Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder

PRZEGLĄD STATYSTYCZNY
R. LX – ZESZYT 1 – 2013
GRZEGORZ PERCZAK, PIOTR FISZEDER
ESTYMACJA WARIANCJI ARYTMETYCZNEGO RUCHU BROWNA
NA PODSTAWIE ZNANYCH WARTOĝCI MINIMUM, MAKSIMUM,
KOēCOWEJ ORAZ DRYFU1
1. WPROWADZENIE
ZmiennoĞü jest jednym z waĪniejszych pojĊü wspóáczesnych ¿nansów. Jej znaczenie w teorii ¿nansów jest fundamentalne. Wynika zarówno z teorii ¿nansów,
jak i zastosowaĔ praktycznych. ZmiennoĞü ma zastosowanie zarówno w klasycznej
teorii portfela, wycenie opcji czy analizach obejmujących problem pomiaru ryzyka.
Wariancja logarytmicznej stopy zwrotu instrumentu ¿nansowego moĪe byü miarą niepewnoĞci co do wielkoĞci przyszáych zmian ceny tego instrumentu. Estymacja tego
parametru dokonywana jest na podstawie historycznych notowaĔ rynkowych. W praktyce wystĊpuje jednak zazwyczaj problem z dostĊpem do szczegóáowych danych.
W ogólnodostĊpnych publikowanych notowaniach cen instrumentów ¿nansowych
podawane są najczĊĞciej ceny: otwarcia, minimalna, maksymalna oraz zamkniĊcia,
jakie zostaáy zaobserwowane w danym dniu. Z jednej strony, tak niepeány zbiór
danych utrudnia precyzyjne oszacowanie wariancji. Z drugiej strony, bardzo czĊsto
w analizie danych ¿nansowych wykorzystuje siĊ szeregi czasowe tylko cen zamkniĊcia, co powoduje, Īe estymator wariancji konstruowany jest na podstawie jeszcze
bardziej skąpego zbioru danych skáadającego siĊ z dziennych stóp zwrotu. Celowe
wydaje siĊ zatem przedstawienie problemu wykorzystania dodatkowych informacji
o minimalnej i maksymalnej dziennej cenie rynkowej w estymacji dziennej wariancji,
którym to terminem okreĞlano w dalszej czĊĞci pracy wariancjĊ stopy zwrotu zaobserwowaną miĊdzy zamkniĊciami notowaĔ w kolejnych dniach.
Literatura naukowa dostarcza wielu metod estymacji dziennej wariancji. CzĊsto
róĪnią siĊ one przyjĊtymi zaáoĪeniami, a takĪe wykorzystują róĪnego typu dostĊpne
notowania. Konstruowane w ten sposób estymatory róĪnią siĊ równieĪ znacząco efektywnoĞcią. W niniejszym opracowaniu zostaną bliĪej omówione tylko te, które wykorzystują znajomoĞü co najwyĪej cen otwarcia, minimalnej, maksymalnej i zamkniĊcia.
Przedmiotem zainteresowania nie są estymatory konstruowane na podstawie Ğróddziennych stóp zwrotu (patrz np. Doman, 2011).
Praca zostaáa s¿nansowana ze Ğrodków Narodowego Centrum Nauki projekt numer 2012/05/B/
HS4/00675 nt. „Modelowanie i prognozowanie zmiennoĞci – wykorzystanie dodatkowych informacji
1
o cenach minimalnych i maksymalnych”.
40
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
Analiza publikacji zawierających metody estymacji dziennej wariancji: Parkinson (1980), Garman, Klass (1980), Rogers, Satchell (1991), Kunitomo (1992), Yang,
Zhang (2000) prowadzi do wniosku, Īe w kaĪdej z nich zastosowano inne podejĞcie
modelowe. Zostanie zatem podjĊta próba kompleksowego spojrzenia na ten problem
i dokonany zostanie przegląd najbardziej popularnych estymatorów, skonstruowanych
na podstawie tego samego aparatu matematycznego. Prezentacja istniejącego stanu
wiedzy z jednej wspólnej perspektywy pozwoli oceniü wady i zalety istniejących
estymatorów, wyznaczyü analitycznie ich efektywnoĞü, oceniü zasadnoĞü zaáoĪeĔ,
na podstawie których są konstruowane, oceniü wáasnoĞci estymatorów w sytuacji,
gdy nie są speánione zaáoĪenia modelowe, a takĪe staü siĊ inspiracją do poszukiwaĔ
innych sposobów estymacji wariancji.
Podstawą prowadzonych w pracy analiz bĊdzie rozkáad áączny trójwymiarowego
wektora, którego wspóárzĊdnymi są zmienne losowe minimum, maksimum i wartoĞci
koĔcowej arytmetycznego ruchu Browna. ZnajomoĞü rozkáadu tego wektora umoĪliwia obliczenie wartoĞci oczekiwanych praktycznie dowolnych funkcji wspóárzĊdnych
tego wektora. Zostanie pokazane, Īe niektóre z tych wartoĞci oczekiwanych są równe
wariancji procesu, uzyskany zostanie zatem pewien zbiór estymatorów tego parametru. To z kolei umoĪliwi zarówno sprawdzenie nieobciąĪonoĞci znanych estymatorów,
jak równieĪ obliczenie ich efektywnoĞci oraz konstrukcjĊ nowego, nieobciąĪonego
estymatora. Ponadto, zostanie pokazane, Īe jest on efektywniejszy od wielu innych
dotychczas zaproponowanych estymatorów, pomimo Īe nie wymaga speánienia
restrykcyjnych zaáoĪeĔ.
Wspólną cechą podstawowych, znanych estymatorów dziennej wariancji stopy
zwrotu jest fakt, Īe albo zakáadają one uproszczony model, gdy dryf ma wartoĞü
zerową, albo ich konstrukcja nie wykorzystuje znajomoĞci wartoĞci dryfu. Wydaje siĊ
natomiast, Īe wykorzystanie informacji o wartoĞci dodatkowego parametru powinno
zwiĊkszyü efektywnoĞü estymatora. W opracowaniu zostaną przedstawione wyniki
dotyczące wykorzystania takiego estymatora do estymacji wariancji procesu obserwowanego na rynku kapitaáowym. Zostanie pokazane, Īe szacunki zmiennoĞci konstruowane na podstawie estymatorów wykorzystujących dodatkowo znajomoĞü dziennych
cen minimalnych i maksymalnych są bardziej trafne niĪ te, które konstruuje siĊ na
podstawie modelu GARCH. Estymator konstruowany na podstawie dodatkowych
informacji o cenach minimalnych i maksymalnych moĪe byü w przyszáoĞci wykorzystany do budowy modeli GARCH, dziĊki czemu bĊdzie moĪliwe uzyskanie jeszcze
trafniejszych szacunków zmiennoĞci.
Ukáad artykuáu jest nastĊpujący. W czĊĞci drugiej zostanie przedstawiony rozkáad
áączny zmiennych losowych minimum, maksimum i wartoĞci koĔcowej arytmetycznego ruchu Browna, a nastĊpnie zostanie wyznaczona jego gĊstoĞü i funkcja charakterystyczna oraz wartoĞci oczekiwane iloczynów potĊg tych zmiennych losowych.
Dodatkowo obliczone zostaną wartoĞci oczekiwane funkcji zmiennych losowych
minimum, maksimum i wartoĞci koĔcowej dla niezerowej wartoĞci dryfu. CzĊĞü trzecia zawieraü bĊdzie omówienie znanych estymatorów dziennej wariancji. Wyznaczona
41
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
bĊdzie nie tylko ich efektywnoĞü, lecz takĪe wartoĞü obciąĪenia, w sytuacji gdy nie są
speánione zaáoĪenia modelowe, na podstawie których byáy one konstruowane. Informacje przedstawione w czĊĞci drugiej zostaną wykorzystane do propozycji nowego
estymatora dziennej wariancji. Estymator ten zostanie nastĊpnie zastosowany w badaniu dotyczącym szacowania zmiennoĞci stóp zwrotu indeksu WIG20 notowanego
na GPW w Warszawie. Opracowanie koĔczy podsumowanie. Artykuá powstaá na
podstawie fragmentów pracy Perczaka (2013).
2. TRÓJWYMIAROWY WEKTOR LOSOWY MINIMUM, MAKSIMUM I WARTOĝCI
KOēCOWEJ RUCHU BROWNA
2.1. ZAàOĩENIA ORAZ OZNACZENIA
W opracowaniu przyjĊto, Īe: t jest ustaloną liczbą rzeczywistą dodatnią, jednostką
czasu t jest jeden dzieĔ (czyli wartoĞü t = 1 odpowiada jednej dobie), zmienna IJ
speánia warunek 0 ” IJ ” t, IJ = 0 oznacza moment rozpoczĊcia notowaĔ w bieĪącym
okresie, który jest jednoczeĞnie momentem otwarcia rynku w bieĪącym okresie, BIJ
jest standardowym procesem Wienera, SIJ jest ceną instrumentu ¿nansowego odnotowaną w chwili IJ. Stopa zwrotu, zde¿niowana jako xIJ = ln(St ࣹS0) jest realizacją
arytmetycznego ruchu Browna: XIJ = ȝIJ + ıBIJ w punkcie IJ = t. Ponadto przyjĊto:
Ct : max X W , At : min X W .
0dW dt
0dW dt
W praktyce najczĊĞciej zakáada siĊ, Īe rozpatrywany okres t jest równy jednej
dobie. Problem wyznaczenia minimum i maksimum dziennej logarytmicznej stopy
zwrotu jest nieco bardziej záoĪony. Jego ilustracjĊ przedstawia rysunek 1.
CenaS(t)
Rynekzamkniħty
Rynekotwarty
H1
S1
O1
L1
S0
Czast
1
Wczorajsze
zamkniħcie
Dzisiejsze
otwarcie
Dzisiejsze
zamkniħcie
Rysunek 1. Przykáadowa realizacja ceny instrument ¿nansowego w ciągu dnia
ħródáo: opracowanie wáasne na podstawie pracy Garmana, Klassa (1980, str. 70).
42
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
Z notowaĔ w ciągu dnia zazwyczaj ogólnodostĊpnych jest tylko piĊü wielkoĞci:
S0 – wczorajsza cena zamkniĊcia,
O1 – dzisiejsza cena otwarcia,
H1 – odnotowane w dniu dzisiejszym maksimum ceny,
L1 – odnotowane w dniu dzisiejszym minimum ceny,
S1 – dzisiejsza cena zamkniĊcia.
