Temat: Logarytmy, decybele, poziomy audio. W praktyce

Temat: Logarytmy, decybele, poziomy audio. W praktyce

Temat: Logarytmy, decybele, poziomy audio.
W praktyce radiotechnicznej okazało się, że określając względne wielkości
wzmocnienia, lub poziomu transmisji, wygodniej jest używać logarytmów stosunku
mocy lub napięć, niż samych stosunków tych wielkości.
1. Logarytmy.
Logarytmowanie jest to działanie polegające na wyznaczaniu wykładnika potęgi
do której należy podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną.
Szukany wykładnik nazywany jest logarytmem.
jeśli
AB = C to B = logAC
gdzie: C – liczba logarytmowana
A – podstawa logarytmu
B – wykładnik potęgi
Logarytm dziesiętny - to po prostu wykładnik potęgi do której należy
podnieść liczbę 10 aby uzyskać liczbę logarytmowaną
lg a = x
a = 10x
czyli log10100=2 bo 102 = 100
logarytm dziesiętny
log10 piszemy jako lg
np. lg1000 = 3
bo 103 = 1000
lg2 = 0,3
bo 100,3 = 2
lg0,0001 = -4 bo 10-4 = 0,0001
Właściwości logarytmów.
lg (a · b) = lg a + lg b
lg an = lg (a · a · a · .... a) = lg a + lg a + lg a + ...... lg a = n lg a
A także:
lg a/b = lg (a · b-1) = lg a - lg b.
Każdą liczbę można zapisać w postaci iloczynu potęgowego liczby zawartej
pomiędzy 1 a 10, oraz odpowiedniej potęgi liczby 10.
Przybliżone tablice logarytmiczne jednocyfrowe do podręcznego użytku...
Proponuję zapamiętanie przybliżonych wartości logarytmów jedynie dwóch liczb:
lg 2 = 0,3010 (ok. 0,3)
lg 3 = 0,4771
Sami łatwo obliczymy stąd, że:
lg 4 = lg 2·2 = lg 2+ lg 2=2 lg 2 = 0,6
lg 8 = lg 2·2·2 = 3 lg 2 = 0,9
lg 5 = lg (10 : 2) = lg 10 - lg2 = 1 - 0,3010 = 0,699 (ok. 0,7)
lg 2,5 = lg (5 : 2) = 0,699 - 0,301 = 0,398 (ok. 0,4)
lg 1,5 = lg (3 : 2) = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761
lg 2 = lg 21/2 = 1/2 lg2 = 0,15
lg 6 = lg (2 · 3) = 0,3010 + 0,4771 = 0,7780
[inaczej: lg 16 = lg (2 · 8) = 0,3010 + 0,9030 =
lg 16 = lg 42 = 2 lg 4 = 1,2040
1,2040]
jeśli tak, to:
lg 1,6 = lg (16 : 10) = 1,2040 - 1 = 0,2040
lg 9 = lg 32 = 2 · lg 3 = 0,9542
1
2. Skala logarytmiczna
W zagadnieniach związanych z dźwiękiem najczęściej wyrażaną w mierze
logarytmicznej wielkością jest częstotliwość. Przeanalizujmy jak skonstruowana jest
skala logarytmiczna.
Mając przed sobą kartkę papieru w kratkę przyjmijmy, że naszą podstawową
jednostką będzie dziesięć kratek. W takim układzie, co dziesięć kratek na naszym
wykresie
będziemy
mieć
przyrost
częstotliwości
o
jeden
rząd
wielkości.1,10,100,1000 itd. UWAGA zaczynamy od 1 Hz a nie od zera (w mierze
logarytmicznej nie ma zera).
Tak więc po dziesięciu kratkach będziemy mieli 10 Hz, po dwudziestu już 100 Hz a
po trzydziestu kratkach 1000 Hz itd. Skąd to się bierze ? Policzmy logarytm
dziesiętny z 1 Hz. Wyjdzie 0 – jesteśmy na początku naszego wykresu. Logarytm z
10Hz to 1działka (w naszym przypadku 10 kratek). Logarytm ze 100 Hz to 2działki
– 20 kratek itd. Podobnie liczymy dla mniejszych wartości. I tak np. 2 Hz to 0,3
całej podstawowej jednostki, czyli 3 kratki, a 5 Hz to około 7 kratek itd. W mierze
logarytmicznej przedstawia się wszelkie charakterystyki częstotliwościowe. Gdyby
sporządzić wykres zależności jakiejś wielkości od częstotliwości w zakresie
akustycznym (20 Hz – 20000 Hz) w mierze liniowej przyjmując, że jedna kratka to
20 Hz wykres miałby 5 metrów długości (raczej mało wygodne). W mierze
logarytmicznej przyjmując jako podstawową działkę 10 kratek wykres będzie miał
jakieś 15 cm.
2
3. Miary poziomu mocy i napięcia.
Urządzenia elektroakustyczne są ściśle związane z akustyką, z dźwiękiem i z
fizjologią słyszenia. Dlatego właściwości tych urządzeń są określane za pomocą
parametrów wyrażanych w jednostkach miar stosowanych w akustyce.
