Problemy analizy dynamicznej nap´dów elektromechanicznych du

Problemy analizy dynamicznej nap´dów elektromechanicznych du

Problemy analizy dynamicznej
nap´dów elektromechanicznych du˝ej mocy
DAMIAN GÑSIOREK
ARKADIUSZ M¢˚YK
EUGENIUSZ ÂWITO¡SKI
Szybki rozwój techniczny, szczególnie w dziedzinie informatyki, daje wspó∏czesnemu in˝ynierowi
efektywne narz´dzia w postaci oprogramowania
pozwalajàcego modelowaç otaczajàce nas zjawiska.
Wykorzystujàc te narz´dzia w procesie konstrukcyjnym i badawczym, mo˝na tworzyç coraz doskonalsze maszyny i urzàdzenia.
Celem projektanta jest zapewnienie zarówno du˝ej
trwa∏oÊci maszynom roboczym, jak i niskiej energoch∏onnoÊci. Aby mo˝na by∏o poszukaç optymalnych parametrów, doÊwiadczalnie lub teoretycznie,
nale˝y najpierw odpowiednio sformu∏owaç cel badaƒ.
Bardzo cz´sto – ze wzgl´du na trudne warunki panujàce podczas eksploatacji maszyn, wysokie koszty
i koniecznoÊç stosowania specjalistycznej aparatury pomiarowej potrzebnej w badaniach doÊwiadczalnych – ogranicza si´ badania do badaƒ modelowych. Najcz´Êciej badania doÊwiadczalne stanowià tylko punkt wyjÊcia do dalszych rozwa˝aƒ teoretycznych i prowadzone sà w konkretnych warunkach
pracy maszyny, a otrzymane wyniki dotyczà konkretnych warunków pracy. Badanie modelowe jest
przydatne m.in. w analizie, syntezie i optymalizacji
uk∏adów nap´dowych du˝ej mocy. W badaniach
teoretycznych wykorzystuje si´ modele matematyczne, które w znacznym stopniu odzwierciedlajà
uk∏ady rzeczywiste, a otrzymane wyniki pozwalajà na
iloÊciowà i jakoÊciowà ocen´ wyst´pujàcych zjawisk
dynamicznych.
Nap´dy maszyn roboczych stanowià z∏o˝one i
skomplikowane uk∏ady dynamiczne o wielu stopniach swobody, które wymagajà odpowiedniego
podejÊcia w opisie matematycznym. Najcz´Êciej stan
dynamiczny maszyny jest modelowany w postaci
z∏o˝onego systemu dynamicznego, sk∏adajàcego si´
z wielu prostych, wzajemnie na siebie oddzia∏ujàcych podsystemów. Przyk∏adem takiego podejÊcia jest
modelowanie nap´du jako uk∏adu elektromechanicznego ze sprz´˝eniem zwrotnym pomi´dzy jego
cz´Êcià elektrycznà i mechanicznà [1]. W takim uj´ciu uk∏ad elektromagnetyczny zazwyczaj opisywany
jest prawami Maxwella, natomiast uk∏ad mechaniczny
– zasadami i prawami mechaniki.
W przypadku modelu asynchronicznego silnika
elektrycznego opisuje on zjawiska elektromagnetyczne, których analiza dotyczy badania wszystkiego,
co ma zwiàzek z powstawaniem i dzia∏aniem pola
magnetycznego w maszynie indukcyjnej [2].
W przypadku du˝ych uk∏adów elektromechanicznych stosuje si´ modele o wielu stopniach swobody.