Wykorzystanie informacji dotyczących cen, jakie zaobserwowano tylko w okresie od momentu rozpoczĊcia do zakoĔczenia notowaĔ rynkowych, nie pozawala na
prawidáowe wyznaczenie zmiennoĞci dobowej. W takim wypadku moĪna co najwyĪej
oszacowaü zmiennoĞü jaka miaáa miejsce w czasie funkcjonowania rynku. WartoĞci
notowaĔ L1 i H1 zostaáy ustalone dla okresu, w którym rynek byá otwarty, a nie dla
caáej doby, co ilustruje rysunek 1. W związku z tym konieczne jest przede¿niowanie wartoĞci minimalnej i maksymalnej tak, aby obejmowaáy one okres pomiĊdzy
dwoma kolejnymi zamkniĊciami notowaĔ (czyli peánej doby). Ostatecznie zostaną
zatem przyjĊte nastĊpujące de¿nicje dziennych stóp zwrotu minimum i maksimum
At: = min(ln L1, ln S0) – ln S0, Ct: = max(ln H1, ln S0) – ln S0. Zmienna Xt: = ln(St ࣹS0)
bĊdzie okreĞlana jako stopa zwrotu wartoĞci koĔcowej. Ponadto, przyjĊto zaáoĪenie,
Īe wariancja procesu jest staáa w ciągu dnia, a jednoczeĞnie dopuszczalna jest jej
zmiennoĞü w kolejnych dniach. Z tego powodu ustalony zostaá warunek: 0 < t ” 1.
2.2. ROZKàAD àĄCZNY ZMIENNYCH LOSOWYCH STÓP ZWROTU MAKSIMUM, MINIMUM
I WARTOĝCI KOēCOWEJ RUCHU BROWNA
ZnajomoĞü rozkáadu áącznego wektora trzech zmiennych losowych (At, Ct, Xt)
umoĪliwia wyznaczenie wartoĞci oczekiwanych wybranych funkcji tych zmiennych.
PoniewaĪ rozkáad ten ma skomplikowaną postaü, zatem w pierwszej kolejnoĞci zaprezentowane zostaną rozkáady áączne wektorów (Ct, Xt) oraz (At, Xt).
Istnieje wiele opracowaĔ, w których omawiany jest problem rozkáadu áącznego
wektorów (Ct, Xt), np. Cox, Miller (1965), Harrisson (1985). Zagadnienie to jest równieĪ bardzo czĊsto omawiane przy wycenie opcji barierowych (patrz np. Li, 1998;
Jakubowski i inni, 2006).
RozwaĪane jest zdarzenie losowe {Ct ” c, Xt ” x} gdy x ” c i 0 ” c. Dystrybuanta
rozkáadu áącznego wektora zmiennych losowych (Ct, Xt) opisana jest formuáą (patrz
Harrisson, 1985, str. 13, wzór (8)):
ሺ‫ܥ‬௧ ൑ ܿǡ ܺ௧ ൑ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȱ ൬
‫ ݔ‬െ ߤ‫ݐ‬
ߪ ξ‫ݐ‬
ଶఓ௖
൰ െ ݁ ఙమ Ȱ ൬
‫ ݔ‬െ ʹ… െ ߤ‫ݐ‬
ߪ ξ‫ݐ‬
൰ǡ
(1)
gdzie ĭ oznacza dystrybuantĊ standaryzowanego rozkáadu normalnego.
Na podstawie równania (1) wyprowadzono formuáĊ na gĊstoĞü rozkáadu áącznego
wektora zmiennych losowych (Ct, Xt):
43
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
݂஼೟ǡ௑೟ ሺܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ
ൌ
߲ ଶ ሺ‫ܥ‬௧ ൑ ܿǡ ܺ௧ ൑ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ
ൌ
߲߲ܿ‫ݔ‬
ξʹሺʹܿ െ ‫ݔ‬ሻ݁
ି
ሺ௫ିఓ௧ሻమ ିସ௖ሺ௫ି௖ሻ
ଶఙ మ ௧
ଷ
ൌ
ξʹሺʹܿ െ ‫ݔ‬ሻ݁
ሺ௫ିଶ௖ିఓ௧ሻమ ିସఓ௖௧
ି
ଶఙ మ ௧
ଷ
ξߨߪ ଷ ‫ ݐ‬ଶ
Ǥ (2)
ξߨߪ ଷ ‫ ݐ‬ଶ
Wyznaczono równieĪ funkcjĊ charakterystyczną rozkáadu áącznego wektora zmiennych losowych (Ct, Xt):
௖
ஶ
ଶ
߮஼೟ǡ௑೟ ሺ‫ݍ‬ǡ ‫ݏ‬Ǣ ߤǡ ߪ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ න න ݁ ௜௤௖ା௜௦௫ ݂஼೟ǡ௑೟ ሺܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ݀‫ ܿ݀ݔ‬ൌ
଴ ିஶ
ଵ
൫ሺ‫ ݍ‬൅ ‫ݏ‬ሻߪ ଶ െ ݅ߤ൯݁ ଶ
ሺെߤ െ ݅ሺ‫ ݍ‬൅ ‫ݏ‬ሻߪ ଶ ሻξ‫ݐ‬
‡”ˆ… ቆ
ቇ
ξʹߪ
൅
ሺ‫ ݍ‬൅ ʹ‫ݏ‬ሻߪ ଶ െ ʹ݅ߤ
ሺ௤ା௦ሻ൫ିሺ௤ା௦ሻఙ మ ାଶ௜ఓ൯௧
ൌ
ଵ
ሺߤ ൅ ݅‫ ߪݏ‬ଶ ሻξ‫ݐ‬
ቇ
ξʹߪ
ǡ
ሺ‫ ݍ‬൅ ʹ‫ݏ‬ሻߪ ଶ െ ʹ݅ߤ
ሺ‫ ߪݏ‬ଶ െ ݅ߤሻ݁ ଶ௦൫ି௦ఙ
൅
gdzie ‡”ˆሺ‫ݔ‬ሻ ൌ
ଶ ௫ ି௧ మ
‫ݐ݀ ݁ ׬‬,
ξగ ଴
మ ାଶ௜ఓ൯௧
‡”ˆ… ቆ
(3)
‡”ˆ…ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ͳ െ ‡”ˆሺ‫ݔ‬ሻ.
Z kolei rozwaĪmy zdarzenie {At > a, Xt > x} gdy a ” 0 i a ” x. TakĪe w tym
wypadku moĪna wyznaczyü jego prawdopodobieĔstwo stosując analogiĊ do poprzednio rozpatrywanego zdarzenia:
ሺ‫ܣ‬௧ ൐ ܽǡ ܺ௧ ൐ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ Ȱ ൬
െ‫ ݔ‬൅ ߤ‫ݐ‬
ߪ ξ‫ݐ‬
ଶఓ௔
൰ െ ݁ ఙమ Ȱ ൬
െ‫ ݔ‬൅ ʹܽ ൅ ߤ‫ݐ‬
ߪ ξ‫ݐ‬
൰Ǥ
(4)
GĊstoĞü rozkáadu áącznego wektora zmiennych losowych (At, Xt) dana jest formuáą:
݂஺೟ǡ௑೟ ሺܽǡ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ
ൌ
߲ ଶ ܲሺ‫ܣ‬௧ ൐ ܽǡ ܺ௧ ൐ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ
ൌ
߲߲ܽ‫ݔ‬
ξʹሺ‫ ݔ‬െ ʹܽሻ݁
ξ
ሺ௫ିఓ௧ሻమ ିସ௔ሺ௫ି௔ሻ
ି
ଶఙ మ ௧
ଷ
ߨߪ ଷ ‫ ݐ‬ଶ
ൌ
ξʹሺ‫ ݔ‬െ ʹܽሻ݁
ξ
ሺ௫ିଶ௔ିఓ௧ሻమ ିସఓ௔௧
ି
ଶఙ మ ௧
ଷ
ߨߪ ଷ ‫ ݐ‬ଶ
Ǥ (5)
Funkcja charakterystyczna rozkáadu áącznego wektora zmiennych losowych (At, Xt)
wygląda nastĊpująco:
44
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
଴ ஶ
ଶ
߮஺೟ ǡ௑೟ ሺ‫݌‬ǡ ‫ݏ‬Ǣ ߤǡ ߪ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ න න ݁ ௜௣௔ା௜௦௫ ݂஺೟ǡ௑೟ ሺܽǡ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ݀‫ ܽ݀ݔ‬ൌ
ିஶ ௔
ଵ
൫ሺ‫ ݌‬൅ ‫ݏ‬ሻߪ ଶ െ ݅ߤ൯݁ ଶ
ሺߤ ൅ ݅ሺ‫ ݌‬൅ ‫ݏ‬ሻߪ ଶ ሻξ‫ݐ‬
‡”ˆ… ቆ
ቇ
ξʹߪ
൅
ሺ‫ ݌‬൅ ʹ‫ݏ‬ሻߪ ଶ െ ʹ݅ߤ
ሺ௣ା௦ሻ൫ିሺ௣ା௦ሻఙ మ ାଶ௜ఓ൯௧
ൌ
ଵ
ሺെߤ െ ݅‫ ߪݏ‬ଶ ሻξ‫ݐ‬
‡”ˆ… ቆ
ቇ
ξʹߪ
Ǥ
ሺ‫ ݌‬൅ ʹ‫ݏ‬ሻߪ ଶ െ ʹ݅ߤ
ሺ‫ ߪݏ‬ଶ െ ݅ߤሻ݁ ଶ௦൫ି௦ఙ
൅
మ ାଶ௜ఓ൯௧
(6)
Problem wyznaczenia rozkáadu wektora (At, Ct, Xt) rozwaĪany byá np. w opracowaniach Coxa, Millera (1965), Li (1998). GĊstoĞü rozkáadu Xt z górną i dolną barierą
absorbującą równymi odpowiednio c i a opisuje nastĊpujący wzór (patrz Cox, Miller,
1965, str. 222, formuáa (78)):
݂௑೟ ሺ‫ݔ‬Ǣ‫ܥ‬௧ ൑ ܿǡ ‫ܣ‬௧ ൐ ܽǢ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ
ൌ
ͳ
ஶ
෍ ݁
ଶ௞ሺ௖ି௔ሻఓ
ఙమ
ξʹߨ‫ ߪݐ‬௞ୀିஶ
ቆ݁
ሺ௫ିଶ௞ሺ௖ି௔ሻିఓ௧ሻమ
ଶ௖ఓ௧ିሺ௫ିଶ௖ିଶ௞ሺ௖ି௔ሻିఓ௧ሻమ
ି
ଶఙ మ ௧
ଶఙ మ ௧
െ݁
ቇǡ
(7)
gdzie a ” 0 ” c, a ” x ” c.