Na
przykład
głośnik,
zasilany
przez
akustyczny
wzmacniacz
mocy,
wypromieniowuje moc akustyczną, wywołując w otaczającej przestrzeni
odpowiednie natężenie dźwięku, ciśnienie akustyczne itp. Wielkości te ze względu
na sposób odczuwania ich przez ucho ludzkie, są wyrażane w mierze
logarytmicznej.Stąd parametry niektórych urządzeń, takie jak: napięcie
wejściowe lub wyjściowe, wzmocnienie, zmiana wzmocnienia w funkcji
częstotliwości, odstęp sygnału użytecznego od zakłóceń itp. są również określane w
mierze logarytmicznej.
W praktyce często interesuje nas nie tyle poziom mocy, a raczej wzmocnienie lub
osłabienie mocy. Przykładowo moc sygnału może być wzmacniana dwukrotnie,
pięćsetkrotnie, tysiąckrotnie, ale też może być osłabiana na przykład
dwunastokrotnie, czy milionkrotnie.
Wzmocnienie mocy równe dwa można zapisać po prostu: 2x (czytaj dwa razy).
Podobnie można zapisać 500x czy 1000x.
Analogicznie dwunastokrotne osłabienie można zapisać:
1
1
X , podobnie
X
12
1000
Znów trzeba zapisywać mnóstwo zer.
Dla wyeliminowania tych zer od dawna stosuje się zapis logarytmiczny, czyli
związany z potęgowaniem. Nie jest to żadna nowa wielkość: liczba wyrażająca
wzmocnienie (osłabienie), czyli stosunek wartości końcowej do początkowej zostaje
po prostu zlogarytmowana (logarytm o podstawie 10).
Otrzymana liczba wyraża wzmocnienie (osłabienie) w tak zwanych belach,
oznaczanych literą [B].
Jednostką podstawową tej miary jest bel [B]. W belach określa się logarytm
stosunku dwóch mocy.
Przykładowo:
wzmocnienie mocy 2 razy to zmiana o log2 = 0,30103B
wzmocnienie mocy 500 razy to zmiana o log500 = 2,69897B
wzmocnienie mocy 1000 razy to zmiana o log1000 = 3B
osłabienie mocy 12 razy (wzmocnienie 1/12 razy)
to zmiana o log(1/12) = -1,07918B
osłabienie mocy milion razy to zmiana o log(1/1000000) = -6B
Względny poziom mocy w belach:
poziom[B] = lg
P2
P1
[B]
dziesięciokrotnie mniejszą jednostką jest decybel [dB]
Względny poziom mocy w decybelach:
poziom[dB] = 10lg
P2
P1
[dB]
3
2
U
⋅U = U
R
R
to dla napięcia względny poziom napięcia w decybelach:
poziom[dB] = 20 lg U 2 [dB]
U1
a ponieważ P =
I ⋅U =
gdzie: U 1 , U 2 – porównywane wartości skuteczne napięć.
Stosunek dwóch mocy lub napięć jest miarą względną, która nie precyzuje,
o jaką wartość mocy lub napięcia chodzi.
Aby podać bezwzględną wartość tych wielkości, należy je porównać
odpowiednią jednostką odniesienia.
z
Za taką jednostkę przyjęto wartość mocy elektrycznej PO równą 1mW
wydzieloną na rezystancji RO = 600 omów.
Stąd bezwzględny poziom mocy określa się następującą zależnością:
L =10 lg
P X = 10lg P X [mW ] [dBm]
1[mW ]
PO
gdzie: L – poziom mocy w dBm
PX - moc porównywana w mW,
PO - moc odniesienia 1mW.
Jak widać, bel i decybel nie jest miarą ani mocy, ani napięcia, ani żadnej
wielkości fizycznej. Jest to tylko sposób przedstawienia stosunku dwóch
wartości. Decybele znakomicie nadają się do wyrażania na przykład wzmocnienia
wzmacniacza, albo stosunku mocy. Ale w zasadzie, bez dodatkowej umowy, nie
można wyrażać w decybelach ani mocy, ani napięcia. Miara logarytmiczna jest
jednak bardzo wygodna i dobrze byłoby wyrażać w ten sposób także wartości mocy
i napięcia. Żeby to zrobić, wystarczy przyjąć jakiś punkt odniesienia, a potem,
właśnie w decybelach, określać moc czy napięcie w stosunku do tej przyjętej
wartości odniesienia.