Uk∏ady te wymagajà rozwiàzania du˝ej liczby równaƒ
ró˝niczkowych drugiego rz´du, co znacznie wyd∏u˝a
czas obliczeƒ numerycznych. Istniejà jednak metody,
dzi´ki którym mo˝na znacznie ograniczyç liczb´ stopni
swobody uk∏adu. Metody te, zwane metodami redukcji, pozwalajà skróciç czas wyznaczenia wartoÊci
i postaci drgaƒ w∏asnych rozpatrywanego uk∏adu,
a tak˝e ograniczajà nak∏ad pracy na analiz´ statycznà i dynamicznà rozpatrywanego zadania. Redukcja odgrywa równie˝ znaczàcà rol´ w doÊwiadczalnej analizie modalnej, jako ˝e macierze mas i sztywnoÊci mogà byç tak˝e stosowane do porównywania
analitycznych i doÊwiadczalnych modeli przez zastosowanie kontroli ich ortogonalnoÊci.
Od wielu lat problematyka zwiàzana ze zjawiskami dynamicznymi w przek∏adniach z´batych jest
tematem badaƒ prowadzonych przez pracowników
Katedry Mechaniki Stosowanej pod kierunkiem prof.
E. Âwitoƒskiego. W pracach wykorzystywane sà
autorskie algorytmy obliczeƒ oddzia∏ywaƒ dynamicznych w parach kinematycznych. Dorobkiem
pracowników sà liczne publikacje krajowe i zagraniczne oraz kilka rozpraw doktorskich.
Modelowanie elektromechanicznych
uk∏adów nap´dowych
W przypadku maszyn du˝ej mocy uk∏ady takie
mogà byç rozdzielone na uk∏ad elektromagnetyczny oraz mechaniczny. Taki model powinien uwzgl´dniaç najwa˝niejsze cechy dynamiczne uk∏adu, jak
równie˝ najwa˝niejsze si∏y zewn´trzne oddzia∏ujàce
na niego. Model powinien uwzgl´dniaç sprz´˝enie
zwrotne pomi´dzy uk∏adem elektrycznym i mechanicznym.
Cz´Êç mechanicznà nap´du stanowià zazwyczaj
przek∏adnie z´bate (modelowane w sposób dyskretny
lub dyskretno-ciàg∏y). W modelu uwzgl´dnia si´ charakterystyki sztywnoÊci zaz´bieƒ, podatnoÊç podparç,
luzy obwodowe, sztywnoÊç wa∏ów i korpusu itd. Do
opisu uk∏adu mechanicznego stosuje si´ uk∏ad
równaƒ zwyczajnych:
..
.
(1)
Mq + (B + G)q + Kq = Q
gdzie: q – wektor wspó∏rz´dnych uogólnionych,
Q – wektor si∏ uogólnionych, M, B, G, K – macierze
bezw∏adnoÊci, t∏umienia, efektu ˝yroskopowego i
sztywnoÊci.
W przypadku modelu maszyny asynchronicznej
dynamiczne równania ruchu mogà byç sformu∏owane:
(2)
Prof. dr hab. in˝. Eugeniusz Âwitoƒski, dr hab. in˝.
Arkadiusz M´˝yk prof. Pol. Âl. i dr in˝. Damian Gàsiorek sà
pracownikami Katedry Mechaniki Stosowanej Politechniki
Âlàskiej w Gliwicach.
54
(3)
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
gdzie: L, R, i, U – macierze indukcyjnoÊci, rezystancji,
pràdów i napi´ç zasilajàcych, Mel – moment silnika,
ϕl – kàt obrotu wirnika.
Sprz´˝enie elektromechaniczne realizowane jest
przez kàt obrotu wirnika ϕl, który wyznacza si´ z modelu uk∏adu mechanicznego, oraz moment elektromagnetyczny Mel obliczany z modelu silnika elektrycznego. Dzi´ki rozwiàzaniu podanych równaƒ ruchu
modelu uk∏adu sprz´˝onego mo˝liwe jest okreÊlenie
jego charakterystyki dynamicznej.
Cz´stoÊci drgaƒ w∏asnych
Zastosowanie metod redukcji
liczby stopni swobody uk∏adu
Metody redukcji stopni swobody nale˝à do metod
przybli˝onych z mo˝liwoÊcià stosowania ró˝nych
przybli˝eƒ. Jednà z metod redukcji stopni swobody
jest metoda kondensacji modalnej.
