2 - Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

Opracowanie danych
doświadczalnych
część 2
Jan Kurzyk
Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej
wersja z 15.10.2010
Statystyka niepewności przypadkowych pomiarów
bezpośrednich
Wykonano 2 serie po 130 pomiarów napięcia w obwodzie
elektrycznym. Wyniki zebrano w poniŜszych tabelach (krotność
oznacza ile razy wystąpiła dana wartość)
Tabela danych 1.
Tabela danych 2.
14
12
12
10
10
8
Krotność
K r otnoś ć
8
6
6
4
4
2
2
Napięcie U [V]
Histogramy danych pomiarowych na podstawie Tabel danych 1 (lewy histogram)
i 2 (prawy histogram).
KaŜdy słupek ma wysokość wskazującą ile pomiarów uzyskało wartość z danego
przedziału (tzw. przedziału klasowego).
Szerokość przedziałów klasowych na histogramach wynosi 0,01V.
2,772
2,770
2,768
2,766
2,764
2,762
2,760
2,758
2,756
2,754
2,752
2,750
2,748
2,746
2,744
2,742
2,740
2,738
2 ,7 6 8
2 ,7 6 6
2 ,7 6 4
2 ,7 6 2
2 ,7 6 0
2 ,7 5 8
2 ,7 5 6
2 ,7 5 4
2 ,7 5 2
2 ,7 5 0
2 ,7 4 8
2 ,7 4 6
2 ,7 4 4
2 ,7 4 2
2 ,7 4 0
Napięcie U [V]
2,736
0
0
50
35
45
30
40
35
25
krotność
Czestosc
30
25
20
15
20
15
10
10
5
5
0
0
2,740
2,745
2,750
2,755
2,760
Napięcie U [V]
2,765
2,770
2,775
2,735
2,74
2,745
2,75
2,755
2,76
2,765
2,77
2,775
Napięcie U [V]
Histogramy danych pomiarowych na podstawie Tabel danych 1 (lewy histogram)
i 2 (prawy histogram).
KaŜdy słupek ma wysokość wskazującą ile pomiarów uzyskało wartość z danego
przedziału (tzw. przedziału klasowego).
Szerokość przedziałów klasowych na histogramach wynosi 0,05V.
Obserwując przedstawione powyŜej histogramy dla dwóch serii
pomiarowych zauwaŜamy, Ŝe w szczegółach róŜnią się one bardzo,
lecz wykazują pewne prawidłowości. Przedziały, w którym
występują wartości zmierzone w obu seriach są zbliŜone, krotność
pomiarów ze środkowej części histogramów jest większa niŜ z
obszarów skrajnych.
W miarę wzrostu liczby pomiarów zauwaŜylibyśmy, Ŝe histogramy
otrzymane na podstawie pomiarów danej wielkości wykonywanych
w ten sam sposób (te same warunki, metoda, przyrządy) stają się
coraz bardziej do siebie podobne. Gdyby krotność na histogramie
zastąpić gęstością prawdopodobieństwa P (x), to w granicznym
przypadku – dla nieskończonej liczby pomiarów (n→∞) i nieskończenie wąskich przedziałach klasowych (∆x→0) – histogram przyjął
by postać gładkiej krzywej. Byłaby to symetryczna krzywa zwana
krzywą Gaussa lub krzywą dzwonową, lub krzywą rozkładu
normalnego.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
– niemiecki matematyk, fizyk,
astronom i geodeta. Jest uwaŜany
za jednego z największych
matematyków.
Jego badania związane z teorią
błędów doprowadziły do odkrycia
rozkładu normalnego zmiennej
losowej (nazywany takŜe
rozkładem Gaussa), który jest
najwaŜniejszym rozkładem w teorii
prawdopodobieństwa.
Jednym z najwaŜniejszych twierdzeń w rachunku prawdopodobieństwa jest tzw. centralne twierdzenie graniczne. Jedna z
ogólniejszej wersji twierdzenia (twierdzenie Lindberga) stwierdza, Ŝe
rozkład sum zmiennych losowych niezaleŜnie od rozkładu tych
zmiennych (przy spełnieniu tzw. warunku Lindberga) zbiega się w
granicznym przypadku do rozkładu normalnego. Twierdzenie to
uzasadnia zatem powszechne występowanie w przyrodzie rozkładu
normalnego. W naszym przypadku chodzi o to, Ŝe jeśli na wynik
pomiaru wpływa bardzo duŜo drobnych czynników, to niezaleŜnie od
rozkładu statystycznego tych czynników wyniki pomiaru będą
podlegać rozkładowi Gaussa.
