Zadania z algebry liniowej

Zadania z algebry liniowej - sem. I
Liczby zespolone
Definicja 1. Parę uporządkowaną liczb rzeczywistych x, y nazywamy liczbą zespoloną
i oznaczamy z = (x, y). Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez
C = {z = (x, y) | x, y ∈ R}.
Definicja 2. Niech z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy:
1. mówimy, że liczby te równe tzn.
z1 = z2 ⇐⇒ (x1 = x2 ∧ y1 = y2 ),
2. sumę liczb zespolonych określamy wzorem
z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ),
3. iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Twierdzenie 1 (Własności działań w zbiorze liczb zespolonych).
Niech z = (x, y), z1 , z2 , z3 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:
1. z1 + z2 = z2 + z1 ,
6. (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ),
2. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ),
7. ∃1=(1,0)∈C z · 1 = z,
3. ∃0=(0,0)∈C z + 0 = z,
8. ∀z6=0 ∃ 1 ∈C z · z1 ,
z
4. ∃−z∈C z + (−z) = 0,
gdzie −z = (−x, −y),
gdzie
5. z1 · z2 = z2 · z1 ,
1
z
=
x
x2 +y 2
, x2−y
,
+y 2
9. z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .
1
Zadanie 1. Wykonać podane działania:
a) (1, −1) + (1, 3),
c) (2, −3)(1, 0),
e) (1, −1)(2, 3),
g) (2, 0)(4, 0),
b) (3, 0) + (−1, 2),
d) (0, 2)(−2, 1),
f) (−1, 1)(3, −2),
h) (0, 2)(0, 3).
Definicja 3. Liczbę (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy
i = (0, 1).
Każdą liczbę zespoloną z = (x, y) można zapisać w postaci
z = x + iy, x, y ∈ R,
którą nazywamy postacią algebraiczną (kanoniczną).
Wtedy liczbę
1. x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co oznaczamy Re(z) = x,
2. y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co oznaczamy Im(z) = y.
Fakt 1. Liczby zespolone z1 , z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
Re(z1 ) = Re(z2 )
oraz
Im(z1 ) = Im(z2 ).
Zadanie 2. Wykonać podane działania:
a) (2i − 3) + (2 + i),
d) (2i − 3)(2 + i),
√
√
g) ( 2 + i) + (− 2 + i),
b) (7 − 4i) + (2 − i),
e) (2 − 3i)(1 − i),
h) (1 + 3i +
c) (1 − 2i) − (2 − 4i),
f)
2−2i
−3−2i ,
i)
3
2
− 2i)(2 + 3i),
2i−3
2+i .
Zadanie 3. Znaleźć x, y ∈ R spełniające podane równania:
a) x(2 − i) + y(3 + i) = 2i − 5,
e) (2x − 2i) · (1 − 2yi) = 8 − 26i,
b) (x − i) · (2 − yi) = 11 − 23i,
f)
c)
x
2+3i
+
y
3−2i
2x
1−i
+
y
1−i
= 1,
g) x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i,
= 2,
d) x(1 + 2i) + y(4 − 3i) = i,
h)
1+yi
x−2i
= 3i − 1.
Definicja 4. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę
zespoloną z określoną wzorem
z = x − iy.
2
Twierdzenie 2 (Własności sprzężenia liczb zespolonych).
Niech z, z1 , z2 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:
1. z1 + z2 = z1 + z2 ,
5. z + z = 2 · Re(z),
2. z1 − z2 = z1 − z2 ,
6. z − z = 2i · Im(z),
3. z1 · z2 = z1 · z2 ,
7. (z) = z,
4.
z1
z2
=
z1
z2 ,
o ile z2 6= 0,
8. Im(z) = −Im(z).
Definicja 5. Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy nieujemną
liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem
|z| =
q
x2 + y 2 .
Twierdzenie 3 (Własności modułu liczb zespolonych).
Niech z, z1 , z2 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:
1. |z| = |z| = | − z|,
5. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |,
2. z · z = |z|2 ,
6. ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |,
3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
7. |Re(z)| ≤ |z| oraz |Im(z)| ≤ |z| ,
|z1 |
4. zz21 = |z
, o ile z2 6= 0,
2|
8. |Re(z1 z2 )| ≤ |z1 ||z2 |.
