filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem

POLSKIE
TOWARZYSTWO
INFORMACJI
PRZESTRZENNEJ
Filtracja danych
lotniczego
skaningu laserowego
z wykorzystaniem
metody ...
ROCZNIKI GEOMATYKI 2005 m TOM III m Z ESZYT 4
35
FILTRACJA DANYCH LOTNICZEGO SKANINGU
LASEROWEGO Z WYKORZYSTANIEM METODY
AKTYWNYCH POWIERZCHNI1
FILTERING OF AERIAL LASER SCANNER DATA
BY ACTIVE SURFACE MODEL
Andrzej Borkowski
Katedra Geodezji i Fotogrametrii, Akademia Rolnicza we Wroc³awiu
S³owa kluczowe: skaning laserowy, filtracja, aktywne powierzchnie
Keywords: laser scanning, filtering, flakes
Wstêp
Znaczn¹ czêœæ zbiorów danych lotniczego skaningu laserowego stanowi¹ odbicia od obiektów le¿¹cych ponad powierzchni¹ terenu, np. drzew, budynków. Punkty takie traktowane s¹
jako b³êdy grube i musz¹ byæ usuniête ze zbiorów danych, jeœli dane te maj¹ pos³u¿yæ do
interpolacji numerycznego modelu powierzchni terenowej.
Pod pojêciem filtracji nale¿y rozumieæ pewn¹ formê (automatycznej) eliminacji punktów
nie nale¿¹cych do modelowanej powierzchni. W ró¿nych oœrodkach naukowych opracowano kilka algorytmów filtracji. Ich zestawienie i ocenê mo¿liwoœci znaleŸæ mo¿na w raporcie
(Sithole i Vosselman, 2003, 2004) i pracy (Borkowski, 2004). Do najbardziej skutecznych
nale¿¹ algorytmy: bazuj¹ce na odpornej predykcji liniowej (Kraus, 2000; Kraus i Pfeifer,
2001, Briese et al., 2002), iteracyjnym przybli¿aniu pewnej, odpowiednio wybranej powierzchni startowej do danych pomiarowych (Axelsson, 1999, 2000), wykorzystaniu operatorów
matematycznej morfologii (kryterium spadków terenu) (Vosselman i Maas, 2001; Roggero,
2001; Sithole, 2001), minimalizacji energii powierzchni, zale¿nej od jej nachylenia (spadku)
(Elmqvist et al., 2001; Elmqvist, 2002). W Polsce prace w zakresie filtracji danych skaningu
laserowego prowadzone s¹ w Zak³adzie Fotogrametrii i Informatyki Teledetekcyjnej AGH, a
bazuj¹ one na filtracji cyfrowej z wykorzystaniem FFT (Marmol, 2000, Marmol i Jachimski,
2004).
Wszystkie istniej¹ce metody filtracji maj¹ swoje zalety ale i ograniczenia; zawodz¹ w
terenach o skomplikowanej strukturze, na przyk³ad w terenach zurbanizowanych zawieraj¹cych du¿e kompleksy budowlane.
1Praca
naukowa finansowana ze œrodków na naukê w latach 2005–2007 jako projekt badawczy.
Andrzej Borkowski
36
Model aktywnej powierzchni, bêd¹cy rozwi¹zaniem zadania minimalizacyjnego energii,
zosta³ wprowadzony w pracy (Borkowski, 2004) jako uogólnienie modelu Snake (Kass et.
al., 1987). Przez odpowiedni¹ definicjê energii zewnêtrznej mo¿na model ten uodporniæ na
b³êdy grube aproksymowanych danych. W niniejszej pracy przedstawiono ideê wykorzystania metody do filtracji danych skaningu laserowego.
Model aktywnych powierzchni
WyobraŸmy sobie dostatecznie ma³e, g³adkie elementy powierzchni, którym przyporz¹dkowana jest pewna energia, która aktywnie dopasowuje powierzchniê do danych pomiarowych i jednoczeœnie pozwala zachowaæ po¿¹dane w³aœciwoœci geometryczne tej powierzchni. Dla takiego modelu zaproponowano okreœlenie flakes (Borkowski et. al., 1997; Borkowski, 2004).
