Równania algebraiczne nieliniowe

rown_algebr_nieliniowe
Równania algebraiczne nieliniowe
1. Metoda cięciw - regula falsi
Wybieramy przedział (x1, x2), w którym leży pierwiastek równania f (x) = 0.
Wyznaczamy współczynniki p oraz q w równaniu prostej
y( x)  px  q
przechodzącej przez punkty x1 , f x1  oraz x2 , f x2 
y ( x) 
f x2   f x1 
x f x   x1 f x2 
x 2 1
x2  x1
x2  x1
(1.1)
Punkt przecięcia prostej y(x) z osią x, x3, można wyznaczyć przyrównując prawą
stronę (1) do zera.
f x2   f x1 
x f x   x1 f x2 
x3  2 1
0
x2  x1
x2  x1
(1.2)
2014-09-28 18:12:00
rown_algebr_nieliniowe
x3  x2 
f x2 x2  x1 
f x2   f x1 
(1.3)
Punkt x3 leży bliżej poszukiwanego pierwiastka niż punkt x1 albo punkt x2.
Równanie (3) można uogólnić w następujący sposób
xi1  xi 
f xi xi  xi1 
f xi   f xi1 
(1.4)
W kolejnej iteracji wartość xi+1 podstawiamy w miejsce xi, gdy f ( xi1 ) f ( xi )  0 lub
w miejsce xi-1, gdy f ( xi1 ) f ( xi1 )  0 .
Kryterium zbieżności
f xi   
(1.5)
lub
xi  xi1  
(1.6)
 jest małą liczbą, rzędu 10-3 do 10-6.
Przykład 1
Rozwiązać równanie
f ( x )  x 2  3x  1  0
(P1)
Wykonać dwie pierwsze iteracje.
ROZWIĄZANIE
Wybieramy przedział x0 , x1  , w którym leży pierwiastek równania f (x) = 0.
Założymy wstępnie, że x0  0 oraz x1  1. Pierwiastek równania (P1) leży w
przedziale x0 , x1  , gdy spełniony jest warunek
f ( x0 ) f ( x1 )  0
(P2)
Spełnienie warunku (P2) oznacza, że funkcja f (x ) przecina oś x w przedziale
x0 , x1  . Sprawdzamy
f ( x0 )  x02  3x0  1  02  3  0  1  1
2014-09-28 18:12:00
rown_algebr_nieliniowe
f ( x1 )  x12  3x1  1  12  3 1  1  1
f ( x0 ) f ( x1 )  1 (1)  1  0 - warunek (P2) jest spełniony
Wyznaczamy przybliżenie pierwiastka ze wzoru
xi 1  xi 
f  xi  xi  xi 1 
f xi   f xi 1 
(P3)
W rozważanym przypadku i  1 , i  1  0 oraz i  1  2 . Stąd
x2  x1 
f  x1 x1  x0 
f x1   f  x0 
(P4)
f ( x0 ) oraz f ( x1 ) obliczyliśmy wcześniej. Podstawiamy wartości do wzoru (P4)
x2  1 
 11  0  0,5
11
Obliczamy teraz wartość funkcji f (x ) w punkcie x2
f ( x2 )  x22  3x2  1  0,52  3  0,5  1  0,25
Ponieważ f ( x2 )  0 do dalszych obliczeń bierzemy punkty x2 oraz x0 bowiem
f ( x1 ) f ( x2 )  0 czyli f ( x0 ) f ( x2 )  0 .
x3  x2 
f x2 x2  x0 
 0,250,5  0
 0,5 
 0,4
f x2   f x0 
 0,25  1
Ponieważ f ( x3 )  0,04  0 , wartość kolejnego przybliżenia wyznaczymy biorąc
punkty x3 oraz x0 .
2014-09-28 18:12:00
rown_algebr_nieliniowe
2. Metoda Newtona-Raphsona
Szukamy pierwiastka równania
f ( x)  0
(2.1)
Funkcję f (x) rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu wybranego (w ogólności
dowolnego) punktu x1, który traktujemy jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
f ( x)  f  x1    x  x1  f  x1  
1
x  x1 2 f x1   
2!
(2.2)
Uwzględnimy tylko dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia
f ( x)  f x1   x  x1  f x1 
(2.3)
Równanie (2.3) jest równaniem stycznej do f (x) w punkcie x1. W celu znalezienia
pierwiastka równania (2.1) prawą stronę równania (2.3) przyrównujemy do zera
f x1   x  x1  f x1   0
(2.4)
Z równania (2.4) wyznaczamy teraz drugie przybliżenie pierwiastka równania (2.1)
2014-09-28 18:12:00
rown_algebr_nieliniowe
x  x2  x1 
f  x1 
f  x1 
(2.5)
W kolejnej iteracji wartość x2 podstawiamy w miejsce x1 i wyznaczamy trzecie
przybliżenie pierwiastka równania (2.1). Uogólnienie procedury iteracyjnej ma
postać
xi 1  xi 
f  xi 
;
f  xi 
i  1,2, 
(2.6)
Kryterium zbieżności
xi  xi 1  
xi  xi 1
;
xi
(2.7)
xi  0
(2.8)
lub
f  xi   
(2.9)
 jest małą liczbą, rzędu 10-3 do 10-6.
2014-09-28 18:12:00