Definicja 6. Argumentem liczby zespolonej z = x + iy 6= 0, gdzie x, y ∈ R, nazywamy
y
x
i sin(α) = |z|
.
każdą liczbę rzeczywistą α spełniającą cos(α) = |z|
Spośród argumentów liczby z można wyróżnić ten, który spełnia 0 ≤ α < 2π. Nazywamy go
argumentem głównym liczby z i oznaczamy
arg(z) ∈ [0, 2π).
Twierdzenie 4 (Własności argumentu liczb zespolonych).
Niech z, z1 , z2 ∈ C. Wtedy dla pewnego k ∈ Z, dla którego wynik należy do [0, 2π):
1. arg (z) = 2π − arg(z),
4. arg (z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z1 ) + 2kπ,
2. arg (−z) = arg(z) + π + 2kπ,
5. arg (z n ) = n · arg(z) + 2kπ,
3. arg
1
z
= 2π − arg(z),
6. arg
3
z1
z2
= arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ,
Zadanie 4. Wyznaczyć:
√
|,
f) | 2+−1+i
3i−3
a) Re(2 + 3i),
b) Re (2 + 3i) · (1 − i)2 ,
15
X
c) Re
i
15
Y
d) Re
√
i) Im(−5 +
n=1
!
i
,
m) |(−1 + 2i) · (2 − 3i)|,
h) arg(−5),
,
!
n
n=0
g) arg(1 + i),
!
n
l) Im
29
Y
3i),
|,
n) | (2+i)(2−3i)
3−2i
2
j) Im (1 + 2) · (3i − i) ,
in ,
n=1
k) Im
e) |5 − 3i|,
29
X
o) arg(2 − 2i),
!
n
i
,
p) arg(−1 −
n=0
√
3i).
Zadanie 5. Rozwiązać podane równania w zbiorze liczb zespolonych (wykorzystując postać
algebraiczną liczby zespolonej):
a) z 2 + 2z = 0,
d) |z| + (1 + i)z = 2 + i,
b) 2z + (1 = i)z = 1 + i,
e) z 2 − 2z + 3 = 0,
c)
z+3
z−1
g) (z + z) + (z − z)i = 2,
f) (z + 1)2 = (z + 1)2 ,
= −1,
h) |(2 + i)z| =
√
10.
Zadanie 6. Niech z = a + bi, a, b ∈ R. Obliczyć:
2z
z ,
a) z 2 ,
c)
b) z · z,
d) Re
z
z
+
z
z
,
2z+iz
,
2z+i
e) z + z,
g)
f) 2z − 3z,
h) Im
z
z
+
z
z
Zadanie 7. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór wszystkich z ∈ C spełniających warunek:
a) |z − 2 + 3i| = 4,
g) |z + 2 + i| > 2,
b) 1 ≤ |z − i| < 5,
h) 0 < |z − 3| ≤ 3,
c) arg(z) =
d) arg
e)
π
3
1
z
3π
4 ,
i) arg(z + 2 − i) = π2 ,
= π,
≤ arg(z) <
j) arg(z) =
10π
6 ,
k)
√
√
f) arg ( 2 − 2i)z = π,
π
4
7π
10 ,
≤ arg(z − 2i) ≤
l) arg
1
z+i
3π
2 ,
< π.
Definicja 7. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci:
z = r(cos(α) + i · sin(α)),
gdzie r ≥ 0, α ∈ R.
Wówczas r jest modułem liczby z, a α jednym z jej argumentów.
Taką postać liczby z nazywamy postacią trygonometryczną.
4
.
Twierdzenie 5. Niech z1 = r1 (cos(α1 ) + i · sin(α1 )) , z2 = r2 (cos(α2 ) + i · sin(α2 )) ,
gdzie r1 , r2 ≥ 0, α1 , α2 ∈ R będą liczbami zespolonymi. Wtedy:
z1 · z2 = r1 · r2 (cos(α1 + α2 ) + i · sin(α1 + α2 )) ,
r1
z1
=
(cos(α1 − α2 ) + i · sin(α1 − α2 )) ,
z2
r2
o ile z2 6= 0.
Twierdzenie 6. wzór de Moivre’a
Niech z = r (cos(α) + i · sin(α)) ,
gdzie r ≥ 0, α ∈ R oraz n ∈ N. Wtedy:
z n = rn (cos(nα) + i · sin(nα)) .
