M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4 57 1.2.3 Operator

M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
1.2.3
57
Operator pochodnej w przypadku białego szumu
Niech H = L2 (T ) = L2 (T, B, µ), gdzie µ jest σ - skończoną bezatomową miarą na B.
Dla F ∈ D1,2 pochodna Malliavin’a F jest procesem stochastycznym oznaczanym jako
{Dt F }t∈T na mocy identyfikacji
L2 (Ω; L2 (T )) ∼
= L2 (T × Ω).
Przykład 1.29 Niech C0 [0, 1] = {x ∈ C[0, 1] : x(0) = 0}. Dla t ∈ [0, 1] określmy odwzorowanie („rzut” na t) πt : C[0, 1] → IR wzorem πt (x) = x(t) dla x ∈ C[0, 1]. Łatwo
zauważyć, że πt jest ciągłym odwzorowaniem.
Rozważmy ruch Browna W na kanonicznej przestrzeni Ω = C0 [0, 1] tj. na zbiorach
borelowskich C[0, 1] określona jest miara probabilistyczna µW (nazywana miarą Wienera)
o własnościach:
(i) µW (C0 [0, 1]) = 1.
(ii) Dla t ∈ [0, 1] zmienna losowa πt ma scentrowany rozkład normalny o wariancji t.
(iii) Dla 0 ≤ t0 < t1 < t2 < . . . < tk ≤ 1 zmienne losowe
πt1 − πt0 , πt2 − πt1 , . . . , πtk − πtk−1
są niezależne na (C([0, 1]), B(C[0, 1]), µW ).
Wtedy dla t ∈ [0, 1]
W (t)(ω) := πt (ω),
ω ∈ C0 [0, 1].
Wprowadźmy jeszcze podprzestrzeń H 1 ⊂ C0 ([0, 1]) składającą się z funkcji absolutnie
ciągłych x : [0, 1] → IR z całkowalną z kwadratem pochodną i takich, że x(0) = 0 tj.
t
Z
x(t) =
x0 (s) dλ(s),
x ∈ L2 ([0, 1]) = L2 ([0, 1], B([0, 1]), λ).
0
Przestrzeń H 1 nazywamy przestrzenią Camerona-Martina. Możemy na niej określić iloczyn
skalarny wzorem
Z
1
hx, yiH 1 := hx0 , y 0 iL2 ([0,1]) =
x0 (t)y 0 (t) dλ(t).
0
H1
Wtedy
staje się przestrzenią Hilberta (izometryczną z L2 ([0, 1])). Zauważmy, że zanurzenie H 1 ⊂ C0 ([0, 1]) jest ciagłe, bo
Z
kxkC0 = sup |x(t)| ≤
0≤t≤1
0
1
|x0 (t)| dλ(t) ≤ kx0 kL2 ([0,1]) = kxkH 1 .
58
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Ruch Browna jak wiemy wyznacza jednoznacznie proces izonormalny na L2 ([0, 1]) (poprzez
całkę Wienera), który będziemy oznaczać tym samym symbolem W . W takiej sytuacji
W (t) := W (I[0,t] ) dla t ∈ [0, 1].
Niech F ∈ S tj.
f ∈ Cp∞ (IR).
F = f (W (t1 ), . . . W (tn )),
Wtedy hDF, hi dla h ∈ L2 ([0, 1]) jest pochodną kierunkową w kierunku
Rzeczywiście mamy
hDt F, hi =
n
X
R·
0
h(s) dλ(s) ∈ H 1 .
∂i f (W (t1 ), . . . , W (tn ))hI[0,ti ] , hi =
i=1
n
X
ti
Z
h(s) dλ(s) =
∂i f (W (t1 ), . . . , W (tn ))
0
i=1
n
X
∂i f (πt1 , . . . , πtn )πti
Z
·
h(s) dλ(s) .
0
i=1
Ponieważ
ω ∈ Ω = C0 [0, 1],
F (ω) = f (πt1 (ω), . . . , πtn (ω)),
oraz C0 [0, 1] jest przestrzenią Banacha, więc powyższą pochodnę możemy zapisać w postaci
Z ·
0
h(s) dλ(s) .
(1.47)
hDt F, hi = F
0
Jak wiadomo pochodna w punkcie jest funkcjonałem liniowym ograniczonym na C0 [0, 1],
wiec z twierdznie Riesza istnieje miara µF dowolnego znaku, taka, że
Z 1
0
F (g) =
g(t) dµF (t),
g ∈ C0 [0, 1].
