pdf file 567 kB - Instytut Konstrukcji Budowlanych

II KONGRES MECHANIKI POLSKIEJ
POZNAŃ 2011
Zdzisław PAWLAK*, Roman LEWANDOWSKI
Instytut Konstrukcji Budowlanych, Politechnika Poznańska
ul. Piotrowo 5, 60-965 Poznań
OPTYMALIZACJA PARAMETRÓW TŁUMIKÓW DRGAŃ
MODELOWANYCH ZA POMOCĄ POCHODNYCH
UŁAMKOWYCH
Lepko-sprężyste tłumiki drgań są urządzeniami, które zmniejszają niepożądane
drgania konstrukcji wywołane, np. trzęsieniami ziemi lub parciem wiatru. Do opisu
dynamicznego zachowania lepko-sprężystego materiału tłumika używa się reologicznego modelu z pochodnymi ułamkowymi. Zaletą modeli ułamkowych jest lepszy niż w
klasycznych modelach reologicznych opis właściwości tłumika przy użyciu mniejszej
liczby parametrów. Celem pracy jest określenie optymalnych parametrów tłumików
lepko-sprężystych oraz optymalnego rozmieszczenia tłumików na konstrukcji budynku.
Jako funkcję celu, której minimum się poszukuje, przyjęto sumę różnic przemieszczeń
sąsiednich stropów. Do rozwiązania zagadnienia optymalizacyjnego wykorzystano
metodę sekwencyjnej optymalizacji i metodę roju cząstek (Particle Swarm Optimization), która bazuje na wynikach analizy zachowań społecznych dużych populacji zwierząt. Wyniki obliczeń przykładowych konstrukcji dowodzą, że zaproponowana metoda
optymalizacji jest prosta i efektywna.
Słowa kluczowe: tłumienie pasywne, tłumiki lepko-sprężyste, pochodne ułamkowe, metoda roju cząstek
1. WSTĘP
W obiektach narażonych na duże drgania wywołane np. trzęsieniem ziemi
lub parciem wiatru stosuje się układy redukcji drgań, które można podzielić na
układy aktywne, pasywne i półaktywne. Pasywny układ redukcji drgań składa się
z tłumików drgań odpowiednio rozmieszczonych na konstrukcji. Rozróżnia się
*
Autor do korespondencji: Tel.: +48-61-6652471; fax: +48-61-8766-116.
E-mail: [email protected] (Z. Pawlak)
2
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
następujące rodzaje pasywnych tłumików drgań: tłumiki wiskotyczne, tłumiki
lepko-sprężyste (viscoelastic), masowe tłumik drgań oraz tłumiki cierne. W przypadku tłumienia pasywnego nie ma potrzeby wprowadzania do układu dodatkowej energii z zewnętrznego źródła, co jest nieodzowne w metodach aktywnej redukcji drgań. Wadą tłumików pasywnych jest ich ograniczony zakres działania, a
zaletą niski koszt budowy. Dotychczas zaproponowano wiele reologicznych modeli opisujących dynamiczne zachowanie lepko-sprężystych materiałów i tłumików (np. praca Park’a 2001). Obok modeli klasycznych ostatnio popularne są
tzw. modele ułamkowe, w których właściwości reologiczne opisywane są za pomocą pochodnych ułamkowych (Bagley and Torvik, 1989; Chang and Singh,
2002).
Zaletą modeli ułamkowych jest lepszy niż w modelach klasycznych opis
właściwości reologicznych przy użyciu małej liczby parametrów. W przypadku
modelu Kelvina za pomocą jednego równania można opisać dynamikę tłumika.
Trzeba jednak pamiętać, że opis matematyczny problemu komplikuje się z uwagi
na zastosowanie pochodnych ułamkowych.
Przedmiotem analizy jest płaska rama z zamontowanymi tłumikami, które
są opisane ułamkowym modelem Kelvina. Tłumiki połączone są z konstrukcją za
pomocą stężeń (Park i in. (2004), Fujita i in. (2010)). Konstrukcja traktowana
jest, jako układ liniowo-sprężysty, dla którego równania ruchu wyprowadzono
używając zmiennych fizycznych oraz zmiennych stanu.
Celem pracy jest określenie optymalnego położenia tłumików na konstrukcji z uwzględnieniem wpływu sztywności stężeń, którymi mocowane są tłumiki do
