Maciej Kaziród Dane są długości boków aib trójkąta. Znajdź długość

Maciej Kaziród Dane są długości boków aib trójkąta. Znajdź długość

Maciej Kaziród
Dane są długości boków a i b trójkąta. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli
kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b.
Oznaczenia:
a,b,c - boki trójkąta
α - miara kąta leżącego naprzeciw boku c
2α - miara kąta leżącego naprzeciw boku b
Dane: a,b
Szukane: c
c
= sinb α
sin 2α
b sin 2α
c = sin α = 2b sinsinααcos α
2
2
2
= 2b cos α
c = a + b − 2ba cos 2α
(2b cos α)2 = a2 + b2 − 2ba cos 2α
4b2 cos2 α = a2 + b2 − 2ba(2 cos2 α − 1)
4b2 cos2 α = a2 + b2 − 4bacos2 α + 2ba
4b2 cos2 α + 4bacos2 α = (a + b)2
cos2 α(4b2 + 4ba) = (a + b)2
(a+b)2
cos2 α = 4b(a+b)
cos2 α =qa+b
4b
cos α =
c = 2b
q
a+b
4b
a+b
=
4b
q
Odp: c =
q
4b2 (a+b)
4b
=
q
b(b + a)
b(b + a)
1