docMacierze, wyznaczniki, układy równań
download 
Reklamacja Transkrypt
Macierze, wyznaczniki, układy równań
(−3) ·
6 −9
−3
−2 3 √1
√
=
−3π 0 −3 2
π 0 2
−1 4 1 −3 0 1
3 0 + − 21 −5 = 2 21 −5
2 1
4 11
6 12
TRANSPOZYCJA:
T
−2 3 √1
=
π 0 2
T
−2 π
3 √0
1 2
1 2 3
1 4 7
4 5 6 = 2 5 8
3 6 9
7 8 9
Macierz symetryczna
T
1 3 5
1 3 5
3 5 7 = 3 5 7
5 7 9
5 7 9
Macierz antysymetryczna
T
0 −1 −2
0 1 2
1 0 −1 = −1 0 1
2 1 0
−2 −1 0
−2
1
2
2 −1 3 c11
··· ··· ··· ···
1 2 −1 c21
C=
..
..
..
..
·
..
1
2
−1
c12
···
c22
..
..
..
..
·
..
−1 ..
3 ..
3 ..
c13 ..
··· ·
c23 ..
2
4
−1
c14
· · ·
c24
(2, −1, 3) · (−2, 1, 2) (2, −1, 3) · (1, 2, −1) (2, −1, 3) · (−1, 3, 3) (2, −1, 3) · (2, 4, −1)
(1, 2, −1) · (−2, 1, 2) (1, 2, −1) · (1, 2, −1) (1, 2, −1) · (−1, 3, 3) (1, 2, −1) · (2, 4, −1)
2 · (−2) + (−1) · 1 + 3 · 2
1 · (−2) + 2 · 1 + (−1) · 2
2 · 1 + (−1) · 2 + 3 · (−1) 2 · (−1) + (−1) · 3 + 3 · 3
1 · 1 + 2 · 2 + (−1) · (−1) 1 · (−1) + 2 · 3 + (−1) · 3
=
2 · 2 + (−1) · 4 + 3 · (−1)
1 · 2 + 2 · 4 + (−1) · (−1)
1 −3 4 −3
−2 6 2 11
1
0
I5 = 0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
MACIERZOWY ZAPIS UKLADU RÓWNAŃ
przyk
lad:
x+z−t = 1
2x − y + z + 3t = 4
3x + y + z − 2t = 2
Ukladowi przypisujemy trzy macierze: A wspólczynniki przy niewiadomych, B wyrazy wolne, X niewiadome.
,
,
.
x
1 0 1 −1
1
y
A = 2 −1 1 3 B = 4 X =
z
3 1 1 −2
2
t
Symboliczny zapis ukladu: A · X = B
=
Wyznaczniki
12 −7 4 21
33
0 21 50 −11
25
0 0 111 48
73 = 12 · 21 · 111 · 54 · 69
0 0 0 54 −920
0 0 0
0
69
MNOŻENIE WYZNACZNIKÓW:
WNIOSEK: Gdy
|AB| = |A| · |B|.
|A| = 0 macierz A nie ma odwrotnej
T .
TRANSPOZYCJA Kolejne wlasności nawet jeśli sformulowane dla wierszy sa sluszne także dla kolumn.
‘
A = |A|
OPRACJE ELEMENTARNE DLA WIERSZY
−7
21
21
2
41
12 −7 4 21
33
4 21
33
5 21 50 −11
25
50 −11
25
73
333 144 219 = 3 · 3 7 111 48
17 2 17 54 −920
17 54 −920
23 41 501 77
69
501 77
69
12
5
9
17
23
12 −7 4 21
33
12 −7 4 21
33
5 21 50 −11
25
23 41 501 77
69
3 7 111 48
73 = − 3 7 111 48
73
17 2 17 54 −920
17 2 17 54 −920
23 41 501 77
69
5 21 50 −11
25
12
5
3
9
23
−7
21
7
21
41
4 21 33
50 −11 25
111 48 73 = 0
333 144 219
501 77 69
20 −8 24 −4 22 −15 6 −18 0 −9 −20 8 −25 10 −14 5 −8
7 −4
0 5 −2
6 −1
4 0
0 0 0 6 I ↔ V
−4V
II ↔ IV
0
0
0
−3
3
+3V
=
+4V = 0 0 −1 6 2 0 −6
1 −3 −4 −V
5 −2
6 −1 4 5 −2 6 −1 4
0 −6 1 −3 −4
0 0 −1 6 2 = −540
0 0 0 −3 3
0 0 0 0 6
2na2) a b
= ad − bc
c d
2 −1 3 2 −1
3na3)
1 4 −5 1 4 =
−3 1 2 −3 1
2 · 4 · 2 + (−1) · (−5) · (−3) + 3 · 1 · 1
−((−3) · 4 · 3 + 1 · (−5) · 2 + 2 · 1 · (−1))
DOPE
LNIENIA ALGEBRAICZNE:
|A11 |,
−|A12 |,
−|A
|,
|A22 |,
21
..
