zadanie z podręcznika Kincaid, Cheney

Katarzyna Burchart,204681
Zadanie dodatkowe Analiza numeryczna (ćwiczenie 5/457-D.Kincaid,W.Cheney)
a) f(4)≈ 1/h4[f(x+4h)-4f(x+3h)+6f(x+2h)-4f(x+h)+f(x)
Rozwijamy we wzór Taylora następujące funkcje oraz dodajemy je stronami:
f(x+4h)=f(x)+4hf’(x)+
h2 f”(x)+
h3f”’(x)+
h4 f(IV)(x)+
-4f(x+3h)=-4f(x)-12hf’(x)-
h2 f”(x)-
h3 f”’(x)-
6f(x+2h)=6f(x)+12hf’(x)+
h2 f”(x)+
h3 f”’(x)+
-4f(x+h)=-4f(x)-4hf’(x)- h2 f”(x)- h3 f”’(x)-
h5 f(V)(ξ1)
h4 f(IV)(x)h4 f(IV)(x)+
h4 f(IV)(x)+
h5 f(V) (ξ2)
h5 f(V) (ξ3)
h5 f(V) (ξ4)
f(x+4h)-4f(x+3h)+6f(x+2h)-4f(x+h)=-f(x)+h4 f(IV)(x)+2h5 f(V)(ξ)
f(IV)(x)=
[(f(x+4h)-4f(x+3h)+6f(x+2h)-4f(x+h)+f(x)]-2hf(V)(ξ)
błąd O(h)
// Komentarz: 2!=2; 3!=6; 4!=24; 5!=120 co można zauważyć w mianownikach, natomiast w
licznikach np. dla przypadku 6f(x+2h)=można zauważyć że wyraz rośnie dwukrotnie od
wyrazu poprzedniego, a dla przypadku -4f(x+3h)rośnie trzykrotnie.
b) f(4) ≈
[f(x+2h)-4f(x-h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)]
f(x+2h)=f(x)+2hf’(x)+ h2 f”(x) +
h3 f”’(x)+
h4 f(IV)(x)+
h5 f(V)(x)+
h6 f(VI) (ξ1)
-4f(x+h) =-4f(x)-4hf’(x)- h2 f”(x) - h3 f”’(x)-
h4 f(IV)(x)-(4/120)h5 f(V)(x)-
h6 f(VI) (ξ2)
-4f(x-h) =-4f(x)+4hf’(x)- h2 f”(x) + h3 f”’(x)-
h4 f(IV)(x)+(4/120)h5 f(V)(x)-
h6 f(VI)(ξ3)
f(x-2h) =f(x)-2hf’(x)+ h2 f”(x) - h3 f”’(x)+
h4f(IV)(x)-(32/120)h5f(V)(x)+
f(x+2h)-4f(x+h)-4f(x-h)+f(x-2h)=-6f(x)+h4 f(IV)(x)+ h6 f(VI) (ξ)
f(IV)(x)=
[f(x+2h)-4f(x-h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)]- h2 f(VI) (ξ)
błąd dokładniejszy: O(h2)
h6 f(VI) (ξ4)