metoda purc w analizie nieustalonego pola temperatury w

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
44, s. 285-292, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
METODA PURC W ANALIZIE NIEUSTALONEGO POLA
TEMPERATURY W OBSZARACH PŁASKICH
EUGENIUSZ ZIENIUK a , DOMINIK SAWICKI b
a
Instytut Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku
e-mail: [email protected],
b
Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka
e-mail: [email protected]
Streszczenie. Obecność dyskretyzacji w klasycznej MES oraz MEB jest dość
istotnym mankamentem. Alternatywą pozwalającą na uniknięcie wspomnianego
problemu są parametryczne układy równań całkowych (PURC) niewymagające
klasycznej dyskretyzacji podczas ich numerycznego rozwiązywania. Celem
niniejszej pracy jest uogólnienie metody PURC i przedstawienie możliwości jej
zastosowania do modelowania i symulacji zagadnień brzegowo-początkowych na
przykładach dotyczących problemów temperaturowych.
1. WSTĘP
Modelowanie i symulacja zagadnień brzegowych i brzegowo-początkowych niezmiennie
przyciąga zainteresowanie zarówno z naukowego, jak również i praktycznego punktu
widzenia. Modelowanie tych zagadnień za pomocą równań różniczkowych czy też całkowych
jest znane w literaturze od dawna. Znane są też różne metody ich analitycznego, jak również
numerycznego rozwiązywania [1,2]. Metody analityczne są stosowane raczej do zagadnień
zdefiniowanych w obszarach o elementarnych kształtach oraz z zadanymi elementarnymi
warunkami brzegowymi. Przy takich założeniach są one z powodzeniem stosowane raczej
tylko do zagadnień brzegowych.
W zagadnieniach brzegowo-początkowych dodatkowym problemem (w porównaniu
z zagadnieniami potencjalnymi) jest to, że rozwiązanie zagadnienia w obszarze czy też tylko
na jego brzegu jest zależne od dodatkowej zmiennej, którą jest czas. Analityczne
rozwiązywanie takich zagadnień dla niektórych zagadnień brzegowo-początkowych jest
również możliwe, ale najczęściej jest ono otrzymywane w postaci wyrażeń przybliżających,
będących najczęściej szeregami możliwymi do otrzymania jedynie dla elementarnych
kształtów obszaru [6,7]. W przypadku bardziej złożonych zagadnień nieustalonych są
stosowane metody komputerowe [1].
Do najczęściej wykorzystywanych metod komputerowych, podobnie jak w zagadnieniach
ustalonych, należą: metoda elementów skończonych (MES) [3] i metoda elementów
brzegowych (MEB) [1,2]. Metody te w rozwiązywaniu zagadnień nieustalonych wymagają
stosowania procesów iteracyjnych. O efektywności rozwiązywania takich zagadnień decyduje
efektywność metody w poszczególnych krokach czasowych. Występowanie klasycznej
dyskretyzacji we wspomnianych metodach jest dość istotnym mankamentem. Alternatywą
286
E. ZIENIUK, D. SAWICKI
pozwalającą na uniknięcie wspomnianego problemu są parametryczne układy równań
całkowych (PURC) eliminujące klasyczną dyskretyzację brzegu. PURC z dużą efektywnością
były stosowane dla zagadnień potencjalnych definiowanych różnymi równaniami
różniczkowymi [4].
Celem niniejszej pracy jest uogólnienie metody PURC i przedstawienie możliwości jej
zastosowania do modelowania i symulacji zagadnień brzegowo-początkowych na przykładach
dotyczących problemów temperaturowych mających rozwiązania dokładne.
2. PURC DLA ZAGADNIEŃ NIEUSTALONYCH
Równanie różniczkowe Fouriera opisujące nieustalone pole
wewnętrznych źródeł jest przedstawiane w postaci [1]
u ( x,t )
c
 k 2u ( x,t ),
xΩ
t
temperatury
bez
(1)
gdzie k [W/mK] jest to współczynnik przewodzenia ciepła, u(x,t) pole temperatury zależne
od czasu, c[J/m3K] jest to ciepło właściwe odniesione do jednostki objętości, natomiast t jest
to czas, zaś
 2u ( x,t )  2u ( x,t )
 2u ( x , t ) 

