1001 BA

Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 1
X 1 , X 2 ,, X 6 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
1
rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 0 i wariancją , gdzie   0 jest

nieznanym parametrem. Zakładamy, że parametr  ma rozkład a priori o gęstości
1

  3 2 exp    gdy   0
,
p( )   2

0
gdy


0

1
gdzie   0 jest znane. Wyznaczamy bayesowski przedział ufności dla parametru

postaci a, b , taki że
1

1

  a | x     b | x   0,05 ,




gdzie  | x  oznacza prawdopodobieństwo przy rozkładzie a posteriori, gdy
zaobserwowana wartość próbki losowej jest równa x  x1, x2 ,, x6  . Tak otrzymany
przedział jest równy
Niech
6
6


2
2


x
2


xi2 


i

i 1
i 1

,
(A) 
12
,
59
1
,
64




6
6


2
2


x
2


xi2 


i

i 1
i 1

,
(B) 
0,35 
 7,81


6
6


2
2


x
2


xi2 


i

i 1
i 1

,
(C) 
16
,
92
3
,
33




6
6


2
2


x
2


xi2 


i

i 1
i 1

,
(D) 
5,23 
 21,03


(E)
6
6


2
2


x
2


xi2 


i

i 1
i 1


,
28
,
87
9
,
39




1
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 2
Niech X 1 , X 2 ,, X n , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie Weibulla o funkcji gęstości
2
2xe x
gdy x  0

f ( x )  

w przeciwnymprzypadku
 0
gdzie   0 jest nieznanym parametrem.
Rozważamy dwa estymatory funkcji g ( )  P  X 1  1  e  :

T1,n - estymator największej wiarogodności w oparciu o próbę X 1 , X 2 ,, X n
gdy x  1
1
1 n
.
1 X i  1 , gdzie funkcja 1x  1  

n i 1
0 w przeciwnymprzypadku
Niech Vi oznacza wariancję asymptotyczną estymatora Ti ,n , i  1,2 .

T2,n 
Wtedy stosunek
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
V1
jest równy
V2
1
 (e  1)
2
 2 e 
e  1
2
e  1


e 1
1
 e
2 
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 3
Niech N , Y1 , Y2 , będą niezależnymi zmiennymi losowymi przy danym    .
Zmienne
Yi , i  1,2, ,
mają
warunkowe
rozkłady
dwupunktowe
P(Yi  1 |  )    1  P(Yi  0 |  ) . Warunkowy rozkład zmiennej losowej N przy
danym    jest rozkładem ujemnym dwumianowym o funkcji prawdopodobieństwa
P( N  n |  )  (n  1) 2 (1   )n dla n  0,1,2, . Rozkład brzegowy zmiennej  jest
rozkładem beta o gęstości
12 2 (1   )
gdy   (0,1)
f ( )  
.
0
w przeciwnymprzypadku

Niech X i , i  1,2, , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1, niezależnymi od zmiennych
N , Y1 , Y2 , .
Niech
N
 Xi
S  
i 1

 0
gdy N  0
i
gdy N  0
Oblicz współczynnik kowariancji Cov(S , T ) .
(A)
2,8
(B)
3,6
(C)
1,6
(D)
0,8
(E)
4,4
3
N
 Yi X i
T  
i 1

 0
gdy N  0
gdy N  0
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 4
Zmienna losowa ( X , Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości
e  x
gdy 0  y  x  
f ( x, y )  
.
 0 w przeciwnymprzypadku
Niech U  Y  X i V  2Y  X .
Wtedy EV | U  2 jest równa
(A)
5
(B)
1
(C)
3
(D)
4
(E)
2
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 5
Niech Z1 , Z 2 , , Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
 2