Energia ca³kowita Etot przypisana poszczególnym elementom powierzchni jest sum¹ energii
wewnêtrznej i zewnêtrznej:
Etot = Eint + Eext
(1)
Energia wewnêtrzna Eint opisuje w³aœciwoœci geometryczne modelowanej powierzchni i
jest wa¿on¹ sum¹ jej nachylenia (membrane kernel), reprezentowanego przez kwadrat normy gradientu zx + zy i krzywizny (thin plate kernel), reprezentowanej przez kwadrat hesjanu
2
z xx2 + 2 z xy2 + z yy
,
Eint =
α 2 2 β 2
2
zx + z y +
z xx + 2 z xy
+ z 2yy ,
2
2
(
)
(
)
(2)
gdzie zx := ∂z/∂x, zxx := ∂ 2/∂x2, itd. α i β s¹ swobodnymi parametrami wagowymi (steruj¹cymi) dobieranymi zale¿nie od zastosowania i po¿¹danych w³aœciwoœci geometrycznych (g³adkoœci) modelowanej powierzchni. Energia zewnêtrzna Eext jest zale¿na od danych i jest definiowana zale¿nie od zastosowania – najczêœciej opisuje rozbie¿noœæ pomiêdzy modelowan¹
powierzchni¹ a danymi pomiarowymi. Podany w dalszej czêœci pracy model energii zewnêtrznej pozwala uodporniæ flakes na b³êdy grube danych pomiarowych.
Prezentowany model powierzchni aproksymuje dane pomiarowe w sposób optymalny.
Oznacza to minimalizacjê energii ca³kowitej wszystkich elementów powierzchni na obszarze
B⊂R2 obejmuj¹cym dane pomiarowe,
I ( z ( x, y )) =
∫∫ E
B
tot ( z ; z x , x y ; z xx , z xy , z yy ) dxdy
→ min
(3)
Warunkiem koniecznym do tego, aby funkcja z = z(x, y) by³a funkcj¹ ekstremaln¹ funkcjona³u (3) jest spe³nienie przez tê funkcjê równania ró¿niczkowego czwartego rzêdu, tak
zwanego równania Eulera (Brondstein i Semendjajew, 1962)
(4)
Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem metody ...
37
Po obliczeniu, z wykorzystaniem podanych definicji energii, wystêpuj¹cych w (4) pochodnych i niewielkich przekszta³ceniach otrzymuje siê równanie ró¿niczkowe czwartego
rzêdu
(
) (
)
∂Eext
− α z xx + z yy + β z xxxx + 2 z xyxy + z yyyy = 0
∂z
(5)
w którym parametry wagowe α i β s¹ sta³e dla danej powierzchni. Równanie to rozwi¹zywane jest numerycznie.
Realizacja numeryczna
Równanie ró¿niczkowe (5) dyskretyzowane jest tak zwan¹ metod¹ ró¿nic skoñczonych, to znaczy wystêpuj¹ce pochodne drugiego i czwartego rzêdu aproksymowane s¹ przez odpowiednie skoñczone
wyra¿enia. Wyra¿enia te mog¹ byæ praktycznie podane dla danych o okreœlonej regularnej strukturze. W naszym przypadku
ograniczymy siê do siatki kwadratów.
Przyjmuj¹c oznaczenia poszczególnych
wartoœci siatki kwadratów zgodnie z rysunkiem 1 otrzymamy wyra¿enia aproksymacyjne dla poszczególnych pochodnych:
z xx |i , j =
z yy |i , j =
1
(z
- 2z i , j + z i - 1, j )
∆ 2x i + 1, j
D
1
∆ y2
D
(z i , j + 1 - 2z i , j + z i , j - 1 )
Rys. 1. Oznaczenie danych dla siatki kwadratów
z xxxx |i , j =
1
(z i + 2, j - 4z i + 1, j + 6z i , j - 4z i - 1, j + z i - 2, j )
∆
D x4
z yyyy |i , j =
1
- 4z i , j + 1 + 6z i , j - 4z i , j - 1 + z i , j - 2 )
(z
∆y4 i , j + 2
D
z xyxy |i , j =
1
(z
- 2z i , j + 2 + z i + 2, j + 2 - 2z i - 2, j + 4z i , j - 2z i + 2, j + z i - 2, j - 2 - 2z i , j - 2 + z i + 2, j - 2 )
∆ x2 D
∆ y2 i - 2, j + 2
16D
Po wstawieniu do równania (5), za³o¿eniu, ¿e ∆x = ∆y = 1 i przekszta³ceniu otrzymujemy
równanie liniowe postaci:
¶∂ E ext
-– dz i - 2, j + 2 + cz i , j + 2 + dz i + 2, j + 2 + bz i , j + 1 + cz i - 2, j + bz i - 1, j +
∂¶ z
+ az i , j + bz i + 1, j + cz i + 2, j + + bz i , j - 1 + dz i - 2, j - 2 + cz i , j - 2 + dz i + 2, j - 2 = 0