.
x12
x22
Klasyczne brzegowe równanie całkowe (BRC) dla równania różniczkowego (1) jest
przedstawiane w postaci [1]
1
0 .5 u ( ξ , t ) 
c
F
tF
1
0 Γ U ( ξ , x ,t ,t ) p ( x ,t )dΓ dt  c
t
tF
F
*

 U

F
0
P

( ξ , x ,t F ,t ) u ( x ,t )d  dt
(2)
t0 Γ
0
( ξ , x ,t ,t ) u ( x ,t ) dΩ ( x ),
Ω
gdzie


1
r2
exp


,
F
F
4πa (t  t )
 4a (t  t ) 
r 2  ( x1  1 )2  ( x2   2 )2 ,


kd
r2
exp


,
2 F
2
F
8πa (t  t )
 4a (t  t ) 
d   x1  ξ1 n1   x2  ξ 2 n2 .
U * (ξ,x,t F ,t ) 
P* (ξ,x,t F ,t ) 
Po zastosowaniu analitycznej modyfikacji klasycznych BRC analogicznej, jaka była
stosowana w przypadku zagadnień ustalonych [4], otrzymano PURC dla zagadnień
nieustalonych, który jest przedstawiony za pomocą wyrażenia
tF
sj
1 n


0.5ul ( s1,t )     U lj ( s1,s,t F ,t ) p j ( s,t )  Plj (s1,s,t F ,t )u j ( s,t ) J j s dsdt
c t 0 j 1 s j 1
F


*
F
0
0
 U l ( s1,y,t ,t )u ( y,t )dΩ ( y ).
Ω
(3)
METODA PURC W ANALIZIE NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY W OBSZARACH …. 287
Funkcje podcałkowe w (3) są przedstawiane w następującej postaci


1
2
*
U lj ( s1 , s,t F ,t ) 
exp


,
F
F
4πa (t  t )
 4a (t  t ) 


kd
2
Plj (s1 , s,t ,t ) 
exp  
,
2 F
2
F
8πa (t  t )
 4a (t  t ) 
*
F
gdzie
2
2
 2  1   2 ,
0.5
 S (1) ( s)   S (j 2) (s ) 

 ,
J j (s)   j
 

 s   s 
d  1n1   2n2 ,
1  S l( 1 ) ( s1 )  S (j 1 ) ( s),  2  Sl( 2 ) ( s1 )  S (j 2 ) (s), S i (s)  [ Si(1) , Si( 2 ) ]T .
Si (s ) jest krzywą opisującą i  ty segment brzegu. Funkcja podcałkowa w drugiej całce (3)
jest przedstawiana w postaci


1
2
*
F 0
U l ( s1 , y,t ,t ) 
exp 
,
F
0 2
F
0 
4πa (t  t )
 4 a (t  t ) 
2
2
gdzie
1  Sl( 1 ) ( s1 )  y1 ,
 2  Sl( 2 ) ( s1 )  y2 .
 2  1   2 ,
Na podstawie (3) można otrzymać tylko rozwiązania na brzegu rozpatrywanego
zagadnienia brzegowo-początkowego. Podobnie jak w przypadku klasycznych BRC, mając
rozwiązania na brzegu, można otrzymać rozwiązania w obszarze na podstawie tożsamości
całkowej. Po otrzymaniu rozwiązań na brzegu na bazie równ. (3), rozwiązania w obszarze
otrzyma się na podstawie zmodyfikowanej klasycznej tożsamości całkowej dla rozwiązań w
obszarze. Przy podobnym postępowaniu jak w [4] zmodyfikowana tożsamość całkowa dla
zagadnień nieustalonych przyjmuje następującą postać
tF
sj


1 n


u ( x,t )     Uˆ j ( x,s, t F ,t ) p j ( s,t )  Pˆj ( x,s,t F ,t )u j ( s,t ) J j s dsdt
c t 0 j 1 s j 1
F
ˆ
  U * ( x,y,t F ,t 0 )u ( y,t 0 )dΩ ( y ).
Ω
Funkcje podcałkowe w pierwszej całce są przedstawiane w postaci



1
r2

2  2
*
ˆ
F
U j ( x,s,t ,t ) 
exp 
,
r 2  r1  r2 ,

F
F
4πa (t  t )
 4 a (t  t ) 





kd
r2
*
ˆ
F
Pj ( x , s,t ,t ) 
exp  
,
d  r1n1  r2 n2 ,

2 F
2
F
8πa (t  t )
 4a (t  t ) 


gdzie r1  x1  S (j 1 ) ( s),
r2  x2  S (j 2 ) ( s).
Natomiast funkcja podcałkowa w drugiej całce (4) za pomocą



1
rˆ 2
ˆ*
F 0
U ( x , y,t ,t ) 
exp  
F
0
F
0 
4πa(t  t )
 4a (t  t ) 
gdzie

rˆ1  x1  y1 ,

rˆ2  x2  y2 .

