Ćwiczenie 6 - INSTRUKCJA - energia mechaniczna w ruchu płaskim

LABORATORIUM MECHANIKI EKSPERYMENTALNEJ
Instrukcja do ćwiczenia
6
Wyznaczenie energii mechanicznej w ruchu płaskim
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie energii mechanicznej krążka poruszającego się
po krzywoliniowym torze.
Literatura
1. Z. Engel, J. Giergiel Mechanika Ogólna, tom II, rozdz. 10 i 11.
2. J. Misiak, Mechanika Ogólna , tom II, rozdz. 22.
Zagadnienia kontrolne
1. Pole zachowawcze sił
2. Przykłady sił zachowawczych
3. Praca siły
4. Energia potencjalna
5. Energia kinetyczna
6. Energia mechaniczna
7. Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim
8. Zasada zachowania energii
9. Zasada zachowania energii mechanicznej
10. Praca sił zewnętrznych
11. Moment bezwładności tarczy kołowej
12. Ruch płaski bryły sztywnej
13. Przebieg ćwiczenia
Uwaga! W opracowaniu podano tylko wybrane zagadnienia związane bezpośrednio
z ćwiczeniem. Aby wyczerpać temat w zakresie podanych zagadnień kontrolnych
należy sięgnąć do podanej literatury lub innych książek dotyczących dynamiki.
1. Podstawy teoretyczne dotyczące bezpośrednio ćwiczenia
Zasada zachowania całkowitej energii układu mówi, że zmiana całkowitej
energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej.
Jeśli żadna energia nie zostanie do układu dostarczona ani od niego odebrana, to
całkowita energia układu musi pozostać niezmienna.
Jeżeli nad układem wykonana zostanie praca sił zewnętrznych, to zasadę
zachowania energii można opisać równaniem:
W  Emech  Eterm  Ewewn
gdzie: W – praca sił zewnętrznych, Emech - zmiana energii mechanicznej układu,
Eterm - zmiana energii termicznej, Ewewn - zmiana innych rodzajów energii
wewnętrznej układu.
wer. 2016 MT
1
Powyższa zasada nie została wyprowadzona z podstawowych aksjomatów i praw
fizyki, ale wynika ona z niezliczonych doświadczeń.
Jeżeli układ jest izolowany i energia nie może zostać do niego dostarczona w żadnej
formie to możemy zapisać:
Emech  Eterm  Ewewn  0
gdzie: Emech  Emech 2  Emech1 , wskaźniki 1 i 2 odnoszą się do dwóch rozpatrywanych
chwil czasowych, np. przed i po zajściu jakiegoś procesu.
Choć wewnątrz układu izolowanego może zachodzić wiele zmian energii (np. z
potencjalnej na kinetyczną, z kinetycznej na termiczną itp.), to jednak suma
wszystkich rodzajów energii musi pozostać stała.
Powyższe możemy zapisać jako:
Emech 2  Emech1  Eterm  Ewewn  0
Stąd:
Emech 2  Emech1  Eterm  Ewewn
Dla układu izolowanego możemy więc wyznaczyć energię w określonej chwili znając
energię w innej chwili, bez znajomości energii w chwilach pośrednich.
Jeżeli w izolowanym układzie zaniedbamy siły niezachowawcze (np. tarcie) i zmiany
innych rodzajów energii, to możemy napisać:
Emech 2  Emech1
albo:
Emech  0
Ponieważ energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej
(którą możemy zdefiniować dla sił zachowawczych) możemy zapisać:
Emech  Ek  E p  0
gdzie: Ek jest zmianą energii kinetycznej, E p zmianą energii potencjalnej.
Po prostym przekształceniu możemy zapisać:
Ek 2  E p 2  Ek1  E p1
gdzie: indeksy 1 i 2 odnoszą się do dwóch stanów układu w różnych chwilach
czasowych.
Jest to znana zasada zachowania energii mechanicznej.