(6)
Andrzej Borkowski
38
gdzie
25
b , b := - (a + 4b ),
2
3
1
c := b ,
d := b
4
8
a := 4a +
(7)
Równanie (6) nale¿y zestawiæ dla ka¿dego punktu danych. Mamy zatem uk³ad równañ
liniowych
Az = b
(8)
Jeœli przyjmiemy, ¿e modelowane dane podane s¹ na siatce kwadratów zij, i = 1,2,..., n ;
j = 1,2,..., m to,
Wektor b zawiera pochodne energii zewnêtrznej w poszczególnych punktach danych:
gdzie Ez := ∂Eext/∂z. Macierz A jest macierz¹ pasmow¹ o wymiarze (n · m) × (n · m) zestawian¹ na podstawie wspó³czynników (7) zgodnie z równaniem (6). Mo¿na siê ³atwo przekonaæ, ¿e jest ona macierz¹ osobliw¹. Uk³ad równañ (8) rozwi¹zywany jest iteracyjnie
zt = (A + I)-1 (zt-1 + Ez, t-1)
(9)
W t-tym kroku iteracji obliczane s¹ wartoœci zt na podstawie energii zewnêtrznej z poprzedniego kroku iteracji. Pochodn¹ energii zewnêtrznej obliczamy z zale¿noœci
(10)
gdzie r jest wartoœci¹ odchy³ki pomiêdzy wysokoœci¹ pomierzon¹ zd a aproksymowan¹ zt w
t-tym kroku iteracji, r := zd – zt. Graficzn¹ reprezentacjê tej funkcji pokazano na rysunku 2.
Energia zewnêtrzna jest proporcjonalna do odleg³oœci pomiêdzy chwilowym po³o¿eniem funkcji
aproksymuj¹cej a danymi pomiarowymi i powoduje „przyci¹ganie” funkcji do danych pomiarowych. Dla dodatnich r wartoœæ ta jest t³umiona za pomoc¹ funkcji Gaussa, i dziêki
temu energia zewnêtrzna oddzia³uje tylko na niewielkich odleg³oœciach tworz¹c barierê dla
b³êdów grubych. Wielkoœæ tej bariery ustalana jest za pomoc¹
parametru σ. Maksimum
–
funkcji energii zewnêtrznej znajduje siê w punkcie rm = σ/√2. Negatywne wartoœci r nie s¹
t³umione – si³a przyci¹gania generowana przez dane jest tym wiêksza im wy¿ej ponad punktami pomiarowymi znajduje siê funkcja aproksymuj¹ca. Taka definicja energii zewnêtrznej
zgodna jest ze struktur¹ danych skaningu laserowego, które charakteryzuj¹ siê niesymetrycznym rozk³adem b³êdów grubych. Definicja ta mo¿e byæ wykorzystana równie¿ dla
innych celów, np. aby aproksymowaæ górn¹ powierzchniê lasu wystarczy zamieniæ stronami poszczególne sk³adniki definicji (10).
Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem metody ...
39
Rys. 2. Energia zewnêtrzna
Przyk³ad
Prezentowan¹ metodê zastosujemy teraz do filtracji rzeczywistych danych skaningu laserowego (rys. 3). Dane pozyskano z OEEPE Working Group on Laser Data Acquisition;
(http://www.geomatics.kth.se/~fotogram/OEEPE/oeepe_laser_main.htm) przedstawiaj¹ fragment zabudowy miejskiej. Nieregularnie w p³aszczyŸnie rozproszone dane skaningu laserowego poddano interpolacji metod¹ najbli¿szego s¹siada na regularn¹ siatê kwadratów o boku
równym œredniej odleg³oœci poziomej pomiêdzy najbli¿szymi punktami w zbiorze danych
pocz¹tkowych. Metoda interpolacji polega na przypisaniu do ka¿dego wêz³a wysokoœci najbli¿ej po³o¿onego punktu pomiarowego.
Regularyzowane dane poddano nastêpnie modelowaniu za pomoc¹ prezentowanego algorytmu. Jako powierzchniê startow¹ wybrano p³aszczyznê le¿¹c¹ na wysokoœci najwy¿szego
punktu w zbiorze. Startow¹ powierzchnie poddano nastêpnie iteracyjnemu „dopasowaniu” do
danych pomiarowych zgodnie z zale¿noœci¹ (9), przy czym energia zewnêtrzna obliczana by³a
w kolejnym kroku iteracji zgodnie z modelem (10) w ka¿dym punkcie danych. Przyjêto nastêpuj¹ce parametry steruj¹ce: α = 1, β = 1 i σ2 = 0,1. Proces iteracyjny koñczy siê jeœli zi ≈ zt-1.
