Fizyka atomowa i cząsteczkowa

Zad. 1. Znaleźć wartości własne i wszystkie liniowo niezależne, unormowane wektory
własne niżej podanych macierzy. W przypadku zdegenerowanych wartości własnych dobrać
wektory własne tak, aby były one wzajemnie ortogonalne.
0 1 1
1 0 1 ,B
1 1 0
A
0
6
6
6
3
0
6
0 ,C
3
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0 .
0
0
0
0
Zad. 2. Obliczyć gradient:
2
a) r ;
e)
b) r ;
2
d) A r , gdzie A to wektor stały;
c) ln r ;
e r
1
; f) n , gdzie e to stały wektor jednostkowy.
2
r
r
Zad. 3. Obliczyć we współrzędnych prostokątnych:
1
1
a) div grad
;
b) grad div A , A x 2 yzi xy 2 z j xyz 2 k .
r
r
Zad. 4. Sprawdź:
div A A grad ;
a) div rot A 0 ; b) rot grad
0 ; c) div A
d) rot A
f) rot rot A
rot A
grad
grad div A
A;
e) div A B
B rot A A rot B ;
A.
Zad. 5. Sprawdzić twierdzenie Stokesa obliczając pracę wykonaną przez siłę
F ( x z )i ( x y 2 z ) j ( y 4 x)k działającą wzdłuż obwodu ABCA trójkąta o
wierzchołkach A(1,0,0); B(0,1,0); C(0,0,1) . Czy siła ta jest potencjalna?
Zad. 6. Obliczyć całki:
1) I1
[( xy z 2 )dydz (3x 2 )dzdx (2 xy z 2 )dxdy] ,
2) I 2
[ xydydz ( z 2
yz)dzdx ( yz)dxdy] ,
po powierzchni sześcianu ograniczonego płaszczyznami układu i płaszczyznami
x y z a , stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.
Zad. 7. Obliczyć divgrad
: a) we współrz. walcowych; b) we współrz sferycznych.
Zad. 8. Dla współrzędnych sferycznych , , :
a) wykazać, że układ krzywoliniowy jest ortogonalny; b) obliczyć ds 2 .
Zad. 9. Obliczyć dywergencję i rotację wektorów jednostkowych t1 , t 2 , t 3
a) we współrzędnych walcowych;
b) we współrzędnych sferycznych.
0 _ dla _
Zad. 10. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję:
f ( x)
x _ dla _ 0 x
x 0