..
.
.
DA =
i+1
i+2
(−1)
|A
|,
(−1)
|Ai2 |,
i1
..
..
.
.
(−1)n+1 |An1 |, (−1)n+2 |An2 |,
Gdzie macierz
···
···
..
.
(−1)1+j |A1j |,
(−1)2+j |A2j |,
..
.
···
···
..
.
···
..
.
···
(−1)i+j |Aij |,
..
.
·
..
(−1)n+j |Anj |,
·
.
(−1)1+n |A1n |
(−1)2+n |A2n |
..
.
(−1)i+n |Ain |
..
.
|Ann |
Aij powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j -tej kolumny.
Uklady Cramera
A·X =B
Uklad równań
nazywamy ukladem Cramera jeżeli ma tyle samo równań co niewiadomych,
oraz wyznacznik z macierzy A wspólczynników przy niewiadomych jest różny od zera.
Twierdzenie Cramera
Uklad Cramera posiada dokladnie jedno rozwiazanie dane wzorami:
‘
xj =
|Aj |
|A| , dla j
= 1, 2, . . . , n,
A
gdzie macierz
j powstaje przez zasta‘pienie kolumny wspólczynników przy niewiadomej
wyrazów wolnych.
Rozpatrzmy przykladowy uklad równań:
3x − y − 2z = 30
x−y+z
= 11
x + y − 2z
= 90
xj przez kolumne‘
3 −1 −2 3 −1
|A| = 1 −1 1 1 −1 = −4
1 1 −2 1 1
powiedzmy, że chcemy wyznaczyć niewiadoma
‘
y:
3 30 −2 3 30
|Ay | = 1 11 1 1 11 = −404
1 90 −2 1 90
y=
−404
−4
= 101
Operacje elementarne na wierszach
Przyklad 3r3n,
poprzedni uklad:
2 −5 −3
3 −1 −2 30 −3II
0
= 1 −1 1 11
U = 1 −1 1 11
1 1 −2 90 −II
0 2 −3 79 −I
0 2 −5 −3 I ↔ II
1 11 −III
1 −1
= 1 −1 1 11
= 0 2 −5 −3 +5III
0 0 2 82
/2
0 0 1 41
1 −1 0 −30
1 −1 0 −30 +II
= 0 2 0 202 /2 = 0 1 0 101
0 0 1 41
0 0 1 41
71
1 0 0
= 0 1 0 101
0 0 1 41
x = 71, y = 71, z = 41.
Zbadać dla jakich p ∈ ℝ uklad
x + py − z = 1
2x + y + pz = −3
3x + 3y + z = −5
ma jednoznaczne rozwiazanie spelniajace warunek x ¬ 0.
‘
‘
1 p −1 1 p
|A| = 2 1 p 2 1 = 3p2 − 5p − 2
3 3 1 3 3
p1 = −1/3, p2 = 2
Rozwiazanie jednoznaczne dla p ∈ ℝ \ {−1/3, 2}
‘
1 p −1 1 p
|A1| = −3 1 p −3 1 = 5 − 5p2
−5 3 1 −5 3
x=
|A1 |
|A|
=
5(1−p)(p+1)
3(p+1/3)(p−2)
x ¬ 0 gdy 5(1 − p)(p + 1)3(p + 1/3)(p − 2) ¬ 0 i p ∈ D
p ∈ (−∞, −1] ∪ [−1/3, 1] ∪ [2, ∞) oraz p ∈ ℝ \ {−1/3, 2}
ODPOWIEDŻ:
p ∈ (−∞, −1] ∪ (−1/3, 1] ∪ (2, ∞)
Przyklad 4r3n
x + 2y − z
2x + y + 2z
3x − 3y + 5z
4x + 5y
=
=
=
=
2
5
5
9
2 −1 2
1
1
2
5
−2I
2
U =
5 5 −3I
3 −3
4 5 0 9 −4I
2 0 1
1
−3
0
0 −3
−/3
0
−/4
−4
0
−4
0 0 0 0
1
0
0
0
0
1
0
0
2 −1 2 −.25III
1
+III
4
1
0 −3
0
0 −4 −4
0 0 0 0
2 −1 2
1
4
1
0 −3
0 −9
−3II
−1
8
−II
0 −3 4 1
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
1 −2II
1
1
0
0 −1
0 1
1 1
0 0
x = −1, y = 1, z = 1.