0
Stąd i z (1.47) oraz stosując po drodze twierdzenie Fubiniego dostajemy
Z 1Z t
Z 1Z 1
hDt F, hi =
h(s) dλ(s) dµF (t) =
I[0,t] (s)h(s) dλ(s) dµF (t) =
0
Z
1Z
0
1
0
0
I[s,1] (t)h(s) dλ(s) dµF (t) =
0
Z
0
1
Z
µF ([s, 1])h(s) dλ(s) =
0
Z
0
1Z
1
I[s,1] (t)dµF (t) h(s) dλ(s) =
0
1
µF ((s, 1])h(s) dλ(s),
0
Stąd
Dt F = µF ((t, 1]).
h ∈ L2 [0, 1].
59
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Jak wiadomo dla F ∈ L2 (Ω) mamy przedstawienie (twierdzenie 1.16)
F =
(1.48)
∞
X
In (fn ),
n=0
gdzie fn sa funkcjami symetrycznymi, fn ∈ L2 (T n ), n ≥ 1 oraz f0 = E(F ), I0 (f0 ) = f0 .
Stwierdzenie 1.30 Niech F ∈ D1,2 i ma przedstawienie (1.48). Wtedy
Dt F =
∞
X
nIn−1 (fn (·, t)).
n=1
Dowód. Niech F ∈ D1,2 . Wtedy ze stwierdzenia 1.22
Dt F =
∞
X
Jn (Dt F ) =
n=0
∞
X
Dt (Jn+1 F ) =
n=0
∞
X
Dt (Jn F ),
n=1
gdzie powyższy szereg jest zbieżny w L2 (Ω; L2 (T )), bo
kDt (Jn F )k2L2 (Ω;L2 (T )) = nkJn F k2L2 (Ω) .
Z (1.48) mamy Jm F = Im (fm ). Wystarczy więc wykazać
Dt (Jm F ) = Dt (Im (fm )) = mIm−1 (Fm (·, t)).
Załóżmy najpierw, że fm ∈ E i fm jest funkcją symetryczną tzn.
fm =
n
X
ai1 ...im IAi1 ×···×Aim ,
i1 ,...,im =1
gdzie A1 , . . . , An ∈ B0 są parami rozłączne oraz ai1 ...im = 0, gdy dowolne dwa indeksy
i1 , . . . , im są równe. Wtedy
Im (fm ) =
n
X
ai1 ...im W (Ai1 ) · · · W (Aim )
i1 ,...,im =1
oraz
Dt (Im (fm )) =
m
X
n
X
ai1 ...im W (Ai1 ) · · · W (Aij−1 )W (Aij+1 ) · · · W (Aim )IAij (t) =
j=1 i1 ,...,im =1
mIm−1 (fm (·, t)).
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
60
Dla symetrycznej fm ∈ L2 (T m ) istnieje ciąg {fm,n }n≥1 funkcji symetrycznych fm,n ∈ E,
n ≥ 1 taki, że
L2 (T m )
fm,n −−−−−→ fm .
n→∞
Stąd
L2 (Ω)
Im (fm,n ) −−−−−→ Im (fm ).
n→∞
Ponadto
L2 (Ω;L2 (T ))
Dt (Im (fm,n ) = mIm−1 (fm,n (·, t)) −−−−−−−−→ mIm−1 (fm (·, t)),
n→∞
bo
fm,n (·, ·) ∈ L2 (T m ) ∼
= L2 (T m−1 ; L2 (T )),
więc
L2 (T m−1 ;L2 (T ))
fm,n (·, ·) −−−−−−−−−−→ fm (·, ·).
n→∞
Ponieważ Dt jest domkniętym operatorem, więc
Dt (Im (fm )) = mIm−1 (fm (·, t)).
2
Niech A ∈ B. Oznaczmy
FA = σ{W (B) : B ⊂ A, B ∈ B0 }.
Lemat 1.31 Niech F ∈ L2 (Ω) ma przedstawienie
F =
∞
X
In (fn ),
n=0
gdzie funkcje symetryczne fn ∈ L2 (T n ), n ≥ 0 oraz A ∈ B. Wtedy
E(F | FA ) =
∞
X
⊗n
In (fn IA
).
n=0
Dowód. Z ciągłości wartości warunkowej E(· | FA ) w L2 (Ω) mamy
E(F | FA ) =
∞
X
E(In (fn ) | FA ).
n=0
Zatem wystarczy wykazać dla n ≥ 0 równość:
(1.49)
⊗n
E(In (fn ) | FA ) = In (fn IA
).
