PROGRAMY RAMOWE DLA STUDIÓW I STOPNIA

Transkrypt

PROGRAMY RAMOWE DLA STUDIÓW I STOPNIA
kierunek: matematyka
1
Is1-WLTM
WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
Cele przedmiotu: Wprowadzenie studenta w podstawowe pojęcia i narzędzia matematyki, niezbędne do precyzyjnego przekazu i percepcji treści przedmiotowych innych wykładów.
Prezentacja logiki matematycznej w zakresie umożliwiającym wnioskowanie w obrębie teorii matematycznych, weryfikację prezentowanych dowodów i kompetencję w redagowaniu tekstu matematycznego.
Zawartość programowa:
1. Rachunek zdań. Zdanie logiczne. Wartość logiczna. Negacja zdania. Zasada sprzeczności, zasada wyłączonego środka. Łączenie zdań. Alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność. Negacja zdania złożonego.
Prawa de Morgana. Zaprzeczenie implikacji. Zaprzeczenie równoważności. Tautologia. Uwagi o metajęzyku. Formy zdaniowe. Dziedzina formy zdaniowej, zbiór elementów spełniających formę. Kwantyfikatory. Negacja formy
zdaniowej. Alternatywa i koniunkcja form zdaniowych. Implikacja i równoważność form zdaniowych jako zdania.
Wybrane prawa logiczne rządzące kwantyfikatorami.
2. Matematyka jako nauka dedukcyjna. Budowa teorii; pojęcia pierwotne i definicje; twierdzenia i aksjomaty.
Dowód twierdzenia; dowód wprost, dowód nie wprost.
3. Zbiory. Suma mnogościowa, przecięcie (iloczyn mnogościowy); różnica (ew. uzupełnienie) zbiorów. Prawa
de Morgana. Prawa rządzące działaniami na zbiorach. Algebra Boole’a.
4. Relacje. Iloczyn kartezjański dwóch zborów. Pojęcie pary. Własności iloczynu kartezjańskiego. Relacja,
jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego. Dziedzina i przeciwdziedzina. Własności relacji. Zwrotność. Symetria.
Antysymetria, słaba antysymetria. Przechodniość. Spójność. Składanie relacji. Relacja odwrotna do danej. Relacje porządkujące. Relacje liniowo porządkujące. Relacje częściowo porządkujące. Zbiór ograniczony. Elementy
wyróżnione (elementy maksymalne, minimalne, element największy i najmniejszy, kres górny i kres dolny zbioru). Łańcuchy i antyłańcuchy. Uporządkowanie gęste. Uporządkowanie ciągłe. Przestrzenie dobrze uporządkowane. Twierdzenie Zermelo. Podobieństwo zbiorów dobrze uporządkowanych. Liczba porządkowa. Twierdzenie
Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym. Lemat Kuratowskiego - Zorna. Relacje równoważnościowe. Definicja.
Klasy równoważnościowe. Przestrzeń ilorazowa. Relacje definiowane przez rozkład przestrzeni.
5. Funkcje jako relacje. Definicja funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji. Odwzorowanie. Składanie
funkcji. Składanie odwzorowań. Odwzorowanie surjektywne. Odwzorowanie injektywne. Bijekcja. Twierdzenia
o składaniu. Odwzorowanie odwrotne do danego. Odwzorowanie odwrotne do złożenia.
6. Działania uogólnione na zbiorach. Rodziny indeksowane. Uogólniona suma, przecięcie, iloczyn kartezjański.
Zbiór potęgowy. Zbiór liczb naturalnych. Aksjomatyka Peano. Konstrukcja N. Zasada indukcji. Równoważność
zasady indukcji, zasady maksimum i zasady minimum. Definiowanie rekurencyjne. Równoliczność. Pojęcie mocy
zbioru. Twierdzenie Cantora. Twierdzenie Cantora–Bernsteina. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Przeliczalność Q.
Literatura:
1. A. Chronowski, Elementy teorii mnogości.
2. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii.
3. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach.
4. R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości.
5. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń.
Forma zaliczenia: Egzamin pisemny.
2
Is1-AM1
ANALIZA MATEMATYCZNA I
Cele przedmiotu: Opanowanie umiejętności obliczania granic ciągów i funkcji jednej zmiennej, badania zbieżności ciągów i szeregów liczbowych, obliczania pochodnych i całek funkcji jednej zmiennej oraz badania przebiegu
zmienności funkcji jednej zmiennej.
1. Liczby rzeczywiste (6 godzin) Liczby. Ciało liczb rzeczywistych. Relacja uporządkowania liczb rzeczywistych. Ciągłość ciała liczb rzeczywistych. Krańce zbiorów liczbowych. Rozszerzony układ liczb rzeczywistych.
2. Odwzorowania i ich własności (4 godzin). Definicja pojęcia odwzorowania (funkcji). Sposoby określenia
funkcji. Wykres funkcji. Ważniejsze klasy funkcji. Superpozycja funkcji. Pojęcie funkcji odwrotnej. Funkcje cyklometryczne (kołowe).
3. Ciągi i szeregi liczbowe (12 godzin). Ciąg liczbowy i jego granica. Podciągi. Ciągi zbieżne. Kryteria zbieżności. Punkty skupienia. Ciągi Cauchy’ego. Granice nieskończone. Symbole nieoznaczone. Granice górna i dolna.
Szeregi liczbowe. Suma szeregu. Zbieżność szeregów. Kryteria zbieżności szeregów (twierdzenia o porównywaniu
szeregów, kryteria zbieżności Cauchy’ego, d’Alemberta i inne). Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa.
Szeregi naprzemienne. Twierdzenie Leibnitza. Przekształcenie Abela. Kryteria Abela i Dirichleta. Zmiana kolejności sumowania. Twierdzenie Riemanna
4. Granica funkcji (6 godzin). Definicje granicy funkcji. Warunki istnienia granicy funkcji. Twierdzenia o
granicach funkcji (działania na granicach). Granica funkcji monotonicznej. Ogólne kryterium Boltzano - Cauchy’ego. Granice nieskończone i granice w nieskończoności. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych. Asymptoty funkcji.
5. Ciągłość funkcji (6 godzin). Funkcje ciągłe. Działania na funkcjach ciągłych. Superpozycja funkcji ciągłych.
Ciągłość jednostronna. Klasyfikacja nieciągłości. Ciągłość funkcji monotonicznej. Twierdzenie o zerowaniu się
funkcji oraz zastosowanie do rozwiązywania równań. Twierdzenie o wartości średniej. Twierdzenia o ograniczoności funkcji (twierdzenia Weierstrassa). Pojęcie ciągłości jednostajnej. Twierdzenie Cantora.
6. Różniczkowanie. (6 godzin) Zadanie obliczenia prędkości poruszającego się punktu. Zadanie znalezienia
stycznej do krzywej. Definicja pochodnej. Ciągłość i różniczkowalność. Różniczka. Reguły różniczkowania. Niezmienniczość wzoru na różniczkę. Różniczki jako źródło wzorów przybliżonych. Pochodne i różniczki wyższych
rzędów.
7. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego. (6 godzin) Twierdzenie Fermata. Twierdzenie Darboux. Twierdzenie Rolle’a. Wzór Lagrange’a. Granica pochodnej. Wzór Cauchy’ego. Twierdzenia de L’Hospitala.
Wzór Taylora.
8. Badanie funkcji za pomocą pochodnych. (6 godzin) Warunek monotoniczności funkcji. Ekstrema funkcji.
Maksima i minima; warunki konieczne oraz warunki dostateczne. Znajdowanie wartości największych i najmniejszych. Funkcje wypukłe i wklęsłe. Warunki wypukłości oraz wklęsłości funkcji. Punkty przegięcia. Konstrukcja
wykresów funkcji.
9. Całka nieoznaczona. (8 godzin) Pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Reguły całkowania. Całkowanie przez części. Całkowanie funkcji wymiernych. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki,
funkcje trygonometryczne i inne.
Literatura:
1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997.
2. G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
3. B.P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, M. Nauka, 1971.
4. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, WUJ, Kraków, 1995.
5. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, 1986.
6. W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 2005.
7. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, Warszawa, PWN, 1979.
8. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
9. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,cz. 2. W. Stankiewicz, J. Wojtowicz,
Warszawa, PWN, 1995.
Forma zaliczenia: Egzamin pisemny i ustny.
3
Is1-ALG1
ALGEBRA LINIOWA i GEOMETRIA I
Cele przedmiotu: Przedstawić podstawowe struktury algebraiczne. Przestrzenie liniowe i afiniczne, algebra
macierzy, układy liniowe. Morfizmy i operatory. Formy kwadratowe. Geometria analityczna. Stożkowe i kwadryki. Izometrie liniowe.
1. Notacja logiczno–mnogościowa. Zbiory liczb.
Liczby zespolone, ich reprezentacje. Moduł, argument, sprzężenie. Działania arytmetyczne. Potęgowanie i pierwiastkowanie. Liczba e i wzór Eulera.
2. Wielomiany, dzielenie z resztą. Podstawowe tw. algebry (info.). Cardano i Ferrari. Rozkład wielomianów
rzeczywistych na czynniki. Liczby algebraiczne, liczby przestępne.
3. Odwzorowania: iniekcja, suriekcja, bijekcja. Permutacje, rozkład na cykle. Transpozycje. Działania binarne.
4. Grupa, pierścień, podzielniki zera, pierścień całkowity. Ciało. Grupa symetryczna, podgrupy. Grupa izometrii własnych dwuścianu, reprezentacja permutacyjna. Kongruencje, grupa reszt Z n . Ciała Galois Zp i GF (pm ).
5. Równania algebraiczne liniowe. Macierze i wektory, iloczyn skalarny (kropkowy), dodawanie i mnożenie macierzy. Kombinacja liniowa kolumn. Elementarne przekształcenia wierszowe. Eliminacja gaussowska lub
gaussowsko-jordanowska. Macierz jednostkowa, macierz nieosobliwa, macierz odwrotna.