Korzystając ze wzoru (7) wyznaczono gĊstoĞü rozkáadu áącznego wektora zmiennych
losowych (At, Ct, Xt):
݂஺೟ǡ஼೟ǡ௑೟ ሺܽǡ ܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ െ
߲ ଶ ݂௑೟ ሺ‫ݔ‬Ǣ ‫ܥ‬௧ ൑ ܿǡ ‫ܣ‬௧ ൐ ܽǢ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ
ൌ
߲߲ܽܿ
ஶ
ൌ ෍ ሺ݃ሺܽǡ ܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ݇ǡ ݇ǡ ߤǡ ߪǡ ‫ݐ‬ሻ െ ݃ሺܽǡ ܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ݇ǡ ݇ ൅ ͳǡ ߤǡ ߪǡ ‫ݐ‬ሻሻǡ (8)
௞ୀିஶ
gdzie funkcja g opisana jest zaleĪnoĞcią:
݃ሺܽǡ ܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ݉ǡ ݊ǡ ߤǡ ߪǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ
ൌ
Ͷ݉݊
ξʹߨߪ ହ ‫ݐ‬
ଶ
ఱൗ
మ
ቂ൫‫ ݔ‬െ ʹሺ݊ܿ െ ݉ܽሻ൯ െ ߪ
ଶ
ଶሺ௡௖ି௠௔ሻఓ௧ିሺ௫ିଶሺ௡௖ି௠௔ሻିఓ௧ሻమ
ଶఙ మ ௧
‫ݐ‬ቃ ݁
Ǥ
(9)
FunkcjĊ charakterystyczną rozkáadu áącznego wektora zmiennych losowych
(At, Ct, Xt) opisuje formuáa:
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
45
߮஺೟ ǡ஼೟ǡ௑೟ ሺ‫݌‬ǡ ‫ݍ‬ǡ ‫ݏ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ
଴ ஶ ௖
ൌ න න න ݁ ௜௣௔ା௜௤௖ା௜௦௫ ݂஺೟ǡ஼೟ǡ௑೟ ሺܽǡ ܿǡ ‫ݔ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ݀‫ܽ݀ܿ݀ݔ‬
(10)
ିஶ ଴ ௔
Z uwagi na bardzo záoĪoną postaü tej funkcji jej szczegóáowe przedstawienie zostanie
w tym przypadku pominiĊte2.
ZnajomoĞü postaci funkcji charakterystycznych umoĪliwia obliczenie wartoĞci
oczekiwanych wybranych zmiennych losowych. Przykáadowo, dla caákowitych wartoĞci u, v, w uzyskujemy:
‫ܧ‬ሾ‫ܣ‬௧ ௨ ‫ܥ‬௧ ௩ ܺ௧ ௪ ሿ ൌ
ͳ ߲ ௡ ߮஺೟ǡ ஼೟ǡ ௑೟ ሺ‫݌‬ǡ ‫ݍ‬ǡ ‫ݏ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ
ǡ
߲‫݌‬௨ ߲‫ݍ‬௩ ߲‫ ݏ‬௪
݅௡
(11)
gdzie n = u + v + w.
W sytuacji, gdy u = 0 lub v = 0, wygodniej jest skorzystaü odpowiednio z formuá:
‫ܧ‬ሾ‫ܥ‬௧ ௩ ܺ௧ ௪ ሿ ൌ
ͳ ߲ ௡ ߮ ஼೟ǡ ௑೟ ሺ‫ݍ‬ǡ ‫ݏ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ
݅௡
߲‫ݍ‬௩ ߲‫ ݏ‬௪
(12)
‫ܧ‬ሾ‫ܣ‬௧ ௨ ܺ௧ ௪ ሿ ൌ
ͳ ߲ ௡ ߮ ஺೟ ǡ ௑೟ ሺ‫݌‬ǡ ‫ݏ‬Ǣ ߤǡ ߪ ଶ ǡ ‫ݐ‬ሻ
Ǥ
߲‫݌‬௨ ߲‫ ݏ‬௪
݅௡
(13)
oraz
2.3. MOMENTY ZWYKàE ZMIENNYCH LOSOWYCH STÓP ZWROTU MINIMUM,
MAKSIMUM I WARTOĝCI KOēCOWEJ RUCHU BROWNA
PrzyjĊto nastĊpujące oznaczenia i de¿nicje:
߭ǣ ൌ
ఓ ξ௧
ఙ
(14)
,
ஶ
మ
ଶ௞ሺ௞ାଵሻజ
ͳ
ି
ሺଶ௞ାଵሻమ ǡ
ሺ݊ǡ ‫ݕ‬ǡ ߭ሻǣ ൌ ෍
݁
ሺ݇ ൅ ‫ݕ‬ሻ௡
(15)
௞ୀଵ
dla n ʓ Ժ, n > 0, y > 0, ȣ ʓ Թ,
ஶ
Ƀሺ݊ሻǣ ൌ ሺ݊ǡ Ͳǡ Ͳሻ ൌ ෍
௞ୀଵ
2
ͳ
ǡ
݇௡
Formuáa moĪe zostaü udostĊpniona na Īyczenie Czytelnika.
(16)
46
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
dla n ʓ Ժ, n > 1 ȗ(n) jest tzw. funkcją Zeta-Riemanna,
ȡଵ ሺ߭ሻǣ ൌ ȡሺͳǡ Ͳǡ ߭ሻ െ ʹȡ ൬ͳǡ
ͳ
ǡ ߭൰ ൅ ȡሺͳǡ ͳǡ ߭ሻ
ʹ
(17)
ȡଶ ሺ߭ሻǣ ൌ ͳ െ ȡሺʹǡ Ͳǡ ߭ሻ ൅ ȡሺʹǡ ͳǡ ߭ሻ ൌ
ൌ ʹሺ͵ െ Ͷ Ž ʹሻ߭ ଶ ൅ ʹ߭ ସ ൅
௠ିଵ
ஶ
൅෍߭
ଶ௠
௠ୀଶ
෍
௝ୀଵ
ሺെͳሻ௠ା௝ ൫ʹଶ௝ାଵ െ ͳ൯Ƀሺʹ݆ ൅ ͳሻ
ൌ
ʹ௠ାଶ௝ିଷ ݉ሺ݉ െ ͳሻሺ݉ െ ݆ െ ͳሻǨ ሺ݆ െ ͳሻǨ
ൌ ʹሺ͵ െ Ͷ Ž ʹሻ߭ ଶ ൅ ቆʹ െ
൅ ቆെ
൅ቆ
Ȣଵ ሺ߭ሻǣ ൌ
͹Ƀሺ͵ሻ ସ
͹Ƀሺ͵ሻ ͵ͳɃሺͷሻ ଺
ቇ߭ ൅ ቆ
െ
ቇ߭ ൅
Ͷ
ʹͶ
ͻ͸
͹Ƀሺ͵ሻ ͵ͳɃሺͷሻ ͳʹ͹Ƀሺ͹ሻ ଼
൅
െ
ቇ߭ ൅
ͳͻʹ
͵ͺͶ
͵Ͳ͹ʹ
͹Ƀሺ͵ሻ ͵ͳɃሺͷሻ ͳʹ͹Ƀሺ͹ሻ ͷͳͳɃሺͻሻ ଵ଴
െ
൅
െ
ቇ ߭ ൅ ‫ڮ‬ǡ
ʹͷ͸Ͳ
ͳͲʹͶͲ
ͳʹʹͺͺͲ
ͳͻʹͲ
(18)
ȡଷ ሺ߭ሻǣ ൌ ȡሺ͵ǡ Ͳǡ ߭ሻ ൅ ȡሺ͵ǡ ͳǡ ߭ሻ
(19)
ȡସ ሺ߭ሻǣ ൌ ͳ െ ȡሺͶǡ Ͳǡ ߭ሻ ൅ ȡሺͶǡ ͳǡ ߭ሻ
(20)
ͳ
ͳ
ͳ
൅ ଶ ൫െ͵ ൅ ȡଶ ሺ߭ሻ ൅ ȡଷ ሺ߭ሻ൯ ൅ ସ ൫ͺȡଶ ሺ߭ሻ െ ȡସ ሺ߭ሻ൯ǡ
Ͷ߭
ʹ ʹ߭
ͳ
ͳ
ǡ ߭൰ ൅ Ͷȡଵ ሺ߭ሻ ൅ ȡଶ ሺ߭ሻ െ
ʹ
ʹ
͵
͵
െ ଶ ൫Ͷȡଵ ሺ߭ሻ ൅ ȡଶ ሺ߭ሻ൯ ൅ ସ ȡଶ ሺ߭ሻǡ
߭
ʹ߭
(21)
Ȣଶ ሺ߭ሻǣ ൌ െȡ ൬͵ǡ
(22)
ͳ
͵ ߭ଶ
͵
͵
Ȣଷ ሺ߭ሻǣ ൌ െ െ ൅ ͸ȡଵ ሺ߭ሻ ൅ ȡଶ ሺ߭ሻ െ ȡ ൬͵ǡ ǡ ߭൰ ൅
ʹ
ʹ ʹ
Ͷ
ʹ
൅
൅
ͳ ͻ
͵
ቆ െ ͻȡଵ ሺ߭ሻ െ ͵ȡଶ ሺ߭ሻ െ ȡଷ ሺ߭ሻቇ ൅
߭ଶ Ͷ
Ͷ
జమ
͵
͵
͵
ͳ
ି
ଶ ൅ ͵ȡଶ ሺ߭ሻ െ ȡଷ ሺ߭ሻ ൅ ȡସ ሺ߭ሻ൱Ǥ
൭െ
൅
͵Ƀሺ͵ሻ݁
ସ
ʹ
ʹ
Ͷ
߭
(23)
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
47
Korzystając z formuá (11), (12), (13) moĪna obliczyü wartoĞci oczekiwane dowolnych potĊg zmiennych At, Ct, Xt. PoniĪej przedstawiono wyprowadzone wzory dla
wybranych momentów do czwartego rzĊdu wáącznie.