Definicja 8. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci:
z = rei·α ,
gdzie r ≥ 0, α ∈ R.
Wówczas r jest modułem liczby z, a α jednym z jej argumentów.
Taką postać liczby z nazywamy postacią wykładniczą.
Uwaga 1. Zachodzą analogiczne wzory jak w poprzednich twierdzeniach
(przy odpowiednich założeniach):
z1 · z2 = r1 ei·α1 · r2 ei·α2 = r1 · r2 ei·(α1 +α2 ) ,
z1
r1 ei·α1
r1
=
= ei·(α1 −α2 ) ,
i·α
2
z2
r2 e
r2
z n = rei·α
n
o ile z2 6= 0,
= rn ei·nα .
Zadanie 8. Zapisać poniższe liczby w postaci trygonomerycznej i wykładniczej:
d) −1 + i,
√
√
e) 2i − 6,
a) 1,
b) π,
c) −4 − 4i,
f) i,
π
g) e 6 ,
j) −3 −
h) 1 + i,
√
i) 1 + 3i,
k) −3i,
l) ieπ ,
Zadanie 9. Zapisać poniższe liczby w postaci kanonicznej:
a) 3(cos
π
4
+ i sin
π
4
),
f)
b) cos (π) + i sin (π),
√
7π
c) 2(cos 7π
+
i
sin
6
6 ),
g)
√
5π
2
d) [ 3(cos 5π
+
i
sin
6
6 )] ,
h)
e)
1+i
2
12
,
i)
5
√
10
10
3+i
1−i
2−2i
4+4i
,
,
(i−1)50 (−i−1)50
,
(i+1)100
√
√ 6
2+i√ 2
,
1−i 3
√
3i,
m)
n)
o)
√
√
√
3−
√
3i,
3 − i,
√
12 + 4i.
j)
√
√ 15
2+i 6
,
3
l) 4(cos
m) 3(cos
n) 2(cos
o)
√
7π
6
π
6
+ i sin
11π
12
+ i sin
(cos(1◦ )+i sin(1◦ ))68
,
(cos(3◦ )+i sin(3◦ ))2 (cos(2◦ )+i sin(2◦ ))
k)
π
6
+ i sin
7π
6
) · (cos
) · (cos
11π
12
4π
6
1π
3
+ i sin
+ i sin
) : (4(cos
5π
12
4π
6
1π
3
),
),
+ i sin
5π
12
)),
3(cos (123◦ ) + i sin (123◦ )) : (cos (33◦ ) + i sin (33◦ )).
Definicja 9. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę
zespoloną w spełniającą równość:
wn = z.
Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z oznaczamy przez
√
n
z = {w ∈ C | wn = z}.
Fakt 2. Każda liczba zespolona z = r(cos(α) + i · sin(α)), gdzie r ≥ 0, α ∈ R, ma n pierwiastków
stopnia n. Wtedy:
√
n
z = {z0 , z1 , ..., zn−1 },
√
gdzie zk = n r cos α+2kπ
+ i sin α+2kπ
dla k = 0, 1, ..., n − 1.
n
n
Uwaga 2. Oznaczmy przez εk pierwiastki stopnia n z 1, k = 0, 1, ..., n − 1.
Wtedy mając jeden z pierwiastków stopnia n z liczby z (np. zi ) resztę możemy obliczyć ze wzoru
zk = zi ∗ εk , k = 0, 1, ..., n − 1.
Wystarczy wykonać n − 1 iloczynów.
Zadanie 10. Obliczyć podane pierwiastki i zaznaczyć je na okręgu:
a)
√
1,
√
b) 3 1,
√
c) 4 1,
√
d) 6 1,
e)
f)
g)
h)
√
12
√
3
√
3
√
1,
i)
−4i2 ,
j)
√
4
√
3
4,
m)
i21 ,
−8,
k)
p
3
4,
l)
p
4
n)
(−3i)6 ,
(2i + 2)4 ,
o)
p
(3 + 4i)12 ,
12
q
6
√
6
(i −
√
3)6 ,
i6 .
Bibliografia:
1. K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG, Gdańsk 2006.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2001.
3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2001.
4. A. Romanowski, Algebra liniowa, PG, Gdańsk 2007.
5. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa 2008.
6. J. Topp, Algebra liniowa, PG, Gdańsk 2005.
6