
_
κ
λ
Niech κ =
, λ=
. Wówczas równania opisujące akumulację kapitału fiA( t )
A( t )
zycznego i ludzkiego przypadającego na jednostkę efektywnej pracy przyjmują postać:
(
h = (τs
)
( t ) )f (k , h ) − (δ
•
k = τs BK + (1 − τ)s PK ( t ) f (k , h ) − (δ K + x + n )k − m(k − κ) ,
•
+ (1 − τ)s PH
H + x + n )h − m(h − λ ) .
Powyższe równania ruchu zmiennych k i h , przy założeniu egzogeniczności stóp inwestycji gospodarstw domowych i przedsiębiorstw, są matematyczną reprezentacją modelu
Mankiwa-Romera-Weila poszerzonego o oddziaływanie egzogenicznego strumienia migracji,
z uwzględnieniem polityki fiskalnej państwa.
B
H
Optymalne stopy oszczędności
W pracy (Kruszewski, 2003) zbadano właściwości rozszerzonego o migrację modelu
Mankiwa-Romera-Weila. We wspomnianej pracy stopy inwestycji były stałe i dane egzogenicznie a gospodarstwa domowe i przedsiębiorstwa nie miały żadnego wpływu na poziom
inwestycji w kapitał fizyczny i ludzki a tym samym i poziom konsumpcji, zatem nie mogły
dokonywać żadnych wyborów kierując się chociażby maksymalizacją konsumpcji. Obecnie
ograniczenia te zostały usunięte. Stopy inwestycji w obydwa rodzaje kapitału są zmienne w
czasie, a gospodarstwa domowe będą miały możliwość swobodnego ich kształtowania, mając
na uwadze maksymalizację zdyskontowanej konsumpcji w nieskończonym horyzoncie czasowym.
W rozpatrywanym modelu całkowita konsumpcja C( t ) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jest równa (1 − (τ(s BK + s BH ) + (1 − τ)(s PK ( t ) + s PH ( t )) ))F(K, H, AL) , a w
przeliczeniu na jednostkę efektywnej pracy
C
c( t ) =
= 1 − τ(s BK + s BH ) + (1 − τ)(s PK ( t ) + s PH ( t )) f (k , h )
AL
Celem homogenicznego gospodarstwa domowego jest maksymalizowanie zdyskontowanej konsumpcji przypadającej na jednostkę efektywnej pracy, co formalnie jest równoważ-
( (
))
76
Robert Kruszewski
ne maksymalizacji następującego funkcjonału J (c( t )) :
+∞
J (c( t )) =
∫ (1 − (τ(s
B
K
))
+ s BH ) + (1 − τ)(s PK ( t ) + s PH ( t )) f (k, h )e −ρ t dt ,
0
gdzie s PK ( t ) , s PH ( t ) , ( s PK ( t ) + s PH ( t ) ) ∈ (0,1) dla każdego t ∈ R + . Funkcja e − ρ t to czynnik dyskontujący, a ρ > 0 to stopa dyskontowa (stopa preferencji czasowych). Jest ona tym wyższa,
im bardziej podmioty mikroekonomiczne cenią sobie konsumpcję bieżącą, w stosunku do
konsumpcji przyszłej. W dalszych rozważaniach przyjmę funkcję produkcji Cobba-Douglasa,
zatem
Y(t ) = F(K ( t ), H( t ), A( t )L( t ) ) = K ( t ) α H( t ) β (A( t )L( t ))1−α −β = A( t )L( t )k α h β ,
gdzie α, β ∈ (0, 1) oraz 0 < α + β < 1 .
Możliwości konsumpcyjne typowego gospodarstwa domowego w analizowanej gospodarce ograniczone są równaniami określającymi ewolucję w czasie zasobów kapitału
ludzkiego i fizycznego:
(
h = (τs
)
( t ) )k
•
k = τs BK + (1 − τ)s PK ( t ) k α h β − (δ K + x + n )k − m(k − κ) ,
•
α β
+ (1 − τ)s PH
h − (δ H + x + n )h − m(h − λ ).
Zadanie wyznaczenia optymalnych ścieżek czasowych stóp inwestycji w kapitał fizyczny i ludzki sprowadza się zatem do rozwiązania następującego zadania sterowania optymalnego:
B
H
J (c( t )) =
zmaksymalizować
(
h = (τs
•
+∞
∫ (1 − (τ(s
B
K
0
))
+ s BH ) + (1 − τ)(s PK ( t ) + s PH ( t )) k α h β e −ρ t dt
)
( t ) )k
k = τs + (1 − τ)s PK ( t ) k α h β − (δ K + x + n )k − m(k − κ)
przy warunkach
•
B
K
B
H
+ (1 − τ)s PH
α
h β − (δ H + x + n ) h − m ( h − λ )
k ( 0) = k 0 , h ( 0) = h 0
Zmiennymi sterującymi są stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw s PK ( t ) oraz s PH ( t ) , a zmiennymi stanu wielkości określające zasoby kapitału fizycznego i ludzkiego przypadające na jednostkę efektywnej pracy.
Powyższe zadanie sterowania optymalnego rozwiążę przy pomocy zasady maksimum
Pontriagina. W tym celu skonstruuję hamiltonian wartości bieżącej:
H s PK ( t ), s PH ( t ), k, h, ν K , ν H =
1 − τ(s BK + s BH ) + (1 − τ)(s PK ( t ) + s PH ( t )) k α h β +
(
)
( (
))
+ ν K ( t )((τs BK + (1 − τ)s PK ( t ) )k α h β − (δ K + x + n )k − m(k − κ) ) +
+ ν H ( t )((τs BH + (1 − τ)s PH ( t ) )k α h β − (δ H + x + n )h − m(h − λ ) ) ,
gdzie ν K ( t ), ν H ( t ) są zmiennymi dualnymi związanymi ze zmiennymi stanu k oraz h odpowiednio. Warunki konieczne maksymalizacji funkcjonału J (c( t )) przy zadanych ograniczeniach dane są równaniami:
∂H
= 0,
∂s PK
∂H
= 0,
∂s PH
•
∂H
νK = −
+ν K ρ ,
∂k
Polityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego ...
77
∂H
+ν H ρ ,
∂h
które uzupełniamy tzw. warunkami traswersalności:
lim ν K ( t )e − ρ t k ( t ) = 0 ,
•
νH = −
t → +∞
lim ν H ( t )e − ρ t h ( t ) = 0 .
t → +∞
Warunki konieczne dla hamiltonianu wartości bieżącej przyjmują postać:
− (1 − τ)k α h β + (1 − τ)ν K k α h β = 0
− (1 − τ)k α h β + (1 − τ)ν H k α h β = 0
( (
))
− ν α (τs + (1 − τ)s ( t ) )k h + (δ + x + n ) + m
− ν α (τs + (1 − τ)s ( t ) )k h + ν ρ
= − β(1 − (τ(s + s ) + (1 − τ)(s ( t ) + s ( t )) ))k h +
− ν β(τs + (1 − τ)s ( t ) )k h +
− ν β(τs + (1 − τ)s ( t ) )k h + (δ + x + n ) + m + ν
k = (τs + (1 − τ)s ( t ) )k h − (δ + x + n )k − m(k − κ)
h = (τs + (1 − τ)s ( t ) )k h − (δ + x + n )h − m(h − λ)
•
− α 1 − τ(s BK + s BH ) + (1 − τ)(s PK ( t ) + s PH ( t )) k α −1h β +
νK =
•
νH
(1)
(2)
B
K
P
K
α −1
β
K
B
H
P
H
α −1
β
H
B
K
•
•
K
B
H
P
K
B
K
P
K
α
β −1
K
B
H
P
H
α
β −1
H
P
H
α
β −1
H
B
K
P
K
α
B
H
P
H
α
(3)
β
K
(4)
H
ρ
(5)
β
(6)
Z warunków koniecznych (1-2) wynika, że ν K ( t ) = 1 oraz ν H ( t ) = 1 dla każdego t ∈ R + . Zatem lim ν K ( t )e − ρ t k ( t ) = lim k ( t )e − ρ t = 0 oraz lim ν H ( t )e − ρ t h ( t ) = lim h ( t )e − ρ t = 0 , czyli
t →+∞
H
t →+∞
t → +∞
t → +∞
spełnione są warunki transwersalności. Oczywiście dla tak wyznaczonych funkcji ν K ( t ) oraz
•
•
ν H ( t ) ich pochodne ν K ( t ) oraz ν H ( t ) są równe zero dla każdego t ∈ R + . Uwzględniając
•
•
zależności ν K ( t ) = ν H ( t ) = 1 oraz ν K ( t ) = ν H ( t ) = 0 w równaniach (3), (4) otrzymuję następujące układ równań:
αk α −1h β = δ K + x + n + m + ρ
.
(7)
 α β−1
βk h = δ H + x + n + m + ρ
Logarytmując logarytmem naturalnym równania powyższego układu a następnie wyznaczając
ich pochodne względem czasu otrzymuję układ równań:
•
•