Momenty pierwszego rzĊdu dla ȣ  0 (ȝ  0) dane są w postaci:
‫ܧ‬ሾܺ௧ ሿ ൌ ߤ‫ ݐ‬ൌ ߭ߪξ‫ݐ‬ǡ
ߪ ξ‫ͳ ݐ‬
߭
ʹ జమ
൮൬ ൅ ߭൰ ‡”ˆ ൬ ൰ ൅ ඨ ݁ ି ଶ ൅ ߭൲ǡ
ʹ
߭
ߨ
ξʹ
(25)
߭
ʹ జమ
ߪ ξ‫ݐ‬
ͳ
ቌെ ൬ ൅ ߭൰ ‡”ˆ ൬ ൰ െ ඨ ݁ ି ଶ ൅ ߭ቍǤ
߭
ߨ
ʹ
ξʹ
(26)
‫ܧ‬ሾ‫ܥ‬௧ ሿ ൌ
‫ܧ‬ሾ‫ܣ‬௧ ሿ ൌ
(24)
Momenty drugiego rzĊdu dla ȣ  0 (ȝ  0) opisują formuáy:
‫ܧ‬ൣܺ௧ ଶ ൧ ൌ ߪ ଶ ‫ ݐ‬൅ ߤଶ ‫ ݐ‬ଶ ൌ ߪ ଶ ‫ݐ‬ሺͳ ൅ ߭ ଶ ሻǡ
(27)
జమ
ሺͳ ൅ ߭ ଶ ሻ݁ ି ଶ
ͳ
߭
߭ଶ
‫ܧ‬ൣ‫ܥ‬௧ ଶ ൧ ൌ ߪ ଶ ‫ ݐ‬቎൬െ ଶ ൅ ʹ߭ ଶ ൅ ͳ൰ ‡”ˆ ൬ ൰ ൅
൅ ͳ ൅ ቏ǡ
ʹ߭
ʹ
ξʹ
ξʹߨ߭
(28)
జమ
ሺͳ ൅ ߭ ଶ ሻ݁ ି ଶ
ͳ
߭
߭ଶ
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ଶ ൧ ൌ ߪ ଶ ‫ ݐ‬቎൬ ଶ െ ʹ߭ ଶ െ ͳ൰ ‡”ˆ ൬ ൰ െ
൅ ͳ ൅ ቏ǡ
ʹ߭
ʹ
ξʹ
ξʹߨ߭
(29)
ͳ
ͳ
‫ܧ‬ሾ‫ܣ‬௧ ‫ܥ‬௧ ሿ ൌ ߪ ଶ ‫ ݐ‬൤െ ൅ ଶ ߄ଶ ሺ߭ሻ൨ǡ
ʹ Ͷ߭
(30)
జమ
ሺͳ ൅ ߭ ଶ ሻ݁ ି ଶ ͳ ߭ ଶ
ͳ
߭
ଶ
ଶ
‫ܧ‬ሾ‫ܥ‬௧ ܺ௧ ሿ ൌ ߪ ‫ ݐ‬቎൬െ ଶ ൅ ʹ߭ ൅ ͳ൰ ‡”ˆ ൬ ൰ ൅
൅ ൅ ቏ǡ
ʹ߭
ʹ ʹ
ξʹߨ߭
ξʹ
(31)
జమ
ሺͳ ൅ ߭ ଶ ሻ݁ ି ଶ ͳ ߭ ଶ
ͳ
߭
‫ܧ‬ሾ‫ܣ‬௧ ܺ௧ ሿ ൌ ߪ ଶ ‫ ݐ‬቎൬ ଶ െ ʹ߭ ଶ െ ͳ൰ ‡”ˆ ൬ ൰ െ
൅ ൅ ቏Ǥ
ʹ߭
ʹ ʹ
ξʹ
ξʹߨ߭
(32)
Moment trzeciego rzĊdu dla ȣ  0 (ȝ  0) opisuje zaleĪnoĞü:
ଷ
‫ܧ‬ൣܺ௧ ଷ ൧ ൌ ͵ߪ ଶ ߤ‫ ݐ‬ଶ ൅ ߤଷ ‫ ݐ‬ଷ ൌ ߪ ଷ ‫ ݐ‬ଶ ሺ͵߭ ൅ ߭ ଷ ሻǤ
(33)
48
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
Momenty czwartego rzĊdu dla ȣ  0 (ȝ  0) przedstawione są równaniami:
‫ܧ‬ൣܺ௧ ସ ൧ ൌ ͵ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൅ ͸ߪ ଶ ߤଶ ‫ ݐ‬ଷ ൅ ߤସ ‫ ݐ‬ସ ǡ
(34)
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ଶ ܺ௧ ଶ ൅ ‫ܥ‬௧ ଶ ܺ௧ ଶ ൧ ൌ Ͷߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൅ ͹ߪ ଶ ߤଶ ‫ ݐ‬ଷ ൅ ߤସ ‫ ݐ‬ସ ǡ
(35)
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ସ ൅ ‫ܥ‬௧ ସ ൧ ൌ ͸ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൅ ͺߪ ଶ ߤଶ ‫ ݐ‬ଷ ൅ ߤସ ‫ ݐ‬ସ ǡ
(36)
ͻ
ͳͷ
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ଷ ܺ௧ ൅ ‫ܥ‬௧ ଷ ܺ௧ ൧ ൌ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൅ ߪ ଶ ߤଶ ‫ ݐ‬ଷ ൅ ߤସ ‫ ݐ‬ସ ǡ
ʹ
ʹ
(37)
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ܺ௧ ଷ ൅ ‫ܥ‬௧ ܺ௧ ଷ ൧ ൌ ͵ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൅ ͸ߪ ଶ ߤଶ ‫ ݐ‬ଷ ൅ ߤସ ‫ ݐ‬ସ ǡ
(38)
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ଶ ‫ܥ‬௧ ଶ ൧ ൌ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ȣଵ ሺ߭ሻǡ
(39)
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ଶ ‫ܥ‬௧ ܺ௧ ൅ ‫ܣ‬௧ ‫ܥ‬௧ ଶ ܺ௧ ൧ ൌ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ቆȢଶ ሺ߭ሻ െ
߭ଶ ͳ
െ ቇǡ
ʹ ʹ
(40)
ͳ
߭ଶ ͳ
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ‫ܥ‬௧ ܺ௧ ଶ ൧ ൌ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ቆ Ȣଶ ሺ߭ሻ െ െ ቇǡ
ʹ ʹ
ʹ
(41)
‫ܧ‬ൣ‫ܣ‬௧ ଷ ‫ܥ‬௧ ൅ ‫ܣ‬௧ ‫ܥ‬௧ ଷ ൧ ൌ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ȣଷ ሺ߭ሻǤ
(42)
Dla ȣ = 0 (ȝ = 0) przedstawione w równaniach (24-42) momenty zmiennych losowych moĪna wyznaczyü analogicznie korzystając z tych samych formuá (11), (12),
(13). Jednak w tym wypadku konieczne jest wyznaczenie granic funkcji po prawej
stronie dla ȣ ĺ 0 (ȝ ĺ 0). W wiĊkszoĞci wypadków, prostszym sposobem jest jednak
wykorzystanie wzoru Vasicka (patrz Garman, Klass, 1980, str. 78). Gotowe wyniki
moĪna znaleĨü w pracy Garmana, Klassa (1980, str. 74).
3. ESTYMATORY ZMIENNOĝCI
3.1. PRZEGLĄD ESTYMATORÓW WARIANCJI KONSTRUOWANYCH NA PODSTAWIE
ZNAJOMOĝCI CEN MINIMALNYCH, MAKSYMALNYCH I ZAMKNIĉCIA
ToĪsamoĞci (24-42) zostaáy wyprowadzone przy wykorzystaniu znajomoĞci
rozkáadu áącznego zmiennych losowych At, Ct, Xt. Na ich podstawie moĪna uzyskaü
wiele informacji na temat znanych estymatorów wariancji ruchu Browna. Autorom
publikacji nie jest znane Īadne opracowanie, w którym przedstawiona byáaby kom-
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
49
pleksowa analiza estymatorów wariancji przy wykorzystaniu tego samego aparatu
matematycznego. W punkcie 3.1 wyznaczone zostaną m.in. obciąĪenia wybranych,
popularnych estymatorów wariancji dla niezerowego dryfu, a takĪe sformuáowane
zostaną dokáadne wartoĞci wariancji estymatorów. Te charakterystyki nie byáy dotąd
nigdzie publikowane.
Najbardziej popularny, nieobciąĪony estymator wariancji procesu konstruowany
jest na podstawie jedynie cen zamkniĊcia, ale wymaga równieĪ znajomoĞci wartoĞci
dryfu. MoĪna go przedstawiü w postaci formuáy:
‫ݏ‬෢ଶ ଴ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ሺܺ௧ െ ߤ‫ݐ‬ሻଶ .
(43)
Jego wariancja jest równa:
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଴ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ‫ܧ‬ሾሺሺܺ௧ െ ߤ‫ݐ‬ሻଶ െ ߪ ଶ ‫ݐ‬ሻଶ ሿ ൌ ‫ܧ‬ሾሺܺ௧ െ ߤ‫ݐ‬ሻସ െ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ሿ ൌ ʹߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ . (44)
Wysoka wartoĞü wariancji tego estymatora wynika oczywiĞcie z czĊĞciowego tylko
wykorzystania zbioru danych At, Ct, Xt.
Podobną cechĊ ma estymator Parkinsona (1980) dany wzorem:
‫ݏ‬෢ଶଵ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
ሺ‫ܥ‬௧ െ ‫ܣ‬௧ ሻଶ
ǡ
Ͷ Ž ʹ
(45)
przy konstrukcji którego nie wykorzystuje siĊ znajomoĞci Xt. Dla ȝ = 0 jest on nieobciąĪonym estymatorem wariancji ı2t arytmetycznego ruchu Browna. W praktyce,
estymator ten wykorzystywany jest czĊsto w sytuacji, gdy wartoĞü dryfu ȝ jest nieznana, bądĨ teĪ, gdy ȝ  0. Korzystając z równaĔ (28-30) wyprowadzono formuáĊ na
wartoĞü oczekiwaną estymatora Parkinsona dla niezerowego dryfu:
‫ܧ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶଵ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ
ͳ
ͳ
൬͵ െ ଶ ȡଶ ሺ߭ሻ ൅ ߭ ଶ ൰ ߪ ଶ ‫ ݐ‬ൌ
Ͷ Ž ʹ
ʹ߭
ஶ
௠
௠ୀଵ
௝ୀଵ
ሺെͳሻ௠ା௝ ൫ʹଶ௝ାଵ െ ͳ൯ɃሺʹŒ ൅ ͳሻ
ͳ
ൌ ቌͳ ൅
෍ ߭ ଶ௠ ෍ ௠ାଶ௝ିଵ
ቍ ߪ ଶ‫ ݐ‬ൌ
ʹ
Ͷ Ž ʹ
݉ሺ ൅ ͳሻሺ െ ŒሻǨ ሺŒ െ ͳሻǨ
ൌ ቈͳ ൅
൅ቆ
൅ ቆെ
͹Ƀሺ͵ሻ ଶ
͹Ƀሺ͵ሻ
͵ͳɃሺͷሻ
߭ ൅ ቆെ
൅
ቇ ߭ସ ൅
͵ʹ Ž ʹ
ͳͻʹ Ž ʹ ͹͸ͺ Ž ʹ
͹Ƀሺ͵ሻ
͵ͳɃሺͷሻ
ͳʹ͹Ƀሺ͹ሻ
െ
൅
ቇ ߭଺ ൅
ͳͷ͵͸ Ž ʹ ͵Ͳ͹ʹ Ž ʹ ʹͶͷ͹͸ Ž ʹ
͹Ƀሺ͵ሻ
͵ͳɃሺͷሻ
ͳʹ͹Ƀሺ͹ሻ
ͷͳͳɃሺͻሻ
൅
െ
൅
ቇ ߭ ଼ ൅ ‫ ڮ‬቉ ߪ ଶ ‫ݐ‬ǡ (46)
ͳͷ͵͸Ͳ Ž ʹ ʹͲͶͺͲ Ž ʹ ͺͳͻʹͲ Ž ʹ ͻͺ͵ͲͶͲ Ž ʹ
gdzie ȣ oraz ȗ (·) zostaáy zde¿niowane w równaniach (14) i (16).
50
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
Rysunek 2 daje pogląd na temat wielkoĞci obciąĪenia tego estymatora w zaleĪnoĞci od wartoĞci parametru ȣ.
1,14
1 4
1,13
1
1,12
1
1,11
1
1,10
1 0
1,09
1
1,08
1 8
1,07
1 7
1,06
1 6
1,05
1
1,04
1 4
1,03
1
1,02
1
1,01
1
1,00
1 0
esttym
mato
orPaarkiinso
ona
esttym
mato
orGarm
manaͲKlasssa
|v|
0,00
0,2
20
0,,40
0,60
0
0,8
80
1,0
00
Iloraz wartoĞci oczekiwanej estymatora i wariancji ruchu Browna w zaleĪnoĞci od parametru ȣ.