2  2
rˆ 2  rˆ1  rˆ2 ,
(4)
288
E. ZIENIUK, D. SAWICKI
3. ROZWIĄZYWANIE PURC DLA ZAGADNIEŃ NIEUSTALONYCH
Po zastosowaniu dyskretyzacji po zmiennej czasowej t , przy założeniu stałego kroku
czasowego t  t f  t f 1 PURC przedstawiony wzorem (3) sprowadza się do następującej
postaci
t
sj
f
n
1


0.5ul ( s1,t )     U lj ( s1,s,t f ,t ) p j ( s,t )  Plj ( s1,s,t f ,t )u j ( s,t ) J j ( s )dsdt
c t f 1 j 1 s j1
f


f
*
 U l (s1,y,t ,t
f 1
)u ( y,t
f 1
(5)
)dΩ ( y ),
Ω
po scałkowaniu funkcji podcałkowych po zmiennej t , równania (5) przyjmują następującą
postać
sj
n
f
0.5ul ( s1,t )  
 U

lj


( s1 , s ) p j ( s,t f )  Plj ( s1 , s )u j (s,t f ) J j ( s )ds
j  1 s j 1
(6)
*
  U l ( s1 , y )u ( y ,t
f -1
)d( y ).
Ω


Funkcje podcałkowe U lj , Plj ,U l
postaci

zależą teraz od t i przedstawiane są w następującej
 2
1
U ( s1 , s) 
Ei  ,
4kπ
d 4at
P ( s1 , s) 
e ,
2η2
*
lj
*
lj
 2
1
U l ( s1 , s) 
e 4at ,
4at
*
gdzie k jest współczynnikiem przewodzenia ciepła, natomiast Ei   eksponencjalną funkcją
całkową, przybliżoną następującym wzorem
n

η2
n 1 μ
Ei    γ  ln μ    1
gdzie
μ
,
n  n!
4at
n 1
oraz   0,5772156649 jest stałą Eulera, a=k/c jest współczynnikiem dyfuzji, c ciepłem
właściwym a t jest krokiem czasowym.
Tożsamość całkowa (4) dla rozwiązań w obszarze po scałkowaniu ma postać
n
u( x ,t f )  
sj
 U

j
j 1 s j 1


( x , s ) p j (s,t f )  Pj ( x , s)u j ( s,t f ) J j ( s)ds   U * ( x , y )u ( y,t f -1 )d( y ). (7)
Ω


Funkcje podcałkowe U j , Pj ,U

są przedstawiane w postaci następującej

1
r2
*
U j ( x , s) 
Ei  ,

,
4kπ
4at
oraz

r 2
d
P ( x , s )   2 e 4at ,
2r
*
j

 rˆ 2
1
U ( x , s) 
e 4at .
4at
*
METODA PURC W ANALIZIE NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY W OBSZARACH …. 289
4. ITERACYJNE ROZWIĄZYWANIE ZAGADNIEŃ
Rozwiązanie równania przedstawionego wzorem (5) wymaga procesu iteracyjnego.
Ogólny algorytm postępowania w przypadku tego procesu iteracyjnego przedstawiono
schematycznie na rys.1
Rys. 1. Schemat procesu iteracyjnego.
Otrzymanie rozwiązania na brzegu za pomocą równania (5) oraz rozwiązań w obszarze za
pomocą tożsamości całkowej (7) wymaga obliczania całek po obszarze  . W klasycznej
MEB całkowanie sprowadza się do podzielenia obszaru całkowania  na komórki.
W PURC całkowanie po obszarze charakteryzuje się tym, że obszar jest traktowany w
sposób globalny bez dzielenia na komórki. Zamiast stosowania kwadratur niższego rzędu na
poszczególnych komórkach, jak jest stosowane w klasycznej MEB, zastosowano kwadraturę
wyższego rzędu z dużą liczbą współczynników dla całego obszaru [5]. Do obliczenia całki w
obszarze zastosowano technikę opartą na globalnym traktowaniu obszaru, bez konieczności
dzielenia go na komórki. Do modelowania obszaru w sposób globalny zastosowano płaty
powierzchniowe, natomiast do całkowania numerycznego zastosowano kwadratury wyższych
rzędów.
Do zamodelowania obszaru całkowania w PURC oraz tożsamości całkowej wykorzystano
płaty powierzchni Béziera stopnia 3. Przykładowe płaty zostały przedstawione na rys. 2a,b.
a) modelowanie

