Zestaw zadań 5

V.
1. Wahadło matematyczne o masie m i długości l podłączono do sprężyny o stałej
sprężystości k w odległości h od punktu zawieszenia. Gdy wahadło zajmuje położenie
pionowe, sprężyna nie jest napięta. Wyznaczyć okres małych drgań wahadła.
2. Dwie jednakowe tarcze kołowe w kształcie walców o masie m0 i promieniu R mogą
toczyć się bez poślizgu po poziomej płaszczyźnie. Tarcze te zostały połączone w
sposób pokazany na rysunku za pomocą jednakowych, równoległych prętów O1O2 i
A1A2, zakończonych przegubami. Masa każdego z prętów wynosi m, pręt O1O2 łączy
środki tarcz, a pręt A1A2 łączy punkty, znajdujące się w odległości a od środków tarcz.
Wyznaczyć okres małych drgań układu w pobliżu położenia równowagi.
Zad.1
Zad.2
3. Ruch punktu materialnego o masie m w polu siły ciężkości jest ograniczony do
pionowego okręgu o promieniu r, obracającego się wokół osi pionowej Oz z
prędkością kątową ω. Napisać równania Lagrange’a II rodzaju dla zmiennej θ.
4. Jednorodny walec o masie m i promieniu a może toczyć się po wewnętrznej
powierzchni drugiego, nieruchomego, pustego walca o osi poziomej i promieniu R.
Wyznaczyć okres małych drgań pierwszego walca w pobliżu położenia równowagi.
Zad.3
Zad.4
5. Zbadać problem małych drgań podwójnego wahadła matematycznego (por. rysunek).
6. Zbadać problem małych drgań wahadeł sympatycznych (dwa jednakowe wahadła
matematyczne o długościach l i masach m, połączone sprężyną o stałej sprężystości k
w odległości a od punktu zawieszenia; gdy wahadła wiszą pionowo, sprężyna jest
nierozciągnieta; por. rysunek).
Zad.5
Zad.6
7. Punkt zawieszenia wahadła matematycznego o masie m i długości l dołączony jest do
masy M, która z kolei dołączona jest do sprężyny o stałej sprężystości k. Masa M
może przesuwać się bez tarcia po osi poziomej. Wyznaczyć częstości drgań głównych
tego układu.
8. Znaleźć częstości drgań głównych potrójnego wahadła matematycznego (dwa wahadła
o masach m i długościach l dołączone do trzeciego wahadła o masie M i długości l,
którego punkt zawieszenia jest nieruchomy; por. rysunek).
Zad.7
Zad.8
9. Rozwiązać zad. 4 w przypadku, gdy powierzchnia boczna dużego walca o masie M i
promieniu R przyczepiona jest do poziomej prostej (punkt O na przekroju na rysunku),
wokół której walec może wykonywać drgania swobodne.
10. Wyznaczyć drgania układu (cząsteczki trójatomowej) złożonego z centralnej masy M i
dwóch mas m połączonych ze sobą sprężynami o stałych sprężystości k. W stanie
równowagi masy znajdują się w odległościach a i mogą poruszać się tylko po osi
poziomej.
11. Znaleźć przyspieszenie, z jakim w polu grawitacyjnym będzie opadała zabawka jo-jo
(walec o momencie bezwładności I(s) względem osi symetrii, owinięty nicią).
12. Walec o masie M i promieniu a może toczyć się bez poślizgu po poziomej
płaszczyźnie. Środek masy walca S jest odległy o d od osi symetrii. Wyznaczyć
częstość małych drgań walca wokół położenia równowagi.
Zad.10
Zad.9
Zad.12
Zad.11