konstrukcji. Funkcją celu jest suma ważona modułów funkcji przenoszenia różnic
przemieszczeń dwóch sąsiednich kondygnacji (the interstorey drift) obliczonych
dla pierwszej częstości drgań własnych konstrukcji z tłumikami drgań. Wyznaczenie wartości tej funkcji wymaga obliczenia macierzy funkcji przenoszenia
przemieszczeń poziomych rygli, a następnie obliczenia różnicy przemieszczeń
dwóch sąsiednich kondygnacji.
Rozwiązanie problemu optymalizacyjnego uzyskano za pomocą metody
sekwencyjnej i metody roju cząstek. Efektywność proponowanego sformułowania
pokazano na przykładzie ramy wielopiętrowej.
2. REOLOGICZNY MODEL TŁUMIKA
Do opisu własności reologicznych tłumika drgań zastosowano ułamkowy
model Kelvina. Model ten zbudowany jest z ułamkowego elementu sprężystotłumiącego opisanego stałymi cd ,i ,  i ( 0   i  1 ) połączonego szeregowo ze
sprężyną o sztywności k d ,i (rys. 1). Tłumik połączony jest z jednej strony bezpo-
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
3
średnio z konstrukcją, a z drugiej strony ze sprężystym zastrzałem (stężeniem), o
sztywności k z ,i .
cd,i,i
j
k
qj
qk
kz,i
kd,i
qw
Rys. 1. Reologiczny model tłumika Kelvina połączonego ze stężeniem
Równanie ruchu opisujące rozważany model zapisuje się za pomocą przemieszczenia wewnętrznego q w , traktowanego, jako nowa zmienna niezależna. Siłę w
układzie tłumik-stężenie można opisać za pomocą dwóch równań:
u j  uZ  k z ,i qw  q j  ,
uk  uT  kd ,i (qk  qw )  cd ,i Dt (qk  qw ) ,
(2.1)
gdzie u j  u Z jest siłą w stężeniu, uk  uT jest siłą w tłumiku, q j i q k oznaczają
przemieszczenia węzłów skrajnych modelu. Symbol Dt () oznacza ułamkową
pochodną rzędu  ze względu na czas t. W pracy wykorzystano definicję Riemann-Liouvillea pochodnej ułamkowej. Więcej informacji na temat ułamkowych
modeli reologicznych można znaleźć w pracy Podlubnego (1999). Równanie ruchu dla klasycznego modelu Kelvina otrzymamy po podstawieniu w równaniu
(2.1)   1 .
3. RÓWNANIA RUCHU
3.1. Równania ruchu wyrażone za pomocą zmiennych fizycznych
Przedmiotem analizy jest dynamika konstrukcji, której modelem jest liniowo-sprężysta, płaska rama ścinana. Lepko-sprężyste tłumiki drgań wraz ze stężeniami są instalowane w wielopiętrowej ramie, każdy między dwoma kolejnymi
stropami. Masa konstrukcji jest skupiona w poziomie stropów. Równanie ruchu
konstrukcji z tłumikami ma postać:
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
4
 s (t )  Csq s (t )  K sq s (t )  s(t )  p(t ) ,
M sq
(3.1)
gdzie symbolami M s , C s i K s oznaczono odpowiednio macierze mas, tłumienia
oraz sztywności konstrukcji, q s (t )  [qs ,1 ,...,qs , j ,...,qs ,n ]T to wektor przemieszczeń konstrukcji, a p(t )  [ p1 ,..., p j ,..., pn ]T to wektor sił wymuszających. Natomiast składowymi wektora s(t )  [s1 , s2 ,...,sn ]T są siły oddziaływania tłumików i
zastrzałów na konstrukcję (rys. 2).
a)
b)
n
pn
pn
sn
pn-1
sn-1
pj+1
sj+1
qs,j
pj
sj
qs,1
p1
s1
qs,n
tłumik m
n-1
pn-1
qs,n-1
j+1
pj+1
qs,j+1
cd,i kd,i
tłumik i
j
pj
1
p1
tłumik 1
Rys. 2. Model ramy z tłumikami. a) schemat rozmieszczenia tłumików, b) siły oddziaływania tłumików na konstrukcję
Jeżeli tłumik o numerze i jest zamontowany między piętrami j oraz j+1 to
na piętro j działa siła oddziaływania stężenia s Z (t ) , a na piętro j+1 siła oddziały-
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
5
wania tłumika sT (t ) . Wobec tego, wektory wspomnianych wyżej sił oddziaływania na konstrukcję mają następującą postać:
s Z (t )  s (Zi )  [0,..., s j  u Z ,i ,.....,0]T  ~
ei u Z ,i (t ) ,
sT (t )  sT(i )  [0,...,s j 1  uT ,i ,.....,0]T  eˆ i uT ,i (t ) ,
(3.2)
gdzie ~
ei  [0,...,e~j  1, e~j 1  0,...,0]T , eˆ i  [0,...,eˆ j  0, eˆ j 1  1,...,0]T . Biorąc
pod uwagę, że przemieszczenia pięter pod i nad tłumikiem określają zależności
qs , j (t )  ~
eiT q s (t ) , qs , j 1 (t )  eˆ Ti q s (t ) można wzorom (2.1) nadać postać:
uZ ,i  k z ,i qw,i (t )  k z ,i ~
eiT q s (t ) ,
uT ,i (t )  kd ,i eˆ Ti q s (t )  kd ,i qw,i  cd ,i Dt eˆ Ti q s (t )  cd ,i Dt qw,i (t ) .
(3.3)
Przemieszczenie wewnętrzne w modelu tłumika o numerze i można przedstawić w
postaci qw,i (t )  hTi q w (t ) , gdzie q w (t )  [qw,1 ,..., qw,i ,..., qw,n ]T jest wektorem
zmiennych wewnętrznych, a hi  [0,...,hi  1,...,0] wektorem alokacji (położenia)
tłumika. Ostatecznie po podstawieniu powyższych zależności równania (3.2)
przyjmują postać:
i)
s (Zi ) (t )  K (SW
q w (t )  K (SSi )q s (t ) ,
~
~ i) 
~
~ i)
sT(i ) (t )  K (SSi ) q s (t )  K (SW
q w (t )  C(SSi ) Dt q s (t )  C(SW
Dt q w (t ) ,
(3.4)
gdzie:
~
i)
~
ei k z ,i hTi , K (SSi )  eˆ i kd ,i eˆ Ti ,
K (SSi )  ~
ei k z ,i ~
eiT , K (SW
~ i)
i)
 eˆ i cd ,i hTi .
K (SW
 eˆ i kd ,i hTi , C(SSi )  eˆ i cd ,i eˆ Ti , C(SW
Jeżeli na konstrukcji zamontowanych jest m tłumików, to wektor sił oddziaływania tłumika na konstrukcję jest sumą oddziaływań poszczególnych tłumików danych wzorami (3.4). Wobec tego:
m
m
s Z (t )   s (Zi ) (t ) , sT (t )   sT(i ) (t ) ,
i 1
i 1
m
m
m
~
~
i)
K SS   K (SSi ) , K SW   K (SW
, K SS   K (SSi ) ,
i 1
i 1
i 1
m
m
m
~
~ i)
i)
K SW   K (SW
, C S S   C (SiS) , C SW   C (SW
.
i 1
i 1
i 1
(3.5)
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
6
Po podstawieniu wektora s(t )  s Z (t )  sT (t ) do równaniu (3.1) otrzymujemy:
 s (t )  C s q s (t )  C SS Dt q s (t )  C SW Dt q w (t ) 
M sq
~
~
 (K SS  K SS  K s )q s (t )  (K SW  K SW )q w (t )  p(t ) .
(3.6)
W węźle wewnętrznym modelu tłumika (w miejscu połączenia stężenia z tłumikiem Kelvina) siły opisane wzorami (2.1) są sobie równe, tzn. u Z  uT . W takim
razie, zachodzi związek:
k z ,i qw,i  qs , j   kd ,i (qw,i  qs , j 1 )  cd ,i Dt (qw,i  qs , j 1 )  0 .
(3.7)
Wykorzystując wektory alokacji: h i , ~ei i ê i po odpowiednich przekształceniach
równanie (3.7) można zapisać w postaci:
~
(3.8)
 CWS Dt q s (t )  CWW Dt q w (t )  (KWS  KWS )q s (t )  KWW q w (t )  0 ,
gdzie:
m
m
i 1
i 1
(i )
(i )
CWW
  h i cd ,i hTi , CWS
  h i cd ,i hTi ,
m
(i )
KWS
m
m
~ (i )
(i )
  h i k z ,i ~
eiT , K WS
  h i k d ,i eˆ Ti , K WW
  h i (k z ,i  k d ,i )hTi .
i 1
i 1
i 1
Równania (3.6) i (3.8) wyprowadzono przy założeniu, że wszystkie tłumiki zamontowane na konstrukcji opisuje ten sam parametr  , rząd pochodnej ułamkowej.
3.2. Równania ruchu wyrażone za pomocą zmiennych stanu
Wektor zmiennych stanu oraz wektor jego pochodnych zdefiniowano w
następujący sposób:
z(t )  [q w (t ), q s (t ), Dt1q s (t )]T ,
Dt1z(t )  [ Dt1q w (t ), Dt1q s (t ), Dt2q s (t )]T ,
(3.9)
Dt z(t )  [ Dt q w (t ), Dt q s (t ), Dt 1q s (t )]T .
Dla ujednolicenia zapisu w zależnościach (3.9) symbol Dt1 () oznacza pierwszą
pochodną po czasie.
Po dołączeniu równania macierzowego:
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
M s Dt1q s (t )  M s Dt1q s (t )  0 ,
7
(3.10)
do układu równań (3.8) i (3.6) otrzymuje się macierzowe równanie ruchu konstrukcji z tłumikami wyrażone za pomocą zmiennych stanu:
~(t ) ,
A Dt1z(t )  A1Dt z(t )  Bz(t )  p
(3.11)
gdzie:
 CWW

