3. ←↑→ 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
1

3.
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora
= { x , y ,  xy }
(3.1)
Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku:
y


yx

x

y
xy

x
xy

yx

y
x
Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń
Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt  zapisujemy:
 x ,= x cos2  y sin 2 2  xy sin  cos 
(3.2)
 y ,= x sin 2  y cos2 −2  xy sin  cos 
(3.3)
 x ' y ' =− x − y sin  cos  xy cos 2 −sin 2 
(3.4)
lub krócej w postaci macierzowej
 ' =T  
(3.5)
gdzie wektory  ' i  opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych
obróconych i wyjściowych.
Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
[
c 2 s2
T = s2
c2
−sc sc
2 sc
−2 sc
c 2 −s 2
]
2
(3.6)
Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy
wówczas
 x ,=
 x  y  x − y

cos2  xy sin 2 
2
2
(3.7)
 y ,=
 x  y  x − y
−
cos2 − xy sin 2 
2
2
(3.8)
 x ' y ' =−
 x − y
sin 2  xy cos2 
2
(3.9)
Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej
niezmiennikami, które zapiszemy następująco:
 x  y = x '  y ' =const.
(3.10)
 x  y −2xy = x '  y ' −2x ' y ' =const.
(3.11)
Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć
ekstremum równania (3.7) względem kąta  . Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy:
tg 2  gł =
  y
 I , II = x
±
2
2  xy
 x − y

(3.12)

2
 x − y
2xy
2
(3.13)
Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt / 4 w
stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą:
 ' MAX =


2
 x  y
 2xy
2
(3.14)
Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym
składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3
= { x  y  xy }
(3.15)
Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v,
odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci:
x=
∂u
∂x
 y=
∂v
∂y
 xy =
∂u ∂v

∂y ∂x
(3.16)
Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej:
v
∂v
dy
∂y
∂u
∂y
dy
y,v
∂u
dy
∂y
v
∂v
∂x
u
dx
∂v
dx
∂x
∂u
u
dx
∂x
x,u
Rys. 3.2. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego
W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco
=Lu
(3.17)
gdzie wektor u=[u , v ]T , natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu
dwuwymiarowego przyjmuje postać:
[ ]
∂
∂x
L= 0
∂
∂y
0
∂
∂y
∂
∂x
(3.18)
W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
4
 z =0
 xz =0
(3.19)
 yz =0
Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru:
 xz =0
 yz =0
(3.20)
a wartość  z ≠0
Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco
x=
1
  −  y 
E x
1
 y =   y −  x 
E
 xy =
21
1
 xy =
 xy
G
E

 z =−   x   y 
E
(3.21)
(3.22)
lub w postaci relacji odwrotnej
 x=
E
  x   y 
1−2
E
 y=
  y   x 
1−2
 xy =
gdzie
=
E
E
 xy =
 xy
21
1−2
(3.23)
(3.24)
1 −
2
Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci
=C 
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(3.25)
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
5
gdzie
C=
[
1 −
0
1
− 1
0
E
0
0 21
]
(3.26)
lub odwrotnie
=D 
(3.27)
gdzie
D=C −1=
[ ]
1  0
E
1 0
2 
1−
0 0 
(3.28)
W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru:
 z =0
 xz =0
 yz =0
(3.29)
 xz =0
 yz =0
natomiast
 z ≠0
(3.30)
Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco
x=
1
  −  y −  z 
E x
1
 y =   y −  x −  z 
E
 xy =
21
 xy
E
(3.31)
(3.32)
oraz
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
AlmaMater
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
z=
1
−  x −  y  z =0
E
6
(3.33)
skąd
 z =   y  x 
(3.34)
Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.32) otrzymamy ostatecznie
x=
1
[ 1− x −  y ]
E
(3.35)
 y=
1
[ 1− y −  x ]
E
(3.36)
21
 xy
E
(3.37)
 x=
E
[ 1− x −  y ]
11−2 
(3.38)
 y=
E
[ 1− y −  x ]
11−2 
(3.39)
E

21 xy
(3.40)
 xy =
lub odwracając zależności:
 xy =
W zapisie macierzowym zapiszemy:
C=
[
1− − 0
1
− 1− 0
E
0
0
2
]
(3.41)
oraz
E
D=C =
11−2 
−1
[
1−


1−
0
0
0
0
1−2 
2
]
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak
(3.42)
AlmaMater