Uwaga: niektóre typy pomiarów mogą podlegać innej statystyce. Np.
pomiary związane z rozpadem promieniotwórczym podlegają rozkładowi
Poissona.
Przykładem eksperymentalnego dowodu centralnego twierdzenia
granicznego jest tzw. deska Galtona. Kulki spadając odbijają się od
gwoździ wbitych w deskę. Prawdopodobieństwo odbicia kulki od
gwoździa w lewo lub w prawo jest jednakowe (0,5), czyli
poszczególne zdarzenia podlegają rozkładowi dwumianowemu
(zwanemu teŜ rozkładem Bernouliego). Kulki wpadając do
przegródek tworzą histogram rozkładu, który jest prawie równy
rozkładowi normalnemu. Dokładne podobieństwo dostalibyśmy w
przypadku granicznym, tzn., gdyby kulki i
przegródki były nieskończenie małe, a
liczba gwoździ nieskończona. Deska
Galtona ilustruje więc sposób powstawania
w naturze rozkładu normalnego pod
wpływem drobnych losowych odchyleń.
Francis Galton ( 1822-1911) –
angielski podróŜnik, przyrodnik,
antropolog, pisarz, lekarz i statystyk.
Gęstość prawdopodobieństwa
W przypadku ciągłej zmiennej losowej x moŜemy mówić o prawdopodobieństwie wystąpienia jakiejś wartości tej zmiennej z określonego przedziału.
Gęstość prawdopodobieństwa P (x), jest funkcją rozkładu
prawdopodobieństwa dla ciągłej zmiennej losowej x. Całka
oznaczona z takiej funkcji równa jest prawdopodobieństwu P
wystąpienia zdarzenia zawartego w granicach całkowania
b
P( x ∈ [a, b]) = ∫ P( x)dx.
W szczególności
∞
a
∫ P( x)dx = 1.
−∞
Gęstość prawdopodobieństwa dla rozkładu Gaussa ma postać
P( x) =
1
σ 2π
−( x−µ )2
e
2σ 2
.
Rozkład Gaussa charakteryzują dwa parametry: µ (nazywany
średnią) i σ (nazywany odchyleniem standardowym). Krzywa
Gaussa jest symetryczna względem parametru µ (dla x = µ,
gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Gaussa jest
maksymalna). Parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej; czym
mniejsza wartość tego parametru tym bardziej „smukłą” postać
przyjmuje krzywa Gaussa.
W punktach x = -σ i x = σ krzywa Gaussa ma punkty przegięcia.
Rozkład Gaussa jest unormowany do 1, czyli niezaleŜnie od
parametrów µ i σ
∞
1
σ 2π
Ponadto
1
σ 2π
1
σ 2π
1
σ 2π
∫e
2σ 2
dx = 1
−∞
−( x−µ )2
µ +σ
∫
µ σ
− ( x− µ )2
e
2σ 2
dx ≈ 0,683,
−
−( x−µ )2
µ + 2σ
e
∫
µ σ
2σ 2
dx ≈ 0,955,
−2
−( x−µ )2
µ + 3σ
∫
µ σ
−3
e
2σ 2
dx ≈ 0,997,
Pola pod krzywą Gaussa dla
trzech róŜnych przedziałów:
1. [-σ, σ]
2. [-2σ, 2σ]
3. [-3σ, 3σ]
Gdybyśmy mogli wykonać nieskończenie wiele pomiarów
znalibyśmy dokładną wartość parametrów µ i σ rozkładu Gaussa
dla danego typu pomiaru. Parametr µ stanowił by wartość
mierzonej wielkości. Niestety jest to niemoŜliwe i moŜemy jedynie
posługiwać tzw. estymatorami, czyli wartościami przybliŜonymi
obliczanymi na podstawie skończonej próby. Estymatorem
parametru µ jest średnia arytmetyczna wyników pomiarów.
Estymatorem parametru µ jest średnia arytmetyczna wyników
pomiarów. Wynika to z postulatu Gaussa, w myśl którego najlepszą
wartością wyniku pomiaru (czyli wartością o największej gęstości
prawdopodobieństwa) otrzymanego na podstawie serii n pomiarów
jest taka wartość x0, dla której funkcja
n
f ( x 0 ) = ∑ ( xi − x 0 )
2
i =1
osiąga minimum. Z warunku koniecznego na istnienie minimum
funkcji:
n
n
i =1
i =1
f ′( x 0 ) = −2∑ ( xi − x 0 ) = − 2∑ xi + 2n x 0 = 0
dostajemy, Ŝe szukaną wartością jest średnia arytmetyczna
n
1
x = ∑ xi
n i =1
Średnie arytmetyczne wyników pomiarów podanych w tabelach 1
i 2 wynoszą odpowiednio:
U = 7,5322 V
dla danych z tabeli 1
U = 7,5358 V
dla danych z tabeli 2
U = 7,5340 V
dla danych z połączonych obu tabel
Jak widać otrzymane wartości róŜnią się na 3 miejscu po
przecinku, ale po pierwsze taka informacja jest jeszcze
niewystarczająca, a po drugie po jednej serii pomiarów nie
wiedzielibyśmy nawet tego. Potrzebujemy jeszcze miary
niepewności średniej arytmetycznej.