 , A   C
1
 WS

 0


 0 0 0

A   0 Cs M s
 0 M s 0
 K WW

B   K SW
 0

 CWS
C SS
0
0

0 ,
0
0 
0 
 ~


0  , p (t )  p(t ) .
 0 
 M s 


 K WS
K SS
0
~
~
~
K SW  K SW  K SW , KWS  K WS  KWS , K SS  K SS  K SS  K s .
Wszystkie macierze występujące w równaniu (3.11) są symetryczne.
4. ANALIZA DYNAMICZNA
4.1. Parametry dynamiczne konstrukcji
Do rozwiązania różniczkowego równania ruchu (3.11) zastosowano trans~(t )  0 oraz zależności:
formację Laplace'a. Po uwzględnieniu, że p




Lzt   Z , L Dt z(t )  s Z , L Dt1z(t )  sZ ,


(4.1)
można równanie ruchu przekształcić do postaci:
sA  s


A1  B Z  0 .
(4.2)
Równanie (4.2) stanowi nieliniowy problem własny, który może być rozwiązany
za pomocą metody kontynuacji. Obliczenia rozpoczyna się od wyznaczenia rozwiązania dla   1 . Wtedy równanie (4.2) jest liniowym problemem własnym.
Następnie poszukuje się rozwiązania dla zadanej wartości   (0, 1) . Zastosowana metoda kontynuacji została szczegółowo opisana w pracy Lewandowskiego i
8
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
Pawlaka (2011). Zwykle po kilku krokach iteracyjnych uzyskuje się rozwiązanie,
tzn. wartość własną si i odpowiadający jej wektor własny Z i .
Dynamikę konstrukcji z wbudowanymi tłumikami drgań można scharakteryzować za pomocą częstości kołowej drgań własnych i oraz za pomocą bezwymiarowego współczynnika tłumienia  i . Podobnie jak w przypadku tłumienia
wiskotycznego parametry te wyznacza się z zależności:
i2  i2  i2 ,  i  i / i ,
(4.3)
gdzie i  Re( si ) , i  Im(si ) .
4.2. Funkcje przenoszenia
W dalszych rozważaniach będziemy się posługiwali funkcjami przenoszenia. W przypadku drgań wywołanych przez harmonicznie zmienne siły zewnętrzne:
p(t )  P exp(it ) ,
(4.4)
przemieszczenia konstrukcji można opisać funkcjami:
q w (t )  Q w exp(it ) ,
q s (t )  Q s exp(it ) ,
(4.5)
z(t )  Z exp(it ) ,
gdzie i   1 ,  jest częstością wymuszenia.
Po podstawieniu funkcji (4.4) i (4.5) do równania ruchu (3.11) otrzymuje
się następującą zależność:
~ ~
(4.6)
Z( )  H( )P ,
gdzie


1
~
H   i A  (i ) A1  B .
(4.7)
Jeżeli konstrukcja obciążona jest siłami wywołanymi przyspieszeniem
gruntu ug (t ) , to wektor sił wymuszających można wyznaczyć z zależności:
p(t )  M r ug (t ) ,
(4.8)
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
9
gdzie r  [1, 1,.....,1] , a równanie (4.6) można przepisać w następującej postaci:
~
~
 Q w   H1 1 H1 2
~
~
 Q   H
22
 s   ~ 21 H
~
 Dt1Q s  H 3 1 H 3 2