6. Przestrzenie liniowe. Liniowa zależność i liniowa niezależność podzbiorów. Podprzestrzeń. Powłoka liniowa. Rząd, wymiar i baza. Charakteryzacje bazy. Współrzędne względem bazy. Twierdzenie o wymianie w bazie.
7. Przestrzeń afiniczna En . Wektory swobodne, równoległość, kąty. Układ współrzędnych.
8. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Rozwiązanie ogólne RORLJ równania jednorodnego
– podprzestrzeń liniowa, jej wymiar i baza. RORLN (równania niejednorodnego) i szczególne RSRLN – podprzestrzeń afiniczna.
9. Struktury algebraiczne podobne. Morfizm, homomorfizm. Addytywność i jednorodność, odwzorowanie
liniowe. Monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, endomorfizm. Przejście do współrzędnych jako izomorfizm.
10. Przejście do współrzędnych w przekształceniu liniowym. Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego. Jądro i obraz. Wymiary jądra, obrazu i dziedziny. Przestrzeń odwzorowań liniowych, jej wymiar.
11. Zmiana bazy. Macierz przejścia. Macierz złożenia odwzorowań liniowych. Przemienność transponowania
z odwracaniem macierzy. Macierze równoważne, macierze podobne.
12. Wyznaczniki. Pełne rozwinięcie wyznacznika. Minory i dopełnienia algebraiczne. Wyznacznik jako forma
wieloliniowa antysymetryczna wierszy. Iloczyn wyznaczników. Macierz odwrotna. Wzory Cramera.
13. Podprzestrzenie afiniczne. Równoległość. Powłoka afiniczna. Odwzorowanie afiniczne. Równania wektorowo–
parametryczne podprzestrzeni afinicznych. Krzywe na płaszczyźnie E2 . Stożkowe, okrąg, elipsa, hiperbola, parabola.
Literatura:
1. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. I: Podstawy algebry, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 2004.
2. A.I. Kostrikin, Wstęp do algebry, Cz. II: Algebra liniowa, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 2004.
3. A.I. Kostrikin, red., Zbiór zadań z algebry, Wyd. 2, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 2005.
4
Is1-NI
TECHNOLOGIA INFORMACYJNA – ELEMENTY I NARZĘDZIA INFORMATYKI
Cele przedmiotu: Przygotowanie studentów do pracy w systemie UNIX, do wydajnego korzystania z sieci
komputerowych, pisania tekstów w LATEX-u i krótkie omówienie podstawowych pojęć z zakresu informatyki.
1. Informatyka i jej zakres problemowy (2 godziny). Pojęcie informacji, struktura logiczna komputera, system operacyjny i jego zadania, typy systemów operacyjnych.
2. Wprowadzenie do systemu UNIX (6 godzin). Główne składniki systemu, charakterystyka systemu plików, polecenia dotyczące plików i katalogów, prawa dostępu, powłoka i jądro, przeadresowanie wejścia/wyjścia,
przetwarzanie potokowe, zmienne powłoki, pliki konfiguracujne, zarządzanie procesami, komunikacja z innymi
serwerami i użytkownikami.
3. Użytkowanie sieci komputerowych (4 godziny). Poczta elektroniczna, transfer plików, zdalne uruchamianie
aplikacji. Globalna pajęczyna (WWW): hipertekst i hipermedia, język opisu dokumentu (HTML). Zdobywanie
informacji w sieci. Bezpieczeństwo w sieciach komputerowych.
4. Przygotowanie i przetwarzanie tekstu matematycznego w LATEX–u (10 godzin). Dozwolone znaki, kroje
druku, struktura logiczna dokumentu, formatowanie wzorów matematycznych i referencje do nich, definiowanie
nowych komend, numerowanie, tworzenie bibliogafii i cytowanie, osadzanie grafiki, odstępy, ramki, tabele.
5. Podstawowe pojęcia informatyczne (8 godzin). Arytmetyka komputera. Struktury danych – pojęcie typu
danych, typy proste, typy strukturalne, typy statyczne i dynamiczne. Algorytm – pojęcie algorytmu, sposoby zapisu, poziom szczegółowości, czynności proste i strukturalne. Pojęcie procedury i funkcji. Rekurencja –
rekurencyjne definiowanie obiektów i algorytmy rekurencyjne, głębokość rekurencji, przejście z algorytmu iteracyjnego na rekurencyjny i odwrotnie. Algorytmy sortowania – proste (przez wybieranie, wstawianie, zamianę),
przez kopcowanie, szybkie sortowanie. Podstawowe pojęcia ze złożoności obliczeniowej.
Literatura:
1. P. Silvester; System operacyjny UNIX, WNT, Warszawa, 1990.
2. N. Wirth; Algorytmy + struktury danych = programy, WNT, Warszawa, 1989.
3. D. Harel, Rzecz o istocie informatyki, WNT, Warszawa, 1972.
4. T. Oetiker, H. Partl, I. Hyna, E. Schlegl, Nie za krótkie wprowadzenie do systemu LATEX2ε , wersja 3.2, wrzesień 1998.
Liczba godzin: 30 godzin konwersatorium.
Forma zaliczenia konwersatorium: na podstawie zrealizowania ustalonych ćwiczeń praktycznych na zajęciach.
5
Is2-AM2
ANALIZA MATEMATYCZNA II
Cele przedmiotu: Umiejętność obliczania granic, pochodnych i całek funkcji wielu zmiennych. Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej szeregów funkcyjnych. Zapoznanie się z teorią szeregów Fouriera i przekształcenia
Fouriera.
1. Całka oznaczona (6 godzin) Definicja i istnienie całki (według Riemanna). Własności całki. Zamiana
zmiennych. Całkowanie i różniczkowanie. Podstawowy wzór rachunku całkowego. Twierdzenia o wartości średniej. Całki niewłaściwe.
2. Zastosowania rachunku całkowego do geometrii, mechaniki i fizyki. (6 godzin) Krzywe prostowalne. Obliczanie długości krzywej. Pole i objętość. Klasy obszarów mierzalnych (w sensie Jordana). Wyrażenie pola
za pomocą całki. Wyrażenie objętości za pomocą całki. Pole powierzchni obrotowej. Wyznaczanie momentów
statycznych i środka ciężkości krzywej. Momenty statyczne figury płaskiej. Twierdzenia Guldina. Wyznaczanie
pracy, momentów bezwładności, etc.
3. Ciągi i szeregi funkcyjne. (6 godzin) Zbieżność punktowa. Zbieżność jednostajna. Kryteria zbieżności.
Własności granic ciągów funkcyjnych. Własności sum szeregów funkcyjnych. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Wyrażenie promienia zbieżności przez współczynniki. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda. Twierdzenie Abela.
Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy. Szeregi Taylora. Pojęcie funkcji analitycznej.
4. Elementy analizy zespolonej (4 godzin) Pochodna, funkcje elementarne i ich własności.
5. Szeregi Fouriera (6 godzin) Szeregi trygonometryczne. Szeregi Fouriera danej funkcji. Rozwijanie funkcji w
szereg Fouriera. Jądro Dirichleta. Twierdzenie Dirichleta. Charakter zbieżności szeregów Fouriera. Rozwinięcie
funkcji w szereg względem dowolnym ortogonalnym układem funkcji. Szeregi Fouriera-Legendre’a, FourieraBessela, etc.
6. Całka Fouriera (4 godzin) Całka Fouriera jako przypadek graniczny szeregu Fouriera. Przekształcenie
Fouriera. Podstawowe własności przekształcenia Fouriera.
7. Funkcje wielu zmiennych (10 godzin) Przestrzeń euklidesowa Rn . Topologia przestrzeni Rn . Pojęcie funkcji
wielu zmiennych. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe funkcji. Różniczka funkcji.
Pochodne funkcji złożonych. Pochodna kierunkowa i gradient funkcji. Pochodne i różniczki wyższych rzędów.
Wzór Taylora. Ekstrema, wartości największe i najmniejsze. Funkcje uwikłane. Istnienie funkcji uwikłanej. Różniczkowalność funkcji uwikłanej. Ekstrema warunkowe. Mnożniki Lagrange’a.
8. Całki wielokrotne (8 godzin) Pojęcie całki wielokrotnej. Podstawowe własności całek wielokrotnych. Całka
podwójna. Obliczanie całki podwójnej. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Współrzędne krzywoliniowe. Całka potrójna. Współrzędne walcowe i sferyczne w całkach potrójnych. Zastosowania całek wielokrotnych.
9. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. (10 godzin) Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej. Wyznaczanie
masy, środków masy i momentów bezwładności. Całka krzywoliniowa funkcji wektorowej (całka krzywoliniowa
skierowana). Praca pola sil. Wzór Greena. Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Całka powierzchniowa funkcji skalarnej. Całka powierzchniowa funkcji wektorowej. Wzór Gaussa-Ostrogradskiego. Wzór
Stoksa.
Literatura:
4. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, 1995.
9. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1986.
10. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,cz. 2. W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Warszawa, PWN, 1995.
6
Is2-ALG2
ALGEBRA LINIOWA i GEOMETRIA II
Cele przedmiotu: Przedstawoć podstawowe struktury algebraiczne. Przestrzenie liniowe i afiniczne, algebra
macierzy, układy liniowe. Morfizmy i operatory. Formy kwadratowe. Geometria analityczna. Stożkowe i kwadryki. Izometrie liniowe.
1. Formy liniowe. Przestrzeń dualna, baza dualna. Przestrzeń refleksywna.
2. Formy dwuliniowe, kwadratowe. Forma biegunowa formy kwadratowej. Polaryzacja formy kwadratowej.
Reprezentacje macierzowe. Rząd formy. Macierze przystające. Postać kanoniczna (diagonalna). Metoda Lagrange’a i Jacobiego.
3. Formy kwadratowe rzeczywiste. Postać normalna. Twierdzenie o bezwładności. Określoność, półokreśloność. Twierdzenie Sylvestera o określoności.
4. Przestrzeń euklidesowa, przestrzeń unitarna. Iloczyn skalarny jako forma dwuliniowa lub hermitowska.
Nierówność Cauchy’ego - Buniakowskiego - Schwarza. Norma wektora. Metryka. Ortogonalność. Istnienie bazy
ortonormalnej. Współrzędne i iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej.