Rysunek 2. ObciąĪenie estymatorów Parkinsona i Garmana-Klassa dla niezerowego dryfu
ħródáo: opracowanie wáasne.
Korzystając z toĪsamoĞci podanych we wzorach (28–30), (36), (39) i (42) moĪna
wyznaczyü wariancjĊ estymatora Parkinsona:
ଶ
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶଵ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ‫ ܧ‬൥ቆ
ൌቈ
ሺ‫ܥ‬௧ െ ‫ܣ‬௧ ሻଶ
ሺ‫ܥ‬௧ െ ‫ܣ‬௧ ሻଶ
െ‫ܧ‬ቈ
቉ቇ ൩ ൌ
Ͷ Ž ʹ
Ͷ Ž ʹ
͵ଶ ሺ߭ሻ
ଶଶ ሺ߭ሻ
െ͵ ൅ ʹ߭ ଶ ൅ ଶ ሺ߭ሻ ൅ ͸Ȣଵ ሺ߭ሻ െ ͶȢଷ ሺ߭ሻ
൅
െ
቉ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ.
ͳ͸ Žଶ ʹ
ͳ͸߭ ଶ Žଶ ʹ ͸Ͷ߭ ସ Žଶ ʹ
(47)
Na podstawie toĪsamoĞci zawartych w Garman, Klass (1980, str. 74), dla ȝ = 0 otrzymujemy:
ͻɃሺ͵ሻ
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶଵ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ቆെͳ ൅
ቇ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൎ ͲǡͶͲ͹͵͵ʹߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ǥ
ͳ͸ Žଶ ʹ
(48)
Wynik ten zgodny z rezultatem podanym przez Parkinsona (1980, str. 63), lecz
odbiega od szacunku podanego przez Garmana, Klassa (1980, str. 71), wedáug których
estymator ‫ݏ‬෢ଶଵ ሺ‫ݐ‬ሻ jest 5.2 razy efektywniejszy od ‫ݏ‬෢ଶ ଴ ሺ‫ݐ‬ሻ.. W Īadnej z omawianych
prac nie podano dokáadnych formuá, na podstawie których zostaáy wyznaczone te
wartoĞci.
51
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
Garman, Klass (1980) rozwaĪali równieĪ tylko przypadek, gdy ȝ = 0. Skonstruowali oni estymator wariancji arytmetycznego ruchu Browna dany formuáą (okreĞlany
dalej jako estymator G-K):
‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ
ሺ‫ܥ‬௧ െ ‫ܣ‬௧ ሻଶ
െ ሺʹ Ž ʹ െ ͳሻܺ௧ ଶ Ǥ
ʹ
(49)
Na podstawie równaĔ (28-30) skonstruowano formuáĊ na wartoĞü oczekiwaną estymatora G-K dla ȣ  0 (ȝ  0):
͵
ͳ
ͷ
‫ܧ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ൭൬ െ ʹ Ž ʹ൰ ൅ ൬ െ ʹ Ž ʹ൰ ߭ ଶ െ ଶ ȡଶ ሺ߭ሻ൱ ߪ ଶ ‫ ݐ‬ൌ
ʹ
Ͷ߭
ʹ
ൌ ሾͳ ൅ ሺͳ െ ʹ Ž ʹሻ߭ ଶ ൅
௡
ஶ
൅෍߭
ଶ௡
௝ୀଵ
௡ୀଵ
ൌ ቈͳ ൅ ቆͳ െ ʹ Ž ʹ ൅
൫ʹଶ௝ାଵ െ ͳ൯Ƀሺʹ݆ ൅ ͳሻ
቏ ߪ ଶ‫ ݐ‬ൌ
ʹ௡ାଶ௝ ݊ሺ݊ ൅ ͳሻሺ݊ െ ݆ሻǨ ሺ݆ െ ͳሻǨ
͹
͹
͵ͳ
Ƀሺ͵ሻቇ ߭ ଶ ൅ ቆെ Ƀሺ͵ሻ ൅
Ƀሺͷሻቇ ߭ ସ ൅
ͳ͸
ͻ͸
͵ͺͶ
൅ቆ
൅ ቆെ
෍ሺെͳሻ௡ା௝
͹Ƀሺ͵ሻ ͵ͳɃሺͷሻ ͳʹ͹Ƀሺ͹ሻ ଺
െ
൅
ቇ߭ ൅
͹͸ͺ
ͳͷ͵͸
ͳʹʹͺͺ
͹Ƀሺ͵ሻ ͵ͳɃሺͷሻ ͳʹ͹Ƀሺ͹ሻ ͷͳͳɃሺͻሻ ଼
൅
െ
൅
ቇ ߭ ൅ ‫ ڮ‬቉ ߪ ଶ ‫ݐ‬Ǥ
͹͸ͺͲ ͳͲʹͶͲ
ͶͲͻ͸Ͳ
ͶͻͳͷʹͲ
(50)
Na podstawie rysunku 2 moĪna oceniü wielkoĞü obciąĪenia tego estymatora w zaleĪnoĞci od wartoĞci parametru ȣ.
Wariancja estymatora G-K jest równa:
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ
ଶ
ሺ‫ܥ‬௧ െ ‫ܣ‬௧ ሻଶ
ሺ‫ܥ‬௧ െ ‫ܣ‬௧ ሻଶ
ൌ ‫ ܧ‬൥ቆ
െ ሺʹ Ž ʹ െ ͳሻܺ௧ ଶ െ ‫ ܧ‬ቈ
െ ሺʹ Ž ʹ െ ͳሻܺ௧ ଶ ቉ቇ ൩ ൌ
ʹ
ʹ
ൌቈ
ͳ͵
ͳ͹
͵Ȣଵ ሺ߭ሻ
െ ͳʹ Ž ʹ ൅ ͺ Žଶ ʹ ൅ ൬ െ ʹͶ Ž ʹ ൅ ͳ͸ Žଶ ʹ൰ ߭ ଶ ൅
െ
ʹ
Ͷ
ʹ
͵
െሺʹ Ž ʹ െ ͳሻȢଶ ሺ߭ሻ െ Ȣଷ ሺ߭ሻ ൅ ൬ െ Ž ʹ൰ ଶ ሺ߭ሻ ൅
Ͷ
൅
ሺͷ െ Ͷ Ž ʹሻଶ ሺ߭ሻ ଶଶ ሺ߭ሻ ସ ଶ
െ
቉ߪ ‫ ݐ‬Ǥ
Ͷ߭ ଶ
ͳ͸߭ ସ
(51)
52
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
Przy wyprowadzeniu równania (51) korzystano z formuá (28-30), (34-36), (39), (41)
i (42). Na podstawie toĪsamoĞci zawartych w Garman, Klass (1980, str. 74), dla ȝ = 0
otrzymujemy:
͹
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ቆʹ െ ͺ Ž ʹ ൅ Ͷ Žଶ ʹ ൅ ൬Ͷ െ Ž ʹ൰ ߞሺ͵ሻቇ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൎ Ͳǡʹ͸ͺ͹ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ǥ (52)
ʹ
Uzyskany w równaniu (52) rezultat jest zgodny z szacunkami podanymi przez Garmana, Klassa (1980, str. 74), wedáug których estymator ‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ jest 7,4 razy bardziej
efektywny od ‫ݏ‬෢ଶ ଴ ሺ‫ݐ‬ሻ oraz z wynikami Rogersa, Satchella (1991, str. 505), wedáug
których wariancja estymatora ‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ jest równa 0,27ı 4t2.
Rogers, Satchell (1991) prowadzili badania dla niezerowgo dryfu. Zaproponowali
oni nastĊpujący estymator wariancji procesu Xt (okreĞlany dalej jako R-S):
‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܥ‬௧ ሺ‫ܥ‬௧ െ ܺ௧ ሻ൅‫ܣ‬௧ ሺ‫ܣ‬௧ െ ܺ௧ ሻǡ
(53)
który nie tylko jest nieobciąĪony dla wszystkich wartoĞci ȝ  0, ale znajomoĞü tego
parametru nie jest konieczna do estymacji wariancji procesu. Wariancja tego estymatora jest równa:
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ‫ܧ‬ሾሺ‫ܥ‬௧ ሺ‫ܥ‬௧ െ ܺ௧ ሻ൅‫ܣ‬௧ ሺ‫ܣ‬௧ െ ܺ௧ ሻ െ ߪ ଶ ‫ݐ‬ሻଶ ሿ ൌ
ൌ ൫ʹȢଵ ሺ߭ሻ െ Ȣଶ ሺ߭ሻ൯ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ǥ
(54)
Równanie (54) zostaáo wyprowadzone z wykorzystaniem formuá (35-37), (39-42). Dla
ȝ = 0 uzyskujemy:
͹
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ቆͳ െ Ͷ Ž ʹ ൅ Ƀሺ͵ሻቇ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൎ Ͳǡ͵͵ͳͲͳͳߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ǥ
Ͷ
(55)
Otrzymana wartoĞü ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ൧ jest zgodna z wynikami Rogersa, Satchella (1991,
str. 505). TakĪe w tym wypadku nie podano formuá, na podstawie których wartoĞü ta
zostaáa wyznaczona.
W niniejszej pracy rozwaĪane są estymatory, które konstruowane są na podstawie
jedynie pojedynczego wektora zmiennych losowych (At, Ct, Xt). W badaniach ¿nansowych wykorzystuje siĊ szereg innych estymatorów zmiennoĞci, które konstruowane
są na podstawie szerszego zbioru informacji. Jednym z nich jest estymator o bardzo
wysokiej efektywnoĞci, zaproponowany przez Kunitomo (1992). Wykorzystuje on tzw.
skorygowaną maksymalną i minimalną wartoĞü, lecz do ich wyznaczenia konieczna
jest znajomoĞü wszystkich Ğróddziennych stóp zwrotu. Z tego wzglĊdu estymator ten
nie bĊdzie bliĪej omawiany.
Jak zostaáo to juĪ zaznaczone, przedstawione dotychczas estymatory stosowane
są w praktyce do wyznaczania wariancji dla jednego dnia notowaĔ. Przy okreĞleniu
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
53
ich wáasnoĞci przyjĊto zaáoĪenie, Īe dzienne logarytmiczne stopy zwrotu są realizacją
ruchu Browna o ustalonych na dany dzieĔ wartoĞciach dryfu ȝ oraz wariancji ı2.
