Wykład 5 - E-SGH

Rozkłady warunkowe
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
14 marca 2011
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Definicja
Niech X = (X1 , X2 ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o
(k)
rozkładzie czysto skokowym, a x2 punktem takim, że
P
(k)
p·k = P X1 ∈ R ∧ X2 = x2
= pjk > 0.
j
Rozkładem warunkowym zmiennej losowej X1 przy warunku
(k)
X2 = x2 w dwuwymiarowym, czysto skokowym rozkładzie
zmiennej (X1 , X2 ) nazywamy rozkład o funkcji
prawdopodobieństwa, której wartości określone są wzorem
pjk
,
p·k
(j)
(k)
= P X1 = x1 |X2 = x2 .
pj|k =
gdzie pj|k
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Definicja
Rozkładem warunkowym zmiennej losowej X2 przy warunku
(j)
X1 = x1 w dwuwymiarowym czysto skokowym rozkładzie zmiennej
(X1 , X2 ) nazywamy rozkład o funkcji prawdopodobieństwa, której
wartości określone są wzorem
pjk
,
pj·
(k)
(j)
= P X2 = x2 |X1 = x1 .
pk|j =
gdzie pk|j
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Niech X = (X1 , X2 ) będzie zmienną losową o rozkładzie
bezwzględnie ciągłym takim, że funkcje gęstości rozkładów
brzegowych spełniają warunki
f1 (x1 ) > 0 dla x1 ∈ A, f1 (x1 ) = 0 dla x1 ∈
/ A,
f2 (x2 ) > 0 dla x2 ∈ B, f2 (x2 ) = 0 dla x2 ∈
/ B,
gdzie A, B są otwartymi podzbiorami R.
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Definicja
Rozkładem warunkowym zmiennej losowej X1 przy warunku
X2 = x20 , gdzie x20 ∈ B, w absolutnie ciągłym dwuwymiarowym
rozkładzie zmiennej (X1 , X2 ) nazywamy rozkład o funkcji gęstości
f (·|x20 ) określonej wzorem
f (x1 |x20 ) =
f (x1 , x20 )
f2 (x20 )
dla x1 ∈ R.
Podobnie określamy funkcję gęstości f (·|x10 ) rozkładu warunkowego
zmiennej losowej X2 przy warunku X1 = x10 przyjmując
f (x2 |x10 ) =
f (x10 , x2 )
f1 (x10 )
dla x2 ∈ R.
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Dystrybuanty absolutnie ciągłych rozkładów warunkowych są
odpowiednio równe
ˆx1
ˆx1
F (x1 |x20 )
f
=
(u|x20 )du
=
−∞
ˆx2
−∞
ˆx2
F (x2 |x10 ) =
f (u, x20 )du,
1
f2 (x20 )
f (v |x10 )dv =
f (x10 , v )dv .
1
f1 (x10 )
−∞
−∞
Wniosek
Jeśli zmienne losowe X1 , X2 są niezależne, to rozkład warunkowy
zmiennej Xi (i = 1, 2) jest identyczny z jej rozkładem brzegowym.
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Definicja
Wartości oczekiwane w rozkładach warunkowych nazywamy
warunkowymi wartościami oczekiwanymi. Oznaczamy je
odpowiednio symbolami
E (X1 |X2 = x20 )
dla rozkładu warunkowego zmiennej X1 oraz
E (X2 |X1 = x10 )
dla rozkładu warunkowego zmiennej X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład
P(X1 = 1 ∧ X2 = 1) = 0, 2;
P(X1 = 1 ∧ X2 = 2) = 0, 3;
P(X1 = 3 ∧ X2 = 1) = 0, 4;
P(X1 = 3 ∧ X2 = 2) = 0, 1.
Wyznaczymy rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane
zmiennej losowej X1 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Niech X = (X1 , X2 ) będzie zmienną losową o rozkładzie
bezwzględnie ciągłym takim, że funkcje gęstości rozkładów
brzegowych spełniają warunki
f1 (x1 ) > 0 dla x1 ∈ A, f1 (x1 ) = 0 dla x1 ∈
/ A,
f2 (x2 ) > 0 dla x2 ∈ B, f2 (x2 ) = 0 dla x2 ∈
/ B,
gdzie A, B są otwartymi podzbiorami R.
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Definicja
Linią regresji pierwszego rodzaju zmiennej losowej X1 względem
zmiennej losowej X2 nazywamy zbiór punktów
(x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 ∈ B ∧ x1 = E (X1 |X2 = x2 ) .
Linią regresji pierwszego rodzaju zmiennej losowej X2 względem
zmiennej losowej X1 nazywamy zbiór punktów
(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ∈ A ∧ x2 = E (X2 |X1 = x1 ) .
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład
jednostajny w obszarze
D = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x12 − 1 < x2 < 0 .
Wyznaczymy równanie linii regresji pierwszego rodzaju zmiennej X1
względem zmiennej X2 i równanie linii regresji pierwszego rodzaju
zmiennej X2 względem zmiennej X1 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 5
Rozkłady warunkowe
Przykład
Dwuwymiarowa zmienna losowa X = (X1 , X2 ) ma rozkład o funkcji
gęstości
1
15 (x1 + x2 ) dla x1 ∈ (0, 2) ∧ x2 ∈ (0, 3) ,
f (x1 , x2 ) =
0
dla pozostałych (x1 , x2 ) .
Wyznaczymy funkcję gęstości i dystrybuantę rozkładu warunkowego
zmiennej losowej X1 oraz równanie linii regresji pierwszego rodzaju
zmiennej losowej X1 względem zmiennej losowej X2 .
Jacek Kłopotowski
Wykład 5