1 Poj¦cia wst¦pne

1
Poj¦cia wst¦pne
1.1
Sprawiedliwy podziaª
Chc¡c podzieli¢ np. tort na dwie sprawiedliwe cz¦±ci mo»emy przyj¡¢ stary sposób:
jeden wspólnik kroi a drugi wybiera kawaªek. Jak rozdzieli¢ tort mi¦dzy trzech lub
wi¦cej partnerów? Rozwi¡zanie podaª H. Steinhaus w swoim artykule: H. Steinhaus,
The problem of fair division, Econometrica 16 (1948): 101-104, patrz te»: H. Steinhaus,
Kalejdoskop matematyczny. Zostaªo ono zaproponowane przez jego dwóch wspóªpracowników: Stefana Banacha i Bronisªawa Knastera.
Prze±ledzimy je na przykªadzie 5 osób. Niech wspólnicy nazywaj¡ si¦ A, B, C, D, E .
A ma prawo odci¡¢ z tortu dowoln¡ porcj¦; B mo»e mu zmniejszy¢ t¦ porcj¦, ale nie
musi; C z kolei ma prawo zmniejszon¡ lub nie zmniejszon¡ porcj¦ zmniejszy¢ lub pozostawi¢ bez zmiany - i tak dalej. Gdy ju» E wykonaª swoje prawo (lub zachowaª si¦
biernie), stwierdzamy, kto ostatni dotkn¡ª porcji. Przypu±¢my, »e to D. Wtedy D dostaje porcj¦, a reszta tortu (wraz z cz¡stkami odci¦tymi) idzie do podziaªu pomi¦dzy
A, B, C, E . W drugiej rundzie znowu jeden partner zostaje obdzielony, a w trzeciej jeszcze jednej - i zostanie dwóch; ci dwaj podziel¡ reszt¦ tortu wedªug zasady: jeden dzieli,
drugi wybiera.
1.2
Strategie
Strategi¡ wygrywaj¡c¡ nazywamy taki sposób post¦powania, który zapewnia wygran¡
niezale»nie od ruchów przeciwnika. W poni»szych zadaniach nale»y znale¹¢ odpowiednie
strategie wygrywaj¡ce.
1. Plansza do gry skªada si¦ z 15 ustawionych w rz¦dzie kwadratów. Pierwszy z
graczy kªadzie swój pionek na skrajnym lewym, a drugi na skrajnym prawym
kwadracie. Nast¦pnie gracze na przemian wykonuj¡ ruchy (pierwszy rozpoczyna)
- ruch polega na przesuni¦ciu pionka na s¡siedni wolny kwadrat (w prawo lub
lewo). Przegrywa gracz, który nie mo»e wykona¢ ruchu. Który z graczy posiada
strategi¦ wygrywaj¡ca i na czym ona polega?
2. W pudeªku znajduje si¦ 11 kul biaªych i 11 kul niebieskich. Ja± i Maªgosia graj¡ w
nastepuj¡ca gr¦, któr¡ rozpoczyna Maªgosia. Wyjmuje ona z tego pudeªka wybrane
przez siebie dwie kule. Je»eli wybierze kule jednakowego koloru, to do pudeªka
dokªada jedn¡ kul¦ biaª¡; je»eli wybierze kule ró»nych kolorów, to dokªada kul¦
niebiesk¡. Nast¦pnie swój ruch, wedªug tych samych zasad, wykonuje Ja± i znów
Maªgosia, znów Ja± itd., a» w ko«cu w pudeªku zostanie tylko jedna kula. Je»eli
ta kula b¦dzie biaªa, wygrywa Maªgosia. W przeciwnym wypadku wygrywa Ja±.
Czy Maªgosia mo»e tak prowadzi¢ t¦ gr¦, aby wygra¢? Odpowied¹ uzasadnij.
3. Na tablicy narysowany jest 2012 -k¡t foremny. Michaª i Jurek dorysowuj¡ na zmian¦ jedn¡ przek¡tn¡, nie maj¡c¡ wspólnych punktów wewn¦trznych ani wspólnych
ko«ców z wcze±niej narysowanymi przek¡tnymi. Przegrywa ten z graczy, który
nie mo»e wykona¢ ruchu. Gr¦ rozpoczyna Michaª. Który z graczy ma strategi¦
wygrywaj¡c¡?