5. Operatory (endomorfizmy). Algebra operatorów. Podalgebra operatora. Wielomian minimalny. Nilpotentność, idempotentność. Inwolucja.
6. Wartości własne, wektory własne, wielomian charakterystyczny jako niezmiennik operatora. Twierdzenie
Cayleya - Hamiltona. Istnienie podprzestrzeni niezmienniczej małego wymiaru. Diagonalizacja.
7. Unia i suma (algebraiczna) podprzestrzeni. Wymiar sumy. Suma prosta. Macierze blokowe.
8. Postać kanoniczna Jordana.
9. Ortonormalizacja Grama - Schmidta. Rzut ortogonalny. Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni.
10. Sprzężenie operatora. Operator samosprzężony (hermitowski), operator symetryczny.
11. Macierz ortogonalna lub unitarna. Przekształcenie unitarne. Izometrie liniowe.
12. Diagonalizacja operatora samosprzężonego.
13. Orientacja przestrzeni. Iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany. Płaszczyzny, hiperpłaszczyzny. Równanie
ogólne hiperpłaszczyzny. Punkty, proste i płaszczyzny w R3 .
14. Przestrzeń euklidesowa: izometrie, grupy izometrii, przekształcenia afiniczne. Kwadryki w R 3 .
Literatura (dodana):
4. Z. Furdzik et al., Nowoczesna matematyka dla inżynierów, Cz. I Algebra, Wyd. AGH, Kraków 1993.
7
Is2-PJP1
INFORMATYKA I - PROGRAMOWANIE I JĘZYKI PROGRAMOWANIA
Cele przedmiotu: Opanowanie umiejętności programowania w języku C. Zapoznanie z odpowiednim środowiskiem programistycznym oraz metodami realizacji projektów programistycznych w tym środowisku. Opanowanie
umiejętności konstruowania prostych algorytmów w oparciu o podstawowe struktury danych. Poznanie metod
jakościowej oceny efektywności algorytmów (poprawność i złożoność) na przykładzie klasycznych algorytmów
sortowania.
Zawartość programowa (wykład, laboratorium):
1. Wprowadzenie - podstawowe pojęcia (4,0): algorytm i jego struktura; schemat blokowy; zestaw instrukcji;
program; maszyna Turinga.
2. Język programowania C (14,20): składnia i struktura języka (typy danych, operatory, wyrażenia, instrukcje); struktura programu (funkcje, preprocesor, klasy pamięci, operacje na wskaźnikach i adresach); podstawowe
biblioteki i narzędzia (wejście i wyjście programu, pliki); uniwersalność języka (uruchamianie programów w różnych systemach operacyjnych).
3. Maszynowa reprezentacja liczb i znaków (2,2): systemy zapisu liczb (pozycyjne i niepozycyjne, stałopozycyjne i zmiennopozycyjne); arytmetyka; standard ASCII.
4. Elementy teorii złożoności i poprawności algorytmów (4,0): notacja Θ, O i Ω; specyfikacja problemu; pojęcia złożonościi czasowej i pamięciowej (pesymistycznej i średniej) algorytmów; metody obliczania złożoności;
klasyfikacja problemów.
5. Przegląd podstawowych algorytmów sortowania wraz z ich analizą (6,8). Twierdzenie o dolnym ograniczeniu złożoności obliczeniowej dla problemu sortowania. Znajdowanie k-tego co do wielkości elementu w tablicy.
Literatura:
1. B.W. Kernighan, D.M. Ritchie, Język ANSI C, WNT 2004.
2. S.G. Kochan, Język C. Wprowadzenie do programowania, Helion 2005.
3. N. Wirth, Algorytmy + struktury danych = programy, WNT 2004.
4. T.H. Corman, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT 2005.
5. D.E. Knuth, Sztuka programowania, WNT 2002.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin laboratorium.
Forma zaliczenia laboratorium: Projekt oraz ocena aktywności na zajęciach.
8
IIs3-AL
ALGEBRA
Cele przedmiotu: Zapoznanie studentów z najbardziej podstawowymi pojęciami i wynikami algebry abstrakcyjnej, a także jej wybranymi, bezpośrednimi zastosowaniami.
1. Podstawowe wiadomości o zbiorze liczb całkowitych. Liczby pierwsze. Twierdzenie Eulera. Postulat Bertranda. (2 godz. wykładu + 2 godziny ćwiczeń)
2. Grupy i ich homomorfizmy, podgrupy normalne i ilorazowe. Grupy modularne. Formuła Sita i wzór Eulera. Grupy cykliczne. Grupy przekształceń i permutacji. Twierdzenia Lagrange’a i Cayleya, Małe Twierdzenie
Fermata. (6+6)
3. Pierścienie i ciała. Pierścienie wielomianów. Problemy podzielności w pierścieniach. Algorytm Euklidesa.
Pierścienie Gaussa. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. (6+6)
4. Równania modularne. Chińskie twierdzenie
o resztach. Zasady kryptografii z kluczem publicznym (metody Rabina i RSA). (6+6)
5. Rozszerzenia ciał. Stopień rozszerzenia. Rozszerzenia skończone, algebraiczne i przestępne. Liczby algebraiczne i przestępne. Twierdzenie Cantora (o nieprzeliczalności zbioru liczb przestępnych). Zbiory konstruowalne.
Twierdzenia o niemożności podwojenia sześcianu, trysekcji kąta i o kwadraturze koła (informacyjnie). (6+6)
6. Algebraiczna domkniętość. Ciała skończone. Zasadnicze twierdzenie algebry (informacyjnie). (4+4)
Literatura:
1. A. Białynicki-Birula, Algebra, PWN Warszawa 1980.
2. G. Birkhoff i S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej, PWN Warszawa 1963
3. A.I. Kostrykin, Wstęp do Algebry 1-3, PWN Warszawa 2004-6.
4. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN Warszawa 1975.
5. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, PWN 2004.
Forma zaliczenia: Zaliczenie ćwiczeń, egzamin pisemny i ustny. Kryteria określające zdanie egzaminu w/g
Regulaminu studiów AGH.
9
IIs3-AM3
ANALIZA MATEMATYCZNA III
Cele przedmiotu: Zapozananie się z całkami krzywoliniowymi i powierzchniowymi. Ich zastosowanie do analizy wektorowej. Całka i miara Lebesgue’a. Pojęcie przestrzeni metrycznej, zupełność. Zasada kontrakcji i jej
zastosowanie.
1. Elementy analizy wektorowej. (6 godzin) Skalary i wektory. Pola skalarne i wektorowe. Gradient. Strumień
wektora przez powierzchnię. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Dywergencja. Cyrkulacja wektora. Twierdzenie Stokesa. Pola potencjalne i bezźródłowe. Zagadnienie odwrotne w analizie wektorowej.
2. Całka i miara Lebesque’a. (16 godzin) Przestrzenie mierzalne. Funkcje zbiorów. Przestrzenie z miarą.
Konstrukcja miary Lebesque’a. Funkcje mierzalne. Funkcje proste. Całkowanie. Porównanie z całką Riemanna.
Całka Lebesque’a-Stieltjesa.
3. Przestrzenie metryczne i zasada kontrakcji. (8 godzin) Przestrzeń metryczna, przykłady: przestrzeń funkcji ciągłych, Przestrzeń funkcji sumowalnych. Zupełność, Zasada kontrakcji i jej zastosowanie.
Literatura:
4. L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, 1995.
9. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN, 1986.
10. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych,cz. 2. W. Stankiewicz, J. Wojtowicz, Warszawa, PWN, 1995.
10
IIs3-WMF
WSTĘP DO MATEMATYKI FINANSOWEJ
Cele przedmiotu: Przedstawienie podstawowych teorii matematyki finansowej (wycena instrumentów, teoria
portfela, inżynieria finansowa) na przykładzie wieloetapowego modelu dwumianowego oraz modelu trójmianowego w jednym kroku.
1. Model dwumianowy (4 godziny). Definicja modelu dwumianowego w jednym kroku. Pojęcie zwrotu. Walor wolny od ryzyka. Portfel inwestycyjny. Długa i krótka pozycja, opis krótkiej sprzedaży, system depozytóww
zabezpieczających. Podzielność walorów. Portfel samofinansujący się, dopuszczalny, arbitrażowy. Zasada braku
arbitrażu i wynikające z niej ograniczenia na model. Model dwuetapowy, opis przestrzeni probabilistycnej, ilustracja warunkowej wartości oczekiwanej.
2. Wartość pieniądza w czasie (6 godzin). Obligacje zero-kuponowe i implikowane stopy procentowe. Struktura czasowa stóp procentowych. Pojęcie rachunku rynku pieniężnego. Kapitalizacja prosta i złożona (dyskretna),
Kapitalizacja ciągła. Obliczanie wartości dzisiejszej i przyszłej. Renty wieczyste i okresowe, renta z góry. Analiza
kredytów o równych ratach. Wycena obligacji kuponowych. Renta wieczysta rosnąca, model Gordona cen akcji.
Porównanie inwestycji w obligacje i w rachunek rynku pieniężnego przy zmianie stóp procentowych. Sygnalizacja
problemów związanych z modelowaniem losowych stóp procentowych.
3. Wycena instrumentów pochodnych (10 godzin). Pojęcie instrumentu pochodnego. Przykłady: opcje kupna
i sprzedaży, kontrakt terminowy forward. Wyprowadzenie wzoru na cenę forward. Zastosowanie instrumentów
pochodnych do osłony przed ryzykiem. Konieczność rozszerzenia rynku. Replikacja instrumentu pochodnego
w jednym kroku. Dowód arbitrażowy wzoru na cenę opcji kupna i sprzedaży. Własności cen w zależności od
parametrów. Wycena dowolnego instrumentu pochodnego. Osłona przed ryzykiem. Pojęcie martyngału, prawdopodobieństw martyngałowych (neutralnych względem ryzyka). Zastosowanie do wyceny instrumentów pochodnych. Osłona przed ryzykiem w dwóch krokach (delta hedging), konstrukcja dynamicznych strategii osłony.