Podczas realizacji ćwiczenia modelowany jest ruch w jednej płaszczyźnie (ruch
płaski) tarczy poruszającej się po torze krzywoliniowym pod wpływem siły ciężkości
(siły zachowawczej). W ruchu płaskim złożonym z ruchu postępowego i obrotowego
energię kinetyczną ciała oblicza się wg. wzoru Koeniga:
1
1
Ek  Mvs2  I ss2
2
2

gdzie: M – masa ciała, vs - jest prędkością środka masy, IS – moment bezwładności
ciała względem osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do płaszczyzny

ruchu, a  s prędkością kątową ciała.
Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej układu „Ziemia-badana tarcza” w pobliżu
powierzchni Ziemi możemy zapisać jako:
E p  mgh
gdzie: h jest zmianą położenia pionowego osi tarczy względem poziomu
odniesienia
wer. 2016 MT
2
2. Przebieg ćwiczenia
2.1. Wstęp
Z podanych wyżej wzorów wynika, że aby wyznaczyć w każdej chwili czasu
energię mechaniczną tarczy, należy w każdym położeniu znać prędkość środka
masy Vs, prędkość kątową ωs tarczy oraz położenie środka ciężkości osi tarczy.
Wielkości te można wyznaczyć z pomiarów położeń środka masy w poszczególnych
chwilach czasowych przy założeniu, że tarcza porusza się bez poślizgu. Pomiar
współrzędnych położenia środka masy odbywa się w oparciu o kamerę do szybkich
zdjęć i oprogramowanie. Z pomocą wspomnianego programu można, na każdej
klatce filmu, wyznaczyć współrzędne wybranego punktu i zapisać je w arkuszu
kalkulacyjnym.
Dodatkowo należy wyznaczyć teoretycznie prędkość środka masy tarczy
(szpulki) w trzech charakterystycznych punktach (lokalnych minimach i maksimum
oznaczonych jako 1,2 i 3 na fotografii 1). W tym celu do obliczeń teoretycznych
należy wykorzystać zasadę zachowania energii. Otrzymane wyniki należy zestawić z
doświadczalnymi.
Wszystkie pomiary należy wykonywać zgodnie z krokami wymienionymi w
arkuszu sprawozdania.
Ćwiczenie wykonywać można w różnych wariantach (patrz tabela poniżej
i fotografia 1). Wariant zadaje prowadzący.
Wariant
1
2
3
Punkt startowy
A – nad drugim
otworem
B – pośrodku
pomiędzy drugim
a trzecim otworem
C – nad trzecim
otworem
Fot.1. Położenie punktów początkowych dla rejestracji ruchu (A,B,C) oraz punkty
(1,2,3), w których należy wyznaczyć dodatkowo teoretycznie prędkość środka masy
tarczy
wer. 2016 MT
3
2.2. Rejestracja ruchu
W celu dokonania rejestracji obrazu z kamery należy uruchomić program PVC.
Następnie w zakładce programu „Camera” wybrać sposób wyświetlania: ”Display
/Live”. Następnie wybrać przycisk „Frame Rate” i ustawić ilość rejestrowanych klatek
w ciągu sekundy: 125 klatek/ sek.
W kolejnym kroku wybrać rozdzielczość obrazu (przycisk „Resolution”): 1024 x 512.
Dalej należy nacisnąć przycisk „Record”. Rozpocząć rejestrację poprzez naciśniecie
przycisku „Trigger In”, który pojawi się w miejsce przycisku „Record” i puścić
swobodnie tarczę tak, aby rozpoczął się jej ruch (nie wolno nadawać tarczy prędkości
początkowej).
Zakończyć rejestrację przyciskiem „Rec Done” w momencie, gdy tarcza przemieści
się do końca toru.
2.3. Zapis rejestracji
Przejść do zakładki „Data Save” i wpisać w polu „File Name” nazwę
zapisywanego pliku.
Należy wybrać fragment filmu, który ma znaleźć się w pliku. W tym celu
przesunąć za pomocą myszy wskaźnik początku i końca nagrania u dołu zakładki
(strzałki na pasku ilustrującym całe nagranie). Film powinien obejmować fragment od
początku ruchu aż do osiągnięcia końca toru (bez odbicia i powrotu tarczy).