Metod´ t´ stosuje si´ dla z∏o˝onych systemów
z wielu „j” podsystemów po∏àczonych ze sobà dyskretnymi wi´zami. Pojedyncze podsystemy zast´puje
si´ podsystemami opisanymi skupionymi parametrami z∏o˝onymi z dyskretnych elementów (rys. 1).
Rys. 1. Uk∏ad mechaniczny z∏o˝ony z poduk∏adów
Poszczególne podsystemy drgajà wokó∏ statycznego po∏o˝enia równowagi z ma∏ymi amplitudami, wtedy ruch drgajàcy opisuje si´ z pewnym
przybli˝eniem, przy zaniedbaniu nieliniowych si∏ t∏umiàcych, za pomocà uk∏adu równaƒ ró˝niczkowych
ze sta∏ymi wspó∏czynnikami. Ka˝dy taki podsystem
jest dyskretnym liniowym uk∏adem o nj stopniach
swobody. Takich prostych podsystemów nie mo˝na
zastàpiç uk∏adem ze Êrednimi parametrami i niezb´dne jest przeprowadzenie ich dyskretyzacji.
Matematyczny model ca∏ego systemu z∏o˝onego
z Np poduk∏adów (rys. 2) po∏àczonych wi´zami mo˝na
zapisaç w postaci:
(4)
j = 1, 2, ..., Np
gdzie indeks „j” oznacza kolejny poduk∏ad. W przypadku obudowy wyst´puje zerowa pr´dkoÊç kàtowà ωj,0. Wp∏yw ostatniego poduk∏adu na aktualny
poduk∏ad „j” wyra˝ony za pomocà wiàzaƒ, przedstawiony jest wektorem fjc. Metodyka ta jest rozwijana
na wa∏y, w których najcz´Êciej spotkaç mo˝na wi´zy
zaz´bienia i ∏o˝yskowania. W uk∏adzie konfiguracyjnym definiowanym globalnym wektorem uogólnionych równaƒ q(t) = [qj(t)] dla n = Σnj, a globalny
wektor fc = [fjc], wewn´trznych liniowych si∏ w po∏àczeniach mo˝na zapisaç w postaci:
(5)
gdzie: KG, BG sà macierzami sztywnoÊci i t∏umienia
wszystkich po∏àczeƒ w zaz´bieniu, a KB, BB we
wszystkich po∏àczeniach ∏o˝yskowych. Pami´tajàc, ˝e:
(6)
gdzie:
,
ogólne równanie
Rys. 2. Model przek∏adni z obudowà
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
55
ca∏ego uk∏adu (niekondensowanego) mo˝na zapisaç
jako:
(7)
gdzie macierze Mn, Bn, Gn, Kn sà blokowymi diagonalnymi rz´du: n = Σnj: Mn = diag(Mj), Bn = diag(Bj),
Gn = diag(Gj), Kn = diag(Kj).
Wektor fG(t) wewn´trznego wzbudzenia generowanego we wszystkich wiàzaniach w zaz´bieniu ma
postaç:
gdzie:
sà blokowymi diagonalnymi macierzami rz´du
m = ∑mj, oraz:
Eliminujàc wektor fc z modelu (11) z pomocà zale˝noÊci (6) otrzymuje si´ kondensowany model systemu
o zredukowanej liczbie stopni swobody m:
(12)
(8)
gdzie: kz – wspó∏czynnik sztywnoÊci, bz – wspó∏czynnik t∏umienia, ∆z(t) – ca∏kowita kinematyczna
odchy∏ka,
Dynamiczne zachowanie modelu (12) dla danego
obszaru cz´stoÊci odpowiada pierwotnemu zachowaniu niekondensowanego modelu (7). Mi´dzy
wektorem x(t) o wymiarze m wspó∏rz´dnych kondensowanego modelu (12) i q(t ) = [qj(t )] o wymiarze n
uogólnionych wspó∏rz´dnych modelu (4) wyst´puje transformacyjny stosunek (10). Tà transformacjà
q(t ) = Vx(t ) wróciç mo˝na do bazy pierwotnych
uogólnionych wspó∏rz´dnych.