Opcja amerykańska, wycena. Osłona przed ryzykiem. Model trójmianowy jako najprostszy model rynku niezupełnego, problem wyceny, brak jednoznaczności miary martyngałowej i konsekwencje tego faktu.
4. Teoria portfela i inżynieria finansowa (6 godzin). Oczekiwany zwrot. Odchylenie standardowe jako miara
ryzyka. Pojęcie brzegu efektywnego. Dopuszczenie waloru wolnego od ryzyka, linia rynku kapitałowego. Pojęcie portfela rynkowego. Ilustracja komputerowa rozwiązania problemu optymalizacji portfela. Zwrot i ryzyko
inwestycji w instrumenty pochodne. Inżynieria finansowa. Związki między podstawowymi instrumentami pochodnymi, parytet cen opcji kupna i sprzedaży. Konstrukcja portfeli o zadanych profilach wypłaty. Zarządzanie
ryzykiem.
5. Finanse firm (4 godziny). Sprawozdania finansowe. Źródła zagrożeń - ryzyko kursowe, stóp procentowych,
zmiany cen. Metody osłony z wykorzystaniem instrumentów pochodnych. Pojęcie kosztu kapitału, budżetowanie
kapitałowe, wycena projektów i firm. Problem ryzyka kredytowego. Akcja firmy zadłużonej jako opcja kupna
(model Mertona). Wycena obligacji firm narażonych na bankructwo, implikowany koszt długu.
Literatura:
1. M. Capiński, Wstęp do matematyki finansowej, AGH 2006, str. 1–48,
http://www.wms.agh.edu.pl/˜capinski/wstep-mat-fin.pdf.
2. M. Capiński, T. Zastawniak, Mathematics for Finance, Springer 2004.
3. J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, WIG-Press, 1998.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń
Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń: dwa kolokwia; forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny, 3
problemy teoretyczne, 2 praktyczne zastosowania.
11
IIs3-RRZ
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
Cele przedmiotu: Wprowadzenie podstawowych idei i pojęć z zakresu równań różniczkowych zwyczajnych.
1. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych zwyczajnych. Formalna definicja równania
różniczkowego i jego rozwiązania, postać ogólna i normalna. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania różniczkowego rzędu pierwszego. Sprowadzanie równania różniczkowego rzędu n-tego do układu równań
różniczkowych rzędu pierwszego.
2. Proste typy równań różniczkowych - o zmiennych rozdzielonych, jednorodne, zupełne (wyznaczanie czynnika całkującego), Clairauta, Lagrange’a.
3. Równania i układy równań różniczkowych liniowych - istnienie i postać rozwiązania. Skalarne równanie
różniczkowe rzędu pierwszego. Równanie Bernoulliego. Równanie Riccatiego.
4. Skalarne równanie różniczkowe n-tego rzędu. Wrońskian. Fundamentalny układ rozwiązań. Metoda uzmienniania stałych. Obniżanie rzędu równania różniczkowego. Zasada superpozycji. Równania różniczkowe n-tego
rzędu o współczynnikach stałych. Metoda przewidywań.
5. Układ skalarnych równań różniczkowych rzędu pierwszego. Układ fundamentalny rozwiązań. Metoda
uzmienniania stałych. Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. Metoda wektorów
i wartości własnych. Sprowadzanie macierzy do postaci Jordana. Rowiązywanie układu x 0 = Ax przez sprowadzenie macierzy układu do postaci Jordana.
6. Poszukiwanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych - twierdzenie CauchyKowalewskiej. Osobliwe punkty regularne równań rzędu drugiego. Równanie indeksowe. Szeregi Frobeniusa.
7. Twierdzenie o ciągłej zależności rozwiązania od warunków początkowych. Stabilność, lokalna asymptotyczna stabilność i globalna asymptotyczna stabilnośc rozwiązania równania różniczkowego - definicje. Twierdzenie
Lapunowa. Zastosowanie do układu x0 = Ax i do równania skalarnego x0 = f (x). Problem Routha-Hurwitza.
8. Punkty osobliwe równań różniczkowych i ich klasyfikacja. Portrety fazowe. Zbiory graniczne i ich własności, cykl graniczny.
9. Zagadnienia brzegowe dla równań drugiego rzędu, operator Sturma–Liouville’a.
10. Transformata Laplace’a. Niektóre własności transformaty. Wyznaczanie transformaty na podstawie równania różniczkowego. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty. Twierdzenia o rozkładzie, przesunięciu
rzeczywistym, przesunięciu zespolonym, splocie.
Literatura:
1. B.P. Conrad, Differential Equations, A Systems Approach, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New
Jersey, 2003.
2. A.F. Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
3. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem komputerowego
systemu obliczeń symbolicznych), WNT, Warszawa 1999.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń tablicowych
Forma zaliczenia: dwa kolokwia na ćwiczeniach, egzamin pisemny.
12
IIs3-PJP2
INFORMATYKA II - PROGRAMOWANIE I JĘZYKI PROGRAMOWANIA
Cele przedmiotu: Opanowanie umiejętności programowania obiektowego w języku C++. Zapoznanie z odpowiednim środowiskiem programistycznym oraz metodami realizacji projektów programistycznych w tym środowisku. Zapoznanie ze złożonymi strukturami danych oraz klasycznymi algorytmami operującymi na tych strukturach. Usystematyzowanie podstawowych metod projektowania algorytmów. Praktyczne opanowanie zasad
formułowania i rozwiązywania problemów algorytmicznych w oparciu o podstawowe metody ich projektowania.
Zawartość programowa (wykład, laboratorium):
1. Wprowadzenie do programowania obiektowego - język C++ (10,16): rozszerzenia nieobiektowe języka C;
deklaracje klas i obiektów, komponenty i ich zasięg; konstruktory i destruktory; funkcje operatorowe; przeciążanie funkcji; funkcje zaprzyjaźnione; dziedziczenie.
2. Złożone struktury danych (10,8): listy pojedynczo i podwójnie wiązane (implementacja wskaźnikowa);
stosy i kolejki (implementacja tablicowa i wskaźnikowa); drzewa (implementacje, porządki w drzewach); drzewa
przeszukiwań binarnych; drzewa wyważone: AVL i B-drzewa; grafy (implementacje).
3. Podstawowe algorytmy grafowe oraz ich praktyczne zastosowania (6,6): przeszukiwanie w głąb i wszerz;
znajdowanie minimalnego drzewa spinającego; znajdowanie najkrótszych ścieżek; znajdowanie drogi Eulera;
znajdowanie maksymalnego przepływu w sieciach oraz inne zagadnienia przepływowe.
4. Porównanie podstawowych metod projektowania algorytmów (4,0): rekurencyjna; metoda „dziel i zwycięża”; algorytmy z nawrotami; metoda „podziału i ograniczeń”; algorytmy zachłanne; programowanie dynamiczne.
Literatura:
1. B. Stroustrup, Język C++, WNT 2002.
2. S.B. Lippman, J. Lajoie, Podstawy języka C++, WNT 2001.
3. T.H. Corman, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT 2005.
4. A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman, Projektowanie i analiza algorytmów, Helion 2003.
5. W. Lipski, Kombinatoryka dla programistów, WNT 2004.
Forma zaliczenia laboratorium: Projekt oraz ocena aktywności na zajęciach.
Forma zaliczenia wykładu: Egzamin ustny.
13
IIs4-RP1
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I
Cele przedmiotu: Wprowadzenie podstawowych idei i pojęć rachunku prawdopodobieństwa.
1. Miary probabilistyczne (10 godz.). Aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa, przestrzeń probabilistyczna,
podstawowe własności miar probabilistycznych, konstrukcja miar na przestrzeniach przeliczalnych i nieprzeliczalnych, prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa, niezależność
zdarzeń, π-układy, lematy Borela-Cantelliego, absolutna ciągłość i osobliwość miar, pochodna i twierdzenie
Radona-Nikodyma, dystrybuanty i gęstości, przegląd podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa
2. Zmienne losowe (14 godz.). Mierzalność odwzorowań i zagadnienie transportu miary, ogólne twierdzenie
o zmianie zmiennych w całce Lebesgue’a, zmienne i wektory losowe, rozkłady brzegowe, σ-ciała generowane
przez elementy losowe, niezależność elementów losowych, wartość oczekiwana i momenty, nierówności Markowa,
Czebyszewa, Jensena i Schwarza, macierz wariancji i kowariancji i jej własności, współczynnik korelacji, jedno
i wielowymiarowy rozkład normalny
3. Prawa wielkich liczb (6 godz.). Zbieżność według prawdopodobieństwa i z prawdopodobieństwem jeden,
istnienie ciągów niezależnych zmiennych losowych (tw. Kołmogorowa), słabe prawa wielkich liczb, nierówność
Kołmogorowa, mocne prawa wielkich liczb Kołmogorowa i Chinczyna, częstościowa interpretacja prawdopodobieństwa
Literatura:
1. J. Jakubowski, R. Sztencel,Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, 2001.
2. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, 1987.
3. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, II, PWN, 1977.
Forma zaliczenia: dwa kolokwia na ćwiczeniach, egzamin po semestrze IV (patrz program wykładu RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2)
14
IIs4-FIZ1
FIZYKA I
Cele przedmiotu: Przedmioty Fizyka I i II stanowią krótki kurs fizyki współczesnej.
1. Wstęp (4 godziny). Przedmiot badań fizyki. Metody badawcze i obliczeniowe fizyki. Prawa fizyki i ich
zakres stosowalności. Skale: czasowa, rozmiarów, energii. Przybliżenia modeli fizycznych i dokładność pomiaru.
Symetrie. Zasady zachowania.
2. Mechanika klasyczna (6 godzin). Ruch punktu materialnego, podstawowe definicje i związki kinetyki,
przyspieszenie styczne i normalne. Zasady dynamiki Newtona. Przegląd sił, siły zachowawcze i niezachowawcze,
potencjał. Praca, energia, moc. Prawa zachowania. Przykłady dynamiki Newtona dla sił grawitacyjnych, sprężystych, Lorentza i innych.