k
h
(α − 1) + β = 0

k
h
,
 •
•
h
 k
α k + (β − 1) h = 0
z którego wynika, iż przy założeniu racjonalności gospodarstw domowych, w analizowanym
modelu abstrakcyjnej gospodarki stopy wzrostu kapitału fizycznego i ludzkiego przypadające
na jednostkę efektywnej pracy są równe zero. Dzieląc stronami równania (5) oraz (6) przez k
i h odpowiednio oraz uwzględniając zerowe stopy wzrostu tych zmiennych otrzymuję zależności:
κ
τs BK + (1 − τ)s PK ( t ) k α −1h β − (δ K + x + n ) − m(1 − ) = 0
k
(
)
78
Robert Kruszewski
λ
+ (1 − τ)s PH ( t ) k α h β−1 − (δ H + x + n ) − m(1 − ) = 0 .
h
1
Podstawiając do powyższych równań wielkości k α −1h β = (δ K + x + n + m + ρ ) oraz
α
1
k α h β−1 = (δ H + x + n + m + ρ) wyznaczone z równań (7) otrzymuję zależności:
β
 κ
δ K + x + n + m 1 − 
 k
τs BK + (1 − τ)s PK ( t ) = α
δK + x + n + m + ρ
 λ
δ H + x + n + m 1 − 
 h
τs BH + (1 − τ)s PH ( t ) = β
δH + x + n + m + ρ
Do pełnego wyznaczenia optymalnych stóp inwestycji w kapitał fizyczny i ludzki niezbędne są wartości k i h , które wyznaczę z warunków (7). Zatem dzieląc stronami pierwsze
równanie przez drugie oraz wprowadzając oznaczenia µ = δ K + x + n + m + ρ ,
η = δ H + x + n + m + ρ otrzymuję
(τs
)
B
H
(
)
(
)
1
1
1−β
β 1−α −β
  α 1−β  β  β  1−α −β
β µ   α   β  


k =    
, h=
.
   
 µ   η  
  µ   η  
α
η




Okazało się zatem że wartości zmiennych stanu k i h wyznaczone z warunków koniecznych dla zadania optymalnego sterowania są stałe i wyrażają się przez parametry charakteryzujące badaną gospodarkę, tym samym optymalne stopy inwestycji są także stałe i
jednoznacznie wyrażają się przez parametry opisujące gospodarkę.
Do dalszej analizy wpływu polityki fiskalnej państwa i migracji na poziom optymalnych stóp inwestycji zakładam równość stóp deprecjacji kapitału fizycznego i ludzkiego
δ K = δ H = δ . Założenie to uprości stronę algebraiczną problemu. Zatem optymalne stopy inwestycji są równe:
1