W elektroakustyce częściej operuje się napięciem odniesienia, które wynika z
następującego przeliczenia:
UO =
gdzie:
P0 ⋅ R0 =
1 ⋅ 10 −3 ⋅ 600 = 0,7746 ≈ 0,775 [V]
PO - moc odniesienia 1mW = 1· 10-3 [W]
RO – rezystancja odniesienia 600 Ω
Zatem bezwzględny poziom napięcia oblicza się ze wzoru :
L = 20 lg U X
UO
[ ]
0,775[V ]
V
= 20 lg U X
[dBu]
gdzie: L – poziom napicia w dBu
UX - porównywana wartość napięcia w V
UO – zaokrąglona wartość napięcia odniesienia UO = 0,7746 V
4
Tablica poziomów w decybelach - wzmacnianie
dB
6
12 18
20
26
34
40
46
54
60
80
Stosunek 2
4
8
10
20
50
100
200
500
1000
10000
napięć
Tablica poziomów w decybelach - tłumienie
dB
-6 -12 -18 -20
-26
-34
-40
-46
-54
-60
-80
Stosunek 1:2 1:4 1:8 1:10 1:20 1:50 1:100 1:200 1:500 1:1000 1:10000
napięć
Wartości w kolorze niebieskim są łatwe do zapamiętania i przydatne w
praktyce.
4. Wzmocnienie napięciowe
Wzmocnienie napięciowe[dB]
WU= 20 lg U2/ U1
[dB]
Stosunek U2/U1 - zwany jest współczynnikiem wzmocnienia napięciowego kU
Warto zauważyć, że gdy jest on większy od jedności kU > 1 to logarytm tego stosunku
jest dodatni, mamy wtedy do czynienia ze wzmacnianiem sygnału.
Wartość decybeli jest też dodatnia.
Natomiast, gdy kU < 1 to logarytm wzmocnienia jest ujemny i sygnał jest
zmniejszany/tłumiony/.
Wartość decybeli jest ujemna.
Sumowanie poziomów w decybelach wykonuje się algebraicznie z uwzględnieniem
znaków.Wzmocnienia się mnoży.
stosunkowi U2/U1 równemu 10-3 odpowiada (-3) · 20 = - 60 dB
stosunkowi U2/U1 równemu 10-2 odpowiada (-2) · 20 = - 40 dB
stosunkowi U2/U1 równemu 10-1 odpowiada (-1) · 20 = - 20 dB
0 dB
stosunkowi U2/U1 równemu 100 odpowiada (0) · 20 =
stosunkowi U2/U1 równemu 101 odpowiada (1) · 20 = 20 dB
stosunkowi U2/U1 równemu 102 odpowiada (2) · 20 = 40 dB
stosunkowi U2/U1 równemu 103 odpowiada (3) · 20 = 60 dB
5. Wzmocnienie mocy
Wzmocnienie mocy[dB] WP =10 lg P2/P1
[dB]
Stosunek P2/P1 - zwany jest współczynnikiem wzmocnienia mocy kP
5
6. Podsumowanie.
Dla celów praktycznych wystarczy zapamiętać, że
napięciowe wyrazić w decybelach korzystamy z wzoru:
aby
wzmocnienie
WU [dB] = 20 log kU
Gdy natomiast na decybele przeliczamy wzmocnienie (lub osłabienie) mocy
korzystamy z wzoru:
WP [dB] = 10 log kP
gdzie:
kU - wzmocnienie napięciowe,
kP - wzmocnienie mocy.
W praktyce prawie zawsze chodzi o przeliczenie na decybele wzmocnienia
napięciowego, dlatego warto zapamiętać kilka typowych wartości i pewne proste
reguły.
Dla napięć wzmocnienie
1000 razy to +60dB,
100 razy to +40dB
10 razy to +20dB
2 razy to +6dB
wzmocnienie równe
1 to 0dB
0,1 to -20dB
0,01 to -40dB
1,41 czyli
0,707 czyli
2 to +3dB bo 20lg 2 =20 ·
1
· 0,3=20 · 0,15=3dB
2
1
to -3dB
2
2 razy to 6dB
0,5 razy to -6dB
3 razy to 9,5dB; w przybliżeniu 10dB
4 to 12dB bo (4=2×2)
5 to 14dB
7 to 17dB
8 to 18dB
Ponieważ mnożenie liczb odpowiada dodawaniu logarytmów, również przy dodawaniu
decybeli trzeba pamiętać, że chodzi o mnożenie wzmocnienia wyrażonego w "razach"
stąd np.:
20 razy to 2×10=6dB+20dB = 26dB
50 razy to 5×10=14dB+20dB = 34dB
140 razy to 1,4×100=3dB+40dB = 43dB
500 razy to 0,5x1000=-6dB+60dB =54dB
6
7. Przykłady obliczeń
Przykład 1:
Wzmocnienie wynosi 26dB.
Pytanie: Ile razy zostanie wzmocniony sygnał na wyjściu U2 ?
Odp. 26dB = 20dB+6dB a więc 10 krotność x 2 krotność = 20 krotność
Przykład 2 :
Z mikrofonu otrzymujemy sygnał o wartości 0,775 mV.
Ile decybeli należy wzmocnić na wejściu aby uzyskać liniowy poziom +6 dBu ?
Odp. Ponieważ +6dBu = 1,55 V, więc sygnał mikrofonowy należy wzmocnić 2000
razy, czyli 60 dB + 6 dB
Przykład 3 :
Wzmocnienie k = 50
Ile to jest decybeli ?
Odp. 50 = 0,5 · 100 czyli licząc w decybelach
7
- 6 dB + 40 dB = 34 dB