interaktywny preferencji

Algorytmy ewolucyjne
optymalizacji
wielokryterialnej sterowane
preferencjami decydenta
Dr Janusz Miroforidis
MGI Metro Group Information Technology Polska Sp. z o.o.
listopad 2010
Plan prezentacji

Wprowadzenie

Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji

Oszacowania parametryczne

Wyznaczanie wariantów efektywnych

Zmodyfikowane oszacowania parametryczne

Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań
parametrycznych

Przykłady obliczeń

Zastosowanie metody w WPD

Podsumowanie
2
Wprowadzenie
Problemy decyzyjne
w działalności człowieka

Zarządzanie zasobami leśnymi i wodnymi.

Planowanie zagospodarowania terenów.

Zagadnienia logistyczne i transportowe.

Konstruowanie maszyn i urządzeń.

Planowanie terapii nowotworowej.

Handel i marketing.
3
Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji
Wielokryterialne zadanie decyzyjne
Przy ustalonym zadaniu optymalizacji
wielokryterialnej:
vmax f ( x),
x  X 0  Rn ,
f ( x)   f1 ( x), f 2 ( x),
, f k ( x)  ,
gdzie vmax jest operatorem wyznaczania zbioru
wariantów efektywnych, decydent ma wskazać
wariant najbardziej preferowany w tym zbiorze.
4
Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji
Metody interaktywne WPD
Istotą tych metod jest interaktywny, sterowany przez
decydenta przegląd zbioru ocen efektywnych.
f2(x)
f(E(X0)) - zbiór
ocen efektywnych
Preferencje określane np.
przez współczynniki
wagowe, punkty
referencyjne.
f(X0)
f1(x)
5
Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji
Skalaryzacja zadania optymalizacji
wielokryterialnej
Wyznaczanie ocen (słabo) efektywnych
z wykorzystaniem ważonej metryki Czebyszewa.
x( )  arg min max i  yi*  fi ( x)  ,
y  y*  t
xX 0
y*
f2(x)
i
gdzie
yi*  max yi  ei , ei  0, i  1,
y f ( X 0 )
f(X0)
i   i  ,  i  0, i  1,
1
, k,
, k.
Zalety takiej skalaryzacji:

f1(x)

warunki konieczne i dostateczne
istnienia ocen (słabo) efektywnych
bez dodatkowych założeń o cechach
zbioru f(X0) (np. wypukłość);
nie wprowadza dodatkowych
nieliniowości do zadania
optymalizacji.
6
Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji
Określanie preferencji decydenta
za pomocą kierunków ustępstw
f2(x)
y*
y  y*  t
f(X0)
f ( x( ))  f ( )
τ
f1(x)
Wektor τ określa proporcje ustępstw
przy odejściu od punktu y*.
7
Oszacowania parametryczne
Oszacowania parametryczne
współrzędnych ocen
– elementy zbioru f(S); S – szkielet, podzbiór E(X0)
y*
f2(x)
ocena niejawna zadana przez wektor τ
U2
f(τ)
Li ( , S )  fi ( )  Ui ( , S ), i  1,..., k.
L2
U1
L1
f1(x)
półprosta kompromisu zadana przez τ
Koszt wyznaczenia oszacowań
L(τ,S) i U(τ,S) zaniedbywalnie mały
– formuły dane w postaci analitycznej.
Wyznaczenie S wymaga dokładnych
obliczeń optymalizacyjnych.
8
Oszacowania parametryczne
Dynamika oszacowań parametrycznych
– oceny wariantów efektywnych dodanych do szkieletu S
f2(x)
y*
f(τ)
Uzupełnianie szkieletu
o kolejne warianty efektywne
nie pogarsza oszacowań,
może zaś je polepszać.
f1(x)
9
Wyznaczanie wariantów efektywnych
Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania
aproksymacji zbioru wariantów efektywnych
Algorytmy ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej:
NSGA-II, SPEA-2.
f2(x)
– iteracja imax - 2
– iteracja imax - 1
– iteracja imax
f(X0)
Zastosowanie w metodach
a posteriori WPD.
f1(x)
10
Wyznaczanie wariantów efektywnych
Algorytmy ewolucyjne dla skalarnych
zadań optymalizacji
Algorytmy GENOCOP II i III.
– iteracja imax
y  y  t
*
f2(x)
y*
f(X0)
Zastosowanie w metodach
a priori i metodach
interaktywnych WPD.
f1(x)
11
Zmodyfikowane oszacowania parametryczne
Oszacowania parametryczne
a algorytmy ewolucyjne
– obrazy elementów szkieletu dolnego SD wyznaczane przez
istniejące algorytmy ewolucyjne (NSGA-II, SPEA-2)
– obrazy elementów szkieletu górnego SG , wymagane dla
poprawności oszacowań od góry
f(τ)
f2(x)
y*
Zmodyfikowane oszacowania
parametryczne:
Li ( , SD )  fi ( )  Ui ( , SG ), i  1,..., k.
f(X0)
Formuły Li(τ,SD) i Ui(τ,SG) jak dla
oszacowań ze szkieletem S.
f1(x)
12
Zmodyfikowane oszacowania parametryczne
Szkielet dolny SD
SD  X 0 , SD  ,
xSD
x 'SD x '
x.
13
Zmodyfikowane oszacowania parametryczne
Szkielet górny SG
yinad (SD )  min xSD fi ( x), i  1,..., k.
SG  Rn \ X 0 , SG  ,
xSG
1.
xSG
2.
3.
xSG
x 'SG x
x 'E ( X 0 ) x '
f i ( x)  y
nad
i
x ',
x,
(SD ), i  1,..., k.
14
Zmodyfikowane oszacowania parametryczne
Aproksymacja górna AG
AG  Rn \ X 0 , AG  ,
yinad (SD )  min xSD fi ( x), i  1,..., k.
xAG
1.
xAG
2.
3.
xAG
x 'AG x
x 'SD x '
f i ( x)  y
nad
i
x ',
x,
Nie mamy
zbioru
E(X0) !
(SD ), i  1,..., k.
AG jest aproksymacją zbioru SG .
15
Zmodyfikowane oszacowania parametryczne
Wykorzystanie par (SD, AG) do
wyznaczania wartości oszacowań
Oszacowania od góry – wykorzystanie aproksymacji górnej
U i ( , AG )
zamiast Ui ( , SG ), i  1,..., k.
Miary dokładności oszacowań
Bezwzględna dokładność oszacowania oceny f(τ):
 ( , SD , AG )  max U i ( , AG )  Li ( , S D )  .
1i  k
Względna dokładność oszacowania oceny f(τ):
 U i ( , AG )  Li ( , S D ) 
,
max
min
f
(
S
)