61
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
⊗0
Dla n = 0 lewa i prawa strona (1.49) są równe E(F ) (przypominamy: IA
= 1). Dla n ≥ 1
korzystajac z liniowości i ciągłości E(· | FA ) oraz In wystarczy wykazać (1.49) dla
B1 , . . . , Bn ∈ B0
fn = IB1 ×···×Bn ,
oraz są parami rozłączne. W tym przypadku mamy
E(In (fn ) | FA ) = E(W (B1 ) · · · W (Bn ) | FA ) =
E
n
hY
i
W (Bi ∩ A) + W (Bi ∩ A0 ) FA .
i=1
Ponieważ Bi ∩ A ⊂ A, więc W (Bi ∩ A) jest FA - mierzalne. Ponadto Bi ∩ A0 jest rozłączne
z każdym podzbiorem A, zatem W (Bi ∩ A0 ) jest niezależne od FA . Mamy zatem
E(In (fn ) | FA ) =
n
Y
⊗n
W (Bi ∩ A) = In (I(B1 ∩A)×···×(Bn ∩A) ) = In (fn IA
).
i=1
2
Stwierdzenie 1.32 Niech F ∈ D1,2 oraz A ∈ B. Wtedy E(F | FA ) ∈ D1,2 oraz
Dt (E(F | FA )) = E(Dt F | FA )IA (t),
Dowód. Ze stwierdzenia 1.30 dla F =
Dt F =
P∞
n=0 In (fn )
∞
X
µ × P − p.w.
mamy
nIn−1 (fn (·, t)).
n=1
Zatem z lematu 1.31 mamy
E(Dt F | FA )IA (t) =
∞
X
⊗(n−1)
nIn−1 (fn (·, t)IA
)IA (t) =
n=1
Ponieważ szereg
P∞
⊗n
n=0 In (fn IA )
∞
X
⊗n
)).
Dt (In (fn IA
n=1
jest zbieżny, więc z domkniętości Dt mamy
E(F | FA ) =
∞
X
⊗n
In (fn IA
) ∈ D1,2
n=0
oraz
E(Dt F | FA )IA (t) = Dt
∞
X
⊗n
In (fn IA
) = Dt (E(F | FA )).
n=0
2
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
62
Wniosek 1.33 Niech A ∈ B i F ∈ D1,2 jest FA - mierzalne. Wtedy Dt F = 0 na A0 × Ω,
µ × P - p.w.
Dowód. Ze stwierdzenia 1.32 mamy
Dt F = E(Dt F |FA )IA (t),
µ × P − p.w.
Stąd dostajemy tezę.
2
1.3
Operator dywergencji
Niech T : D(T ) ⊂ H → H1 bedzie operatorem liniowym, gdzie H, H1 to przestrzenie Hilberta (rzeczywiste, ośrodkowe), D(T ) jest dziedziną operatorą, która jest zbiorem gęstym
w H. Niech y ∈ H1 . Załóżmy, że istnieje y1 ∈ H takie, że
^
(1.50)
hT x, yi = hx, y1 i.
x∈D(T )
Z gęstości D(T ) ⊂ H wynika, że dla danego y ∈ H1 może istnieć co najwyżej jeden y1 ∈ H
taki, że zachodzi (1.50). W tym przypadku możemy napisać y1 = T ∗ y tzn.
^
(1.51)
hT x, yi = hx, T ∗ yi.
x∈D(T )
Łatwo sprawdzić, że T ∗ jest operatorem liniowym. Ponadto
_
^
y ∈ D(T ∗ )
⇐⇒
|hT x, yi| ≤ My kxk.
My >0
x∈D(T )
Rzeczywiście, jesli y ∈ D(T ∗ ), to zachodzi (1.51). Stąd i nierówności Schwarza dla każdego
x ∈ D(T ) mamy
|hT x, yi| = |hx, T ∗ yi| ≤ kxkkT ∗ yk = kxkMy .
W druga stronę. Załóżmy, że dla y ∈ H1 mamy
_
^
(1.52)
|hT x, yi| ≤ My kxk.
My >0
x∈D(T )
Określmy funkcjonał f (x) = hT x, yi dla x ∈ D(T ). Warunek (1.52) implikuje ciągłość
funkcjonału f , a ponieważ jest on określony na gęstym podzbiorze D(T ) ⊂ H, więc istnieje
jednoznaczne rozszerzenie f do ciągłego funkcjonału fe na H. Z twierdzenia Riesza istnieje
y1 ∈ H takie, że
fe(x) = hx, y1 i, x ∈ H.