Czasami jednak estymatory te wykorzystywane są do obliczenia wariancji dla okresu,
którego dáugoĞü przekracza jeden dzieĔ. Wówczas zakáada siĊ, Īe wariancja stóp
zwrotu jest staáa w danym okresie, ponadto przyjmuje siĊ, Īe jej szacunek w skali
jednego dnia jest równy Ğredniej arytmetycznej dziennych wariancji wyznaczonych
dla kolejnych dni naleĪących do przyjĊtego okresu. W takim wypadku mamy zatem
do czynienia z bardzo istotnym wzmocnieniem zaáoĪeĔ przyjĊtego modelu. NaleĪy
jednak zauwaĪyü, Īe dla wiĊkszoĞci szeregów ¿nansowych tak wzmocnione zaáoĪenie jest nieprawdziwe w Ğwietle wyników badaĔ empirycznych (patrz np. prace
przeglądowe dotyczące zmiennoĞci warunkowej wariancji – Bollerslev, Chou, Kroner,
1992, Bollerslev, Engle, Nelson, 1994). Z tego powodu, taki sposób wykorzystania
przedstawionych estymatorów nie byá przedmiotem zainteresowania niniejszego
opracowania.
Przy zaáoĪeniu staáoĞci wariancji dla okresu dáuĪszego niĪ jeden dzieĔ skonstruowany zostaá równieĪ estymator zaproponowany przez Yanga, Zhanga (2000). Wykorzystuje on znajomoĞü wartoĞci ciągu wektorów o dáugoĞci wiĊkszej od 1, których
wspóárzĊdnymi są ceny dziennego otwarcia, maksimum, minimum i zamkniĊcia.
Zatem, dodatkowo uwzglĊdniane są tzw. zwroty nocne, czyli stopy zwrotu pomiĊdzy
ceną zamkniĊcia poprzedniego dnia i ceną otwarcia dnia nastĊpnego (patrz rysunek
1). Ze wzglĊdu na wysoką efektywnoĞü i powszechną dostĊpnoĞü danych, na podstawie których jest konstruowany, jest on jednym z najpowszechniej stosowanych
estymatorów zmiennoĞci wykorzystujących cenĊ otwarcia, minimalną, maksymalną
i zamkniĊcia. Nie jest natomiast moĪliwe wykorzystanie tego estymatora do szacowania wariancji tylko dla jednego dnia. Z tego wzglĊdu, a takĪe z powodu przyjĊtych
bardzo silnych zaáoĪeĔ, estymator ten nie bĊdzie równieĪ bliĪej omawiany.
3.2. PROPOZYCJA NOWEGO ESTYMATORA ZMIENNOĝCI
Wedáug wiedzy autorów, w przypadku gdy nie jest znana wartoĞü dryfu ȝ, estymator R-S jest najbardziej efektywnym ze znanych estymatorów wariancji ruchu Browna
dla niezerowej wartoĞci dryfu konstruowanym na podstawie realizacji wektora zmiennych (At, Ct, Xt) (w przypadku ȝ = 0 najbardziej efektywnym znanym estymatorem
jest estymator G-K). MoĪna postawiü pytanie, czy w sytuacji, gdy znana jest wartoĞü
parametru ȝ, istnieje moĪliwoĞü wykorzystania tej dodatkowej informacji tak, aby
poprawiü efektywnoĞü estymatora R-S.
PoniĪej zostanie zaproponowany estymator wariancji ruchu Browna przy znanej
wartoĞci parametru ȝ, konstruowany na podstawie realizacji (At, Ct, Xt). RozwaĪmy
nastĊpujące estymatory wariancji:
‫ݏ‬෢ଶଵଵ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ‫ܣ‬௧ ܺ௧ ൅ ‫ܥ‬௧ ܺ௧ െ ߤଶ ‫ ݐ‬ଶ ǡ
(56)
54
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
ͳ
‫ݏ‬෢ଶଵଶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ൫‫ܣ‬௧ ଶ ൅ ‫ܥ‬௧ ଶ െ ߤଶ ‫ ݐ‬ଶ ൯ǡ
ʹ
(57)
‫ݏ‬෢ଶଵଷ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ ܺ௧ ଶ െ ߤଶ ‫ ݐ‬ଶ Ǥ
(58)
Wykorzystując formuáy (31), (32), (27), (28), (29), moĪna áatwo pokazaü, Īe
ଶ
෢
‫ ݏ‬ଵଵ ሺ‫ݐ‬ሻ, ‫ݏ‬෢ଶଵଶ ሺ‫ݐ‬ሻ, ‫ݏ‬෢ଶଵଷ ሺ‫ݐ‬ሻ są nieobciąĪonymi estymatorami wariancji ı 2t arytmetycznego ruchu Browna. W związku z tym estymator:
‫ݏ‬෢ଶ ሺܽǡ ܾǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ ܽ‫ݏ‬෢ଶଵଵ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ܾ‫ݏ‬෢ଶଵଶ ሺ‫ݐ‬ሻ ൅ ሺͳ െ ܽ െ ܾሻ‫ݏ‬෢ଶଵଷ ሺ‫ݐ‬ሻ
(59)
jest równieĪ nieobciąĪonym estymatorem wariancji ı 2t dla wszystkich a, b ʓ Թ.
àatwo zauwaĪyü, Īe dla a = –1 i b = 2 otrzymujemy estymator R-S. Wariancja estymatora ‫ݏ‬෢ଶ ൫ܽǡ ܾǡ ‫ݐ‬൯ dana jest formuáą:
ଶ
ܾ
ܸܽ‫ݎ‬ൣ‫ݏ‬෢ଶ ሺܽǡ ܾǡ ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ቆȢଶ ሺ߭ሻ ൬ܽ ൅ ൰ ൅
ʹ
ଶ
ͳ
Ͷሺͳ ൅ ʹ߭ ଶ ሻଶ
Ͷሺͳ ൅ ʹ߭ ଶ ሻ
൅ Ȣଵଶ ሺ߭ሻ ቆܾ െ
ቇ െ
൅ ʹ ൅ Ͷ߭ ଶ ቇ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ǡ
Ͷ
Ȣଵଶ ሺ߭ሻ
Ȣଵଶ ሺ߭ሻ
(60)
Ȣଵଶ ሺ߭ሻ ൌ ʹȢଵ ሺ߭ሻ െ Ȣଶ ሺ߭ሻ ൅ ʹ ൅ Ͷ߭ ଶ ǡ
(61)
gdzie:
natomiast funkcje H1 i H2 zde¿niowano odpowiednio w równaniach (21) i (22).
Funkcje H2(ȣ) i H12(ȣ) przyjmują wartoĞci dodatnie dla ȣ ʓ Թ. Z uwagi na ograniczoną objĊtoĞü artykuáu dowód tego faktu zostanie pominiĊty3. W związku z tym
funkcja ܸൣ‫ݏ‬෢ଶ ൫ܽǡ ܾ൯൧ osiąga minimum dla:
ܾ ൌ ܾ௠௜௡ ሺ߭ሻǣ ൌ
ܽ ൌ ܽ௠௜௡ ሺ߭ሻǣ ൌ െ
Ͷሺͳ ൅ ʹ߭ ଶ ሻ
ǡ
Ȣଵଶ ሺ߭ሻ
ܾ௠௜௡ ሺ߭ሻ
ʹሺͳ ൅ ʹ߭ ଶ ሻ
ൌെ
Ǥ
ʹ
Ȣଵଶ ሺ߭ሻ
(62)
(63)
JeĪeli ȣ = 0, wówczas wartoĞü parametru b, dla której wariancja estymatora osiąga
minimum wynosi:
3
Wyniki mogą zostaü udostĊpnione na Īyczenie Czytelnika.
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
ܾ௠௜௡ ሺͲሻǣ ൌ
ͳ͸
ൎ ͳǡ͹ͳͷͻͻͶǤ
ͳʹ െ ͳ͸ Ž ʹ ൅ ͹ߞሺ͵ሻ
55
(64)
Funkcja bmin jest parzysta. Rosnące wartoĞci bezwzglĊdne argumentu ȣ powodują
monotoniczny wzrost bmin; dla ȣ ĺ ±’ funkcja ta asymptotycznie dąĪy do 2 (patrz
rysunek 3).
2,00
2 0
bmin
v)
m (v
1,95
1 5
1,90
1 0
1,85
1 5
1,80
1 0
1,75
1 5
|vv|
1,70
1 0
0,0
0
0,,2
0,4
0,6
0,8
8
1,0
0
1,,2
1,4
1,6
1,8
8
2,0
0
Rysunek 3. WartoĞci parametru b w zaleĪnoĞci od wartoĞci ȣ,
dla których wariancja zaproponowanego estymatora osiąga minimum
ħródáo: opracowanie wáasne.
Dla ȣ = 0 wariancja estymatora jest równa:
ܸൣ‫ݏ‬෢ଶ ሺܽ௠௜௡ ሺͲሻǡ ܾ௠௜௡ ሺͲሻǡ ‫ݐ‬ሻ൧ ൌ ൬ʹ െ
ͳ͸
൰ ߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ ൎ ͲǡʹͺͶߪ ସ ‫ ݐ‬ଶ Ǥ (65)
ͳʹ െ ͳ͸ Ž ʹ ൅ ͹ߞሺ͵ሻ
Jest ona zatem mniejsza od wariancji estymatora R-S ‫ݏ‬෢ଶ ଷ i tylko nieznacznie wiĊksza
od estymatora G-K ‫ݏ‬෢ଶ ଶ .
Sytuacja, w której postaü estymatora o minimalnej wariancji zaleĪy od wartoĞci
estymowanego parametru powoduje, Īe niemoĪliwe jest skonstruowanie najefektywniejszego estymatora. Innymi sáowy, aby ustaliü postaü estymatora o minimalnej
wariancji, trzeba znaü z góry wartoĞü estymowanego parametru. Fakt ten nie oznacza jednak, Īe nie ma moĪliwoĞci poprawienia efektywnoĞci znanych estymatorów.
W praktyce, w badaniach ¿nansowych, w ogromnej wiĊkszoĞci przypadków wystĊpuje zaleĪnoĞü: ȁɊ–ȁ ‫ ا‬ɐξ‫ ݐ‬, czyli wartoĞü ȣ jest bliska 0. Do praktycznych zastoso-
56
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
waĔ moĪna przyjąü wartoĞci b = 1,72 i a = –0,86. Proponowany estymator ma zatem
nastĊpującą postaü:
‫ݏ‬෢ଶ ሺെͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬ሻ ൌ Ͳǡͺ͸൫‫ܥ‬௧ ሺ‫ܥ‬௧ െ ܺ௧ ሻ൅‫ܣ‬௧ ሺ‫ܣ‬௧ െ ܺ௧ ሻ൯ ൅ ͲǡͳͶ൫ܺ௧ ଶ െ ߤଶ ‫ ݐ‬ଶ ൯Ǥ
(66)
Rysunek 4 przedstawia wykres zaleĪnoĞci wartoĞci wariancji estymatorów ‫ݏ‬෢ଶଵ ሺ‫ݐ‬ሻ,
‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ, ‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ i ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯ od parametru ȣ.
0,50
0
0
0 8
0,48
0 6
0,46
0 4
0,44
0 2
0,42
0 0
0,40
0 8
0,38
0 6
0,36
0 4
0,34
0 2
0,32
0 0
0,30
0 8
0,28
0 6
0,26
estymator
t Parkinson
s a
estymator
t Garrmana-Klassa
s
estymator
t Roggerssa-Satchell
h a
ny estyymator
Zaprropo
ono
owan
0,0
00
0,,20
0,40
0
0,6
60
0,80
0 0
|vv|
1,0
00
Iloraz wariancji estymatora i kwadratu wariancji ruchu Browna w zaleĪnoĞci od parametru ȣ.