1.3
Drzewo gry
1.4
Gra w NIM
1.5
Racjonalino±¢ - »ony matematyków
1.6
Gry w postaci macierzowej
Teoria gier zajmuje si¦ logiczn¡ analiz¡ sytuacji koniktu i kooperacji. O grze w takim
rozumieniu mo»emy mówi¢ wsz¦dzie tam, gdzie:
1. Mo»na wskaza¢ co najmniej dwóch graczy. Graczem mo»e byc czªowiek, ale tak»e
rma, pa«stwo, czy nawet gatunek w znaczeniu biologicznym.
2. Kazdy gracz ma do wyboru pewn¡ liczb¦ mozliwych strategii, okre±laj¡cych sposób rozgrywania przez niego gry
3.
gry jest determinowany przez kombinacj¦ strategii wybranych przez poszczególnych graczy
Wynik
4. Ka»demu mo»liwemu wynikowi gry odpowiada zestaw wypªat dla poszczególnych
graczy, których wysoko±¢ mo»na wyrazi¢ liczbowo.
Ograniczenia teorii gier:
1. Gry rozgrywane w rzeczywistym ±wiecie s¡ zwykle bardzo skomplikowane, trudno
wskaza¢ w nich wszystkich graczy, dokªadnie opisa¢ ich mo»liwe strategie i wskaza¢
do jakich wyników prowadz¡
2. Teoria gier zakªada, »e gracze postepuj¡ racjonalnie i zakªadaj¡, ze ka»dy przeciwnik post¦puje racjonalnie (patrz przykªad z »onami matematyków)
3. Trudno jest przewidzie¢ przebieg gier, w których interesy obu graczy nie s¡ dokªadnie przeciwstawne, a tak»e takich, w których bierze udziaª wi¦cej ni» dwóch
graczy.
W pierwszej cz¦±ci wykªadu skupimy si¦ na grach, w których bierze udziaª dwóch graczy. Przebieg gry i mo»liwe wypªaty prezentujemy zwykle w macierzy
Pani Kolumna
A
B
Pan
A (2,-2) (-3,3)
Wiersz
(2,-2)
B (0,0)
C (-5,5) (10,-10)
Dla ka»dego wyniku pierwsza liczba oznacza wypªat¦ Wiersza, a druga Kolumny. Jest
to gra o sumie zerowej, tzn. wypªaty zwi¡zane z ka»dym wynikiem sumuj¡ si¦ do zera.
Wystarczy poda¢ zatem wypªaty jednego gracza - pana Wiersza:
Pani Kolumna
A
B
Pan
A 2
-3
Wiersz
B 0
2
C -5
10
Pan Wiersz d¡»y do wyniku, przy którym wpisana liczba jest najwi¦ksza, pani Kolumna
przeciwnie.
Zaªó»my, »e Pan Wiersz chce osi¡gn¡¢ wypªat¦ 10, wybiera zatem strategi¦ C, licz¡c
na to, »e Kolumna zagra B. Problem w tym, »e je»eli Kolumna domy±li si¦, »e Wiersz
tak zrobi, sama zagra A i Wiersz dostanie -5. Pan Wiersz przewiduj¡c to, powinien
zagra¢ A, co dawaªoby mu wtedy wypªat¦ 2, ale przewiduj¡c taki obrót rzeczy Kolumna
powinna zagra¢ B, co oznacza, »e Wiersz powinien zagra¢ C... i tak dalej. Mo»emy to
przedstawi¢ w postaci diagramu:
Pani Kolumna
A
B
Pan
A 6
Wiersz
B C ?
2
2.1
Gry dwuosobowe o sumie zerowej
Dominacje i punkty siodªowe
Zagramy 20 razy w nast¦puj¡c¡ gr¦:
A
Pan
Wiersz B
C
D
Pani Kolumna
A B C D
12 -1 1 0
5 1 7 -20
3 2 4 3
-16 0 0 16
Analizuj¡c wyniki eksperymentu zauwa»amy, »e strategia C Kolumny wybierana
byªa bardzo rzadko. Dlaczego? Otó» strategia B Kolumny jest bezwzgl¦dnie lepsza ni»
C.