f
(
S
)
D
i
D 
 i
 ( , S D , AG )  max 
1i  k
gdzie
fi max ( S D )  max fi ( x),
xSD
fi min (S D )  min fi ( x).
xS D
16
Zmodyfikowane oszacowania parametryczne
Aproksymacja górna AG
i zjawisko błędnych oszacowań od góry
fi ( )  U ( , AG ), dla pewnego i {1, 2,
f(τ)
, k}.
y*
f2(x)
f 2 ( )  U 2 ( , AG )
Ograniczanie zjawiska przez
wyznaczanie „lepszych” SD
lub stosowanie operacji
filtracji na AG .
f(X0)
f1(x)
17
Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych
Przestrzeń decyzyjna dla
algorytmów ewolucyjnych
x2
X 0  X DEC
XDEC
X0
Funkcje kryterialne fi
określone na zbiorze XDEC .
x1
18
Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych
Wyznaczanie par (SD , AG)
– algorytm PDAE

Jednoczesne wyznaczanie par (SD , AG) poprzez
eksplorację zbioru dopuszczalnego i jego
dopełnienia.

Kryterium zatrzymania określone maksymalną
liczbą iteracji.

Eksploracja przestrzeni poszukiwań realizowana
operatorem mutacji o zasięgu będącym malejącą
funkcją numeru iteracji.

Algorytm PDAE – w każdej iteracji mutacji podlega
losowo wybrany element bieżącego szkieletu
dolnego SD . Możliwe modyfikacje schematu
mutacji.
19
Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych
Lokalne poprawianie par (SD , AG)
– algorytm EPO

Próbuje wyznaczyć taką parę (SD , AG), która zapewnia
założoną dokładność oszacowania oceny f(τ).

Eksploruje przestrzeń decyzji w otoczeniu (i tylko
w otoczeniu) elementów determinujących wartość
oszacowania oceny f(τ) odpowiednio od dołu i od góry.