Rysunek 4. EfektywnoĞü estymatorów wariancji w zaleĪnoĞci od wartoĞci parametru ȣ
ħródáo: opracowanie wáasne.
Jak zostaáo to wczeĞniej zaznaczone, stosowanie estymatora ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯
wymaga znajomoĞci parametru dryfu ȝ. W analizach szeregów ¿nansowych, jego
dokáadna wartoĞü niemal nigdy nie jest znana i konieczna jest jego estymacja.
Powstaje zatem problem okreĞlenia wpáywu estymacji dryfu na wáasnoĞci estymatora
‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯.
Niech ȝը bĊdzie estymatorem dryfu, okreĞlonym na podstawie duĪej próby o liczebnoĞci n. PoniewaĪ estymacja zmiennoĞci przeprowadzana jest na podstawie informacji z pojedynczego dnia tej próby, zatem estymator wariancji ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯
jest zaleĪny od estymatora dryfu ȝը . ZaleĪnoĞü ta maleje jednak wraz ze wzrostem
liczebnoĞci próby, na podstawie której konstruowany jest estymator dryfu. W dalszej
czĊĞci wywodu zostanie przyjĊte, Īe zaleĪnoĞü ta jest na tyle sáaba, Īe moĪna ją
pominąü. W tej sytuacji zachodzi zaleĪnoĞü E[ȝը 2] = ȝը 2. MoĪna áatwo pokazaü, Īe
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
57
obciąĪenie estymatora ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯ bĊdzie wówczas równe 0,14(ȝ2t2 – ȝը 2t2).
Z tego wynika, Īe maksymalna bezwzglĊdna wartoĞü obciąĪenia estymatora
‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯ spowodowana estymacją dryfu, wynosi 0,14 max(ȝ2t2, ȝը2t2). Oznacza to, Īe w sytuacji gdy np. ȝը 2 = 0, wielkoĞü obciąĪenia tego estymatora wyniesie
0,14ȣ2ı2t i tylko nieznacznie przekroczy obciąĪenie estymatora G-K ‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ (patrz
równanie (50) i rysunek 2). Ponadto koniecznoĞü estymacji dryfu nie spowoduje
wzrostu wariancji estymatora ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯. OcenĊ obciąĪenia i jego wpáywu
na wariancjĊ estymatora ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯, w przypadku gdy przyjĊte zaáoĪenie
nie bĊdzie speánione, moĪna przeprowadziü dla okreĞlonych estymatorów dryfu na
podstawie metody Monte Carlo.
3.3. ESTYMACJA ZMIENNOĝCI STÓP ZWROTU INDEKSU WIG20
W celu ilustracji przydatnoĞci rozwaĪanych estymatorów zastosowano je dla
indeksu rynku akcji WIG20 do szacowania wariancji logarytmicznych stóp zwrotu
pomnoĪonych przez 100. Indeks ten zostaá wybrany celowo, z uwagi na fakt, Īe obejmuje najwiĊksze i najbardziej páynne spóáki notowane na GPW w Warszawie. Jest to
istotne, poniewaĪ w badaniu korzystano z danych Ğróddziennych, których jakoĞü zaleĪy
w duĪym stopniu od páynnoĞci rynku (Doman, 2011). Zastosowano nastĊpujące estymatory: konstruowany na podstawie cen zamkniĊcia ‫ݏ‬෢ଶ ଴ ሺ‫ݐ‬ሻ, G-K ‫ݏ‬෢ଶ ଶ ሺ‫ݐ‬ሻ, R-S ‫ݏ‬෢ଶ ଷ ሺ‫ݐ‬ሻ
oraz zaproponowany ‫ݏ‬෢ଶ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ‫ݐ‬൯ (opisane odpowiednio równaniami (45), (49),
(53), (66). AnalizĊ przeprowadzono dla 10-letniego okresu od 30 wrzeĞnia 2002 r. do
28 wrzeĞnia 2012 r., czyli okresu obejmującego zarówno okresy hossy, jak i bessy
a takĪe, co jest istotne, kryzysu ¿nansowego. Skonstruowano 2513 wektorów dziennych
stóp zwrotu: (a1, c1, x1), (a2, c2, x2), …, (a2513, c2513, x2513). NastĊpnie przeprowadzono
ଵ
‫ݔ‬௜ ൎ 0,00032613502.
estymacjĊ dryfu wg nastĊpującej formuáy4: ߤƸ ൌ ଶହଵଷ σ௜ୀଶହଵଷ
௜ୀଵ
Kolejnym krokiem byáo oszacowanie wariancji dla kaĪdego dnia w próbie, czyli dla
1 ” i ” 2513:
‫ݏ‬෢ଶ ଴ǡ୧ ሺͳሻ ൌ ሺ‫ݔ‬௜ െ ߤƸ ሻଶ ǡ
‫ݏ‬෢ଶ ଶǡ୧ ሺͳሻ ൌ
ሺܿ ௜ െ ܽ ௜ ሻଶ
െ ሺʹ Ž ʹ െ ͳሻ‫ ݔ‬௜ ଶ Ǥ
ʹ
(67)
(68)
4 ZaáoĪono staáoĞü dryfu w czasie. PrzyjĊto najprostszą postaü estymatora dryfu. Gdyby zastosowaü
efektywniejszy estymator dryfu, to naleĪaáoby siĊ spodziewaü, Īe uzyskane wyniki szacowania zmiennoĞci na podstawie zaproponowanego estymatora nie bĊdą mniej dokáadne od tych jakie przedstawiono
w pracy.
58
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
‫ݏ‬෢ଶ ଷǡ୧ ሺͳሻ ൌ ܿ ௜ ሺܿ ௜ െ ‫ ݔ‬௜ ሻ൅ܽ ௜ ሺܽ ௜ െ ‫ ݔ‬௜ ሻǡ
(69)
‫ݏ‬෢ଶ ௜ ൫െͲǡͺ͸ǡ ͳǡ͹ʹǡ ͳ൯ ൌ Ͳǡͺ͸൫ܿ௜ ሺܿ௜ െ ‫ ݔ‬௜ ሻ൅ܽ௜ ሺܽ௜ െ ‫ݔ‬௜ ሻ൯ ൅ ͲǡͳͶሺ‫ݔ‬௜ ଶ െ ߤƸ ଶ ሻ. (70)
Dla porównania skonstruowano równieĪ szacunki wariancji na podstawie modelu
GARCH5. Na podstawie kryterium informacyjnego Schwartza wybrano model
GARCH(1,3) z warunkowym rozkáadem t-Studenta (oznaczony jako GARCH-t(1,3)).
Dodatkowo zastosowano równieĪ najczĊĞciej stosowaną w badaniach empirycznych
postaü modelu GARCH(1,1) z warunkowym rozkáadem normalnym. Do estymacji
parametrów wspomnianych modeli wykorzystano odpowiednio metodĊ najwiĊkszej
wiarygodnoĞci oraz metodĊ quasi-najwiĊkszej wiarygodnoĞci.
Do oceny dokáadnoĞci szacunków zmiennoĞci jako realizacje wariancji przyjĊto
sumy kwadratów Ğróddziennych stóp zwrotu. Istotnym problemem przy zastosowaniu takich danych jest wybór odpowiedniej czĊstotliwoĞci obserwacji (patrz np.
Andersen, Bollerslev, Diebold, Labys, 2000 oraz Oomen, 2001). Z tego wzglĊdu
zmiennoĞü zrealizowaną szacowano w róĪnych wariantach poprzez wyznaczenie sum
kwadratów 5-, 10-, 15-, 20-, 30- i 60-minutowych stóp zwrotu. Oceny dokáadnoĞci
szacunków zmiennoĞci konstruowanych na podstawie rozwaĪanych metod dokonano
za pomocą nastĊpujących miar6: odsetek przeszacowaĔ, báąd Ğredni ME, pierwiastek
báĊdu Ğredniokwadratowego RMSE, pierwiastek báĊdu Ğredniokwadratowego skorygowany o heteroskedastycznoĞü HRMSE, funkcja straty LINEX (a = -0,01 i 0,01) oraz
wspóáczynnik determinacji R2 dla równania regresji realizacji wariancji wzglĊdem
szacunków wariancji.
Tabela 1 przedstawia wyniki przeprowadzonej analizy w przypadku, gdy zmiennoĞü zrealizowaną obliczano na podstawie 10-minutowych stóp zwrotu. Bardzo zbliĪone relacje pomiĊdzy rozwaĪanymi metodami szacowania zmiennoĞci wystĊpowaáy
równieĪ wtedy, gdy zmiennoĞü zrealizowana byáa wyznaczana dla 5-, 15-, 20-, 30i 60-minutowych stóp zwrotu.
Otrzymane wyniki dla odsetka przeszacowaĔ oraz báĊdu Ğredniego wskazują, Īe
szacunki zmiennoĞci konstruowane na podstawie estymatorów wykorzystujących
dane o cenach minimalnych i maksymalnych są znacząco niedoszacowane. Wynika
to jednak nie ze sáabej jakoĞci tych estymatorów, a z przyjĊtej miary zmiennoĞci
zrealizowanej, w tym przypadku sumy kwadratów stóp zwrotu z danych Ğróddziennych. Podobnie jak dla danych dziennych kwadrat Ğróddziemnej stopy zwrotu jest
nieefektywnych estymatorem wariancji Ğróddziennej stopy zwrotu. Z tego wzglĊdu
w tabeli 2 przedstawiono wyniki oceny dokáadnoĞci szacunków zmiennoĞci jednakĪe tym razem zmiennoĞü zrealizowaną szacowano na podstawie 10-minutowych
5
Nie zaobserwowano istotnej statystycznie autokorelacji, dlatego przyjĊto nastĊpującą specy¿kacjĊ
równania dla Ğredniej: xi = J0 + Hi.
6 Ich opis moĪna znaleĨü na przykáad w pracy Fiszedera (2009).
59
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
stóp zwrotu i estymatora R-S. Przy takim podejĞciu stopieĔ niedoszacowania szacunków zmiennoĞci, konstruowanych na podstawie tych estymatorów znacząco siĊ
zmniejsza.
Tabela 1.
Ocena dokáadnoĞci szacunków zmiennoĞci dla indeksu WIG 20 – zmiennoĞü zrealizowana obliczana
na podstawie kwadratów 10-minutowych stóp zwrotu
Estymator
wariancji
Odsetek
przeszacowaĔ
ME
RMSE
HRMSE
LINEX
(a = 0,01)
LINEX
(a = -0,01)
R2
s02
34,06
0,0811
4,8953
1,2882
1,19E-03
1,23E-03
0,2472
s22 (G-K)
22,24
0,7144
2,5562
0,4704
3,36E-04
3,21E-04
0,6532
s32 (R-S)
28,21
0,6946
2,7346
0,5502
3,85E-04
3,66E-04
0,6230
s2
26,46
0,6087
2,4212
0,4593
3,02E-04
2,86E-04
0,6848
GARCH-t(1,3)
66,77
0,0441
3,3739
1,0747
6,22E-04
5,26E-04
0,3392
GARCH(1,1)
67,29
0,0647
3,2964
1,0402
5,95E-04
5,01E-04
0,3821
ħródáo: obliczenia wáasne.