 δ + x + n + m + ρ  1−α −β 

δ + x + n + m1 − κ


α1−βββ




α

 − τ sB ,
P
sK =
K
δ+ x +n +m+ρ
1− τ
1− τ
1


−
α
1

α  δ + x + n + m + ρ  −β 

δ + x + n + m1 − λ 


β
α1−βββ



β

 − τ sB .
P
sH =
H
1− τ
δ+x+n +m+ρ
1− τ
Powyższe formuły obowiązują dopóty, dopóki s PH > 0 oraz s PK > 0 . W chwili, gdy
optymalne stopy oszczędności s PH i s PK , które są zmiennymi sterującymi w zadaniu optymalizacyjnym, osiągną zerową wartość nastąpi tzw. przełączenie sterowania i gospodarstwa domowe będą realizowały zerowe stopy oszczędności.
Statyka porównawcza
Badanie wpływu stopnia fiskalizacji gospodarki oraz pozostałych zmiennych egzogenicznych na optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw, zwią-
Polityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego ...
79
zane jest z działem ekonomii matematycznej, zwanym statyką porównawczą. Do zrealizowania tego zadania posłużą odpowiednie pochodne cząstkowe optymalnych stóp oszczędności,
względem wybranych zmiennych egzogenicznych. W dalszej części pracy, ze względu na
skomplikowane wyrażenia opisujące odpowiednie pochodne optymalnych stóp oszczędności,
statyka porównawcza będzie prowadzona przy użyciu metod numerycznych.
Pochodne optymalnych stóp oszczędności względem stopnia fiskalizacji τ opisane są
równościami:
1







 δ + x + n + m + ρ  1−α −β 


 δ + x + n + m1 − κ

1−β β
α β




P

∂s K
1

 − s B  ,
=
α
K
2
∂τ (1 − τ) 
δ+ x +n +m+ρ







1







α  δ + x + n + m + ρ  1−α −β 


 δ + x + n + m1 − λ 


β
α1−βββ



P

∂s H
1

 − s B  .
=
β

H
∂τ (1 − τ )2 
δ+ x +n +m+ρ







Powyższe pochodne mogą przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne, zatem wpływ stopnia fiskalizacji na optymalne stopy oszczędności sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw nie jest jednoznaczny i zależy od konfiguracji wartości pozostałych
zmiennych egzogenicznych. Wzrost stopy fiskalizacji gospodarki będzie powodował pod
 ∂s P
wyższenie optymalnej stopy oszczędności kapitału fizycznego  K > 0  , gdy stopa

 ∂τ
( )
oszczędności sektora budżetowego s BK , będzie spełniała następujący warunek:
1



 δ + x + n + m + ρ  1−α −β 

δ + x + n + m1 − κ

α1−βββ





 = α s_ .
s BK < α
δ+x+n +m+ρ
Jeżeli stopa inwestycji (oszczędności) sektora budżetowego spełnia warunek:
_
α_
α s < s BK < s , wówczas wzrost fiskalizacji gospodarki skutkuje obniżeniem stóp oszczędnoτ