Jak sygnalizowaliśmy wcześniej jedną z miar niepewności pomiaru
jest tzw. odchylenie standardowe. W ogólności odchylenie
standardowe dla dowolnego rozkładu statystycznego jest
definiowane jako pierwiastek z tzw. wariancji
σ = E (( x − E ( x)) 2 ) = E ( x 2 ) − ( E ( x )) 2 ,
gdzie E(x) jest wartością oczekiwaną, czyli średnią (nie
koniecznie średnią arytmetyczną) wielkości losowej x.
W przypadku rozkładu Gaussa odchylenie standardowe jest
jednym z dwu parametrów tego rozkładu, ale niestety nie znamy
go. MoŜemy jedynie znaleźć wartość przybliŜoną tego parametru
obliczoną na podstawie skończonej próby. Wartość tego
estymatora (będziemy go oznaczać symbolem Sx) obliczona na
podstawie skończonej n elementowej próby wynosi
Sx =
1 n
2
(
x
−
x
)
∑ i
n − 1 i −1
Przedstawiony powyŜej wzór jest poprawny w zasadzie dopiero w
przypadku bardzo duŜej liczby pomiarów. Określa on wartość
odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru. Oznacza to, Ŝe
gdybyśmy wyjęli losowo z serii pomiarów jeden z nich (o wartości
xi), to wartość rzeczywista powinna z poziomem ufności ok. 0,683
zawierać się w przedziale od xi-Sx do xi+Sx. Nas jednak bardziej
interesuje odchylenie standardowe średniej arytmetycznej serii
pomiarów, gdyŜ ta wartość jest najlepszą wartością otrzymaną na
podstawie serii pomiarów. Na mocy centralnego twierdzenia
granicznego średnie arytmetyczne teŜ podlegają rozkładowi
Gaussa. Odchylenia standardowe średniej arytmetycznej
otrzymanej na podstawie (duŜej) serii n pomiarów jest n razy
mniejsze od odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru
(dowód tego twierdzenia pomijam. MoŜna go znaleźć np. w
podręczniku Henryka Szydłowskiego Pracownia Fizyczna).
Estymator odchylenia standardowego średniej arytmetycznej
uzyskanej na podstawie duŜej n elementowej serii pomiarów
liczymy następująco:
Sx =
n
1
2
( xi − x ) ,
∑
n(n − 1) i −1
gdzie
1 n
x = ∑ xi
n i =1
Stosując powyŜsze wzory do serii pomiarów z tabel 1 i 2 dostajemy
Dla danych z tabeli 1
U = 2,75322 V;
S x = 0,000483 V
Dla danych z tabeli 2
U = 2,75358 V;
S x = 0,000632 V
12
80
60
10
70
10
50
60
8
8
40
6
40
30
4
Krotność
Krotność
50
6
30
4
20
20
2
2
10
10
Napięcie U [V]
2,772
2,770
2,768
2,766
2,764
2,762
2,760
2,758
2,756
2,754
2,752
2,750
2,748
2,746
2,744
2,742
2,740
0
2,738
0
2,736
2,770
2,768
2,766
2,764
2,762
2,760
2,758
2,756
2,754
2,752
2,750
2,748
2,746
2,744
2,742
0
2,740
0
Napięcie U [V]
Histogramy dla serii pomiarowych z tabel 1 i 2 z naniesionymi
krzywymi Gaussa obliczonymi na podstawie średniej arytmetycznej i
estymatora odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru.
Reguły zapisu wyników pomiarów
Pokazane wyŜej wartości średniej arytmetycznej i odchylenia
standardowego średniej arytmetycznej wyliczone dwa dwóch
róŜnych stosunkowo duŜych serii pomiarowych pokazują
przypadkowość cyfr na odpowiednio dalekich pozycjach.
Podawanie cyfr przypadkowych jest niepoprawne. Wspomniany
wyŜej Przewodnik zaleca zapis niepewności pomiarowej do dwu
cyfr znaczących. My będziemy przyjmować zasadę, Ŝe
Niepewność pomiarową podajemy z dokładnością do jednej
lub co najwyŜej dwu cyfr znaczących, a wynik pomiaru
zaokrąglamy do tego samego miejsca rozwinięcia
dziesiętnego, co niepewność.