Tabela 2.
Ocena dokáadnoĞci szacunków zmiennoĞci dla indeksu WIG 20 – zmiennoĞü zrealizowana obliczana
na podstawie estymatora R-S i 10-minutowych stóp zwrotu
Estymator
wariancji
Odsetek
przeszacowaĔ
ME
RMSE
HRMSE
LINEX
(a = 0,01)
LINEX
(a = -0,01)
R2
s02
39,79
-0,5497
4,7246
2,0265
1,06E-03
1,19E-03
0,2480
s22 (G-K)
40,79
0,0836
2,5591
0,6936
3,18E-04
3,41E-04
0,5255
s32 (R-S)
43,97
0,0637
2,8469
0,7834
3,95E-04
4,20E-04
0,5004
s2
45,13
-0,0221
2,4830
0,7065
3,00E-04
3,20E-04
0,5659
GARCH-t(1,3)
80,30
-0,5867
2,7366
1,5616
3,91E-04
3,61E-04
0,2965
GARCH(1,1)
81,66
-0,5661
2,6555
1,5214
3,69E-04
3,39E-04
0,3248
ħródáo: obliczenia wáasne.
Wyniki pozostaáych mierników przedstawione w tabeli 1 wskazują na wyraĨną
przewagĊ estymatorów wariancji wykorzystujących dane o cenach minimalnych
i maksymalnych nad estymatorem konstruowanym na podstawie modelu GARCH.
Rezultaty zaprezentowane w tabeli 2 sugerują, Īe przewaga badanych estymatorów
nie jest juĪ tak istotna, a estymator R-S wypada nawet nieco gorzej od estymatora
wariancji konstruowanego na podstawie modelu GARCH. Wszystkie rozwaĪane
60
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
miary (poza HRMSE, tabela 2) wskazują, Īe najbardziej dokáadne szacunki zmiennoĞci konstruowane byáy na podstawie zaproponowanego w pracy estymatora wariancji.
OczywiĞcie przewaga tego podejĞcia nad estymatorami G-K i R-S nie zawsze jest
znacząca i w wielu przypadkach jest prawdopodobnie nieistotna statystycznie.
4. ZAKOēCZENIE
W opracowaniu przedstawiony zostaá rozkáad áączny stóp zwrotu minimum, maksimum i wartoĞci koĔcowej ruchu Browna. DziĊki wykorzystaniu tego rozkáadu:
a) Udowodniono nieobciąĪonoĞü najbardziej popularnych estymatorów zmiennoĞci: Parkinsona, G-K dla zerowej wartoĞci dryfu oraz R-S dla dowolnego dryfu;
innymi sáowy potwierdzono zasadnicze wyniki prac jakie uzyskali autorzy tych
estymatorów;
b) Wyznaczono wartoĞci oczekiwane estymatorów Parkinsona i G-K, w sytuacji gdy
wartoĞü dryfu jest róĪna od zera;
c) Skonstruowano formuáy wariancji estymatorów Parkinsona, G-K i R-S w sytuacji
gdy wartoĞü dryfu jest róĪna od zera.
Autorom nie są znane publikacje, które zawieraáyby wyniki, o których mowa jest
w punktach b) i c).
Ponadto zaproponowano nowy estymator wariancji procesu dla znanej niezerowej wartoĞci dryfu. Nie udaáo siĊ skonstruowaü estymatora, dla którego wariancja
osiągaáaby wartoĞü minimalną niezaleĪnie od wartoĞci dryfu. PodjĊte badania umoĪliwiáy natomiast sformuáowanie estymatora, który dla obserwowanych na rynkach
¿nansowych rzĊdów wielkoĞci dryfu bĊdzie miaá mniejszą wariancjĊ od estymatora
R-S. PrzyjĊte w pracy zaáoĪenie, Īe stopy zwrotu w ciągu dnia są realizacjami arytmetycznego ruchu Browna nie jest speánione w przypadku wiĊkszoĞci szeregów
¿nansowych, dlatego w przyszáoĞci bĊdą konieczne dalsze badania dotyczące innych
zaáoĪeĔ modelowych.
Wyniki przedstawionego w pracy badania dla indeksu WIG20 wskazują, Īe szacunki wariancji konstruowane na podstawie tego estymatora są znacząco dokáadniejsze
od tych, jakie moĪna uzyskaü na podstawie wariancji warunkowej modelu GARCH.
Estymator ten moĪe byü w przyszáoĞci wykorzystany do budowy modeli GARCH
i SV, które są obecnie najczĊĞciej stosowane do estymacji wariancji procesów obserwowanych na rynkach ¿nansowych (patrz np. prace przeglądowe dotyczące polskiego
rynku ¿nansowego PipieĔ, Osiewalski, 2004; Doman, Doman, 2009; Fiszeder, 2009,
Pajor, 2010), dziĊki czemu bĊdzie moĪliwe uzyskanie jeszcze dokáadniejszych szacunków zmiennoĞci, a co waĪniejsze konstruowanie trafniejszych prognoz zmiennoĞci.
Uniwersytet Mikoáaja Kopernika w Toruniu
Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoĞci…
61
LITERATURA
[1] Andersen T. G., Bollerslev T., Diebold F. X., Labys P., (2000), Great Realizations, Risk, March,
105–108.
[2] Bollerslev T., Chou R. Y., Kroner K. F., (1992), ARCH Modelling in Finance: A Review of the
Theory and Empirical Evidence, Journal of Econometrics, 52, 5–59.
[3] Bollerslev T., Engle R. F., Nelson D. B., (1994), ARCH Models, w: Engle R. F., McFadden D.,
(red.), Handbook of Econometrics, 4, Elsevier Science B. V., Amsterdam.
[4] Cox D. R., Miller M. D., (1965), The Theory of Stochastic Processes., Methuen and Co., London.
[5] Doman M., (2011), Mikrostruktura gieád papierów wartoĞciowych, Wydawnictwo Uniwersytetu
Ekonomicznego w Poznaniu, PoznaĔ.
[6] Doman M., Doman R., (2009), Modelowanie zmiennoĞci i ryzyka. Metody ekonometrii ¿nansowej,
Wolters Kluwer Polska, Kraków.
[7] Fiszeder P., (2009), Modele klasy GARCH w empirycznych badaniach ¿nansowych, Wydawnictwo
UMK, ToruĔ.
[8] Garman M. B., Klass M. J., (1980), On the Estimation of Security Price Volatilities from Historical
Data, The Journal of Business, 53 (1), 67–78.
[9] Harrisson J. M., (1985), Brownian Motion and Stochastic Flow Systems, John Wiley & Sons, New
York.
[10] Jakubowski J., Palczewski A., Rutkowski M., Stettner à. (2006), Matematyka ¿nansowa, instrumenty pochodne, WNT, Warszawa.
[11] Kunitomo N., Ikeda M., (1992), Pricing Options with Curved Boundaries, Mathematical Finance,
2 (4), 275–298.
[12] Kunitomo N. (1992), Improving the Parkinson Method of Estimating Security Price Volatilities,
Journal of Business, 65, 295–302.
[13] Li A., (1999), The Pricing of Double Barrier Options and Their Variations, Advances in Futures
and Options Research, 10, 17–41.
[14] Osiewalski J., PipieĔ M., (2004), Bayesian Comparison of Bivariate ARCH-Type Models for the
Main Exchange Rates in Poland, Journal of Econometrics, 123, 371–391.
[15] Oomen R., (2001), Using High Frequency Stock Market Index Data to calculate, Model, European
University Institute, Discussion Paper No. 2001/6.
[16] Pajor A., (2010), Wielowymiarowe procesy wariancji stochastycznej w ekonometrii ¿nansowej. UjĊcie bayesowskie, Zeszyty Naukowe, Seria Specjalna: Monogra¿e 195, Wydawnictwo Uniwersytetu
Ekonomicznego w Krakowie.
[17] Parkinson M., (1980), The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of
Return, The Journal of Business, 53 (1), 61-65.
[18] Perczak G., (2013), Dodatkowe informacje o cenach minimalnych i maksymalnych w modelach
klasy GARCH, rozprawa doktorska przygotowywana pod kierunkiem P. Fiszedera.
[19] Rogers L. C. G., Satchell S. E., (1991) Estimating Variance From High, Low and Closing Prices,
The Annals of Applied Probability, 1 (4), 504–512.
[20] Yang D., Zhang Q., (2000), Drift-Independent Volatility Estimation Based on High, Low, Open,
and Closing Prices, Journal of Business, 73, 477–491.
62
Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder
ESTYMACJA WARIANCJI ARYTMETYCZNEGO RUCHU BROWNA NA PODSTAWIE
ZNANYCH WARTOĝCI MINIMUM, MAKSIMUM, KOēCOWEJ ORAZ DRYFU
Streszczenie
W opracowaniu poruszony jest problem wyznaczenia wariancji stopy zwrotu instrumentu ¿nansowego na podstawie rynkowych notowaĔ dziennych cen otwarcia, minimalnej, maksymalnej i zamkniĊcia.
Wykorzystując znajomoĞü áącznego rozkáadu minimum, maksimum i wartoĞci koĔcowej arytmetycznego
ruchu Browna dokonano analizy porównawczej znanych estymatorów wariancji. Wyznaczono formuáy
wartoĞci oczekiwanych bardzo wielu funkcji zmiennych losowych, które posáuĪyáy do konstrukcji tych
estymatorów. Ponadto, na ich podstawie zaproponowano nowy estymator wariancji. Dokonano analizy
zaáoĪeĔ, które przyjĊto przy konstrukcji tego estymatora. Metodami analitycznymi porównano jego efektywnoĞü z efektywnoĞcią podstawowych znanych estymatorów zmiennoĞci dziennej.
Sáowa kluczowe: estymator zmiennoĞci, cena otwarcia, minimum, maksimum, zamkniĊcia, ruch
Browna
ESTIMATION OF ARITHMETIC BROWNIAN MOTION VARIANCE WHEN VALUES OF
MINIMUM, MAXIMUM, FINISH AND DRIFT ARE KNOWN
Abstract
This paper examines the problem of calculating the variance of returns of a ¿nancial instrument
which is based upon the historical opening, closing, high, and low prices. For this purpose the joint
distribution of minimum, maximum and ¿nal values of arithmetic Brownian motion was used. It gave
a possibility to make a comparative analysis of the variance estimators. The formulae of expected values
of many random variables, which were used for the construction of these estimators were calculated.
Moreover, on the basis of those formulae, the new estimator of variance was proposed. The assumptions
that were adopted for the construction of the estimator were examined. The ef¿ciency of the proposed
estimator was compared with the ef¿ciency of the well-known estimators of daily volatility.
Key words: volatility estimator, open price, low price, high price, close price, Brownian motion