Denicja 1 Strategia S dominuje strategi¦ T, je»eli ka»dy wynik dawany przez S jest
co najmniej równie korzystny, co odpowiedni wynik dawany przez T, a przynajmniej
jeden wynik dawany przez S jest korzystniejszy ni» wynik dawany przez T.
Kryterium 1 (dominacji)
nej.
Racjonalny gracz nigdy nie wybiera strategii zdominowa-
Druga obserwacja to fakt, »e strategie C Wiersza i B Kolumny byªy wybierane znacznie
cz¦±ciej ni» pozostaªe. Dlaczego? Przyjrzyjmy si¦ diagramowi przesuni¦¢ naszej gry.
Pani Kolumna
A B C D
A 6- Pan
?Wiersz B
6
-?
C
6
?
D Denicja 2
Wynik gry macierzowej nazywamy punktem siodªowym je»eli jego warto±¢
jest mniejsza lub równa ka»dej warto±ci w jego wierszu, a wi¦ksza lub równa ka»dej
warto±ci w jego kolumnie.
Kryterium 2 (punktu siodªowego) Je»eli gra macierzowa ma punkt siodªowy, obaj
gracze powinni wybra¢ zawieraj¡ce go strategie.
Denicja 3
Dla ka»dej gry macierzowej, dla której istnieje taka liczba w , »e Wiersz
ma strategi¦ gwarantuj¡c¡ mu wygranie co najmniej w , a Kolumna ma strategi¦ gwarantuj¡c¡, »e Wiersz nie wygra wi¦cej, w jest warto±ci¡ gry.
Je»eli gra ma punkt siodªowy, to jego warto±¢ jest warto±ci¡ gry. Niektóre gry punktu
siodªowego w ogóle nie maj¡, inne natomiast maj¡ ich kilka.
A
Pan
Wiersz B
C
D
Pani Kolumna
A B C D
4
2 5
2
2
1 -1 -20
3
2 4
2
-16 0 16 1
Twierdzenie 1 (o ekwiwalentno±ci i wymienno±ci punktów siodªowych)
Ka»de dwa punkty siodªowe tej samej gry maj¡ tak¡ sam¡ warto±¢. Je»eli zarówno
Wiersz jak i Kolumna zagraj¡ strategie zawieraj¡ce punkty siodªowe, to wynik gry zawsze
b¦dzie punktem siodªowym
Znale¹¢ punkty siodªowe mo»na wypisuj¡c najmniejsze warto±ci z ka»dego wiersza i
zaznaczy¢ najwi¦ksz¡ spo±ród nich, a nast¦pnie wypisa¢ najwi¦ksze warto±ci z ka»dej
kolumny i zaznaczy¢ najmniejsz¡. Je»eli maksimin (najwi¦ksza z najmniejszych warto±ci) wierszy i minimaks (najmniejsza z najwi¦kszych warto±ci) kolumn jest taki sam,
oznacza to, »e le»y on w punkcie siodªowym. Rozwa»ymy przykªad
A
Pan
Wiersz B
C
D
Pani Kolumna
A B C D
4 3 2 5
-10 2 0 -1
7 5 2 3
0 8 -4 -5
Je»eli w grze maksimin wierszy i minimaks kolumn s¡ ró»ne (patrz pierwszy przykªad),
to gra nie ma punktu siodªowego.
Zadanie domowe
1. Wska» w nast¦puj¡cej grze wszystkie strategie zdominowane i dominuj¡ce
Pani Kolumna
A B C D
Pan
A 3 -6 2 -4
Wiersz
B 2 1 0 1
C -4 3 -5 4
2. Wyznacz w poni»szych grach wszystkie punkty siodªowe, a dla gier b) i c) narysuj
diagramy przesuni¦¢.