Przykłady
x = (16,5 ± 0,7)
x = (16,53 ± 0,11)
mm
mm
Zasady postępowania podczas zaokrąglania i zapisu
wyników pomiarów
Obliczenia moŜemy prowadzić do dowolnie dalekiego miejsca
rozwinięcia dziesiętnego.
Zaokrąglanie zaczynamy od zaokrąglenia niepewności
pomiarowej przy czym, wartość niepewności zaokrąglamy do
dwóch cyfr znaczących, gdy pierwsza cyfra niepewności jest
mniejsza lub równa 3, w przeciwnym wypadku niepewność
zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej. Czasami stosowana
jest zasada, Ŝe niepewność zaokrąglamy zawsze w górę.
Jednak my będziemy stosować zwykłe reguły matematyczne
zaokrągleń, tzn. nie zmieniamy cyfry, do której zaokrąglamy
liczbę jeśli po niej znajduje się cyfra 0-4, w przeciwnym
wypadku (czyli gdy po tej cyfrze występuje cyfra 5-9)
podwyŜszamy tę cyfrę o jeden. Na przykład niepewność o
wartości 0,735 s zaokrąglimy do 0,7 s, a niepewność 0,0283 m
zaokrąglimy do 0,028 m.
Uwaga:
Przewodnik zaleca zaokrąglanie niepewności
pomiarowych zawsze do drugiej cyfry
znaczącej.
Po zaokrągleniu niepewności, stosując zwykłe reguły, zaokrąglamy
wynik pomiaru do tego samego miejsca rozwinięcia dziesiętnego co
niepewność. Na przykład jeśli niepewność pomiaru częstości
wyniosła po zaokrągleniu 0,27 Hz a wynik pomiaru wynosi 67,459
Hz, to wynik zaokrąglimy do 67,46 Hz i zapiszemy
f = (67,46±0,27) Hz
Przewodnik zaleca, by wyniki pomiarów podawać w takich
jednostkach, aby wartość liczbowa zawierała się w przedziale od
0,1 do 1000 (o ile to moŜliwe). Takie liczby są przyjazne dla
człowieka i łatwe do zapamiętania, zaś ich zapis wymaga
najmniejszej liczby znaków drukarskich. Aby to umoŜliwić
wprowadzono przedrostki jednostek układu SI.
Nazwa
Sym
bol
Nazwa
mnoŜnika
Przykład
Stosowane od
jotta
Y
1 000 000 000 000 000 000 000
000 = 1024
kwadrylion
YV –
jottawolt
1991 roku
zetta
Z
1 000 000 000 000 000 000 000 =
1021
tryliard
Zm –
zettametr
1991 roku
eksa
E
1 000 000 000 000 000 000 = 1018
trylion
Eg –
eksagra,
1975 roku
biliard
Ps –
petasekun
da
1975 roku
MnoŜnik
1015
peta
P
1 000 000 000 000 000 =
tera (gr. teras –
potwór)
T
1 000 000 000 000 = 1012
biblion
TB –
terabajt
1960 roku
giga (gr. gigas –
olbrzymi)
G
1 000 000 000 = 109
miliard
GHz –
gigaherz
1960 roku
mega (gr.
megas – wielki)
M
1 000 000 = 106
milion
MHz –
megaherz
1960 roku
kilo (gr. khilioi
– tysiąc)
k
1 000 = 10³
tysiąc
kcal –
kilokalori
a
1795 roku
hekto (gr.