b) modyfikacja

Rys. 2. Modelowanie i modyfikowanie obszarów do całkowania.
290
E. ZIENIUK, D. SAWICKI
Jak pokazano na rys. 2b, kształt płata z rys. 2a można łatwo zmodyfikować poprzez
przesunięcie jego niektórych punktów. Do numerycznego rozwiązania PURC zastosowano
wcześniej testowaną na zagadnieniach brzegowych metodę kolokacji [4]. Zbadano wpływ
liczby punktów kolokacji oraz liczby współczynników kwadratury całkowania numerycznego
po obszarze na dokładność i stabilność otrzymywanych rozwiązań.
5. ANALIZA ROZWIĄZAŃ
Rozpatrywano pole temperatury w prostokątnym obszarze z k x1  k x2  1 o wymiarach
L x1 (0  x1  1) oraz L x2 (0  x2  1) . Początkowa wartość temperatury w obszarze wynosi
Φ x1 , x2 ,0   0 . Warunki brzegowe są pokazane na rys. 3a i są przedstawiane w następującej
postaci
d0, x2 , t  d  x1 ,0, t 
 Lx1 , x2 , t    x1 , Lx2 , t   1.0,

 0,  x1, x2 ,0  0.
dn
dn
Rozwiązanie analityczne dla tak zdefiniowanego zagadnienia jest przedstawione w [6].
Problem ten był rozwiązywany numerycznie za pomocą omówionego w punkcie 3. algorytmu
iteracyjnego z wykorzystaniem PURC w każdym kroku iteracyjnym. Do zamodelowania
obszaru pokazanego na rys. 3a wykorzystano pojedynczy płat Béziera przedstawiony na rys.
2a. W celu jego zdefiniowania zadano tylko punkty brzegowe. Do numerycznego
rozwiązywania PURC zastosowano metodę kolokacji, testowano wpływ liczby punktów
kolokacji na otrzymywane wyniki jak również wpływ liczby współczynników kwadratury
całkowania po obszarze.
a) kwadratowy
b) okrągły
Rys. 3. Kształty obszarów z warunkami brzegowymi.
W tabl. 1 przedstawiono wpływ liczby współczynników kwadratury na średni błąd
względny rozwiązań. Na podstawie zamieszczonej tabeli okazało się, że najmniejszy błąd
względny uzyskano z zastosowaniem 40 współczynników w kwadraturze. Zwiększenie liczby
współczynników z racji ich koncentracji głównie w bliskiej odległości od brzegu powoduje
wzrost błędu rozwiązań. W następnej kolejności przeprowadzono testy dotyczące wpływu
liczby punktów kolokacji na dokładność wyników przy 40 współczynnikach w kwadraturze
zastosowanej do całkowania po obszarze. Okazało się, że rozwiązania ustabilizowały się przy
6 punktach kolokacji na poszczególnych segmentach boków.
METODA PURC W ANALIZIE NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY W OBSZARACH …. 291
Tabl. 1. Wpływ liczby współczynników (W) kwadratury przy 6 punktach kolokacji
t
Średni błąd względny [%]
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
W  20
W  40
W  60
12,24727
2,114546
6,421704
8,385672
9,238565
9,621399
9,79113
9,861582
9,886179
9,890573
12,24727
1,767501
1,408876
1,590537
1,283754
0,845153
0,444005
0,164877
0,235484
0,392009
12,29615
1,632069
2,035915
2,49654
2,358713
2,04271
1,725105
1,461469
1,260587
1,114903
W kolejnym przykładzie rozpatrywano podgrzewanie nieskończonego walca (rys. 3b)
o promieniu podstawy r=r0. Rozwiązanie analityczne dla takiego problemu jest
przedstawiane w pracy [7]. Początkowa wartość temperatury w obszarze wynosi r ,0  0,0 .
Na powierzchni walca przyłożona jest stała temperatura o wartości  r0 , t   1,0 . Do
zamodelowania obszaru wykorzystano płat Béziera z poprzedniego przykładu. Kształt płata
został odpowiednio zmodyfikowany poprzez rozciągnięcie jego krawędzi, jak pokazano na
rys. 2b. Zbadano wpływ liczby punktów kolokacji oraz liczby współczynników kwadratury
całkowania numerycznego na otrzymywane wyniki. Wyniki przedstawiono w tabeli 2.