Następnie nacisnąć przycisk „Save”, aby zapisać wynik rejestracji.
2.4. Analiza obrazu
W celu wykonania analizy obrazu należy uruchomić program „Motion Tools”.
Z menu głównego wybrać opcję „File” i dalej „Open File”. W okienku dialogowym
wybrać uprzednio zapisany plik.
Przejść do zakładki „Analysis” i nacisnąć przycisk na belce narzędziowej „Strat
Analysis for Current Video” (przycisk na środku belki oznaczony kolorowymi kółkami).
Nacisnąć przycisk „Meter” w prawej części belki narzędziowej. Spowoduje to
otwarcie okna „Calibration”. Poprzez kliknięcie lewym przyciskiem myszy zaznaczyć
na pierwszej klatce filmu początek wzorca długości narysowanego na stanowisku
(patrz fotografia 2). Wrócić do otwartego okna dialogowego „Calibration” i kliknąć
„SetPoint# 1”. Na tej samej klatce filmu zaznaczyć koniec tego wzorca, a w oknie
„Calibration” wybrać „SetPoint #2”. Następnie w oknie „Calibration” należy wpisać w
polu „Dimension” rzeczywistą długość wzorca w wybranej jednostce (sąsiednie
okienko). Nacisnąć klawisz „Apply”, a następnie „Close” zamykając okno dialogowe.
W wyniku przeprowadzonej kalibracji wymiar obrazu w pikselach przeliczany jest na
wymiar rzeczywisty i wyniki analizy (położenie śledzonego punktu) podane będą w
wybranej realnej jednostce miary długości.
wer. 2016 MT
4
Fot.2. Początek i koniec wzorca długości
Następnie wybrać z listy „Auto Track” numer kolejny znacznika np. 1. Kliknąć
na belce narzędziowej „Draw a region for selection ” (ikona ze szkłem
powiększającym). Za pomocą myszy i techniki przeciągania zaznaczyć na obrazie
prostokątny obszar, którego środek ma być śledzony. Obszar ten powinien objąć oś
tarczy wraz z niewielkim fragmentem jej otoczenia. Pozwoli to programowi
jednoznacznie odróżnić wskazany obszar na każdej klatce filmu i śledzić ruch jego
środka.
W kolejnym kroku można uruchomić przycisk „Auto Track the current Region”
(przycisk z czerwoną strzałką na belce narzędziowej). Program będzie śledził
automatycznie ruch środka zaznaczonego obszaru. Zapis współrzędnych położenia
śledzonego środka obszaru i chwil czasu dla każdej klatki odbywa się po naciśnięciu
przycisku „Export the Feature Positions” po prawej stronie belki narzędziowej. Po tej
operacji dane zostają zapisane w arkuszu programu Excel, który należy
przekopiować w celu wykonania dalszych obliczeń. W tym celu konieczne jest
przyniesienie na zajęcia pamięci typu flash.
2.5. Analiza pomiarów
Celem tej analizy jest wyznaczenie energii mechanicznej badanego układu.
Niezbędne do tego jest wyznaczenie prędkości liniowej środka masy tarczy. Aby tego
dokonać na podstawie zarejestrowanych współrzędnych x i y należy osobno
rozpatrzyć odpowiednie rzuty szukanej prędkości na kierunki osi układu
współrzędnych.
UWAGI.
Program przyjmuje, że oś y jest skierowana w dół. Pamiętaj, aby przeliczyć
współrzędne y przyjmując poziom odniesienia np. jako maksimum y. Podobnie
możesz wyskalować położenie x tak, aby zaczynało się ono od zera, odejmując od
każdego pomiaru wartość minimalną x.
Wszystkie wielkości przelicz na podstawowe jednostki SI.
W kolejnych kolumnach arkusza wyznacz: prędkość kątową tarczy (szpuli) w
każdej z chwil czasowych, wygładzoną wartość położenia y, energię potencjalną
wer. 2016 MT
5
względem przyjętego położenia odniesienia, energię kinetyczną tarczy w ruchu
płaskim i energię mechaniczną.