hekaton – sto)
h
100 = 10²
sto
hl –
hektolitr
1795 roku
deka (gr. deka –
dziesięć)
da
10 = 10¹
dziesięć
dag –
dekagra,
1795 roku
Nazwa
mnoŜnika
Przykład
Stosowane od
0,1 = 10-1
jedna
dziesiąta
dB –
decybel
1795 roku
c
0,01 = 10-2
jedna
setna
cm –
centymetr
1795 roku
mili
(łac. mille –
tysiąc)
m
0,001 = 10-3
jedna
tysiączna
mm –
milimetr
1795 roku
mikro
(gr. mikros –
mały)
µ
0,000 001 = 10-6
jedna
milionowa
µm –
mikrometr
1960 roku
nano
(gr. nanos –
karzeł)
n
0,000 000 001 = 10-9
jedna
miliardow
a
nF –
nanofarad
1960 roku
piko
(wł. piccolo –
mały)
p
jedna
bilionowa
pF –
pikofarad
1960 roku
femto
(duń. femten –
piętnaście)
f
0,000 000 000 000 001
= 10-15
jedna
biliardowa
fm –
femtometr
1964 roku
atto
(duń. atten –
osiemnaście)
a
0,000 000 000 000 000
001 = 10-18
jedna
trylionowa
am –
attometr
1964 roku
zepto
z
0,000 000 000 000 000
000 001 = 10-21
jedna
tryliardow
a
zN –
zeptoniuto
n
1991 roku
jokto
y
0,000 000 000 000 000
000 000 001 = 10-24
jedna
kwadrylio
nowa
yg –
joktogram
1991 roku
Nazwa
symbol
decy
(łac. decimus –
dziesiąty)
d
centy
(łac. centum –
sto)
MnoŜnik
0,000 000 000 001 = 1012
Przykład 1
Wynik pomiaru napięcia wyniósł U = 0,000023554 V, niepewność
pomiaru wyniosła S = 0,000000628 V. Po zaokrągleniu S =
U
U
0,0000006 V oraz U = 0,0000236 V, czyli U = (0,0000236 ±
0,0000006) V. Taki zapis wyniku jest mało czytelny. Lepiej zapisać
go stosując przelicznik jednostki µ (mikro=10-6), wówczas zapis
wyniku pomiaru przyjmie postać znacznie bardziej czytelną
U = (23,6 ± 0,6) µV
PowyŜszy wynik moŜna by było teŜ zapisać w postaci
U = (23,6 ± 0,6) ·10-6 V,
jednak zalecana jest postać poprzednia.
Przykład 2
Wynik pomiaru napięcia wynosi U = 334622765,76 V, niepewność
pomiaru wyniosła SU = 2611877,6 V. Po zaokrągleniu S = 26·105
U
5
V oraz U = 3346 ·10 V.
Czyli wynik pomiaru moŜemy zapisać np. w postaci
U = (3346 ± 26) ·105 V
Lepiej jednak podać ten wynik stosując przedrostek jednostki M
(mega=106)
U = (334,6 ± 2,6) MV.
Uwagi do przykładu 2:
• Liczba 2611877,6 oznaczająca niepewność ma być zgodnie z
podanymi wcześniej regułami zaokrąglona do dwóch cyfr
znaczących, dlatego nie moŜemy jej zapisać po zaokrągleniu w
postaci 2600000, gdyŜ taka liczba ma 7 cyfr znaczących lecz w
postaci 26·105. Ta sama uwaga dotyczy liczby oznaczającej w tym
przykładzie wartość zmierzoną, czyli 334622765,76.
• Zapisując wynik z zastosowaniem jednostki z przedrostkiem lub
zapis z przelicznikiem typu 10n, musimy zastosować taki sam
przedrostek (lub wykładnik potęgi przelicznika) zarówno do wyniku
pomiaru, jak i niepewności pomiaru.
Całkowita niepewność pomiaru
Na całkowitą niepewność pomiaru w ogólności składają się obie
niepewności: systematyczna i przypadkowa. W pewnych
przypadkach, wyniki pomiarów są identyczne (jak pokazano w
przykładzie z części 1 wykładu), wówczas o niepewności pomiaru
decyduje niepewność systematyczna. W drugim skrajnym
przypadku, gdy rozrzut wyników pomiarów jest bardzo duŜy w
porównaniu z niepewnością systematyczną (co najmniej o rząd
wielkości większy od niepewności systematycznej), miarą
niepewności będzie niepewność przypadkowa określana np. przez
odchylenie standardowe średniej arytmetycznej. W przypadkach
pośrednich musimy uwzględnić oba typy niepewności.
Przypomnijmy jednak, Ŝe niepewność systematyczna jest uwaŜana
za niepewność typu maksymalnego (ma poziom ufności ~1), zaś
odchylenie standardowe ma poziom ufności ~0,68. Nie moŜemy
zatem wprost dodawać do siebie obu niepewności.
Całkowita niepewność maksymalna
Chcąc wyliczyć całkowitą niepewność maksymalną musimy
zastąpić odchylenie standardowe miarą niepewności
przypadkowej o poziomie ufności bliskim jedności. Z własności
rozkładu Gaussa wiemy, Ŝe przedział wyznaczony przez 3
odchylenia standardowe ma poziom ufności 0,997. Jest to
wystarczająco dobre przybliŜenie zdarzenia pewnego. Zatem
całkowitą niepewność pomiaru wielkości x, którego niepewność
systematyczna wyniosła ∆xs, odchylenie średniej arytmetycznej
moŜemy wyliczyć ze wzoru
Sx
∆xmax = ∆xs + 3S x
Uwaga:
W przypadku małej liczby pomiarów, czynnik 3, przez który
mnoŜymy odchylenie standardowe będziemy musieli zastąpić
odpowiednim współczynnikiem Studenta-Fischera (o czym będzie
mowa w dalszej części wykładu), który będzie większy niŜ 3.