Pani Kolumna
A B C D
Pan
A 3 2 4 2
(a)
Wiersz
B 2 1 3 0
C 2 2 2 2
Pani Kolumna
A B C
Pan
A -2 0 4
(b)
Wiersz
B 2 1 3
C 3 -1 -2
Pani Kolumna
A B C
Pan
A 4 3 8
(c)
Wiersz
B 9 5 1
C 2 7 6
2.2
Strategie mieszane
W niektórych grach minimaks wierszy i maksimin kolumn maj¡ ró»ne warto±ci i w
efekcie gry te nie maj¡ punktów siodªowych. Dotyczy to na przykªad takiej gry:
Pani Kolumna
A
B
Pan
-3
Wiersz A 2
B 0
3
›aden z graczy nie ma strategii, któr¡ opªacaªoby mu si¦ stale stosowa¢. Przy braku
punktu siodªowego znajomo±¢ strategii przeciwnika mo»na skutecznie wykorzysta¢ przeciwko niemu. W tej sytuacji jedynym sensownym rozwi¡zaniem jest ka»dorazowy wybór
konkretnej strategii w drodze losowania (na przykªad rzut monet¡). Taka strategia, polegaj¡ca na losowaniu jednej z kilku strategii z okre±lonymi prawdopodobie«stwami,
nazywa si¦ strategi¡ mieszan¡ w odró»nieniu od strategii czystej, gdy gracz wybiera,
bez losowania, jedn¡ konkretn¡ strategi¦.
Aby zbada¢ jakie skutki mo»e mie¢ zastosowanie przez jednego albo obu graczy
strategii mieszanych, nale»y posªu»y¢ si¦ warto±ci¡ oczekiwan¡. Na przykªad, gdyby
Pani Kolumna posªu»yªa si¦ rzutem monet¡ i wybieraªa strategi¦ A z prawdopodobie«stwem 1/2, strategi¦ B z prawdopodobie«stwem 1/2, to gdy Pan Wiersz gra strategi¦ A
uzyskuje ona wypªat¦ 2 z prawdopodobie«stwem 1/2 oraz -3 z prawdopodobie«stwem
1/2. Warto±ci¡ oczekiwan¡ w tym przypadku byªoby 21 · 2 + 21 · (−3) = − 12 . Gdyby
jednak Wiersz zagraª B, to wynosiªaby ona 12 · 0 + 12 · 3 = 32 . Gdyby Wiersz wiedziaª, »e
Kolumna stosuje tak¡ strategi¦, to powinien wybra¢ strategi¦ B.
Kryterium 3 (warto±ci oczekiwanej)
Je±li wiesz, »e twój przeciwnik gra okre±lon¡
strategi¦ mieszan¡ i b¦dzie j¡ stosowa¢ niezale»nie od tego, jak ty grasz, powiniene±
stosowa¢ strategi¦ daj¡c¡ ci najwi¦ksz¡ warto±¢ oczekiwan¡ wypªaty.
Co si¦ stanie je±li Kolumna zagra inn¡ strategi¦ mieszan¡? Czy mo»e ona wybra¢
tak¡ strategi¦ mieszan¡, »e nawet je±li Wiersz b¦dzie j¡ znaª, to nie b¦dzie mógª tego
wykorzysta¢ przeciwko niej?
Zaªó»my, »e Kolumna gra strategi¦ mieszan¡ polegaj¡c¡ na wyborze A z prawdopodobie«stwem p i wyborze B z prawdopodobie«stwem 1 − p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1. Warto±ci
oczekiwane wynosz¡ wtedy
• je±li Wiersz zagra A: p · 2 + (1 − p) · (−3) = −3 + 5p
• je±li Wiersz zagra B: p · 0 + (1 − p) · 3 = 3 − 3p
Wiersz nie odnosi »adnej korzy±ci ze znajomo±ci strategii mieszanej Kolumny wtedy,
gdy ta warto±¢ oczekiwana jest w obu przypadkach taka sama, czyli gdy
−3 + 5p = 3 − 3p,
rozwi¡zuj¡c to równanie otrzymujemy p = 34 . Oznacza to, »e je±li Kolumna zagra strategi¦ mieszan¡ 43 A, 14 B , to mo»e by¢ pewna, »e ±rednio Pan Wiersz wygra nie wi¦cej
ni» 34 w jednej grze, niezale»nie od tego, jakie b¦dzie wybieraª strategie.