 ∂s P
ści w sektorze gospodarstw domowych i przedsiębiorstw  K < 0  . Wpływ polityki fiskal
 ∂τ
nej na stopę oszczędności dla kapitału ludzkiego ma podobną strukturę. Dodatkowo rosnące
stopy inwestycji sektora budżetowego negatywnie wpływają na stopy oszczędności gospo∂s P ∂s P
τ
< 0.
darstw domowych i przedsiębiorstw, gdyż KB = HB = −
∂s K ∂s H
1− τ
Wpływ stopy preferencji czasowych ρ , przekłada się na spadek optymalnych stóp
oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw, gdyż
∂s PK
∂s PH
< 0 oraz
< 0 , co w
∂ρ
∂ρ
80
Robert Kruszewski
połączeniu z negatywnym wpływem wzrostu stóp inwestycji sektora budżetowego prowadzi
do następującego wniosku. W skali gospodarki jako całości występuje substytucja stóp inwestycji (oszczędności) między sektorem budżetowym a sektorem gospodarstw domowych i
przedsiębiorstw.
Wpływ stopy fiskalizacji gospodarki i stopy preferencji czasowych na optymalne stopy oszczędności przedstawia rysunek 1. Parametry gospodarki (wartości zmiennych egzogenicznych), przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: α = 0.35 , β = 0.4 , x + n + δ = 0.1 ,
κ = 5 , λ = 10 , s BK = 0.25 , s BH = 0.4 , m = 0.005 . Dla małych wartości stopy preferencji czasowych, optymalna stopa oszczędności dla kapitału fizycznego gospodarstw domowych,
wzrasta wraz z zwiększającym się stopniem fiskalizacji gospodarki i nie występuje zjawisko
substytucji stóp z sektorem budżetowym. Spowodowane to jest zbyt niskim poziomem inwestycji sektora budżetowego w akumulację kapitału fizycznego s BK = 0.25 . Wraz ze wzrostem
stopy preferencji czasowych optymalne stopy oszczędności w kapitał fizyczny rosną coraz
wolniej. Dalszy wzrost stopy preferencji czasowych prowadzi do spadku stopy oszczędności
gospodarstw domowych jako funkcji stopnia fiskalizacji gospodarki. Substytucja stóp inwestycji pomiędzy sektorem budżetowym i gospodarstwami domowymi może występować także przy niskim poziomie inwestycji budżetowych, ale warunkiem jest występowanie wyższej
stopy preferencji czasowych gospodarstw domowych.
Inwestycje sektora budżetowego w kapitał ludzki są realizowane na poziomie
B
s H = 0.4 . W tym przypadku, wraz z rosnącymi stopami fiskalizacji i preferencji czasowych,
racjonalnie zachowujące się gospodarstwa domowe redukują część swojego dochodu związaną z akumulacją kapitału ludzkiego.
(
)
Rysunek 1. Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako
funkcje stóp fiskalizacji i preferencji czasowych.
Źródło: opracowanie własne.
Wpływ polityki państwa, realizowanej poprzez stopę fiskalizacji gospodarki i inwestycje sektora budżetowego, na optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych przedstawia rysunek 2. Parametry gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą:
Polityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego ...
81
α = 0.35 , β = 0.4 , x + n + δ = 0.1 , κ = 5 , λ = 10 , ρ = 0.1 , m = 0.005 . Akumulacja kapitału
fizycznego i ludzkiego jest modelowana w podobny sposób, zatem charakter zmian optymalnych stóp oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jest taki sam. Rosnąca stopa inwestycji sektora budżetowego prowadzi do redukcji optymalnych stóp oszczędności gospodarstw domowych, by przy stopniu fiskalizacji τ ≈ 0.35 dla kapitału fizycznego i τ ≈ 0.4
dla kapitału ludzkiego przyjąć wartości zerowe.
Rysunek 2. Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako
funkcje stopy fiskalizacji i stóp inwestycji sektora budżetowego.
Źródło: opracowanie własne.
Wpływ strumienia migracji i stopnia fiskalizacji gospodarki na optymalne stopy inwestycji przedstawia rysunek 3. Parametry gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: α = 0.35 , β = 0.4 , x + n + δ = 0.1 , s BK = 0.25 , s BH = 0.4 , κ = 5 , λ = 10 , ρ = 0.1 . Rosnący stopień fiskalizacji, tak jak we wcześniejszych rozważaniach prowadzi do redukcji