Całkowita niepewność standardowa
Chcąc wyliczyć całkowitą niepewność standardową musimy
zastąpić niepewność systematyczną (maksymalną) niepewnością
systematyczną standardową. Przypomnijmy, Ŝe maksymalną
niepewność systematyczną liczymy zgodnie z wzorem
∆x s = ∆ d x + ∆ k x + ∆ 0 x + ∆ e x.
O pierwszych dwóch wyrazach tego wyraŜenia moŜemy załoŜyć, Ŝe
podlegają rozkładowi równomiernemu (prostokątnemu).
Odchylenie standardowe wyliczone dla takiego rozkładu wynosi
S xs =
∆x
3
Dowód:
x + ∆x
S xs
2
1
2
2
2
2
≡ E ( x ) − ( E ( x)) =
x
dx
−
x
2∆x x −∫∆x
(
1 1
∆x )
3
3
2
(x + ∆x ) − (x − ∆x ) − x =
=
2∆x 3
3
[
]
2
Dwa ostatnie wyrazy występujące w wyraŜeniu na niepewność
systematyczną mają inny charakter. Dla nich przyjmujemy (to
pozostawiam bez dowodu), Ŝe ich odchylenia standardowe są
wprost równe wartościom ∆xo i ∆xe.
Zasady sumowania odchyleń standardowych poznamy później.
Teraz podajemy ostateczne wyraŜenie na standardową
niepewność systematyczną
1
1
2
2
2
2
(∆xd ) + (∆xk ) + (∆xo ) + (∆xe )
S xs =
3
3
i wzór na całkowitą niepewność standardową
S xc = S x
2
1
1
2
2
2
2
+ (∆x d ) + (∆x k ) + (∆xo ) + (∆xe )
3
3
Przykład
Wykonano 20 pomiarów napięcia za pomocą woltomierza
analogowego ustawionego na zakres 60 V. Klasa przyrządu
wynosi k = 0,5, a odległość między działkami 1V, czyli ∆xd = 0,5V.
Wyniki pomiarów zebrano w poniŜszej tabeli:
L.p.
U [V]
L.p.
U [V]
1
23,5
11
18,0
2
23,0
12
21,0
3
24,0
13
22,0
4
19,0
14
18,0
5
24,0
15
22,5
6
22,5
16
21,5
7
22,0
17
23,5
8
21,0
18
25,0
8
22,0
19
22,0
10
17,0
20
20,0
Średnia arytmetyczna wynosi
U = 21,575 V,
a odchylenie standardowe
SU = 0,491 V.
Maksymalna niepewność przypadkowa równa potrojonemu
odchyleniu standardowemu wynosi
SU max = 3 ⋅ SU = 1,743 V
Maksymalna niepewność systematyczna wynosi:
1
0,5 ⋅ 60V
∆U = ⋅ 1V +
= 0,5 V + 0,3 V = 0,8V
2
100
Maksymalna niepewność całkowita wynosi:
∆U max = 0,8 V + 1,743 V = 2,543 V
Po zaokrągleniu niepewność całkowita wynosi
∆U max = 2,5 V,
a wartość zmierzona
U = 21,6 V.
Ostatecznie wynik pomiaru zapiszemy następująco:
U = (21,6 ± 2,5) V
Maksymalna niepewność względna procentowa wynosi
δ max
∆U max
=
⋅ 100 = 12%
U
Standardowa niepewność systematyczna dla powyŜszego
przykładu wynosi
S xs =
1
(0,5)2 + 1 (0,30)2 = 0,337 V.
3
3
Całkowita niepewność standardowa wynosi zatem
S xc =
(1,7453)2 + 1 (0,5)2 + 1 (0,30)2
3
3
= 1,777 V
Po zaokrągleniu niepewności i wyniku pomiaru dostajemy
S xc = 1,8 V
oraz
U = 21,6 V.
Ostatecznie U = (21,6 ± 1,8) V lub stosując się do zaleceń
Przewodnika odnośnie zapisu wyniku pomiaru z podaniem
niepewności standardowej:
U = 21,6(18) V
lub
U = 21,6 V u (U ) = 1,8 V
Uwaga:
Przewodnik zaleca stosowanie następujących sposobów zapisu
wyników pomiarów
Dla niepewności standardowej:
niepewność standardową podajemy w nawiasie umieszczonym z
wynikiem pomiaru. Podane w tym nawiasie cyfry odnoszą się do
ostatnich miejsc dziesiętnych wyniku, np.
g = 9,668(28) m/s2
zapis (28) oznacza tu, Ŝe niepewność standardowa wynosi 0,028 m/s2.