A jak powinien gra¢ Pan Wiersz? Je±li wybiera strategi¦ A z prawdopodobie«stwem
p, a strategi¦ B z prawdopodobie«stwem 1 − p, to analogiczne rachunki jak dla Pani
Kolumny daj¡
• je±li Kolumna zagra A: p · 2 + (1 − p) · 0 = 2p
• je±li Kolumna zagra B: p · (−3) + (1 − p) · 3 = 3 − 6p
Rozwi¡zuj¡c równanie 2p = 3 − 6p otrzymujemy p = 83 . Je±li Pan Wiersz zagra strategi¦
mieszan¡ 38 A, 58 B , to gwarantuje sobie oczekiwan¡ warto±¢ wygranej co najmniej 34
niezale»nie od tego, jak¡ strategi¦ stosuje Pani Kolumna.
Analogicznie jak dla punktu siodªowego przyjmuje si¦, »e
• warto±¢ tej gry wynosi 43 ,
• optymaln¡ strategi¡ Pani Kolumny jest 34 A, 14 B ,
• optymaln¡ strategi¡ Pana Wiersza jest 38 A, 58 B .
Warto±¢ gry oraz obie optymalne strategie stanowi¡ ª¡cznie rozwi¡zanie
Rozwa»my teraz gr¦, któr¡ ju» analizowali±my w rozdziale 1.6
gry.
Pani Kolumna
A
B
Pan
A 2
-3
Wiersz
2
B 0
10
C -5
Tutaj Pan Wiersz ma trzy mo»liwe strategie i tak¡ gr¦ mo»na spróbowa¢ rozwi¡za¢
gracznie.
Dla ka»dej strategii Wiersza na lewej osi zaznaczylismy wypªat¦ Wiersza, gdy kolumna gra A, na prawej osi wypªat¦ Wiersza, gdy Kolumna gra B, a nast¦pnie narysowali±my odcinek ª¡cz¡cy te dwa punkty. Warto±¢ drugiej wspóªrz¦dnej (wysoko±¢) punktu
nale»¡cego do tego odcinka, le»¡cego nad punktem p, odpowiada warto±ci oczekiwanej
wypªacie Wiersza, gdy Kolumna gra strategi¦ (1 − p)A, pB .
Je±li Pan Wiersz wie lub domy±la si¦, jak¡ strategi¦ mieszan¡ zagra Pani Kolumna, to mo»e wybra¢ strategi¦ b¦d¡c¡ najlepsz¡ odpowiedzi¡ na strategi¦ Kolumny - w
takim wypadku wynik gry b¦dzie odpowiadaª któremu± z punktów na górnej ªamanej.
Pani Kolumna wybierze p w taki sposób, aby wypªata Wiersza byªa jak najmniejsza wybierze wi¦c tak¡ strategi¦ mieszan¡ by wynik wypadª w najni»szym punkcie górnej
ªamanej. Poniewa» punkt ten le»y na przeci¦ciu linii odpowiadaj¡cej strategiom A i B
Wiersza, rozwi¡zaniem caªej gry b¦dzie rozwi¡zanie podgry
Pani Kolumna
A
B
Pan
-3
Wiersz A 2
B 0
2
Otrzymujemy tutaj
• dla Pana Wiersza: p · 2 + (1 − p) · 0 = p · (−3) + (1 − p) · 2, st¡d p = 27 ,
• dla Pani Kolumny: p · 2 + (1 − p) · (−3) = p · 0 + (1 − p) · 2, st¡d p =
5
7
• warto±ci¡ gry jest 47 .
Podobnie mo»na rozwi¡za¢ ka»d¡ gr¦ m × 2 oraz 2 × n. Rozwi¡zywanie gier, w
których obaj gracze mog¡ wybiera¢ spo±ród wi¦cej ni» dwóch strategii jest ju» bardziej
skomplikowane, ale zawsze mo»liwe.