Model obliczeniowy
W∏asnoÊci modalne wzajemnie izolowanych i niet∏umionych poduk∏adów w pewnym obszarze cz´stoÊci sà przedstawione diagonalnà spektralnà
podmacierzà mΛj rz´du mj i prostokàtnà modalnà
podmacierzà m Vj typu [nj, mj], gdzie mj jest iloÊcià
cz´stoÊci w∏asnych poduk∏adu „j” z danego obszaru
cz´stoÊci. Macierz m Vj jest zbudowana z mj, tzw.
„master” postaci drgaƒ w∏asnych normowanych,
odpowiednich w∏asnych cz´stoÊci poduk∏adu „ j”
w obszarze cz´stoÊci. Obie macierze spe∏niajà
warunek M-ortogonalny i K-ortogonalny.
(9)
Modalnà transformacj´ mo˝na zapisaç:
q( t ) = V x ( t )
(10)
Dla pojedynczych poduk∏adów
j = 1, 2,..., Np i korzystajàc z (8) mo˝na model (4)
zapisaç w postaci:
(11)
Rys. 3. Schemat jednostopniowej przek∏adni z´batej
56
W celu wyznaczenia wp∏ywu podatnoÊci korpusu
na zjawiska dynamiczne zachodzàce w przek∏adniach
z´batych, zdecydowano si´ przeprowadziç symulacj´
numerycznà dla modelu jednostopniowej przek∏adni
z´batej o z´bach prostych nap´dzanej silnikiem
asynchronicznym (rys. 3).
Model przek∏adni z´batej osadzonej w korpusie
roz∏o˝ono na 3 podsystemy – poszczególne wa∏y wraz
z osadzonymi ko∏ami z´batymi oraz korpus, które
oddzia∏ywajà na siebie poprzez si∏´ mi´dzyz´bnà
oraz si∏y w ∏o˝yskach. W uj´ciu globalnym sà to si∏y
wewn´trzne. Do zamodelowania wa∏ów z ko∏ami z´batymi u˝yto metody hybrydowej, natomiast model
obudowy przek∏adni wykonano w programie ANSYS.
Wykorzystujàc wewn´trzny j´zyk ANSYS-a APDL
wyeksportowano pliki ze zredukowanymi macierzami bezw∏adnoÊci i sztywnoÊci, nast´pnie obliczenia
dla ca∏ego z∏o˝onego uk∏adu przeprowadzono w
MATLAB-ie.
Przyk∏adowe wyniki obliczeƒ
Dla przedstawionego modelu przek∏adni z´batej
z obudowà przeprowadzono obliczenia numeryczne,
które obejmowa∏y wyznaczenie przebiegów czasowych przemieszczeƒ i pr´dkoÊci, oddzia∏ywaƒ dynamicznych w parach kinematycznych oraz momentu
elektromagnetycznego silnika zarówno podczas rozruchu, jak i pracy ustalonej uk∏adu. Obliczenia wykonano na komputerze klasy PC, do obliczeƒ numerycznych wykorzystano program ANSYS, MATLAB
oraz inne programy autorskie napisane w j´zyku C.