~
H1 3   0 
~ 
H 2 3  p(t ) .
~
H 3 3   0 
(4.9)
Jeżeli przyspieszenia gruntu zmieniają się harmonicznie w czasie
( ug (t )  Ug exp(it ) ), to przemieszczenia konstrukcji opisuje zależność (4.5.2), a
ponadto Q ( )  H( ) U .
s
g
Wektor
~
H( )  H 22 ( )Mr ,
(4.10)
nazywany jest wektorem funkcji przenoszenia. Elementami tego wektora są funkcje przenoszenia przemieszczeń ramy.
Funkcję przenoszenia różnic przemieszczeń dwóch sąsiednich rygli ramy
(np. rygli o numerach j i j  1 ) oblicza się ze wzoru:
H drift( )  H j 1 ( )  H j ( ) ,
(4.11)
gdzie symbolami H j ( ) i H j 1 ( ) oznaczono odpowiednio funkcje przenoszenia przemieszczeń ramy (elementy wektora H( ) ).
5. OPTYMALIZACJA
Celem pracy jest znalezienie takich położeń tłumików na konstrukcji i takich wartości parametrów tłumików, dla których redukcja drgań mierzona za
pomocą odpowiednio zdefiniowanej funkcji celu będzie największa. Dokładniej
chodzi o optymalny dobór współczynników tłumienia cd ,i i dobór sztywności
stężeń k z ,i łączących tłumiki z konstrukcją. Funkcją celu jest suma ważona modułów funkcji przenoszenia różnic przemieszczeń dwóch sąsiednich kondygnacji
(the interstorey drift) obliczonych dla pierwszej częstości drgań własnych konstrukcji z tłumikami drgań. Przemieszczenia i ich różnice obliczane są na podstawie funkcji przenoszenia składowej wektora H( ) określonej dla pierwszej częstości drgań własnych konstrukcji z tłumikami lepko-sprężystymi (   1 ). Kryterium optymalizacji może być wyrażone za pomocą zależności:
F  wT h(1 ) ,
(5.1)
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
10
gdzie wektor h(1 )  [h1 (1 ), h2 (1 ),.......,hn (1 )]T zbudowany jest z amplitud
funkcji przenoszenia różnicy przemieszczeń ramy, a w  [w1 , w2 ,..., wn ]T jest
wektorem współczynników wagowych.
Ograniczenia rozpatrywanego problemu optymalizacji sformułowano w
postaci następujących zależności:
cd ,i  cmin ,
k z ,i  kmin ,
m
 cd ,i  Cd ,
i 1
m
k
i 1
z ,i
 Kz
(5.2)
gdzie cmin i k min są założonymi, małymi liczbami dodatnimi, symbole C d i K z
oznaczają odpowiednio, wartość sumy współczynników tłumienia i sumy sztywności stężeń układu pasywnej redukcji drgań.
Rozwiązanie problemu optymalizacji uzyskano stosując tzw. metodę sekwencyjną oraz metodę roju cząstek (PSO - particle swarm optimization). W
pierwszej metodzie zadana wartość sumy współczynników tłumienia Cd została
podzielona na pewną ustaloną liczbę części R. W dalszym ciągu jedną część nazywać się będzie tłumikiem. Ze wstępnych obliczeń, które szczegółowo będą
omówione w dalszym ciągu wynika, że przy ustalonym położeniu i parametrach
tłumików stopień redukcji drgań jest proporcjonalny do sztywności zastrzałów.
Ponieważ jedno z ograniczeń rozważanego problemu optymalizacji stwierdza, że
suma sztywności zastrzałów jest stała, więc w tej metodzie przyjęto, że z jednym
tłumikiem jest stowarzyszony zastrzał o sztywności k z ,i  K z / R .
Następnie obliczono wartości funkcji celu dla wszystkich możliwych położeń tłumika (równych liczbie kondygnacji). To położenie tłumika, dla którego
funkcja celu osiąga najmniejszą wartość przyjęto jako szukane optymalne położenie pierwszego tłumika. Następnie procedura jest powtarzana dla wszystkich
kolejnych tłumików. Omawiana metoda jest metodą heurystyczną i nie ma dowodu, że znalezione w ten sposób położenie tłumików odpowiada minimum globalnemu funkcji cel, ale wiele przykładów zastosowania metody sekwencyjnej potwierdza jej skuteczność (patrz praca np. Zhang'a 1992).
Metoda roju cząstek, należąca do kategorii bezgradientowych metod optymalizacji, bazuje na analizie społecznych zachowań w samoorganizujących się
populacjach (np. ławicy ryb, kolonii mrówek, stadzie ptaków, itp.). Polega ona na
poszukiwaniu rozwiązań w wielowymiarowej przestrzeni rozwiązań. Analizowany jest pewien ograniczony zbiór cząstek.
W rozważanym problemie optymalizacyjnym wektor położenia p i cząstki
o numerze i składa się ze współczynników tłumienia tłumików i współczynników
sztywności stężeń ( pi  [cd(i,)1 , cd(i,)2 ,....,cd(i,)n , k z(i,1) , k z(i, 2) ,....,k z(i,n) ]T ) na poszczególnych
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
11
piętrach ramy. Natomiast cechy sprężyste tłumików oblicza się przy złożeniu, że
wszystkie tłumiki są wykonane z takiego samego materiału, dla którego tzw. czas
relaksacji  jest stały (tzn. kd ,i  cd ,i  ). Na początku dla każdej cząstki z populacji przyjmuje się losowo położenie oraz wektor prędkości początkowej. Następnie cząsteczki zaczynają się przemieszczać w przestrzeni rozwiązań. W każdym
kolejnym kroku czasu wyznacza się nowe położenie cząstek korzystając ze wzorów (patrz np. praca Kennedy'ego i Eberharta 1995):
v i k  1  wk v i k  




