Zadanie 1. Wyprowadzi¢ wzór rekurencyjny na caªk¦ п := / sin Rozwi

Zadanie 1. Wyprowadzi¢ wzór rekurencyjny na caªk¦ п := / sin Rozwi

Zadanie 1. Wyprowadzi¢ wzór rekurencyjny na caªk¦
Rozwi¡zanie. Mamy
𝐼𝑛 =
∫
sin𝑛−1 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥.
𝐼𝑛 :=
sin𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Caªkuj¡c przez cz¦±ci dosta jemy
𝑣 ′ = sin 𝑥
𝑣 = − cos 𝑥
𝑢 = sin𝑛−1 𝑥
𝑢′ = (𝑛 − 1) sin𝑛−2 𝑥 cos 𝑥
∫
𝑥 cos 𝑥 + (𝑛 − 1) sin𝑛−2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 =
∫
𝑛−1
− sin
𝑥 cos 𝑥 + (𝑛 − 1) sin𝑛−2 𝑥(1 − sin2 𝑥) 𝑑𝑥 =
∫
∫
𝑛−1
𝑛−2
− sin
𝑥 cos 𝑥 + (𝑛 − 1) sin
𝑥 𝑑𝑥 − (𝑛 − 1) sin𝑛 𝑑𝑥 =
𝐼𝑛 = − sin
𝑛−1
∫
− sin𝑛−1 𝑥 cos 𝑥 + (𝑛 − 1)𝐼𝑛−2 − (𝑛 − 1)𝐼𝑛
St¡d
1
𝑛−1
𝐼𝑛 = − sin𝑛−1 𝑥 cos 𝑥 +
𝐼𝑛−2
𝑛
𝑛
𝐼5 = − 51 sin4 𝑥 cos 𝑥 + 45 𝐼3 = − 15 sin4 𝑥 cos 𝑥 + 54 (− 13 sin2 𝑥 cos 𝑥 + 32 𝐼1 ).
𝐼1 = − cos 𝑥, wi¦c
Dla przykªadu
Poniewa»
1
4
8
𝐼5 = − sin4 𝑥 cos 𝑥 −
sin2 𝑥 cos 𝑥 −
cos 𝑥
5
15
15
1