Matematyka dyskretna, seria 7 (podstawy teorii grafów)

Olsztyn, dn. 25.04.2014 r.
Matematyka dyskretna, seria 7
(podstawy teorii grafów)
Narysuj grafy, wyznacz ich macierze s¡siedztwa oraz grafy dopeªniaj¡ce:
a) graf peªny K6 ;
b) graf peªny dwudzielny K2,4 ;
c) sum¦ grafów K1,3 i W4 ;
d) graf sze±cianu (kostk¦ Q3 ).
Zad 1.
Zad 2.
Narysowa¢ grafy bryª plato«skich.
Zad 3.
Wyznaczy¢ graf G maj¡cy podan¡ poni»ej macierz s¡siedztwa

0
1

M =
1
2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0

0
1

1
 .
0
0
Zad 4.
Wykaza¢ izomorzm poni»szych grafów.
Zad 5.
a) Narysowa¢ grafy odpowiadaj¡ce cz¡steczkom metanu CH4 i propanu
C 3 H8 .
b) Istniej¡ dwa ró»ne w¦glowodory maj¡ce wzór sumaryczny C4 H10 . Narysuj
grafy odpowiadaj¡ce ich cz¡stkom.
Narysuj wszystkie grafy proste oznakowane maj¡ce cztery wierzchoªki.
Ile jest takich grafów nieoznakowanych?
Zad 6.
Sprawdzi¢, »e k-kostka Qk ma 2k wierzchoªków, k · 2k−1 kraw¦dzi oraz
jest grafem regularnym stopnia k.
Zad 7.
b)
a)
c)
d)
e)
Na rysunku powy»ej s¡ podane grafy 3-regularne o o±miu wierzchoªkach.
Sprawdzi¢, »e »adne dwa nie s¡ izomorczne.
Zad 8.
Graf prosty izomorczny ze swoim dopeªnieniem nazywamy grafem saUdowodnij, »e grafy dopeªniaj¡ce maj¡ 4k lub 4k + 1 wierzchoªków (k ∈ N). Podaj przykªady grafów samodopeªniaj¡cych maj¡cych 4 lub
5 wierzchoªków.
Zad 9.
modopeªniaj¡cym.
Niech G b¦dzie grafem prostym z co najmniej dwoma wierzchoªkami.
Wyka», »e G zawiera dwa wierzchoªki tego samego stopnia.
Wsk: Skorzystaj z zasady szufadkowej Dirichleta.
Zad 10.