W pierwszym kroku wykonano prosty model przek∏adni (32 stopnie swobody), dla którego wyznaczono charakterystyki. W dalszej kolejnoÊci dokonano symulacji dla modelu przek∏adni jednostopniowej po∏àczonej z obudowà. Aby zmniejszyç liczb´
stopni swobody uk∏adu nap´dowego, w modelu
obudowy zredukowano liczb´ stopni swobody do 60,
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
Rys. 4. Przemieszczenie w´z∏a 9 na obudowie przek∏adni w kierunku osi z oraz zidentyfikowane widma cz´stotliwoÊci w tym w´êle
dzi´ki czemu ca∏y uk∏ad nap´dowy mia∏ 92 stopnie
swobody (32 stopnie swobody przek∏adni+60 stopni swobody obudowy). Dla tak przyj´tego uk∏adu
przeprowadzono symulacj´, a wyniki przemieszczeƒ
w´z∏ów pozwoli∏y na ocen´ wp∏ywu podatnoÊci
korpusu na dynamik´ uk∏adu nap´dowego (rys. 4).
Wnioski
W pracy przedstawiono sposób modelowania uk∏adów elektromechanicznych jako uk∏adu nap´dowego maszyn roboczych du˝ej mocy. Opracowane
modele sk∏adajà si´ z cz´Êci mechanicznej i cz´Êci
elektrycznej, sprz´˝onej ze sobà poprzez pr´dkoÊç
kàtowà wirnika silnika nap´dowego i moment
elektromechaniczny.
Model uk∏adu mechanicznego opisany jest za pomocà metody elementów skoƒczonych, uwzgl´dniajàcej elementy o masie roz∏o˝onej w sposób ciàg∏y
i dyskretny. Model taki tworzy ∏aƒcuch kinematyczny o parach kinematycznych, które uwzgl´dniajà
nieliniowoÊci wynikajàce ze zwiàzków fizycznych
i kinematycznych w ∏o˝yskach, zaz´bieniu i sprz´g∏ach. W modelu tym uwzgl´dniono równie˝ efekty
˝yroskopowe elementów wirujàcych.
Model korpusu przek∏adni z´batej opracowano
wykorzystujàc metod´ elementów skoƒczonych, a
nast´pnie zredukowano jej stopnie swobody, dzi´ki
czemu znacznie obni˝ono czasoch∏onnoÊç obliczeƒ
numerycznych dla ca∏ego uk∏adu nap´dowego
sprz´˝onego z korpusem.
Przeprowadzone obliczenia numeryczne dla takiego modelu uk∏adu elektromechanicznego wskazujà,
˝e w stanach nieustalonych (rozruch, nag∏a zmiana
obcià˝enia itp.) w parach kinematycznych uk∏adu
powstajà si∏y uogólnione, których wielkoÊci znacznie
przekraczajà wartoÊci nominalne.
Z porównania otrzymanych widm wynika, i˝ w przypadku braku uwzgl´dniania korpusu w obliczeniach
dynamiki uk∏adów z∏o˝onych z przek∏adni z´batych
nie wyst´pujà cz´stoÊci drgaƒ pochodzàce od korpusu, które w przypadku pracy przek∏adni w pobli˝u cz´stoÊci rezonansowej mogà mieç decydujàcy
wp∏yw na si∏y dynamiczne w parach kinematycznych
uk∏adu nap´dowego (rys. 5).
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005
Opracowany model dynamiczny uk∏adu nap´dowego oraz algorytmy obliczeƒ majà charakter ogólny i mogà byç zastosowane do analizy dowolnego
uk∏adu elektromechanicznego przy dowolnie zadawanych warunkach poczàtkowo-brzegowych, jak
równie˝ mo˝liwoÊci uwzgl´dniania ró˝nych stanów
awaryjnych.
Na podstawie otrzymanych charakterystyk amplitudowo-cz´stotliwoÊciowych mo˝na okreÊliç parametry do oceny diagnostycznej oraz dane niezb´dne
do obliczeƒ wytrzyma∏oÊciowych i zm´czeniowych
elementów uk∏adu nap´dowego.