Ostatecznie wyznacz zmiany energii mechanicznej (ΔEm – różnice dla
poszczególnych chwil czasowych). Czy są one zawsze bliskie zeru? Jeśli nie,
zastanów się dlaczego.
Aby bardziej obiektywnie wyznaczyć składowe prędkości należy zastosować
numeryczne oszacowanie pierwszej pochodnej w postaci (dla każdych 4 kolejnych
punktów) [1]:
1
 11x(t i )  18 x(ti1 )  9 x(tt 2 )  2 x(ti3 )
vx ti  
6h
1
 2 x(ti )  3x(ti1 )  6 x(ti2 )  x(ti3 ) 
vx ti1  
6h
(1)
1
x(ti )  6 x(ti1 )  3x(ti2 )  2 x(ti3 )
vx ti2  
6h
1
 2 x(ti )  9 x(ti1 )  18 x(ti2 )  11x(ti3 ) 
vx ti3  
6h
gdzie: h jest odstępem czasowym pomiędzy kolejnymi klatkami zarejestrowanego
filmu, vx (ti ) , jest składową x prędkości środka masy tarczy w ruchu postępowym dla
chwili czasowej ti (i=1,2...N), xti  jest współrzędną środka masy tarczy w tej chwili.
Następnie należy dokonać wygładzenia zależności vx(t) wykorzystując metodę
uśredniania bieżącego w postaci [2]:
1 i  q 1
(2)
v~x (ti )   vx (t j )
q j i
gdzie: v~x – element uśrednionego szeregu, v x – element pierwotnego szeregu
obliczonych prędkości.
Parametr q można przyjąć na poziomie od 10 do 20 w zależności od potrzeb.
Ponieważ końcowe dane nie będą właściwie uśrednione nie uwzględnia się ich w
dalszych obliczeniach i rysunkach. Należy odrzucić więcej niż q końcowych wartości,
jeśli istotnie odbiegają one od ogólnej tendencji zmian danej wielkości.
Podobnie należy wyznaczyć składową y prędkości. W kolejnym kroku należy
wyznaczyć moduł wektora prędkości środka masy tarczy:
v  v~ 2  v~ 2
(3)
s
x
y
Prędkość kątową należy wyznaczyć przyjmując, że tarcza toczy się bez
poślizgu. Przy takim założeniu:
(4)
v t 
s ti   s i
r
gdzie: ωs(ti) – prędkość kątowa w chwili ti, r – promień osi toczącej się po torze, na
której zamocowano tarczę.
Śledząc położenie środka masy w osi y można oszacować energię
potencjalną względem przyjętego położenia odniesienia. Należy jednak wyznaczyć
wygładzone ~
y korzystając z metody (2) i tego samego q co w przypadku prędkości.
Podobnie jak poprzednio odrzuca się końcowe pomiary.
Ostatecznie należy sprawdzić czy zmiany całkowitej energii mechanicznej (dla
każdego z uśrednionych pomiarów) wynoszą zero.
wer. 2016 MT
6
Wyniki należy zilustrować odpowiednimi wykresami zgodnie z poleceniami zawartymi
w arkuszu sprawozdania. Z powodu bardzo dużej liczby punktów rysunki najlepiej
wykonać za pomocą oprogramowania komputerowego.
W wnioskach ustosunkuj się do poszczególnych wykresów, oceń zgodność
oszacowania prędkości w charakterystycznych punktach oraz wypowiedz się na
temat tego czy energia mechaniczna została zachowana podczas ruchu. Zwróć
uwagę na możliwość występowania poślizgów jak i występowania tarcia i ich wpływ
na wynik eksperymentu. Weź pod uwagę także dokładność procedury pomiarowej.
Zastanów się czy ewentualne różnice są istotne.
Literatura dodatkowa przywołana w instrukcji
[1] Otto E. Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, tom 3, rozdz.
XVI, §111, PWN, Warszawa
[2] Jóźwiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, rozdz. 16, PWE, Warszawa
wer. 2016 MT
7