optymalnych stóp inwestycji gospodarstw domowych. Oddziaływanie strumienia migracji na
strukturę stóp oszczędności jest bardziej złożone. W przypadku akumulacji kapitału fizycznego występowanie zjawiska emigracji prowadzi do redukcji stopy oszczędności. Przy występowaniu w gospodarce zjawiska imigracji stopa oszczędności początkowo (przy niewielkim
napływie imigrantów) rośnie, a następnie także ulega redukcji.
Wzajemne relacje udziałów kapitału fizycznego α oraz kapitału ludzkiego β i stóp
inwestycji sektora budżetowego przedstawia rysunek 4. Parametry gospodarki przyjęte do
obliczeń numerycznych wynoszą: x + n + δ = 0.1 , κ = 5 , λ = 10 , ρ = 0.1 , m = 0.005 . Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych są tym wyższe, im wyższe są udziały danego typu kapitału w produkcie gospodarki oraz tym niższe, im wyższe są stopy inwestycji
sektora budżetowego.
82
Robert Kruszewski
Rysunek 3. Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako
funkcje stóp migracji i fiskalizacji.
Źródło: opracowanie własne.
Rysunek 4. Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako
funkcje parametrów α , β i stóp inwestycji sektora budżetowego.
Źródło: opracowanie własne.
Ostatnim elementem statyki porównawczej badanego modelu jest wzajemna relacja
pomiędzy strumieniem migracji, wielkością kapitału fizycznego przenoszonego przez mi-
Polityka fiskalna a optymalne stopy oszczędności w modelu wzrostu gospodarczego ...
83
grantów i optymalnymi stopami oszczędności gospodarstw domowych (rysunek 5). Parametry
gospodarki przyjęte do obliczeń numerycznych wynoszą: α = 0.35 , β = 0.4 , x + n + δ = 0.1 ,
s BK = 0.25 , s BH = 0.4 , λ = 10 , ρ = 0.1 .
Rysunek 5. Optymalne stopy oszczędności gospodarstw domowych i przedsiębiorstw jako
funkcje parametrów κ i stopy migracji.
Źródło: opracowanie własne.
Podsumowanie
W niniejszym opracowaniu zaproponowałem rozszerzenie modelu Mankiwa-RomeraWeila o oddziaływanie egzogenicznego strumienia migracji, zmienne stopy oszczędności
(inwestycji) gospodarstw domowych i sektor budżetowy. Na bazie tego modelu zbadaliśmy
wpływ polityki fiskalnej państwa na optymalne, długookresowe stopy oszczędności (inwestycji) sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw.
Optymalne stopy oszczędności (inwestycji) gospodarstw domowych i przedsiębiorstw
są stałe i wyznaczone przez wartości zmiennych egzogenicznych. Stopy te są tym wyższe, im
wyższe są udziały danego typu kapitału w produkcie całkowitym gospodarki i tym niższe, im
wyższa jest stopa preferencji czasowych gospodarstw domowych.
Przedstawiony model wzrostu gospodarczego przewiduje zjawisko występowania substytucji stóp inwestycji miedzy sektorem budżetowym i sektorem gospodarstw domowych i
przedsiębiorstw. Rosnące stopy inwestycji sektora budżetowego powodują spadek stóp inwestycji gospodarstw domowych. Zjawisko to jest wzmacniane przez rosnącą stopę preferencji
czasowych sektora gospodarstw domowych i przedsiębiorstw.
Rosnący stopień fiskalizacji gospodarki prowadzi do redukcji optymalnych stóp inwestycji niezależnie od konfiguracji pozostałych parametrów opisujących analizowaną gospodarkę oraz przyspiesza proces substytucji stóp miedzy sektorami.
84
Robert Kruszewski
BIBLIOGRAFIA:
1. Kruszewski R., (2003), Dynamics of the economic growth model with migration, Discussion Papers, Series Mathematical Economics, No. 1/EM/2003
2. Mankiw N. G., Romer D., Weil D. N., (1992), A contribution to the empirics of economic
growth, Quarterly Journal of Economics, vol. 107 (May), str. 407-437
3. Tokarski T., (2001), Determinanty wzrostu gospodarczego w warunkach stałych efektów
skali, Uniwersytet Łódzki