Twierdzenie 2 (von Neumanna o minimaksie) Ka»da gra macierzowa m × n
ma rozwi¡zanie, tzn. istnieje dokªadnie jedna liczba w zwana warto±ci¡ gry oraz optymalne strategie (czyste lub mieszane) obu graczy, takie »e
1. je»eli Wiersz gra swoj¡ optymaln¡ strategi¦, to jego oczekiwana wypªata b¦dzie
wi¦ksza lub równa w , niezala»nie od tego, jak¡ strategi¦ bedzie graªa Pani Kolumna;
2. je»eli Kolumna gra swoj¡ optymaln¡ strategi¦, to oczekiwana wypªata Wiersza
b¦dzie mniejsza lub równa w , niezale»nie od tego, jak¡ strategi¦ b¦dzie graª Wiersz.
Ponadto, rozwi¡zanie gry macierzowej
k × k.
m×n zawsze jest rozwi¡zaniem jakiej± jej podgry
Zadanie domowe.
1. Rozwi¡» nast¦puj¡c¡ gr¦
Pani Kolumna
A
B
Pan
6
Wiersz A -1
B 2
-1
2. Rozwi¡» nast¦puj¡c¡ gr¦
Pani Kolumna
A
B
A
-3
5
(a) Pan
3
Wiersz B -1
C 2
-2
D 3
-6
Pani Kolumna
A
B
A
-2
5
(b) Pan
2
Wiersz B 1
C 0
-2
D 0
4
2.3
Ryboªówstwo na Jamajce
Pierwszym przypadkiem zastosowania teorii gier dwuosobowych do ilo±ciowego rozwi¡zania problemu antropologicznego byª klasyczny i wci¡» kontrowersyjny artykuª W. C.
Davenporta z 1960 o ryboªówstwie na Jamajce. Dwustu mieszka«ców jednej z wiosek
poªo»onej na wybrze»u eksploatowaªo ªowiska rozci¡gaj¡ce si¦ okoªo 35 km od brzegów
wyspy. Šowiska dzieliªy si¦ na le»¡ce wewn¡trz i na zewn¡trz laguny. W wodach zewn¦trznych ªowisk regularnie wzbudzaªy si¦ bardzo silne pr¡dy. Pojawianie si¦ pr¡dów
nie byªo w »aden widoczny sposób powi¡zane z pogoda lub stanem morza w okolicy.
Na ªowiskach wewn¦trznych pr¡dy te byªy w zasadzie nieodczuwalne.
Dowódcy ªodzi mogli stosowa¢ trzy ró»ne strategie:
•
wewn¦trzn¡:
•
zewn¦trzn¡:
•
po±redni¡:
ustawi¢ wszystkie kosze na ªowiskach wewn¦trznych;
ustawi¢ wszystkie kosze na ªowiskach zewn¦trznych;
ustawi¢ cz¦±¢ koszy na ªowiskach wewn¦trznych, a pozostaªe na zewn¦trznych.
Strategie te miaªy swoje wady i zalety:
• dopªyni¦cie do ªowisk zewn¦trznych byªo czasochªonne, wi¦c zaªogi stosuj¡ce stra-
tegi¦
zewn¦trzn¡
lub
po±redni¡
ustawiaªy mniejsz¡ liczb¦ koszy,
• pr¡dy przynosiªy wiele szkód na ªowiskach zewn¦trznych - boje oznaczaj¡ce miej-
sce ustawienia koszy byªy przesuwane, zªowione ryby gin¦ªy,
• poªowy na ªowiskach zewn¦trznych dawaªy znacznie lepsze ryby,
• na ªowiskach zewn¦trznych potrzebne byªy lepsze ªodzie, rybacy polujacy na nich
z reguªy wygrywaj¡ zawody »eglarskie zdobywaj¡c prestiz i warto±ciowe nagrody.