Przyklad 3r5n
x + 2y − 3z + 5t − u
= −4
3x − 4y + 5z + −5t + 5u = 1
2x − y + z + 2u
= 4
1 2 −3 5 −1 −4
U = 3 −4 5 −5 5 1 −3I
2 −1 1 0 2 4 −2I
2 −3
5 −1 −4
1
2 −3
5 −1 −4
1
0 −10 14 −20 8 13 −2III = 0 0 0
0 0 −11
0 −5 7 −10 4 12
0 −5 7 −10 4 12
SPRZECZNOŚĆ
Zbadać ilość rozwiazań ukladu :
‘
3x − y + pz = 6
x + py + z = 7
x + 2y − 3z = −5
w zależności od wartości p ∈ ℝ
3 −1 p 3 −1
|A| = 1 p 1 1 p = −p2 − 7p − 10
1 2 −3 1 2
p1 = −5, p2 = −2
p = −5
3 −1 −5 6 −3II
1 −5 1 7
1 2 −3 −5
−II
0 14 −8 −15 −2III
7
1 −5 1
0 7 −4 −12
0 0 0
9
7
1 −5 1
0 7 −4 −12
SPRZECZNOŚĆ
3 −1 −2 6 −3II
1 7
p = −2 1 −2
1 2 −3 −5 −II
0 5 −5 −15 /5
1 −2 1
7
0 4 −4 −12 −4I
0 1 −1 −3
0 1 −1 −3
1 −2 1 7 +2I = 1 0 −1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Uklad po przejściach x = z + 1, y = z − 3
Odp: dla p ∈ ℝ \ {−5, −2} dokladnie 1 rozwiazanie
‘
dla p = −2 ∞ wiele rozwiazań zależnych od 1 parametru
‘
dla p = −5 uklad sprzeczny.
Macierz odwrotna bezwyznacznikowo:
1 −3 −1
A = 2 −1 1
1 1 3
|A| = 8 6= 0 macierz odwrotna istnieje
1 −3 −1 1 0 0
(A|I) = 2 −1 1 0 1 0 −2I
1 1 3 0 0 1 −I
1 0 0 +3II
1 −3 −1 1 0 0
1 −3 −1
0 5 3 −2 1 0 −III 0 1 −1 −1 1 1
0 4 4 −1 0 1 −4II
0 4 4 −1 0 1
1 0 −4 −2 3 −3 +0.5III
0 1 −1 −1 1 1 +0.125III
0 0 8 3 −4 5
1 0 0 −1/2 1 −1/2
0 1 0 −5/8 1/2 −3/8
0 0 8
3 −4
5 0.125
1 0 0 −1/2
1 −1/2
0 1 0 −5/8 1/2 −3/8
0 0 1 3/8 −1/2 5/8
x + 2y + 3z
y + 2z
Υ1 :
0
0
= 4
= 3
= 1
= 0
x + 2y + 3z
y + 2z
Υ2 :
z
0
= 4
= 3
= 1
= 0
x + 2y + 3z
z
Υ3 :
0
0
= 4
= 1
= 0
= 0
3
2
0
0
4
3
1
0
r(A1 ) = 2
r(U1 ) = 3
1 2 3
0 1 2
U2 =
0 0 1
0 0 0
4
3
1
0
r(A2 ) = 3
r(U2 ) = 3
4
1
0
0
r(A3 ) = 2
r(U3 ) = 2
1
0
U1 =
0
0
2
1
0
0
1 2 3
0 0 0
U3 =
0 0 0
0 0 0
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7
x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7
Υ4 :
x5 + 2x6 + 3x7
0
= 8
= 6
= 4
= 1
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7
x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7
Υ5 :
x5 + 2x6 + 3x7
0
= 8
= 6
= 4
= 0
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7
x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7
Υ6 :
0
0
1 2 3 4 5 6 7
= 8
0 0 1 2 3 4 5
= 6
U6 =
0 0 0 0 0 0 0
= 1
= 0
0 0 0 0 0 0 0
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7
x3 + 2x4 + 3x5 + 4x6 + 5x7
Υ7 :
0
0
