moment pędu

Bryła sztywna
Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie
zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną.
Dowolny ruch bryły sztywnej
można
traktować
jako
superpozycję ruchu translacyjnego
(postępowego) i obrotowego.
Ruch postępowy
B’
B”
B
A’’
A’
A
Każda prosta,sztywno powiązana
z poruszającym się ciałem,
zachowuje swą orientację w przestrzeni
(przesuwa się równolegle)
Ruch obrotowy
Wszystkie punkty ciała poruszają się po okręgach
których środki znajdują się na jednej prostej, zwanej osią obrotu.
Moment bezwładności
• Dla układu punktów materialnych:
m1
n
I = ∑mi ri
oś
r1
2
r2
i =1
ri - odległość od osi obrotu
m2
r3
m4
m3
r4
oś
• Dla ciągłego rozkładu masy:
2
I = ∫r dm
r
dm
Moment bezwładności jednorodnego pręta
Obrót wokół końca
L
Iy = ∫ x 2
y
dx
0
3 L
M
M x
dx =
⋅
L
L 3
=
0
1
ML2
3
x
L
Obrót wokół środka
L/2
Icm = ∫ x 2
−L / 2
3 L/2
M x
M
dx = ⋅
L 3
L
−L / 2
=
1
ML2
12
Środek masy
n
1
rśm = ∑miri
M i=1
1
xśm =
M
y śm
z śm
1
=
M
1
=
M
n
∑m x
i i
i =1
n
∑m y
i
i =1
n
∑m z
i i
i =1
i
Przykład
y
xśm
x
x1
d
x2
xśm
m1 x1 + m2 x2
=
m1 + m2
Moment bezwładności względem
a) środka masy (punktu cm)
I cm = ∑ mi ( xi2 + yi2 )
i
b) pewnego punktu P
I P = ∑ mi (( xi − a ) 2 + ( yi − b) 2 ) =
i
∑m (x
i
i
2
i
+ yi2 ) − 2a ∑ mi xi − 2b ∑ mi yi + ( a 2 + b 2 ) ∑ mi
i
i
I p = Icm + M ⋅ d 2
i
Pęd
• Pędem ciała nazywamy iloczyn masy ciała i
jego prędkości:
r
r
p = mV
Zasada zachowania pędu.
Pęd zamkniętego układu punktów
materialnych jest stały.
Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych
działających na układ punktów materialnych
jest równa zeru, to pęd całkowity tego
układu jest stały
Moment pędu
Moment pędu (kręt) K punktu materialnego o masie m
i wektorze wodzącym r, poruszającego się z prędkością V
względem osi obrotu odległej o r od punktu definiujemy:
r r r
L =r ×mV
L
r
p
Moment siły
r r r
M = r ×F
Zasada zachowania momentu pędu.
Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych
działających na układ równa się zero,
to kręt całkowity tego układu jest stały
∆θ
ω=
∆t
∆ω
ε=
∆t
Ruch obrotowy względem nieruchomej osi
r
∆L
ω
r r
L = L (t )
r
r
∆L
=M
∆t
⇒
r
r
∆Lz
= Mz
∆t
Lz = Iω
dLz d ( Iω )
dω
=
=I
= Iε
dt
dt
dt
M z = Iε
Porównanie ruchów
Obrotowy
α =α
Liniowy
ε = const
a = const
ω = ω 0 + εt
v = v0 + at
0
1
+ ω 0t + ε t 2
2
v = ωR
x = x0 + v 0t +
a=εR
1 2
at
2
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
L = Iω ⇒ ∆L = I∆ω + ∆I ω
∆L
∆ω ∆I
=I
+ ω
∆t
∆t ∆t
=ε
Jeżeli moment bezwładności nie ulega zmianie
∆L
= Iε
∆t
Ruch postępowy
r ∆pr
r
r
F=
; F = ma
∆t
⇒ M = Iε
Ruch obrotowy
∆L
= M ; M = Iε
∆t
v1
r1
r2
m2
m1
Ciała te poruszają się z różnymi
wartościami prędkości liniowej, lecz z
tą samą prędkością kątową ω.
v =ωr
v2
Energia kinetyczna układu
(
1
1
1
2
2
Ek = m1v1 + m2 v2 = m1r12ω 2 + m2 r22ω 2
2
2
2
(
)
1 2
1 2
2
2
Ek = ω m1r1 + m2 r2 = Iω
2
2
Moment bezwładności
(
I = m1r12 + m2 r22
)
)
Prawo zachowania momentu pędu
r
r
r
r
∆L r
∆L
= r ×F ⇔
=M
∆t
∆t
Jeżeli moment sił zewnętrznych jest równy zeru to
moment pędu jest zachowany
r
r
∆L
M =0 ⇔
=0
∆t
Ruch postępowy
r
r
∑ F = 0 ⇒ p = const
r
⇔ ∆L = 0
Ruch obrotowy
r
M =0
r
⇒ L = const
Toczenie się ciał po równi pochyłej
h
R v=0
E = Mgh
M ω = 0 inital
K=0
Efinal = 21 Iω2 + 21 Mv 2
v = ωR
v = ωR oraz I = cMR2
Efinal =
1
2
(
c=
2
2  v 
cMR   + 21 Mv 2 =
R
)
1 rura
1/2 walec
2/5 kula
1
2
( c + 1) Mv 2
Efinal = Einitial
1
2
( c + 1) Mv 2 = Mgh
v = 2gh
1
c +1
ωf
ωi
r
M zew = 0
Moment pędu L jest zachowany
I1
ω 2 = ω1
I2
I1 > I 2 ⇒ ω 2 > ω1
I1ω1 = I 2ω 2 ⇒
E k 2 > Ek 1
Równowaga bryły sztywnej
F1
O
A
F3
F2
Bryła sztywna jest w równowadze jeśli spełnione są warunki:
(a) Wypadkowa siła zewnętrzna jest równa zeru
(b) moment wypadkowy sił zewnętrznych jest równy zeru.