3. Dynamika Maxwella (4 godziny). Koncepcja pola elektromagnetycznego. Struktura równań Maxwella różniczkowa i całkowa. Prądy przesunięcia. Źródła pól. Twierdzenie Gaussa. Falowe rozwiązania równań Maxwella
dla próżni i ośrodków nieprzewodzących. Rozwiązania statyczne.
4. Fale (4 godziny). Równanie fali. Interpretacja fizyczna parametrów równania falowego. Zasada superpozycji i energia fali. Prawa dynamiki a relacje dyspersji. Geometryczne typy fal, absorpcja. Spójność światła,
interferencja. Fale elektromagnetyczne i mechaniczne w różnych ośrodkach. Zjawisko Dopplera.
5.Optyka falowa (4 godziny) Dualizm cząstkowo-falowy. Interferencja i dyfrakcja, koherencja. Obraz dyfrakcyjny. Siatka dyfrakcyjna. Badania struturalne kryształów, dobór zakresu długości fal, fale elektronowe, badania
neutronograficzne. Interferencja w cienkich warstwach.
6. Optyka geometryczna (4 godziny). Zakres stosowalności. Prawa odbicia i załamania. Obrazy. Zwierciadła.
Zjawisko rozszczepienia światła, pryzmat. Soczewki cienkie. Wybrane instrumenty optyczne.
7. Elektrostatystyka i magnetostatyka (4 godziny). Natężenie pola elektrycznego, indukcja pola magnetycznego. Prawo Coulomba. Kondensator płaski. Energia układów ładunków, zachowawczość pola elektrycznego,
potencjał. Prąd elektryczny i pole magnetyczne. Pole od przewodnika prostoliniowego. Prąd kołowy, solenoid
krótki i długi.
Literatura:
1. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, Wydawnictwa Naukowe-Techniczne, Warszawa.
2. J. Orear, Fizyka, Wydawnictwa Naukowe-Techniczne, Warszawa.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń
Forma zaliczenia: Kolokwia pisemne.
15
IIs4-WMD
WSTĘP DO MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Cele przedmiotu: Przedstawienie kilku podstawowych aspektów matematyki dyskretnej ze szczególnym
uwzględnieniem zastosowań.
1. Skojarzenia w grafach dwudzielnych (10 godzin). Elementy teorii grafów. Spójność. Drzewa. Zastosowanie
do problemu sztywności kratownic. Skojarzenia w grafach dwudzielnych. Problem małżeństw. Tw. Berge’a. Tw.
Halla. Znajdywania maksymalnego skojarzenia. Algorytm (dający przy okazji minimalne pokrycie). Tw. Königa
Tw. Königa-Egerváryego (o macierzach 0-1). Problem przydziału zadań. Macierze permutacyjne i bistochastyczne. Tw. Birkhoffa-von Neumanna. Tw. o szczęściu i monogamii. Problem stabilności małżeństw. Algorytm.
Zbiory częściowo uporządkowane. Diagramy Hassego. Łańcuchy i antyłańcuchy. Tw. Dilwortha. Wzmianka o
innych twierdzeniach minimaksowych (Forda-Fulkersona, Mengera).
2. Równania rekurencyjne (4 godziy). Ciągi rekurencyjne. Ciąg Fibonacciego. Równania rekurencyjne liniowe o stałych współczynnikach. Funkcje tworzące (zwykłe i wykładnicze). Przykłady zastosowań.
3. Kwadraty łacińskie (4 godziny). Kwadraty i prostokąty łacińskie. Twierdzenie o rozszerzaniu prostokąta
p × n do kwadratu n × n. Zastosowanie pierścieni Zn . Problem 36 oficerów. Wzajemnie ortogonalne łacińskie
kwadraty (WOŁKi). Zastosowanie ciał Galois GF (n) do tworzenia n − 1 WOŁKów rzędu n.
4. Konfiguracje (5 godzin). Konfiguracje kombinatoryczne (BIBD) o parametrach (v, b, r, k, λ). Podstawowe
związki między parametrami. Macierz konfiguracji. Nierówność Fishera. Konfiguracje symetryczne (kwadratowe). Tworzenie konfiguracji. Konfiguracje a WOŁKi. Zbiory różnicowe. Konfiguracje dualne. Konfiguracje a
rozkłady grafów.
5. Problemy komunikacji w grafach (5 godzin). Dyfuzja. Kostka jako minimalny graf dyfuzji. Wymiana całkowita. Minimalizacja liczby połączeń. Realizacja permutacji w nektórych sieciach.
6. Podsumowanie (2 godziny). Matematyka dyskretna w ujęciu perspektywicznym.
Literatura:
1. V. Bryant, Aspekty kombinatoryki, WN-T, W-w, 1993.
2. W. Lipski i W. Marek, Analiza kombinatoryczna, PWN, W-wa 1986.
3. Z. Palka i A. Ruciński, Wykłady z kombinatoryki, WN-T, W-wa 1998.
4. R.J. Wilson, Wprowadzenie do teorii grafów, PWN, W-wa 1985.
5. M. Wo”zniak, Wprowadzenie do problemów komunikacjiw grafach, Wyd. AGH, Kraków 1999.
Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń: 3 prace pisemne, centralnie sterowane z obiektywną oceną (na
prawach egzaminu pisemnego), forma zaliczenia wykładu: egzamin ustny (z uwzględniemiem oceny z ćwiczeń).
16
IIs4-RRC
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
Cele przedmiotu: Przystępne wprowadzenie podstawowych technik rozwiązywania równań równań różniczkowych cząstkowych.
1. Wprowadzenie (4 godziny). Podstawowe definicje. Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych.
2. Metoda charakterystyk dla równań różniczkowych 1-go rzędu (4 godziny). Metoda charakterystyk dla równań liniowych. Metoda charakterystyk dla równań liniowych.
3. Klasyfikacja równań różniczkowych 2-go rzędu (2 godziny). Typy równań. Rozwiązywanie metodą charakterystyk. Operatory różniczkowe typu hiperbolicznego, parabolicznego i eliptycznego.
4. Metoda rozdzielania zmiennych (4 godziny). Rozwiązanie równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie ograniczonym i nieograniczonym. Rozwiązanie równania struny drgającej. Dla obu równań przypadek jednorodny i
niejednorodny.
5. Równanie falowe (6 godziny). Rozwiązanie d’Alamberta równania struny. Dyskusja przypadków. Warunki różniczkowania szeregu trygonometrycznego. Metoda uśredniania dla fal kulistych. Wzór Poissona. Metoda
redukcji dla fal walcowych.
6. Rozwiązania podstawowe (4 godziny). Rozwiązanie podstawowe dla równania Laplace’a. Rozwiązanie równania Poissona. Rozwiązanie pdstawowe dla równania przewodnictwa cieplnego. Rozwiązanie problemu początkowego dla równania przewodnictwa cieplnego.
7. Metoda funkcji Greena (3 godziny). Definicja funkcji Greena. Podstawowe własności. Funkcja Greena dla
półprzestrzeni. Funkcja Greena dla kuli jednostkowej.
8. Zasada maksimum (3 godziny). Zasada maksimum dla równań eliptycznych. Zasada maksimum dla równań hiperbolicznych.
Literatura:
1. J. Janus, J. Myjak, Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych, Wydawnictwa AGH
2. L.C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe
3. Tichonov, Samarski, Równania różniczkowe fizyki matematycznej
4. A.W. Bicadze, Zbiór zadań z równań fizyki matematycznej
5. E. Kącki, Równania różniczkowe cząstkowe w zagadnieniach fizyki matematycznej
Liczba godzin: 30 godzin wykładu, 30 godzin ćwiczeń.
Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń - 3 prace pisemne, forma zaliczenia wykładu - egzamin ustny.
17
IIs4-PI
PAKIETY INFORMATYCZNE
Cele przedmiotu: Przedstawienie programów Mathematica i Maple oraz ich zastosowań w matematyce obliczeniowej i przetwarzaniu symbolicznym.
1. Omówienie zagadnień będących przedmiotem wykładu (2 godziny). Krótki przegląd programów do obliczeń symbolicznych (Mathematica, Maple, MatLab, Derive, Maxima, MuPad) i przedstawienie możliwości takich
programów.
2. Program Mathematica (14 godzin). Obiekty proste i złożone w Mathematica – konstrukcja i rodzaje wyrażeń algebraicznych , operatory algebraiczne, podstawowe funkcje wbudowane w omawiany system i sposoby
ich stosowania, zasady definiowania własnych funkcji. Algebra liniowa – listy, wektory, macierze, wykorzystanie
wbudowanych funkcji i procedur dotyczących algebry liniowej, zaawansowane operacje na listach. Funkcje matematyczne – omówienie różnego typu funkcji zdefiniowanych w systemie Mathematica, przykłady zastosowania
tych funkcji w operacjach różniczkowania, całkowania, obliczania wyrażeń, konstruowanie wykresów, szeroko
pojęta geometryczna prezentacja danych oraz wyników. Elementy programowania w Mathematica – podstawowe instrukcje, konstrukcja własnych pakietów i bibliotek. Przykłady problemów numerycznych i ich rozwiązań
oraz prezentacja otrzymanych wyników. Przegląd wbudowanych pakietów.
3. System komputerowy Maple (13 godzin). Prezentacja systemu. Podstawowe obiekty i operacje. Przykłady rozwiązywania problemów matematycznych w systemie Maple – zagadnienia z algebry liniowej, równań
różniczkowych zwyczajnych, analizy zespolonej, statystyki. Elementy programowania w Maple – podstawowe
instrukcje. Konstrukcja własnych pakietów i bibliotek. Wizualizacja danych i wyników.
4. Różnice i elementy wspólne omówionych systemów oraz podsumowanie wykładu (1 godzina).
Literatura:
1. G. Drwal, R. Grzybowski i inni, Mathematica dla każdego, 1996.
2. Wolfram Research, Standard add-on packages, 1999.
3. Wolfram Research, Guide to standard Mathematica Packages, 1993.
4. M.B. Monogan, K.O. Geddes i inni, Maple 9 advanced programming guide, 2003.
5. Maplesoft, Maple, Maple user manual, 2005.
Forma zaliczenia: ocena obowiązkowych ćwiczeń realizowanych w trakcie zajęć laboratoryjnych oraz ocena
indywidualnego projektu.