Inny sposób zapisu wyniku pomiaru z podaniem niepewności standardowej zalecany przez Przewodnik polega na podaniu osobno wartości
wielkości mierzonej i niepewności standardowej oznaczanej jako u lub
u(x), np.
g = 9,668 m/s2 u(g) = 0,028 m/s2
Dla niepewności rozszerzonej:
niepewność rozszerzoną podajemy wraz z wartością wielkości
mierzonej oddzieloną od niej znakiem ±, np.
g = (9,67±0,84) m/s2
Inny sposób zapisu wyniku pomiaru z podaniem niepewności
rozszerzonej zalecany przez Przewodnik polega na podaniu
osobno wartości wielkości mierzonej i niepewności rozszerzonej
oznaczanej jako U lub U(x), np.
g = 9,67 m/s2 U(g) = 0,84 m/s2
Zwróćmy uwagę, Ŝe niepewność w powyŜszych przykładach
podana jest z dokładnością do dwóch cyfr znaczących mimo, Ŝe
pierwszą z tych cyfr jest cyfra większa od 3. Jest to zgodne z
zaleceniami Przewodnika.
Rozkład t-Studenta
Podane wcześniej wzór określający odchylenie standardowe jako
estymatora parametru σ rozkładu Gaussa jest poprawny dopiero
przy bardzo duŜej (teoretycznie nieskończonej) liczbie pomiarów.
W rzeczywistości zaś mamy zawsze do czynienia ze skończoną
(czasami bardzo małą) liczbą pomiarów. Wartości średnie oraz
odchylenia standardowe wyliczane na skończonej próbie są, tak
jak i same wyniki pomiarów zmiennymi losowymi. Problemem
rozkładu statystycznego tego rodzaju zmiennych zajmował się
angielski statystyk William Gosset (znany jaki Student, gdyŜ pod
takim pseudonimem publikował swoje prace). Znalazł on rozkład
gęstości prawdopodobieństwa (zwany rozkładem t-Studenta lub
rozkładem Studenta-Fischera) zaleŜny od liczby n wykonanych
pomiarów, a dokładnej od tzw. liczby stopni swobody ν = n -1, a
niezaleŜny od wariancji (σ2).
Rozkład t-Studenta ma postać:
ν +1
Γ(
)
2


x
2
1 + 
f ( x,ν ) =
ν 
Γ(ν / 2) πν 
ν +1
−
2
,
gdzie Γ(x) jest tzw. funkcją gamma-Eulera zdefiniowaną następująco:
∞
Γ( z ) = ∫ t z −1e −t dt.
0
MoŜna powiedzieć, Ŝe funkcja gamma Eulera jest uogólnieniem
funkcji silnia, gdyŜ
Γ( x + 1) = xΓ( x)
stąd dla liczb naturalnych Γ(n)=(n-1)! . Ponadto
1
Γ  = π
2
William Sealy Gosset (1876-1937).
Słynny angielski statystyk publikujący
prace pod pseudonimem Student. Odkrył
(w 1908r) rozkład statystyczny zaleŜny od
pomiarów xi, a niezaleŜny od wariancji
zwany rozkładem t-Studenta (w literaturze
polskojęzycznej nazywany rozkładem
Studenta-Fischera)
Ronald Fischer (1890-1962). Angielski
statystyk, biolog ewolucyjny i genetyk. W
1916 roku znalazł funkcję gęstości i
dystrybuantę rozkładu opisanego przez
Gosseta i nazwał go rozkładem Studenta.
W swoich pracach upowszechnił rozkład
Pearsona chi-kwadrat oraz rozkład tStudenta.
Porównanie rozkładu t-Studenta dla wybranych stopni swobody (ν = 1, 5 i
20) ze standardowym rozkładem normalnym (czyli dla µ=0 i σ=1).
WaŜne twierdzenie
JeŜeli zmienne losowe x1, x2,...,xn mają jednakowy rozkład
prawdopodobieństwa, który jest rozkładem Gaussa o parametrach
µ i σ, to zmienna t określona wzorem
x−µ
t=
n
Sx
gdzie x jest wartością średnią próby złoŜonej z n elementów
(pomiarów), zaś – Sx odchyleniem standardowym z tej próby ma rozkład t-Studenta o v=n-1 stopniach swobody (niezaleŜny
od wartości wariancji w populacji σ2).
