{ } {} oraz { } {}

1. Podanie macierzy orientacji g określa jednoznacznie orientację kryształu (np., przez
kąty Eulera ϕ1 , φ, ϕ 2 ). Do danej orientacji g moŜna jednak stworzyć orientacje
równowaŜne, gdyŜ istnieją symetryczne i równowaŜne orientacje układów kryształu
{C} i próbki {S}:
{C'}= k {C}oraz {S'}= p {S}
Opisane są one macierzami symetrii ki (dla kryształu) i pj (dla próbki). Wynikają one
z istnienia osi symetrii o krotnościach 1, 2, 3 lub 4. I tak np.:
1 0 0 
4
k 100 = 0 0 1 opisuje oś czterokrotną w kierunku [100] kryształu, zaś
0 − 1 0
p
2
x1
1 0 0 
= 0 − 1 0  opisuje oś dwukrotną w kierunku x1 układu próbki.
0 0 − 1
a) Podaj ogólną relację na równowaŜną macierz orientacji g’ do danej macierzy g,
gdy uwzględni się macierze symetrii ki i pj. Wystartuj z równania: {C}= g {S}.
b) Spróbuj ustalić, ile będzie róŜnych macierz symetrii ki dla kryształu o sieci
regularnej,
c) Ile będzie róŜnych macierzy symetrii pj dla próbki o symetrii rombowej,
d) Ile zatem będzie równowaŜnych macierzy g’ odpowiadających danej macierzy g?
2. Wylicz macierz orientacji g opisującą orientację kryształu względem układu próbki,
jeśli układ kryształu powstał z układu próbki przez obrót o kąt ω wokół osi d. Oś
obrotu d o jednostkowej długości ma współrzędne d1, d2, d3 w układzie próbki.
Wylicz przykładowo wyrazy g11, g12, g13 macierzy g.
Odpowiedź: macierz g ma postać
 (1 − d12 ) cos ω + d 12
d1d 2 (1 − cos ω) + d 3 sin ω d1d 3 (1 − cos ω) − d 2 sin ω 


g =  d 1d 2 (1 − cos ω) − d 3 sin ω
(1 − d 22 ) cos ω + d 22
d 2 d 3 (1 − cos ω) + d1 sin ω 
 d d (1 − cos ω) + d sin ω d d (1 − cos ω) − d sin ω

(1 − d 32 ) cos ω + d 32
2
2 3
1
 1 3

Wskazówki:
Widzieliśmy juŜ na ćwiczeniach, Ŝe łatwo jest wyliczyć macierz obrotu wokół osi
obrotu równoległej do osi z. Postąpimy zatem następująco:
a) Obróćmy najpierw „pomocniczo” układ próbki {S} (przy pomocy macierzy g0),
aby otrzymać układu {S’} taki, Ŝe jego oś s3’ jest równoległa do osi d. ZauwaŜmy, Ŝe
macierz transformacji g0 będzie miała postać:
 a 11
g 0 = a 21
 d 1
a 12
a 22
d2
a 13 
a 23 
d 3 
gdzie aij mają jakieś konkretne wartości liczbowe, ale ich znajomość nie jest
konieczna,
b) Dokonujemy teraz obrotu układu {S’} o kąt ω wokół osi s3’, otrzymując układ
{S’’}. Postać odpowiedniej macierzy gω poznaliśmy juŜ na ćwiczeniach,
c) Skompensujmy pierwszy obrót (który był tylko „pomocniczy”). Czyli
wprowadzimy obrót przeciwny do pierwszego, który przeprowadzi układ {S’’} w
układ {S’’’}. Omówiony obrót kompensujący przedstawia macierz g0-1 (równa g0T).
W ten sposób dostaniemy końcowy układ {S’’’}={C} reprezentujący orientację
kryształu, który powstał z {S} w wyniku obrotu o kąt ω wokół osi d. Poszukiwana
macierz g jest złoŜeniem trzech powyŜszych obrotów.
W celu pozbycia się kosinusów kierunkowych aij i wyraŜenia ich przez dk, skorzystaj z
warunku prostopadłości wersorów układu współrzędnych (przy uŜyciu definicji
iloczynów skalarnego i wektorowego).
3. Zaznacz jakościowo na projekcji stereograficznej kierunki symetrycznie równowaŜne
do kierunku zaznaczonego jako x dla symetrii kryształu zaznaczonych na rysunku:
klasa 422
4/m
432
Objaśnienie: kwadrat oznacza 4-krotną oś symetrii, elips – oś 2-krotną, trójkąt- oś 3krotną, pogrubiony okrąg – ślad przecięcia płaszczyzny symetrii ze sferą projekcji.
4. Udowodnij słuszność podanego na wykładzie wzoru na transformację tensora
napręŜeń ze ‘starego’ układu do ‘nowego’:
σ ij' = a ik ⋅ a jl ⋅ σ kl
co moŜna zapisać równowaŜnie:
σij' = a ik ⋅ σ kl ⋅ a jl
lub w postaci macierzowej:
[σ ] ' = [ g ] ⋅ [ σ] ⋅ [ g ] T
Wskazówka: wyjdź z definicji tensora napręŜeń: F = [σ] ⋅ ∆S i przetransformuj oba wektory
do nowego układu.
5. WykaŜ, Ŝe hydrostatyczny stan napręŜeń jest niezmienniczy względem obrotu układu
odniesienia.