18
IIIs5-WAN
WSTĘP DO ANALIZY NUMERYCZNEJ
Cele przedmiotu: Przekazanie wstępnych informacji z dziedziny matematyki obliczeniowej i specyfiki rachunku numerycznego. Zapoznanie z podstawowymi algorytmami. Zapewnienie podstaw do dalszego studiowania
matematyki obliczeniowej.
1. Podstawowe pojęcia analizy błędów zaokrągleń (3 godziny). Arytmetyka numeryczna, uwarunkowanie
zadania, kryteria akceptowalności numerycznej algorytmów.
2. Interpolacja (6 godzin). Interpolacja wielomianowa, elementy interpolacja funkcjami sklejanymi, informacja o interpolacji trygonometrycznej.
3. Aproksymacja (4 godziny). Aproksymacja średniokwadratowa, układ równań normalnych Gaussa. Aproksymacja jednostajna - twierdzenie o alternansie.
4. Kwadratury (4 godziny). Funkcje jednej zmiennej - rząd kwadratury, kwadratury Gaussa i NewtonaCotesa. Przykłady wyrażeń na błąd.
5. Numeryczne rozwiązywanie układów równań liniowych (6 godzin). Algorytm eliminacji Gaussa w arytmetyce zmiennoprzecinkowej, wybór elementu głównego. Metoda ortogonalizacji Grama–Schmidta i jej własności
numeryczne. Informacja o metodzie Householdera. Informacja o metodach iteracyjnych dla wielkich ukladów
równań liniowych.
6. Rozwiązywanie równań nieliniowych (2 godziny). Metody bisekcji, Newtona i siecznych dla równań skalarnych. Szybkość zbieżności.
7. Algebraiczny problem własny (5 godzin). Wrażliwość wartości własnych. Wady przechodzenia przez postać jawną wielomianu charakterystycznego. Metoda potęgowa. Metody wyznacznikowe. Informacja o metodach
doprowadzania macierzy do specjalnej postaci przez podobieństwa ortogonalne.
Literatura:
1. J.M. Jankowscy, M. Dryja, Przegląd metod numerycznych, cz. 1,2, WNT, 1981.
2. J. Stoer, R. Bulirsch, Wstęp do metod numerycznych, cz. 1,2, PWN, 1980.
3. D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, WNT, 2006.
4. G. Dalquist, A. Bjorck, Metody numeryczne, PWN, 1983.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń tablicowych.
Forma zaliczenia: Egzamin ustny lub pisemny.
19
IIIs5-PL
PROGRAMOWANIE LINIOWE
Cele przedmiotu: Wprowadzenie do zagadnień optymalizacyjnych. Przedstawienie problemu programowania
liniowego, podstawowych metod jego rozwiązywania, zastosowań teoretycznych i praktycznych. Przegląd metod
sieciowych.
1. Problem programowania liniowego (6 godzin). Programowanie matematyczne i programowanie liniowe.
Przykłady zadań modelowanych w języku programowania liniowego. Algorytm sympleks. Inicjalizacja i cykliczność (reguła Blanda). Złożoność obliczeniowa (przykład Klee-Minty’ego).
2. Dualizm (4 godziny). Problem dualny. Zasada dualności. Interpretacja ekonomiczna.
3. Zredukowana metoda sympleksowa (4 godziny). Programowanie liniowe całkowite.
4. Interpretacje i zastosowania (6 godzin). Interpretacja geometryczna w przypadkach 1-, 2- i 3–wymiarowych.
Powłoki wypukłe. Układy równań i nierówności liniowych. Metoda Fouriera-Motzkina. Wielościany i półprzestrzenie. Twierdzenie Caratheodory’ego.
5. Metody sieciowe (10 godzin). Przepływy w sieciach – twierdzenie o maksymalnym przepływie i minimalnym przekroju. Algorytm Forda–Fulkersona . Zbieżność algorytmu FF. Poprawka Edmondsa–Karpa. Przepływ
o minimalnym koszcie – metoda sympleksu sieciowego. Zastosowania: twierdzenia Halla i Mengera.
Literatura:
1. V. Chvátal, Linear Programming, W.H. Freeman and Comp., NY 1984.
2. L.R. Ford Jr., D.R. Fulkerson, Przepływy w sieciach, PWN Warszawa 1969.
3. A. Schrijvers, Theory of Linear and Integer Programming, Willey 1998.
4. M.M. Sysło, N. Deo i J.S. Kowalik, Algorytmy optymalizacji dyskretnej, PWN, Warszawa 1999.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń lub laboratorium.
Forma zaliczenia: Zaliczenie ćwiczeń (lub laboratorium), egzamin pisemny i ustny.
20
IIIs5-RP2
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA II
Cele przedmiotu: Wprowadzenie bardziej zaawansowanych pojęć rachunku prawdopodobieństwa, potrzebnych
do specjalistycznych wykładów na studiach II stopnia oraz do samodzielnego czytania literatury specjalistycznej.
1. Warunkowa wartość oczekiwana (10 godz.). σ-podciała i częściowa informacja, prawdopodobieństwo warunkowe względem σ-ciała, regularne rozkłady warunkowe, warunkowa wartość oczekiwana względem σ-ciała i
jej własności, przypadki szczególne, funkcja regresji
2. Twierdzenia graniczne (14 godz.). Słaba zbieżność dystrybuant i rozkładów w R n , lemat Słuckiego,
konstrukcja Skorochoda, warunki równoważne słabej zbieżności, uogólnienia, funkcje charakterystyczne i ich
własności, tw. Levy’ego–Cramera o ciągłości, centralne twierdzenia graniczne Moivre’a–Laplace’a, Lindeberga–
Levy’ego, Lindeberga, Lapunowa, funkcje charakterystyczne wektorów losowych, tw. Cramera-Wolda, tw. Lindeberga–
Levy’ego dla wektorów losowych, tw. o zbieżności transformowanych ciągów wektorów losowych, asymptotyczna
normalność, metoda delta
3. Wstęp do procesów stochastycznych(6 godz.). Pojęcie procesu stochastycznego, trajektorie, rozkłady skończenie wymiarowe, tw. Kołmogorowa o istnieniu procesu, jednorodny proces Poissona, procesy stacjonarne, operacje liniowe na procesach słabo stacjonarnych
Literatura:
1. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Script, 2001.
2. P. Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, 1987.
3. W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, tom I, II, PWN, 1977.
4. R.J. Serfling, Ąpproximation theorems of mathematical statistics, Wiley, 1980.
Forma zaliczenia: ćwiczenia: 2 kolokwia, wykład: dwuczęściowy egzamin pisemny (zadania+teoria), obejmujący także materiał wykładu Rachunek Prawdopodobieństwa 1 z semestru III.
21
IIIs5-FHM
FILOZOFIA I HISTORIA MATEMATYKI
Cele przedmiotu: Zapoznanie z wybranymi zagadnieniami filozofii matematyki w ujęciu historycznym oraz
historii matematyki w ich aspektach filozoficznych.
1. Wprowadzenie do filozofii i historii matematyki (3 godziny). Terminologia. Relacje pomiędzy filozofią a
historią oraz filozofią a podstawami matematyki.
2. Matematyka starożytna (4 godziny). Pierwszy kryzys podstaw matematyki. Platońska oraz arystotelesowska wizja matematyki. Paradygmat Euklidesa.
3. Matematyka nowożytna od Kartezjusza po wiek XIX (10 godzin). Kartezjusz, Leibniz, Kant, Bolzano,
Mill, Gauss, Riemann, Bolyai, Łobaczewski, Dedekind, Cantor, Poincar - osiągnięcia matematyczne oraz koncepcje filozoficzne w odniesieniu do matematyki. Paradygmat logiczno-teoriomnogościowy.
4. Drugi kryzys podstaw matematyki i jego konsekwencje (9 godzin). Trzy główne współczesne kierunki w
podstawach i filozofii matematyki: logicyzm, intuicjonizm, formalizm. Twierdzenia Gdla o niezupełności.
5. Współczesny okres renesansu zainteresowań filozofią i historią matematyki (4 godziny). Koncepcje quasiempiryczne. Dowody wspomagane komputerowo źródłem nowych problemów filozofii matematyki.
Literatura:
1. R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN.
2. R. Murawski, Współczesna filozofia matematyki. Wybór tekstów, PWN.
3. R. Murawski, Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych, PWN.
4. M. Kordos, Wykłady z historii matematyki, WSiP.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu
Forma zaliczenia: Egzamin pisemny.
22
IIIs5-FIZ2
FIZYKA II
Cele przedmiotu: Przedmioty Fizyka I i II stanowią krótki kurs fizyki współczesnej.
1. Podstawy teorii względności (4 godziny). Związek z mechaniką klasyczną. Doświadczenie MichelsonaMorleya i próby tłumaczenia, postulaty Einsteina, transformacje Lorentza, skrócenie odległości i czasu, składanie prędkości, dynamika relatywistyczna, równoważność masy i energii.
2. Fizyka jądrowa (6 godzin). Struktura jądra. Oddziaływania nukleon-nukleon i energia wiązania. Przekrój
czynny, oddziaływanie promieniowania z materią. Prawo rozpadu promieniotwórczego. Rozpad alfa. Rozpady
gama i beta. Reakcje jądrowe. Rozszczepienie jąder atomowych. Zasada działania reaktora. Reakcja syntezy
jądrowej.
3. Model Bohra (2 godziny). Model Bohra atomu wodoropodobnego, dyskretyzacja energii, skala energii.
Liczby kwantowe. Orbity.
4. Fizyka kwantowa (6 godzin). Związek z mechaniką klasyczną. Równania Schrdingera. Funkcje własne,
strumień prawdopodobieństwa. Operatory w fizyce kwantowej. Wartość oczekiwana operatora. Studnia potencjału. Atom wodoru, funkcje własne, liczby kwantowe i ich interpretacja. Operator momentu pędu i jego związek
z liczbami kwantowymi. Zasada nieoznaczoności Heinsenberga.