W metrologii rozkład t-Studenta jest uŜywany (m.in.) do estymacji
odchylenia standardowego (zarówno pojedynczego pomiaru jak i
średniej arytmetycznej) próby pomiarowej. W granicy nieskończonej liczby stopni swobody (liczby pomiarów) rozkład t-Studenta
przechodzi w rozkład Gaussa. Arbitralnie przyjmuje się, Ŝe próba o
liczebności ≥30 nie wymaga juŜ stosowania rozkładu t-Studenta.
Pomimo złoŜoności problemu, w praktyce wyliczanie odchylenia
standardowego dla rozkładu t-Studenta jest bardzo proste.
Wyliczając odchylenie standardowe (lub miary niepewności o
innym poziomie ufności) posługujemy się tablicami
współczynników (nazywanych współczynnikami Studenta lub
Studenta-Fischera), przez które naleŜy przemnoŜyć odchylenie
standardowe liczone tak jak dla rozkładu Gaussa
S x = tν ,α
n
1
2
( xi − x ) .
∑
n(n − 1) i =1
Współczynniki Studenta tν,α zaleŜą od liczby stopni swobody
rozkładu t-Studenta v = n – 1 (n≥2 jest liczbą pomiarów) i poziomu
istotności α, czyli prawdopodobieństwa popełnienia błędu tzw. I
rodzaju (1 – α jest równe poziomowi ufności).
Uwaga: w skrypcie PK Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, współczynniki
Studenta oznaczamy symbolem τn,α, gdzie n oznacza liczbę pomiarów, a α
poziom ufności.
Tabela wybranych współczynników Studenta-Fischera.
Współczynniki w kolumnach dla
poziomów ufności 0,683; 0,955;
0,997 odpowiadają
odpowiednio: pojedynczemu,
podwojonemu i potrojonemu
odchyleniu standardowemu (S,
2S i 3S) dla rozkładu Gaussa
(zwróćmy uwagę na wartości
tych współczynników dla n→∞).
Przykład
Omomierzem cyfrowym o klasie dokładności 0,02 ustawionym na
zakresie 200 Ω wykonano 5 pomiarów rezystancji (oporu elektrycznego). Otrzymane wyniki były następujące:
70,42 Ω; 70,33 Ω; 70,91 Ω; 70,05 Ω; 70,63 Ω.
Średnia arytmetyczna wyników pomiaru wynosi
R = 70,468 Ω,
a odchylenie standardowe liczone jak dla rozkładu Gaussa wynosi
S R = 0,145 Ω.
PoniewaŜ liczba pomiarów była niewielka musimy powyŜszą
wartość przemnoŜyć przez odpowiedni współczynnik Studenta
Przypadek 1 (liczymy niepewność standardową)
Chcąc wyliczyć odchylenie standardowe bierzemy z tabeli
współczynników Studenta współczynnik dla poziomu ufności 0,683
i n = 5 pomiarów (τ5;0,683 = 1,14 ), czyli odchylenie standardowe
wynosi:
S R = 1,14 ⋅ 0,145 Ω = 0,165 Ω
Niepewności systematyczne wynoszą
∆Rd = 0,01 Ω
0,02 ⋅ 200 Ω
= 0,04 Ω.
∆R k =
100
i
A zatem całkowita standardowa niepewność wynosi
SR c
1
1
2
= 0,165 + 0,01 + 0,04 2 = 0,167 Ω
3
3
2
Ostatecznie dostajemy następujący wynik pomiaru
R = (70,47 ± 0,17 ) Ω
lub
R = 70,47(17) Ω.
Standardowa niepewność względna procentowa wynosi
0,17 Ω
δ st =
⋅ 100 = 0,24%
70,47 Ω
Przypadek 2 (liczymy niepewność maksymalną)
Chcąc wyliczyć „maksymalną” niepewność przypadkową bierzemy
z tabeli współczynników Studenta współczynnik dla poziomu
ufności 0,997 i n = 5 pomiarów (τ5;0,997 = 6,62 ), czyli maksymalna
niepewność przypadkowa wynosi:
∆R = 6,62 ⋅ 0,145 Ω = 0,960 Ω,
a niepewność systematyczna
∆Rs = 0,01 Ω +
0,02 ⋅ 200 Ω
= 0,05 Ω.
100
Całkowita niepewność maksymalna wynosi
∆Rc = 0,960 Ω + 0,050 Ω = 1,01 Ω.
Ostatecznie dostajemy następujący wynik pomiaru
R = (70,5 ± 1,0) Ω.
Maksymalna niepewność względna procentowa wynosi
δ max
1,0 Ω
=
⋅ 100 = 1,4%.
70,5 Ω