Obserwacje W. C. Davenporta prowadziªy do ustalenia nast¦puj¡cej tabeli wypªat
- ±rednich dochodów miesi¦cznych rybaków stosuj¡cych odpowiednie strategie.
strategia
rybaków
pr¡dy
aktywne nieaktywne
wewn¦trzna
17,3
11,5
zewn¦trzna
-4,4
20,6
po±rednia
5,2
17,0
Traktuj¡c t¦ sytuacj¦ jako gr¦ 3 × 2, mo»emy znale¹¢ optymaln¡ strategi¦ rybaków
i porówna¢ j¡ z rzeczywistym post¦powaniem mieszka«ców wioski. Gra nie ma punktu
siodªowego ani strategii zdominowanych. Jej graczne rozwi¡zanie wygl¡da nastepuj¡co.
Najni»szy punkt górnej ªamanej le»y na przeci¦ciu strategii wewn¦trznej i po±redniej. Rozwi¡zuj¡c wªa±ciw¡ gr¦ 2 × 2 znajdujemy optymaln¡ strategi¦ rybaków: w 67%
przypadków powinni stosowa¢ strategi¦ wewn¦trzn¡, a w 33% po±redni¡. Optymaln¡
strategi¡ dla pr¡dów jest by¢ aktywnym przez 31% czasu i by¢ nieaktywnym przez 69%
czasu. Warto±¢ gry wynosi 13,3.
W okresie, w którym Davenport prowadziª swoje obserwacje, 69% rybaków stosowaªo strategi¦ wewn¦trzn¡, a 31% strategi¦ po±redni¡.
Analiza Davenporta byªa krytykowana, poniewa» przeciwnikiem rybaków w grze jest
pr¡d morski, zjawisko przyrodnicze. Nie umie on racjonalnie podejmowa¢ decyzji, a jego
zachowanie pozostaje caªkowicie niezale»ne od post¦powania rybaków, w szczególno±ci
je±li rybacy nie b¦d¡ stosowali swojej strategii optymalnej, przyroda nie zmieni swojej
strategii, aby to przeciw nim wykorzysta¢. W tej sytuacji rybacy powinni posªugiwa¢
si¦ kryterium warto±ci oczekiwanej. Znaj¡c strategi¦ pr¡du - aktywno±¢ przez 25% czasu, nieaktywno±¢ przez 75% czasu - powinni wybra¢ strategi¦ przynosz¡c¡ najwi¦ksz¡
warto±¢ oczekiwan¡ wypªaty. Otrzymujemy
• strategia
wewn¦trzna :
• strategia
zewn¦trzna :
• strategia
po±rednia :
0, 25 · 17, 3 + 0, 75 · 11, 5 = 12, 95
0, 25 · (−4, 4) + 0, 75 · 20, 6 = 14, 35
0, 25 · 5, 2 + 0, 75 · 17, 0 = 14, 05.
Wszyscy rybacy powinni ªowi¢ wyª¡cznie na ªowiskach zewn¦trznych. Jednak tak
nie robili. Wyja±nieniem mo»e by¢ to, o czym mówili zreszt¡ sami rybacy - strategia
zewn¦trzna jest zbyt ryzykowna. Zachowania pr¡dów morskich nie da si¦ przewidzie¢.
Nawet je±li ±rednio aktywne s¡ przez 25% czasu, to okresowo mo»e to byc znacznie
wi¦cej lub mniej. Zalet¡ stosowania strategii minimaksowej jest to, »e gwarantuje ona
wypªat¦ co najmniej 13,3 funta miesi¦cznie niezale»nie od zachowania pr¡dów. W tego
typu sytuacjach wybór takiej strategii moze by¢ wyborem racjonalnym tak»e wtedy,
gdy przeciwnik nie jest zdolny do przeprowadzenia jakiegokolwiek rozumowania.
2.4
3
Teoria gier a biznes
Gry dwuosobowe o sumie niezerowej
3.1
Równowagi Nasha
3.2
Wynik optymalny w sensie Pareto
3.3
Podatki: wymuszanie wªa±ciwych zachowa«
3.4
Dylemat wi¦¹nia
4
Literatura
Powy»sze notatki powstaªy w oparciu o ksi¡»ki
1. Philip D. Stran, Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe SCHOLAR, Warszawa
2004.
Paweª Sztonyk
(www.im.pwr.wroc.pl/~sztonyk)