5. Ciało stałe (6 godzin). Symetria potencjału i twierdzenie Blocha, relacja dyspersji i strefy Brillouina.
Fonony, drgania sieci krystalicznej, własności termiczne. Swobodne elektrony w metalu, zakaz Pauliego i gaz
Fermiego. Energia i powierzchnia Fermiego. Pasma energetyczne, metale izolatory i półprzewodniki. Funkcja
gęstości stanów. Funkcje rozkładu Fermiego-Diraca i Bosego-Einsteina. Półprzewodniki. Nadprzewodnictwo.
6. Cząstki elementarne (6 godzin). Cząstki elementarne, kwarki. Model standardowy cząstek elementarnych.
Symetria czasowa. Oddziaływania. Akceleratory wysokich energii. Antymateria. Zasady zachowania. Wielki wybuch, model ewolucji gwiazd. Czarne dziury.
Wykaz ćwiczeń spośród których student wykonuje część odpowiadającą założonej liczbie 30 godzin (C-ciepło, E-elektryczność, FC-fizyka cząsteczkowa, M-mechanika, O-optyka):
C1. (E - 3 godziny) Wyznaczanie rozkładów wyników pomiarów oporu (krzywa Gaussa) wykonanych metodą mostka
Wheastone’a.
C2. (M -3 godziny) Badanie drgań harmonicznych wahadła sprężynowego.
C3. (M -3 godziny) Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.
C4. (M -3 godziny) Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą dynamiczną.
C5. (C -3 godziny) Wyznaczanie ciepła właściwego metodą ostygnięcia.
C6. (FC -3 godziny) Wyznaczanie napięcia powierzchniowego cieczy metodą rurek włoskowatych i stalagmometru.
C7. (FC -3 godziny) Wyznaczanie bezwładności współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa.
C8. (E -3 godziny) Wyznaczanie rozkładu wyników pomiarów oporu (krzywa Gaussa) wykonanych metodą mostka
Wheastone’a.
C9. (M -3 godziny) Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia.
C10. (E -3 godziny) Wyznaczanie temperatury punktu objętości i temperatury inwersji dla temperatury żelazo-miedź.
C11. (E -3 godziny) Cechowanie termoogniwa i wyznaczanie czułości galwanometru.
C12. (E -3 godziny) Pomiar współczynnika samoindukcji cewki.
C13. (O -3 godziny) Wyznaczanie współczynnika załamania światła za pomocą mikroskopu.
C14. (O -3 godziny) Wyznaczanie grubości płytki kwarcowej i pomiar stężenia roztworu cukru przez pomiar skręcenia
płaszczyzny polaryzacji.
C15.(O -3 godziny) Wyznaczanie poziomów energetycznych atomu wodoru za pomocą spektroskopu pryzmatycznego.
C16. (O -3 godziny) Wyznaczanie powiększenia mikroskopu i jego zdolności rozdzielczej.
C17. (E -3 godziny) Wyznaczenie charakterystyki oporu różnych przewodników.
C18. (E -3 godziny) Badania zależności mocy użytecznej i sprawności ogniwa od oporu zewnętrznego w obwodzie
prądu stałego.
C19. (O -3 godziny) Badanie zjawiska dyfrakcji na dwóch szczelinach.
C20. (E -3 godziny) Pomiar różnicy potencjałów metodą kompensacji.
C21. (E -3 godziny) Badanie transformatora.
C22. (O -3 godziny) Badanie widm emisyjnych za pomocą spektrometru siatkowego.
C23.(E -3 godziny) Wyznaczenie natężenia i indukcji składowej poziomej pola magnetycznego ziemskiego przy pomocy busoli stycznej.
C24. (E -3 godziny) Pomiar pojemności kondensatora metodą mostka Wheastone’a.
23
C25. (M -3 godziny) Wyznaczenie stosunku cp /cv dla powietrza i dwutlenku węgla metodą akustyczną.
C26. (O -3 godziny) Wyznaczenie promieni krzywizny soczewki płaskowypukłej oraz długości fali światła metodą
interferencyjnych pierścieni Newtona.
Literatura:
1. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, Wydawnictwa Naukowe-Techniczne, Warszawa.
2. J. Orear, Fizyka, Wydawnictwa Naukowe-Techniczne, Warszawa.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu + 30 godzin ćwiczeń laboratoryjnych
Forma zaliczenia: Zaliczenie laboratorium i egzamin pisemny.
24
IIIs6-STA
STATYSTYKA
Cele przedmiotu: Wprowadzenie do praktycznej analizy danych empirycznych. Wyrobienie intuicji probabilistycznej i umiejętności modelowania. Przedmiot będzie miał charakter przede wszystkim praktyczny. Wykład
będzie ilustrowany dużą liczbą przykładów. Na ćwiczeniach laboratoryjnych studenci nauczą się pracować z
pakietem statystycznym (Statistica/Statgraphics).
1. Przedmiot statystyki, wstępna, jakościowa analiza danych, model i wnioskowanie statystyczne (4 godziny).
Eksperyment generujący dane, graficzne przedstawienie danych ilościowych i jakościowych, statystyki opisowe,
wstępna jakościowa analiza danych, model parametryczny i nieparametryczny, estymacja, testowanie i klasyfikacja jako przykłady wnioskowania statystycznego.
2. Estymacja parametryczna (6 godzin). Metoda momentów i metoda największej wiarygodności, nieobciążoność i wariancja estymatora, rozkłady podstawowych statystyk, przedziały ufności, przybliżenia asymptotyczne.
3. Podstawowe testy statystyczne (4 godziny). Poziom istotności i rozmiar testu, testy dla jednej i dwóch
prób, testy zgodności.
4. Model liniowy i analiza wariancji (8 godzin). Model regresji liniowej i metoda najmniejszych kwadratów,
podstawowe modele analizy wariancji.
5. Podstawowe metody nieparametryczne (4 godziny). Testy rangowe, nieparametryczna estymacja regresji
i gęstości (informacyjnie).
6. Analiza danych jakościowych (4 godziny). Tablice kontyngencji, testy jednorodności, testy niezależności.
Literatura:
1. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka, WNT, Warszawa 2001.
2. W. Mendenhall,R.J. Beaver, B.M. Beaver, Introduction to Probability and Statistics, Duxbury Press 2005
(wyd.12).
Forma zaliczenia: Projekt realizowany w ramach laboratorium.
25
IIIs6-OBL
OBLICZALNOŚĆ
Cele przedmiotu: Wprowadzenie w problematykę formalizacji matematyki, będącej rezultatem przemian w
rozumieniu zadań i celów tej nauki, jakie miały miejsce na przełomie XIX i XX wieku. Problematyka ta nabrała
na nowo znaczenia w świetle informatyzacji współczesnej kultury.
1. Formalne ujęcie rachunku zdań (2 godziny). Alfabet. Formuła KRZ. Jezyk i metajęzyk. Aksjomaty i reguły wnioskowania. Reguła odrywania. Pojęcie dowodu. Konsekwencja syntaktyczna. Aksjomatyka KRZ.
2. Klasyczny rachunek zdań jako teoria (2 godziny). Pojęcie teorii. Niesprzeczność, zupełność. Problem niezależności układu aksjomatów. Wartościowanie. Model i interpretacja układu formuł w KRZ. Twierdzenie o
zwartości. Twierdzenie o pełności. Twierdzenie Tarskiego o dedukcji.
3. Formalne ujęcie rachunku predykatów (3 godziny). Alfabet i język rachunku predykatów. Termy i formuły.
Logika I rzędu. Teoria I rzędu. Przykłady teoryj I rzędu.
4. Arytmetyka Peano jako standardowy przykład teorii I rzędu (2 godziny). Prezentacja przykładowych
dowodów. Model standardowy AP.
5. Intuicyjne pojęcie rozstrzygalności (obliczalności) i próby jego formalizacji (3 godziny). Obliczalność według Turinga, według Markowa. Funkcje rekurencyjne.
6. Maszyny Turinga (2 godziny). Maszyny obliczające i rozstrzygające. Maszyny obliczające w AP. Obliczenia na słowach. Funkcja przejścia – diagramy przejść – ujęcia równoważne.
7. Maszyny Turinga w lingwistyce matematycznej (6 godzin). Wprowadzenie do teorii Chomsky’ego. Języki
rekurencyjne przeliczalne. Automaty skończenie stanowe.
8. Elementy teorii funkcji rekurencyjnych (6 godzin). Definicja funkcji i relacji rekurencyjnych. Operacja
minimum ograniczonego. Kwantyfikatory ograniczone. Funkcje β Goedela. Kodowanie i dekodowanie. Rekursja
prosta. Funkcje pierwotnie rekurencyjne. Funkcje częściowo rekurencyjne.
8. Obliczalność w sensie Markowa (2 godziny).
Literatura:
1. M. Foryś, W. Foryś, Teoria automatów i języków formalnych, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2005.
2. J.E. Hopcroft, J. Ullman, Wprowadzenie do teorii automatów, języków i obliczeń, PWN, Warszawa 2003.
3. K. Moczurad, Wybrane zagadnienia z teorii rekursji, Wyd. Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 2002.
4. Ch.H. Papadimitriou, Złożoność obliczeniowa, WNT, Warszawa 2002.
Liczba godzin: 30 godzin wykładu.
Forma zaliczenia: egzamin ustny (2 problemy teoretyczne i 1 problem praktyczny).
26
IIIs6-PN
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE
Cele przedmiotu: Przedstawienie teoretycznych podstaw programowania nieliniowego, w tym programowania
kwadratowego i wypikłego oraz przedstawienie wybranych algorytmów stosowanych w optymalizacji bez ograniczeń i z ograniczeniami.
1. Ogólne zadania programowania nieliniowego (3 godziny). Przykłady zadań programowania. Zbiory, stożki,
funkcje wypukłe, funkcje pseudowypukłe i quasiwypukłe i ich zastosowanie w zadaniach programowania.
2. Warunki optymalizacji programowania nieliniowego (8 godzin). Warunki konieczne i wystarczające istnienia rozwiązania optymalnego dla zadań programowania nieliniowego bez ograniczeń. Funkcja Lagrange’a.