W wyniku modelowania otrzymuje siê g³adk¹ reprezentacjê powierzchni terenu (rys. 4),
woln¹ od obiektów znajduj¹cych siê ponad ni¹. Na obrze¿ach modelowanego obszaru widoczne s¹ pewne drobne defekty. Zjawisko to wynika z tego, ¿e do rozwi¹zania równania
ró¿niczkowego potrzebne s¹ warunki brzegowe. Mo¿na je zredukowaæ poprzez do³¹czenie
dodatkowych danych na obrze¿ach opracowywanego obszaru.
W ostatnim etapie eliminowane s¹ punkty zakwalifikowane jako obarczone b³êdami grubymi. W tym celu obliczana jest odleg³oœæ punktu pomiarowego od modelowanej powierzchni.
Jeœli wielkoœæ ta przekracza dok³adnoœæ wysokoœciow¹ skaningu (lub jej wielokrotnoœæ)
punkt jest eliminowany. Punkty zakwalifikowane jako terenowe pokazano na rysunku 5. S¹
to punkty le¿¹ce w odleg³oœci do 0,1 m do powierzchni modelu. Taki sam zbiór punktów
otrzymano w wyniku rêcznej klasyfikacji punktów.
Andrzej Borkowski
40
Rys. 3. Dane testowe
Rys. 4. Powierzchnia terenu
modelowana za pomoc¹
aktywnej powierzchni
Rys. 5. Punkty zakwalifikowane jako punkty
terenowe
Filtracja danych lotniczego skaningu laserowego z wykorzystaniem metody ...
41
Zakoñczenie
Przedstawion¹ w niniejszej pracy metodê aproksymacji otrzymuje siê w wyniku rozwi¹zania zadania wariacyjnego, w którym minimalizowane s¹ okreœlone w³aœciwoœci geometryczne powierzchni wyra¿one za pomoc¹ gradientu (nachylenia) i krzywizny powierzchni
oraz energia zewnêtrzna opisuj¹ca rozbie¿noœæ pomiêdzy danymi pomiarowymi a modelem.
Zaproponowana, asymetryczna funkcja energii zewnêtrznej pozwala uodporniæ metodê na
b³êdy grube skaningu laserowego.
Przeprowadzone testy numeryczne pokaza³y wysok¹ skutecznoœæ prezentowanej metody, w szczególnoœci w terenach zurbanizowanych zawieraj¹cych du¿e kompleksy budowlane. Metoda sterowana jest za pomoc¹ trzech swobodnych parametrów. Poprzez parametr σ
definiowany jest zakres b³êdów grubych podlegaj¹cych filtracji. Parametry α i β okreœlaj¹
rozci¹gliwoœæ i sztywnoœæ modelowanej powierzchni. Im wiêksze wartoœci tych parametrów tym wiêksze naprê¿enie aktywnej powierzchni i wiêksze jej w³aœciwoœci filtracyjne.
Dziêki temu w procesie iteracyjnym eliminowane s¹ zarówno b³êdy grube jak i filtrowane
b³êdy pomiaru. W zbiorach danych skaningu laserowego zdarzaj¹ siê równie¿ odbicia le¿¹ce
wyraŸnie poni¿ej powierzchni terenu. Takie, b³êdne punkty pomiarowe powstaj¹ wskutek
zjawiska wielotorowoœci. Tego typu b³êdy filtrowane s¹ równie¿ dziêki odpowiedniej sztywnoœci powierzchni.
Wysokoœci modelowanej powierzchni otrzymuje siê z rozwi¹zania uk³adu równañ liniowych, w którym liczba równañ jest równa licznie wêz³ów regularnej siatki (n × m). Wynikaj¹
st¹d trudnoœci numeryczne. W przypadku danych skaningu laserowego, gdzie zbiory s¹
rzêdu 106 i wiêcej punktów, osi¹ga siê szybko kres mo¿liwoœci, nawet wydajnych komputerów. Rozwi¹zaniem tutaj jest odpowiednia segmentacja danych i stosowanie aproksymacji
lokalnie, z odpowiednio dobranym obszarem wspólnym oraz zastosowanie efektywnych
numerycznie algorytmów.
Oddzielnym zagadnieniem jest problem weryfikacji poprawnoœci filtracji wykonanej prezentowan¹ metod¹. Przeprowadzona filtracja rêczna, prezentowanego w pracy przyk³adu
testowego, potwierdzi³a poprawnoœæ filtracji wykonanej metod¹ aktywnych powierzchni.