f ( x)   (1  x)3

 0
Wtedy
gdy x  0
.
gdy x  0
E (Z1  Z 2    Z n | min( Z1, Z 2 ,, Z n )  t ) ,
gdzie t jest ustaloną liczbą dodatnią, jest równa
(A)
n  2t  1
2
(B)
(2n  1)t  n  1
(C)
nt  n  1
(D)
(2n  1)t  n2  1
(E)
(n  1)t  n  1
2
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 6
Niech X 1 , X 2 ,, X 9 będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
N (m1 ,  2 ) , a Y1 , Y2 ,, Y9 niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
N (m2 ,  2 ) . Wszystkie zmienne są niezależne, a parametry m1 , m2 ,  są nieznane.
Testujemy hipotezę H : m1  m2 przy alternatywie K : m1  m2 . Hipotezę H
odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność
| X Y |
 c,
S
1 9
1 9
1 9
2
gdzie X   X i , Y   Yi i S 2    X i  Yi  .
9 i 1
9 i 1
9 i 1
Wyznacz c tak, aby rozmiar testu był równy 0,05.
A)
0,754
(B)
0,399
(C)
0,787
(D)
0,632
(E)
0,547
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 7
Rzucono niezależnie 16 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
uzyskano mniej niż 6 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 10 orłów i 6 reszek.
(A)
48
1001
(B)
47
1001
(C)
44
1001
(D)
46
1001
(E)
45
1001
Uwaga. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje
element drugiego typu, na przykład w ciągu : aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie
elementów typu a i 2 serie elementów typu b).
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 8
Niech X 1 , X 2 ,, X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie jednostajnym na przedziale (a, b) , gdzie a, b są nieznane i a  b .
Rozważamy rozstęp równy
T  max{ X1 , X 2 ,, X n }  min{ X1 , X 2 ,, X n }
jako estymator długości przedziału b  a . Błąd średniokwadratowy tego estymatora,
2
czyli Ea ,b T  b  a  , jest równy
(A)
2n(b  a) 2
(n  1) 2 (n  2)
(B)
4(b  a) 2
(n  1)(n  2)
(C)
2(3n  4)(b  a) 2
(n  1) 2 (n  2)
(D)
2(2n  1)(b  a) 2
(n  1) 2 (n  2)
(E)
6(b  a) 2
(n  1)(n  2)
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 9
Niech Y1 , Y2 ,, Yn będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym zmienna Yi ,
i  1,2,, n , ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (bxi ,1) , gdzie x1 , x2 ,, xn są
znanymi liczbami, a b jest nieznanym parametrem. Załóżmy, że
n
 xi2  9 ,
i 1
n
x
i 1
i
1.
Testem jednostajnie najmocniejszym na poziomie istotności 0,01 weryfikujemy
hipotezę H 0 : b  1 przy alternatywie H1 : b  1. Wtedy prawdopodobieństwo błędu
drugiego rodzaju przy alternatywie b  2 jest równe
(A) 0,16
(B) 0,35
(C) 0,25
(D) 0,01
(E) 0,09
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Zadanie 10
Niech X1, X 2 ,..., X n będzie próbką z rozkładu wykładniczego o gęstości określonej
dla x  0 wzorem:
f ( x)   exp( x).
Nie obserwujemy dokładnych wartości zmiennych X i , tylko wartości zaokrąglone w
górę do najbliższej liczby całkowitej. Innymi słowy, dane są wartości zmiennych
losowych Z1, Z 2 ,..., Z n , gdzie
Zi  X i  .
(symbol a  oznacza najmniejszą liczbą całkowitą k taką, że a  k ).
n
Niech S   Z i .
i 1
Oblicz estymator największej wiarogodności ̂ nieznanego parametru  oparty na
obserwacjach Z1 , Z 2 ,..., Z n .
S 
(A) ˆ  ln   1
n 
(B) ̂ 
n
S
n
(C) ̂   
S 
(D) ̂ 
S
n
 n
(E) ̂   ln 1  
 S
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
30.09.2013r.
Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi*
Imię i nazwisko : ........................K L U C Z O D P O W I E D Z I..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*

Odpowiedź
D
C
B
A
B
D
B
E
C
E
Punktacja
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11