Rys. 5. Porównanie si∏y mi´dzyz´bnej w funkcji czasu dla
uk∏adu z korpusem i bez korpusu
Niekorzystne zjawiska w sprz´˝onych uk∏adach
elektromechanicznych szczególnie cz´sto pojawiajà
si´ w warunkach nieustalonych i stanach rezonansowych, dlatego aby mo˝liwa by∏a ich analiza, tworzy si´ z∏o˝one modele dynamiczne, które uwzgl´dniajà cz´Êç mechanicznà i elektromagnetycznà modelu. W przypadku du˝ych i z∏o˝onych uk∏adów
elektromechanicznych celowe staje si´ przeprowadzenie kondensacji uk∏adu. Redukcja, dzi´ki której
zmniejszana jest liczba stopni swobody modelu,
pozwala szybciej przeprowadziç analiz´ statycznà
i dynamicznà.
57
LITERATURA
1. M´˝yk A.: Optymalizacja w∏asnoÊci dynamicznych uk∏adów
nap´dowych maszyn. Zeszyty Naukowe Politechniki Âlàskiej, Mechanika, z. 139, Gliwice 2002.
2. Zeman V., Hlavac Z.: Parametricka optimalizace prevodovky
z hlediska kmitani v rezonancich, Inzinierska Mechanika,
Svratka 2002.
3. Rak Z: Modelowanie drgaƒ gi´tno-skr´tnych elektromechanicznych uk∏adów nap´dowych. Rozprawa doktorska, Gliwice 1995.
4. Zeman V., Kovar L.: Modeling of dynamic properties of
shaft and rotating system, Engineering Mechanics, vol. 1,
Issue 6/1999, pp. 45 – 61.
5. Johnson R. C.: Optimum Design of Mechanical Elements.
Wiley & Sons, New York 1980.
6. M´˝yk A., Âwitoƒski E.: Wyznaczanie i optymalizacja charakterystyk dynamicznych uk∏adu nap´dowego. Materia∏y
VI Szko∏y Analizy Modalnej, AGH Kraków 2001.
7. Wu W.-T., Wickert J. A., Griffin H.: Modal analysis of the
steady state response of a driven periodic linear system.
Journal of Sound and Vibration, Vol. 183, No. 2/1995,
pp. 297 – 308.
8. M´˝yk A., Âwitoƒski E.: Modelowanie, analiza wra˝liwoÊci
i optymalizacja elektromechanicznych uk∏adów nap´dowych. Zeszyty Problemowe BOBRME nr 54/1997, Katowice
1997.
58
9. Lee I. W., Kim D. O., Jung G. H.: Natural Frequency And
Mode Shape Sensitivities Of Damped Systems: Part II,
Multiple Natural Frequencies. Journal of Sound and Vibration, Vol. 223, No. 3/1999, pp. 413 – 424.
10. M´˝yk A.: Selection of objective function for optimizing
frequency characteristic. ZN Katedry Mechaniki Stosowanej, nr 12/2000, Gliwice 2000.
11. Dailey R. L.: Eigenvector Derivatives with Repeated Eigenvalues. AIAA Journal, Vol. 27, No. 4/1989, pp. 486 – 491.
12. Osiƒski Z.: T∏umienie drgaƒ mechanicznych. PWN, Warszawa 1986.
13. Scott D. A., Karr C. L., Schinstock D. E.: Genetic algorithm
frequency-domain optimization of an anti-resonant electromechanical controller. Engineering Applications of Artificial
Intelligence. Elsevier Science. April, Vol. 12, No. 2/1999,
pp. 201 – 211.
14. Press W. H., Flannery B. P., Teukolsky S. A., Vetterling W. T.:
Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing.
Cambridge University Press 1986.
15. Giergiel J.: Drgania mechaniczne. Wydawnictwo AGH,
Kraków 2000.
16. Sikora R.: Condensation of substructures using modal
synthesis method, ZN Katedry Mechaniki Stosowanej,
z. 19, ss. 139 – 142, Gliwice 2002.
17. Woodhouse J.: Linear damping models for structural vibration. Journal of Sound and Vibration, Vol. 215, No. 3/1998,
pp. 547 – 569.
ROK WYD. LXIV ZESZYT 5/2005