W dalszej kolejnoœci wykonana bêdzie analiza porównawcza prezentowanej i innych istniej¹cych metod filtracji. Wykorzystane zostan¹ w tym celu dane lotniczego skaningu laserowego, wykonanego w ostatnim czasie na obszarze Wroc³awia.
Literatura
Axelsson P., 1999: Processing of laser scanner data – algorithms and applications. ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, 54(2), 138-147.
Axelsson P., 2000: DEM generation from laser scanner data using adaptive TIN models. International
Borkowkski A., Burkhardt D., Meier S., 1997: Zur optimalen Approximation von Höhenprofilen. Österr.
Zeitschrift für Vermessung und Geoinformation, 182-285.
Borkowski A., 2004: Modellierung von Oberflächen mit Diskontinuitäten. Deutsche Geodätische Kommission, Reihe C, Heft Nr 575.
Briese C., Pfeifer N., Dorninger P., 2002: Applications of the robust interpolation for DTM determination.
Symposium ISPRS Commision III, Photogrammetric Computer Vision, Graz,. International Archives of
Photogrammetry and Remote Sensing, Vol. XXXIV / 3A, 55-61.
Bronstein I., Semendjajew K., 1962: Taschenbuch der Mathematik. B.G. Teubner, Leipzig.
Elmqvist M., Jungert E., Persson A., Soderman U., 2001. Terrain modelling and analysis using laser scanner
data. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol. XXXIV-3/W4, Annopolis,
Maryland, 219-227.
42
Andrzej Borkowski
Elmqvist M., 2002: Ground surface estimation from airborne laser scanner data using active shape models.
ISPRS, Commission III, Symposium Photogrammetric Computer Vision, Graz, 114-118.
Kass M., Witkin A., Terzopoulos D., 1987: Snakes: Active contour models. Proceedings of the First International Conference on Computer Vision, IEEE Comput. Soc. Press, 259-268.
Kraus K., 2000: Photogrammetrie. Band 3. Topographische Informatonssysteme. Dümmler, Köln.
Kraus K., Pfeifer N., 2001: Advanced DTM generatin from LIDAR data. International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing, Vol. XXXIV-3/W4, Annopolis, Maryland, 23-30.
Marmol U., 2003: Pozyskiwanie numerycznego modelu powierzchni topograficznej (NMPT) w oparciu o
dane wysokoœciowe pochodz¹ce z lotniczego skaningu laserowego. Archiwum Fotogrametrii, Kartografii
i Teledetekcji. Vol. 13B, s. 419-426.
Marmol U., Jachimski J., 2004: A FFT based method of filtering airborne laser scanner data. ISPRS Congress,
Istambul, Commision3. http://www.isprs.org/commission3/wg3.
Roggero M., 2001: Airborne laser scanning: Clustering in row data. International Archives of Photogrammetry
and Remote Sensing, Vol. XXXIV-3/W4, Annopolis, Maryland, 227-232.
Sithole G., 2001: Filtering of laser altimetry data using a slope adaptive filter. International Archives of
Photogrammetry and Remote Sensing, Vol. XXXIV-3/W4, Annopolis, Maryland, 203-210.
Sithole G., Vosselman G., 2003: Report ISPRS: Comparison of filters, http://www.isprs.org/commission3/
wg3.
Sithole G., Vosselman G., 2004: Experimental comparison of filter algorithms for bare-Earth extraction from
airborne laser scanning point clouds. ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, Vo. 59, 85101.
Vosselman G., Maas, H.G., 2001: Adjustment and filtering of raw laser altimetry data. OEEPE Workshop on
Airborne Laserscanning and Interferometric SAR for Detailed Digital Elevation Models, Stockholm.
Summary
Laser scanner data sets contain a considerable number of gross errors which are reflections from
objects that lie above the terrain surface, i.e. trees, houses. If Digital Terrain Model is interpolated
such points need to be removed from data files. For automatic filtering of gross errors an algorithm
based on active surface model (flakes) was proposed. This model constitutes a variational problem
solution in which total energy comprising external and internal energy is minimized. Internal energy
describes geometric properties of modelled surface and, it is the weighted sum of its inclination and
curvature. External energy measures the deviation of the model from the given data. The Euler
equation that is equivalent to variational problem is discretized with finite difference method and
solved iteratively.
A model for external energy that enables to make flakes robust to gross errors was formulated.
Filtering features of the method were presented on the laser scanner data. Hints for practical application of presented method were given.
dr hab. in¿. Andrzej Borkowski
[email protected]