Tab. 2. Wpływ liczby współczynników (W) kwadratury przy 6 punktach kolokacji.
t
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Średni błąd względny [%]
W  20
W  40
W  60
12,72546
2,961319
0,629746
0,835457
1,355849
1,631038
1,783508
1,869999
1,919649
1,948321
12,72546
4,665196
2,332742
1,37029
0,89664
0,642592
0,50039
0,419064
0,372048
0,344728
12,72546
4,39615
1,982242
0,987728
0,498934
0,237129
0,090796
0,0158
0,041021
0,069021
Na podstawie przeprowadzonych testów okazuje się, że rozwiązania ustabilizowały się
przy 6 punktach kolokacji i 60 współczynnikach w kwadraturze. Zwiększona liczba
współczynników w porównaniu do wcześniejszego przykładu podyktowana jest modyfikacją
obszaru i zwiększeniem jego pola powierzchni. Ważną zaletą tej strategii jest to, że
modyfikowanie obszarów jest efektywne i nie wymaga jego dzielenia na komórki.
292
E. ZIENIUK, D. SAWICKI
6. WNIOSKI
W pracy przedstawiono PURC dla zagadnień brzegowo-początkowych (3D)
modelowanych równaniem różniczkowym Fouriera opisującym nieustalone pole temperatury.
Przedstawiono i zweryfikowano strategię procesu iteracyjnego z wykorzystaniem PURC na
poszczególnych krokach tego procesu. Pokazano efektywność strategii globalnego
całkowania w procesie iteracyjnym stosowanym w rozwiązywaniu zagadnień nieustalonych.
Testowano wpływ liczby współczynników w kwadraturze wyższego rzędu, zastosowanej do
numerycznego całkowania oraz liczby punktów kolokacji na dokładność uzyskanych
rozwiązań za pomocą PURC. Otrzymane wyniki dla zamieszczonych przykładów
potwierdzają efektywność i wiarygodność stosowanej metody.
Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2010-2013 jako projekt badawczy
Nr N N519579538.
LITERATURA
[1] Majchrzak E.: Metoda elementów brzegowych w przepływie ciepła. Częstochowa: Wyd.
Pol. Częst. , 2001.
[2] Brebbia C.A., Telles J.C, Wrobel L.C: Boundary element techniques, theory and
applications in engineering. New York: Springer, 1984.
[3] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The finite element method, Vol. 1-3. Oxford: Butterworth,
2000.
[4] Zieniuk E.: Bézier curves in the modification of boundary integral equations (BIE) for
potential boundary-values problems. “International Journal of Solids and Structures”
2003, 9(40), p. 2301-2320.
[5] Bołtuć A., Zieniuk E.: Modeling domains using Bézier surfaces in plane boundary
problems defined by the Navier-Lame equation with body forces. “Engineering Analysis
with Boundary Elements” 2011, 35, p. 1116-1122.
[6] Agnieszka Fraska: Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury – porównanie metod
numerycznych w obszarach 2D. Zesz. Nauk. Pol. Pozn. nr 2 „Budowa Maszyn i
Zarządzanie Produkcją” 2005, s. 5-16.
[7] Alok Sutradhar, Glaucio H. Paulino, L. J. Gray: Transient heat conduction in
homogeneous and non-homogeneous materials by the Laplace transform Galerkin
boundary element method. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, 26, p.
119-132.
PIES METHOD IN ANALYSIS OF TRANSIENT TEMPERATURE
DISTRIBUTION IN FLAT AREAS
Summary. The occurrence of discretization in classical FEM and BEM is a quite
essential disadvantage. An alternative to avoid the problem are parametrical
integral equations systems (PIES) that do not require the classical discretization
while solving them numerically. The purpose of this paper is to generalize the
PIES method and present its capabilities in application to modelling and
simulation of initial-boundary value problems for transient heat conduction.