c1
c
R1 k  b i k   p i k   2 R 2 k  g i k   p i k 
t
t
p i k  1  p i k   v i k  1t
(5.3)
gdzie t  1 oznacza przyrost czasu, p i k  i v i k  oznaczają wektor położenia i
prędkość cząstki i w k-tym kroku czasowym, bi k  i g i k  są wektorami najlepszego położenia jak dotąd osiągniętego, odpowiednio przez cząstkę i oraz przez
cały zbiór cząstek (sąsiadów rozpatrywanej cząstki), symbole R1 k  , R 2 k 
oznaczają diagonalne macierze niezależnych liczb losowych z przedziału 0,1 ,
wk  jest współczynnikiem określanym, jako miara bezwładności ruchu cząstki,
c1 jest stałą, która indywidualizuje cząstkę, a stała c2 nadaje jej cechy społeczne.
Właściwy dobór współczynników c1 , c2 i wk  ma wpływ na efektywność metody roju cząstek. Analizie sposobu doboru tych współczynników poświęcona jest
np. praca Pereza i Behdinana (2007).
Proces iteracyjny zostaje zatrzymany, jeżeli po wykonaniu l kroków czasowych zmiana funkcji celu jest mała, tzn. po spełnieniu warunku:
F (k  l )  F (k )   1 F (k  l )
(5.4)
gdzie  1 jest pewną małą liczbą.
6. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
Wykonano obliczenia dla dziesięciokondygnacyjnej ramy z nieskończenie
sztywnymi ryglami. Sztywność giętna słupów zmienia się co dwa piętra i wynosi
k1  k 2  68710 kN/m ,
k3  k 4  54010 kN/m ,
odpowiednio:
k5  k6  42170 kN/m , k7  k8  28660 kN/m , k9  k10  16450 kN/m . Masa
każdej kondygnacji jest taka sama, skupiona w poziomie stropu i wynosi
ms  2,07Mg (rys. 3a).
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
12
a)
b)
c)
10
k10
9
k9
kd, cd
8
k8
7
k7
kd, cd
2kd, 2cd
6
kd, cd
k6
5
2kd, 2cd
k5
4
k4
kd, cd
3
k3
2kd, 2cd
2
k2
1
k1
Rys. 3. Model 10-cio kondygnacyjnej ramy ścinanej. a) rama bez tłumików, b) rama z
równomiernie rozłożonymi tłumikami, c) optymalny rozkład tłumików
Współczynniki tłumienia konstrukcyjnego są proporcjonalne do sztywności
słupów na każdej kondygnacji: c1  c2  4,76 kNs/m , c 3  c4  3,73 kNs/m ,
c5  c6  2,91 kNs/m , c7  c8  1,98 kNs/m , c9  c10  1,44 kNs/m (dane zaczerpnięto z pracy Zhang'a 1992). Wyznaczono parametry dynamiczne konstrukcji bez tłumików, w obliczeniach uwzględniono tylko tłumienie konstrukcyjne.
Częstości drgań własnych ramy bez tłumików podane są w tabeli 1.
Wartość funkcji celu obliczona dla ramy bez tłumików wynosi
 
F0  1,7053 s 2 . Jest to suma amplitud różnic przemieszczeń dwóch sąsiednich
kondygnacji obliczonych dla pierwszej częstości drgań własnych
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
13
  1  22,69rad s . Natomiast bezwymiarowy współczynnik tłumienia związany z pierwszą częstością drgań własnych wynosi  1  0,0008.
Tabela 1. Częstości drgań własnych  i dla ramy bez tłumików
Nr
częstości
Częstość drgań
własnych
[rad/s]
Nr
częstości
Częstość drgań
własnych
[rad/s]
1
22,690
6
182,399
2
56,534
7
208,638
3
91,909
8
245,147
4
127,472
9
281,524
5
151,769
10
324,052
Przyjęto, że suma współczynników tłumienia tłumików wynosi
Cd  500 kNs / m . W sekwencyjnej metody optymalizacyjnej całkowitą sumę
współczynników tłumienia Cd  500 kNs / m podzielono na 10 równych porcji
(tłumików); stąd c d  50 kNs/m . Współczynnik sztywności tłumika obliczono,
przyjmując stałą wartość czasu relaksacji dla materiału lepko-sprężystego:
 d  cd / kd  0,02 . Natomiast sztywność stężenia łączącego tłumik z konstrukcją
przyjęto, jako ułamek sztywności piętra ramy, tzn. k z  0,4  k1  27500 kN/m .
Suma
współczynników
sztywności
stężeń
wynosi
K z  10  27500kN / m  275 MN / m . Dla tak przyjętych parametrów wyznaczono częstości drgań własnych, bezwymiarowe współczynniki tłumienia oraz
wartości funkcji celu dla wszystkich możliwych położeń pierwszego tłumika.
Wartości funkcji celu wyznaczone dla ramy z jednym tłumikiem zamontowanym kolejno na dziesięciu kondygnacjach przedstawiono na rys. 4. Optymalne
położenie tłumika, w tym przypadku na piętrze siódmym, odpowiada minimalnej
wartości funkcji celu. Dla tego położenia wartość pierwszej częstości drgań własnych i bezwymiarowego współczynnika tłumienia wynoszą: 1  22,794rad s ,
 1  0,00117.
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
14
Taką samą procedurę poszukiwania optymalnego położenia powtórzono
kolejno dla pozostałych dziewięciu tłumików. Ostateczne rozwiązanie, optymalny
 