Zasięg mutacji jest zależny od osiągniętej dokładności
oszacowania oceny f(τ) na danym etapie obliczeń.
20
Przykłady obliczeń
Algorytmy PDAE i EPO
Testowe zadanie dwukryterialne (Kita)
Wynik działania algorytmu PDAE,
wyznaczenie wyjściowego szkieletu
dolnego i wyjściowej aproksymacji
górnej.
Wynik działania algorytmu EPO
dla εz=0,01.
21
Przykłady obliczeń
Algorytm PDAE i jego modyfikacje
Ograniczanie losowości w algorytmie PDAE
Wynik działania algorytmu PDAE,
w którym mutacji podlega
każdy element szkieletu dolnego.
Wynik działania algorytmu PDAE,
w którym mutacji podlega
element szkieletu dolnego, najbardziej
odległy od pozostałych.
22
Przykłady obliczeń
Trudne zadania optymalizacji
wielokryterialnej
Zadanie testowe OKA2 (Okabe)
oceny efektywne
– PDAE
Algorytm NSGA-II
wyznacza rozwiązania
o podobnym
rozkładzie jak
algorytm PDAE !
23
Zastosowanie metody w WPD
Schemat metody rozwiązania
wielokryterialnego zadania decyzyjnego
START
Sformułowanie zadania optymalizacji
wielokryterialnej dla zadania decyzyjnego
Algorytmy PDAE i EPO
Wybór „najlepszej” pary
Faza ujawniania preferencji (τ)
Repozytorium
par (SD , AG)
Algorytm GENOCOP III
Faza identyfikacji rozwiązania (x(τ))
STOP
Wybór populacji
wyjściowej dla algorytmu
GENOCOP III
24
Zastosowanie metody w WPD
Model zarządzania sklepem
wielkopowierzchniowym
Wskaźniki
Zasoby
Decydent
Moduł Wspomagania Decyzyjnego
JD1
JD2
JD3
SWD1
SWD2
SWD3
…
JDn
SWDn
25
Zastosowanie metody w WPD
Model sklepu
wielkopowierzchniowego
Model sklepu z trzema jednostkami decyzyjnymi:
Marketing (SWD1)
v1  q1 ( x1 )  200  x1 
Logistyka (SWD2)
v2  q 2 ( x2 , v1 )  0,1ev /700 x2 ,
Obsługa Nabywcy (SWD3)
v3  q3 ( x3 , v1 )  0,3ev /500 x3 .
Zbiór dopuszczalny:
3
x
X0
l
 120,
l 1
xl  20, l  2,3,
x1  27.
0,35
,
1
1
Odwzorowanie redukujące:
(zysk) s1 (v)  0, 2v1  ( x1  x2  x3 ),
(zadowolenie) s2 (v)  v2  v3 ,
(sprzedaż) s3 (v)  v1.
Ocena wariantów decyzyjnych za pomocą funkcji f
f ( x)  s  q ( x)  ,
x  X 0.
26
Zastosowanie metody w WPD
Rozwiązanie zadania decyzyjnego
Wyznaczono punkt referencyjny
y*  (67, 22, 6,58, 911,07).
Po zakończeniu hipotetycznej fazy ujawniania preferencji preferencje
decydenta najpełniej opisuje wektor   (5, 1, 60).
Wektory oszacowań oraz względna dokładność oszacowania oceny f(τ)
L( , SDe )  (50,33, 3,21, 708, 40),
U ( , AGe )  (51,34, 3,30, 713,90),
 ( , SDe , AGe )  0,02.
W fazie identyfikacji rozwiązania algorytm GENOCOP III rozwiązał
zadanie optymalizacyjne
1
min max i  yi*  fi ( x)  , i   i  , i  1, 2,3,
xX 0 1i 3
wyznaczając wariant decyzyjny
x  (37,18, 20,03, 34, 22),
f ( x )  (50,37, 3, 21, 709,00).
27
Podsumowanie
Podsumowanie
Metoda rozwiązania zadania decyzyjnego

Wykorzystanie oszacowań ocen efektywnych
w procesie decyzyjnym.

Mechanizm kontroli dokładności oszacowań.

Redukcja obliczeń w procesie decyzyjnym.

Połączenie metod analitycznych z metodami
heurystycznymi.

Wykorzystanie zbioru niedopuszczalnego zadania
optymalizacji wielokryterialnej – nowatorska
modyfikacja idei algorytmów ewolucyjnych.
28
Podsumowanie
Podsumowanie
Potencjalne kierunki dalszych badań

Modyfikacja wiodących algorytmów
heurystycznych optymalizacji wielokryterialnej dla
potrzeb wyznaczania szkieletów dolnych
i aproksymacji górnych.

Przyjęcie i zbadanie własności alternatywnych
definicji zbiorów aproksymujących zbiór wariantów
efektywnych od dołu i od góry.

Zbadanie skłonności decydentów do
podejmowania decyzji w oparciu o oszacowania
wartości współrzędnych ocen.

Hybrydyzacja ze względu na trudne zadania
optymalizacji wielokryterialnej.
29
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
Janusz Miroforidis
[email protected]
30
Wzory dla oszacowań parametrycznych
yi ( )  Li ( , S ) 
 max{max y f ( S ) ( y   i max j
*
i
1
j
( y  y j )), Li }
*
j
yi ( )  U i ( , S ) 
 min{min y f ( S ) {minlI ( ) ( y   l ( y ))},Ui }
*
l
gdzie I(τ) to podzbiór I={1,…,k},
trzeba wyznaczyć.
I(τ) oraz  l ( y )
31
Warunki osiągnięcia dowolnie bliskich aproksymacji zbioru wariantów
efektywnych.
Warunek 1 dla szkieletu górnego SG :
x  E ( X 0 )  N ( x) x 
n
\ X 0 : x
x, gdzie N ( x) to otoczenie x.
Warunek 2 dla szkieletu górnego SG :
x  E ( X 0 )  N ( x) x  X 0 : x
x.
32