Warunki optymalności dla zadań programowania nieliniowego z ograniczeniami. Kierunek dopuszczalny. Warunki regularności ograniczeń. Warunki konieczne i wystarczające Kuhna–Tuckera. Punkt siodłowy. Związek
punktu siodłowego z rozwiązaniem optymalnym.
3. Pierwotne i dualne zadania programowania nieliniowego (6 godzin). Ogólna postać zadań pierwotnych i
dualnych. Dualne zadania programowania wypukłego. Twierdzenia o istnieniu zadań pierwotnych i dualnych.
Związek między rozwiązaniami zadań dualnych
4. Programowanie kwadratowe (2 godziny). Sformułowanie zadania programowania kwadratowego. Algorytm
Wolfe’a.
5. Metody poszukiwania minimum bez ograniczeń (4 godziny). Algorytmy poszukiwania w kierunku. Metody
bezgradientowe i gradientowe. Przykłady algorytmów (metoda złotego podziału, aproksymacji kwadratowej).
Metody poszukiwań prostych (metoda Hooke’a–Jeevesa, Rosenbrocka). Metoda sympleksów Neldera. Metody
kierunków poprawy. Metody kierunków sprzężonych.
6. Metody poszukiwania minimum z ograniczeniami (4 godziny). Metody z zastosowaniem wewnętrznej i zewnętrznej funkcji kary. Przykłady algorytmów: Schmitta–Foxa, Rosenbrocka, Carolla. Metody z zastosowaniem
modyfikacji kierunków.
Dekompozycje w programowaniu nieliniowym (3 godziny). Dekompozycja i koordynacja metodą optymalizacji parametrycznej. Zadania związane, dwuetapowa minimalizacja. Dekompozycja i koordynacja metodą cen.
Literatura:
1. M. Canon, C. Cullum, E. Polak, Sterowanie optymalne i programowanie matematyczne, ...
2. J. Cea, Optymalizacja. Teoria i algorytmy, ... 3. W. Findeisen, J. Szymanowski, A. Wierzbicki, Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji, ...
4. D. Luenberger, Teoria optymalizacji, ...
Forma zaliczenia: forma zaliczenia ćwiczeń: dwa kolokwia, forma zaliczenia wykładu: egzamin ustny (2 problemy teoretyczne i 1 problem praktyczny).
27
IIIs6-TG
TEORIA GIER
Cele przedmiotu: Zapoznanie słuchaczy z niektórymi zagadnieniami modelowania matematycznego zjawisk
z życia gospodarczego i społecznego dotyczących wyboru „optymalnej” strategii w sytuacji gdy w „zjawisku”
występują „gracze” o niekoniecznie zgodnych „interesach”.
1. Badania operacyjne (2 godziny). Modele matematyczne deterministyczne, probabilistyczne, deterministyczno–
propabilistyczne, statystyczne.
2. Sumowanie pozaskończone (4 godziny). Sumowalność pozaskończona. Sumowalność pozaskończona bezwzględna. Przeliczalny charakter sumowalności pozaskończonej. Charakteryzacja sumy pozaskończonej za pomocą sum pozaskończonych części dodatniej i ujemnej. Własności sum pozaskończonych.
3. Definicja gry (2 godziny). Drzewo elementarne gry. Drzewo gry. Gra n-osobowa. Strategia gry. Gry z pełną
informacją. Gry identyczne. Wartość oczekiwana funkcji wypłat. Postać macierzowa gry. Postać normalna gry.
4. Strategia gry (2 godziny). Układ strategii w równowadze. Gry zamknięte. Strategie mieszane. Układ
strategii mieszanych w równowadze. Suma gry w punkcie. Gry o sumie stałej. Gry antagonistyczne. Zależność
pomiędzy strategiami w równowadze czystymi i mieszanymi dla gry antagonistycznej.
5. Twierdzenie o istnieniu strategii w równowadze (12 godzin). Gry skończone. Twierdzenie o istnieniu strategii w równowadze dla gier 2-osobowych: -skończonych (mieszanej), -w postaci normalnej na przestrzeniach
strategii czystych, zwartych i wypukłych (czystej), -w postaci normalnej na przestrzeniach strategii czystych
zwartych (mieszanej). Algorytmy konstrukcji strategii w równowadze: Lemke–Howsona i sympleks.
6. Gry różniczkowe (4 godziny). Definicja gry różniczkowej. Charakteryzacja strategii optymalnych dla gier
różniczkowych.
7. Gry stochastyczne według Shapley’a (4 godziny). Definicja gry. Charakteryzacja strategii optymalnych.
8. Uwagi o innych grach (2 godziny). Problem przetargu. Groźby. Zbiór przetargowy.
Literatura:
1. G. Owen, Teoria gier, PWN 1975.
2. P. Parthasavathi, T. Raghawan, Niekatoryje woprosy tieorii igr dwóch Lic, Mir 1974.
3. P.D. Staffin, Teoria gier, WN Scholar 2004.
Forma zaliczenia: Projekt.
28
IIIs6-KW
OBLICZENIA KWANTOWE
Cele przedmiotu: Wprowadzenie do szybko rozwijającego się działu obliczeń kwantowych, leżącego na pograniczu mechaniki kwantowej, teoretycznej informatyki i numeryki. Wykład będzie ukierunkowany na matematyczny model obliczeń wynikający z zasad mechaniki kwantowej oraz na przedstawienie możliwości i ograniczeń
obliczeń kwantowych przy rozwiązywaniu różnych zadań. Nie będzie celem wchodzenie w problemy samej fizyki
kwantowej i realizacji fizycznej obliczeń.
1. Model obliczeń kwantowych (6 godzin). Bit kwantowy (qubit), sfera Blocha, rejestr kwantowy, pomiar
stanu, podstawowe operacje (bramki) kwantowe, równoległość kwantowa, stany EPR, uniwersalny zbiór operacji
unitarnych, kwantowa transformacja Fouriera, wyrocznia (zapytanie kwantowe), algorytmy kwantowe.
2. Przeszukiwanie baz danych – algorytm Grovera (6 godzin). Potrzebne operacje, iteracje Grovera, analiza
kosztu algorytmu Grovera w różnych przypadkach, oszacowania z dołu - optymalność algorytmu Grovera.
3. Sumowanie liczb na komputerze kwantowym (6-8 godzin). Iterowany operator Grovera, algorytm sumowania wyrazów ciągu zero–jedynkowego, sumowania liczb rzeczywistych oraz przybliżania średniej liczb Brassarda,
Hoyera, Mosci i Tappa, jego analiza w różnych modelach obliczeniowych.
4. Podstawowe zadania dyskretne na komputerze kwantowym (6 godzin). Metoda wielomianowa oszacowań
z dołu, algorytmy i oszacowania z dołu dla zadań przybliżania k-tego najmniejszego elementu, mediany, średniej
ciągu n liczb.
5. Całkowanie na komputerze kwantowym (6 godzin). Model obliczeń kwantowych dla zadań ciągłych, algorytm Novaka i jego optymalność, porównanie z algorytmami randomizacyjnymi całkowania na komputerze
klasycznym.
6. Algorytm Shora rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze (6 godzin).
Literatura:
1. M.A. Nielsen, I.L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge Univ. Press, 2000.
2. Artykuły z lat 1994-2005 autorstwa Grovera, Shora, Bealsa et al, Brassarda et al, Heinricha, Novaka, Nayaka
i Wu i innych.
Forma zaliczenia: Egzamin.
29
IIIs6-FIZT
FIZYKA TEORETYCZNA
Cele przedmiotu: Przedstawienie zasad mechaniki Newtonowskiej, podstawowych modeli mechaniki cząstek
materialnych oraz ośrodków ciągłych. Przedstawienie formalizmu matematycznego stosowanego przy formułowaniu oraz rozwiązywaniu liniowych i nieliniowych zagadnień mechaniki.
1. Mechanika Newtonowska (4 godziny). Zasada względności i determinizmu. Rozszerzona grupa Galileusza
i prawa Newtona. Przykłady modeli mechanicznych opisujących ruchy mas skupionych. Idea continuum. Równania mechaniki cieczy i gazu. Równania transportu.
2. Metody badań układów dynamicznych (4 godziny). Podstawowe metody teorii jakościowej. Układy zachowawcze. Badanie nieliniowych modeli mechanicznych opisujące ruchy punktów materialnych. Ruchy drgające w
układach niezachowawczych.
3. Formalizm Lagrange’a i Hamiltona (12 godzin). Współrzędne uogólnione. Zasady wariacyjne. Równania
Lagrange’a. Przekształcenia kanoniczne. Równania Hamiltona. Przykłady.
4. Pewne submodele opisujące procesy w ośrodkach ciągłych (10 godzin). Submodele gazodynamiczne. Metoda charakterystyk. Rozwiązania klasyczne i uogólnione. Rozwiązania samopodobne i ich rola w modelach
nieliniowych.
Literatura:
1. H. Goldstein, Classical mechanics, Reading MA, Adisson-Wesley, 1980.
2. R. Richtmayer, Principles of advanced mathematical physics, New York, Springer, 1978.
3. W. Fikett, Introduction to theory of detonation, Berkley, Univ. of California Press, 1985.
4. J. Guckenheimer, P. Holmes, Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields, New
York, Springer, 1987 (second edition).
5. A. Samarski, A. Mikhailov, Principles of mathematical modelling, CRC Press, 2002.
Forma zaliczenia: Egzamin.
30

PROGRAMY RAMOWE DLA STUDIÓW I STOPNIA

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

Chemia analityczna (IC.IK301) - Wydział Inżynierii Chemicznej i

wersja pdf - Instytut Matematyki

Rozdział 4 METODY RÓŻNICOWE CAŁKOWANIA RÓWNAŃ

teoria dystrybucji

Nazwa przedmiotu Matematyka szkolna z wyższego stanowiska

Układy równań, z których jedno jest drugiego stopnia

Metody matematyczne w ekonomii: zagadnienia na zaliczenie

nowe podejście do dyskretyzacji równań różniczkowych