rozkład tłumików, dla którego funkcja celu wynosi Fopt.  0,3441s 2
przedsta-
wiono na rys. 3c) i w tabeli 2.
Funkcja celu F.
1,60
1,50
1,40
1,30
1,20
1,10
Rys. 4. Wartość
F dla kolejnych
położeń
pierwszego
1 funkcji
2 celu 3
4
5
6
7
8
9
10
Numer kondygnacji
Dla porównania wyznaczono wartość funkcji celu w przypadku, gdy tłumiki są równomiernie rozłożone na ramie. Na każdej kondygnacji jest zamontowany
tłumik o współczynnik tłumienia c d  50 kNs/m , który z konstrukcją łączy stężenie o sztywności k z  27500 kN/m . W tym przypadku wartość funkcji celu wy-
 
nosi FU  0,3807 s 2 .
Następnie przeanalizowano wpływ sztywności stężeń łączących tłumiki z
konstrukcją na parametry dynamiczne konstrukcji. Przyjęto równomierny rozkład
tłumików na konstrukcji i wyznaczono wartości funkcji celu dla różnych wartości
sztywności stężeń łączących tłumiki z konstrukcją. Na wszystkich kondygnacjach
zmiana była taka sama.
Wykres wartości pierwszej częstości drgań własnych 1 i bezwymiarowego współczynnika tłumienia  1 w zależności od sztywności stężeń przedstawiono,
odpowiednio na rys. 5 i 6.
Wpływ sztywności stężeń na wartość funkcji celu przedstawiono na rys. 7.
Największą zmiana parametrów dynamicznych konstrukcji można zaobserwować
przy małych wartościach sztywności stężeń.
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
15
Częstość  1 [1/s 2 ] .
Jeżeli sztywność zastrzału łączącego tłumik z ramą jest równa co najmniej
sztywności danej kondygnacji to zastrzał można traktować, jako nieskończenie
sztywny.
23.5
23.4
23.3
23.2
23.1
23
22.9
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
10
0
22.8
k z [MN/m]
Rys. 5. Zmiana częstości drgań własnych 1 w zależności od sztywności stężeń k z
Rys. 6. Zmiana bezwymiarowego współczynnika tłumienia  1 w zależności od sztywności stężeń k z
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
16
2
Funkcja celu F [s ] .
W drugiej metodzie optymalizacyjnej największą trudność sprawia przyjęcie odpowiednich parametrów sterujących ruchem cząstki, tzn. współczynników
wagowych we wzorze (5.3).
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
k z [MN/m]
Rys. 7. Zmiana funkcji celu F w zależności od sztywności stężeń k z
Po kilku próbach przyjęto c1  1 , c2  1 2 oraz początkową wartość
współczynnika w(k )  0,9 , którą zmniejszano w każdym kroku czasowym o wartość 0,005 . Zmiany wartości funkcji celu w trakcie procesu optymalizacji metodą
roju cząstek przedstawiono na rys. 8.
Funkcja celu F [s 2 ] .
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
17
0.39
0.385
0.38
0.375
0.37
0.365
0.36
0.355
0.35
0.345
0.34
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
Krok czasowy
Rys. 8. Zbieżność funkcji celu F – optymalizacja metodą roju cząstek
Widać, że proces optymalizacji szybko pozwala na wyznaczenie rozwiązania optymalnego. Wartość funkcji celu odpowiadająca rozwiązaniu optymalnemu
 