= 8
= 6
= 0
= 0
1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5
U4 =
0 0 0 0 1 2 3
0 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5
U5 =
0 0 0 0 1 2 3
0 0 0 0 0 0 0
1
0
U7 =
0
0
2
0
0
0
3
1
0
0
4
2
0
0
5
3
0
0
6
4
0
0
7
5
0
0
8
6
4
1
r(A4 ) = 3
r(U4 ) = 4
8
6
4
0
r(A5 ) = 3
r(U5 ) = 3
8
6
1
0
8
6
0
0
r(A6 ) = 2
r(U6 ) = 3
r(A7 ) = 2
r(U7 ) = 2
Przyklad1: Zbadać ilość rozwiazań ukladu
‘
x1 − 2x2 + 3x3 + x4 + 2x5 = 5
2x1 − 4x2 + 6x3 − x4 + ax5 = 6
3x − 6x + 9x − 3x + 4x
1
2
3
4
5 = b
w zależności od wartości a, b ∈ ℝ
1 −2 3 1 2 5
U = 2 −4 6 −1 a 6
3 −6 9 −3 4 b
A niezerowa i tylko 3 wiersze wiec 1 ¬ rA ¬ rU ¬ 3
‘
Kolumny pierwsza druga i trzecia sa równolegle wiec zeruje sie każdy wyznacznik
‘
‘
‘
zawierajacy dwie z nich Minor 2na2 Iw,IIw i Ik,IVk :
M=
1 1
= −3 6= 0 → 2 ¬ rA ¬ rU ¬ 3
2 −1
1 1 2
Obliczmy minor 3na3 Ik,IVk,Vk : Ma = 2 −1 a = 6a − 18
3 −3 4
Dla a 6= 3 niezależnie od wartości b, rA = rU = 3 = k < n = 5 i mamy
∞ wiele rozwiazań zależnych od n − k = 5 − 3 = 2 parametrów
‘
Dla a = 3, rA = 2 i badamy jak wartość wplywa na rzad U
‘
1 1 5 Minor 3na3 Ik,IVk,VIk Mb = 2 −1 6 = −3b + 21
3 −3 b Dla a = 3 i jednocześnie b = 7, rA = rU = 2 = k < n = 5 i mamy
∞ wiele rozwiazań zależnych od n − k = 5 − 2 = 3 parametrów
‘
Dla a = 3 i jednocześnie
b 6= 7 rA = 2 < 3 = rU sprzeczność 0 rozwiazań
‘
Przyklad2: Zbadać ilość rozwiazań ukladu
‘
x + 2y + 3z
2x + 3y + 4z
3x + y + az
2x − y − 4z
= 4
= 5
= −3
= b
w zależności od wartości a, b ∈ ℝ
2 3 4
1
3
4
5
2
z rozmiaru 1 ¬ rA ¬ 3, 1 ¬ rU ¬ 4
U =
1 a −3
3
2 −1 −4 b
1 2 = −1 6= 0 → 2 ¬ rA ¬ rU
Weźmy minory : M2 = 2 3 1
2
3
M3 = 2 3 4 = −12 + 16 − 6 + 16 − 18 + 4 = 0
2 −1 −4 1 2 3 Rzad A zależy od a, bierzemy Ma = 2 3 4 = −a − 1
‘
3 1 a
2 dla a = −1
rA =
3 dla
a 6= 1
Dla ustalenia jak a, b wplywaja na rzad B jeszcze dwa minory
‘
‘
1 2
4
M = 2 3 5 = −9 + 8 + 30 + 12 − 5 − 36 = 0,
3 1 −3 1
2
4
oraz Mb = 2
3 5 = −b − 7.
2 −1 b Na koniec |U | = −(a + 1)(b + 7)
Odpowiedź:
1) a = −1 b = −7 → rA = rU = 2 =
od n − k = 3 − 2 = 1 jednego parametru
2) a 6= −1 b = −7 →
dokladnie jedno rozwiazanie
‘
3) a = −1 b 6= −7 →
k < 3 = n ∞ wiele rozwia‘zań zależnych
rA = rU = 3 = k = 3 = n
rA = 2 < rU = 3 SPRZECZNOŚĆ
4) a 6= −1 b 6= −7 → rA = 3 < rU = 4 SPRZECZNOŚĆ