wynosi FPSO  0,3453 s 2 .
W tabeli 2 porównano rozwiązania optymalne otrzymane za pomocą obu
metod optymalizacji. Widać, że oba rozwiązania są zbliżone, a obserwowane
różnice są wynikiem podziału, w sekwencyjnej metodzie optymalizacji, globalnych właściwości tłumiących na skończone porcje. Widać ponadto, że założenie o
proporcjonalnym rozkładzie sztywności zastrzałów przyjęte w metodzie sekwencyjnej optymalizacji nie wnosi istotnego błędu do rozwiązania optymalnego.
Tabela 2. Rozkład współczynników tłumienia cd ,i i sztywności zastrzałów k z ,i
Numer
kondygnacji
Metoda sekwencyjna
współczynnik
i
cd ,i kNs/m 
1
współczynnik
Metoda roju cząstek
współczynnik
współczynnik
k z,i MN/m 
cd ,i kNs/m 
0
0
6,5
4,9
2
0
0
3,8
5,2
3
100
55
93,3
58,4
4
50
27,5
54,4
29,4
5
100
55
102,5
53,7
k z,i MN/m 
Zdzisław Pawlak, Roman Lewandowski
18
6
50
27,5
29,5
21,8
7
100
55
109,2
56,0
8
50
27,5
47,5
21,1
9
50
27,5
53,1
21,5
10
0
0
0,1
2,7
Suma:
500
275
499,9
274,7
7. WNIOSKI I PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono analizę konstrukcji wyposażonej w tłumiki lepkosprężyste. Do opisu tłumików zastosowano ułamkowy model reologiczny, który
dobrze reprezentuje rzeczywisty materiał lepko-sprężysty, ale zmusza do rozwiązywania równań z pochodnymi ułamkowymi. Zaproponowano sformułowanie
wyrażony za pomocą zmiennych stanu. Rozwiązanie macierzowych równań ruchu
pozwala wyznaczyć charakterystyki dynamiczne konstrukcji.
Celem optymalizacji było znalezienie najlepszego rozkładu tłumików na
konstrukcji. Zagadnienie optymalizacji sformułowano w dziedzinie częstotliwości.
Jako kryterium optymalizacji przyjęto sumę modułów funkcji przenoszenia różnicy przemieszczeń kolejnych kondygnacji wyznaczone dla pierwszej częstości
drgań własnych ramy z wbudowanymi tłumikami drgań.
Na podstawie przeprowadzonych analiz można stwierdzić, że parametry
dynamiczne konstrukcji istotnie zależą od rozkładu tłumików na konstrukcji. Duży wpływ ma także sztywność stężeń, którymi tłumiki są mocowane do konstrukcji. Większa sztywność stężeń sprawia, że tłumiki działają efektywniej. Natomiast
optymalny rozkład sztywności stężeń jest proporcjonalny do rozkładu właściwości tłumiących tłumików. W rozwiązaniu optymalnym większy współczynnik
tłumienia jest stowarzyszony z większą sztywnością stężenia.
Przedstawione wyniki pozawalają także oszacować minimalną sztywność
stężenia, której nie powinno się przekraczać, aby nie obniżyć skuteczności tłumika.
Optymalny rozkład tłumików zależy od wielu czynników i powinien być
wyznaczany indywidualnie dla konkretnej konstrukcji, z uwzględnieniem jej parametrów, sztywności poszczególnych elementów i rozkładu masy.
LITERATURA
Optymalizacja parametrów tłumików drgań ...
19
1. Bagley R. L., Torvik P. J.: Fractional calculus – a different approach to the
analysis of viscoelastically damped structures, AIAA Journal, 27 (1989),
1412–1417.
2. Chang T., Singh M. P.: Seismic analysis of structures with a fractional derivative model of viscoelastic dampers, Earthquake Engineering and Engineering
Vibration, 1(2002), 251-260.
3. Fujita K., Moustafa A., Takewaki I.: Optimal placement of viscoelastic dampers and supporting members under variable critical excitations, Earthquake
and Structures, 1 (2010), 43 – 67.
4. Kennedy J., Eberhart R. C.: Particle Swarm Optimization, Proc. IEEE Int.
Conf. On Neural Networks, Piscataway, 1942-1948, NJ 1995.
5. Lewandowski R., Pawlak Z.: Dynamic Analysis of Frames with Viscoelastic
Dampers Modelled by Rheological Models with Fractional Derivatives, Journal of Sound and Vibration, 2011, 330: 923-936.
6. Park J-H., Kim J., Min K-W.: Optimal design of added viscoelastic dampers
and supporting braces, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 33
(2004), 465 – 484.
7. Park S. W.: Analytical modelling of viscoelastic dampers for structural and
vibration control, International Journal of Solids and Structures, 38 (2001),
8065 – 8092.
8. Perez R. E., Behdinan K.: Particle swarm approach for structural design optimization, Computers and Structures, 85, (2007) 1579-1588.
9. Podlubny I.: Fractional Differential Equations, Academic Press, 1999.
10. Zhang R. H., Soong T. T.: Seismic design of viscoelastic dampers for structural applications, J. Structural Engineering, Vol. 118 (1992), 1375 – 1392.