63
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Stąd
^
hT x, yi = f (x) = fe(x) = hx, y1 i
x∈D(T )
tzn. y1 =
T ∗ y,
więc y ∈ D(T ∗ ).
2
Operator T ∗ nazywamy operatorem sprzężonym do operatora T . Zauważmy, że jest on
zawsze operatorem domkniętym. Istotnie, niech
D(T ∗ ) 3 yn −−−→ y
n→∞
oraz T ∗ yn −−−→ u.
n→∞
Musimy pokazać, że y ∈ D(T ∗ ) i T ∗ y = u. Mamy
^
hT x, yn i = hx, T ∗ yn i.
x∈D(T )
Ale
hT x, yn i −−−→ hT x, yi oraz hx, T ∗ yn i −−−→ hx, ui.
n→∞
n→∞
Zatem
^
hT x, yi = hx, ui.
x∈D(T )
Stąd y ∈
D(T ∗ )
i
T ∗y
= u.
2
Zachodzi nastepujące twierdzenie
Twierdzenie 1.34 Jeśli D(T ) ⊂ H jest gęsta i T jest operatorem domkniętym, to D(T ∗ ) ⊂
H1 jest gęsta oraz T = T ∗∗ .
2
Niech jak zawsze H będzie ośrodkową rzeczywistą przestrzenią Hilberta, W = {W (h), h ∈
H} proces izonormalny określony na zupelnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ), gdzie
F = σ{W (h), h ∈ H}. Operator pochodnej D jest liniowy, nieograniczony i domknięty
oraz D(D) = D1,2 ⊂ L2 (Ω) jako gęsty podzbiór.
Definicja 1.35 Przez δ będziemy oznaczać operator sprzężony do operatora pochodnej D.
Zatem δ jest nieograniczonym operatorem δ : D(δ) ⊂ L2 (Ω; H) → L2 (Ω) takim, że
(i) Dziedzina D(δ) ⊂ L2 (Ω; H) składa się z tych u ∈ L2 (Ω; H) dla których zachodzi
^
|EhDF, uiH | ≤ C(u)kF kL2 (Ω) ,
F ∈D1,2
gdzie stała C(u) zależy od u.
64
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
(ii) Jeśli u ∈ D(δ), to
^
E(F δ(u)) = EhDF, uiH .
F ∈D1,2
Operator δ nazywamy operatorem dywergencji. Jest on operatorem domkniętym (jako
sprzężony) o gęstej dziedzinie D(δ) ⊂ L2 (Ω; H) (twierdzenie 1.34).
Przyjmując w powyższej definicji punkt (ii) F = 1 dostajemy
E(δ(u)) = 0 dla u ∈ D(δ).
Oznaczmy przez SH zbiór gładkich wektorów losowych u postaci
n
X
(1.53)
u=
Fj hj , gdzie Fj ∈ S, hj ∈ H, j = 1, 2, . . . , n, n ≥ 1.
j=1
Fakt. Jeśli u ∈ SH , to u ∈ D(δ) oraz
δ(u) =
(1.54)
n
X
Fj W (hj ) −
j=1
n
X
j=1
hDFj , hj iH =
n
X
Fj W (hj ) −
j=1
n
X
Dhj Fj ,
j=1
gdzie u ma postać (1.53).
Dowód. Ponieważ D(δ) jest przestrzenią liniową oraz δ jest operatorem liniowym, więc
wystarczy udowodnić Fakt dla u = F h, gdzie F ∈ S oraz h ∈ H. Niech G ∈ S. Wtedy
korzystając z lematu 1.20 dostajemy
|EhDG, ui| = |E(hDG, hiF )| = | − E(hDF, hiG) + E(F GW (h))| ≤
|E(hDF, hiG)| + |E(F GW (h))| = |hhDF, hiH , GiL2 (Ω) | + |hF W (h), GiL2 (Ω) | ≤
khDF, hiH kL2 (Ω) kGkL2 (Ω) + kF W (h)kL2 (Ω) kGkL2 (Ω) =
khDF, hiH kL2 (Ω) + kF W (h)kL2 (Ω) kGkL2 (Ω) = C(u)kGkL2 (Ω) .
Mamy zatem
^
|EhDG, ui| ≤ C(u)kGkL2 (Ω) .
G∈S
Z gęstości S ∈ D1,2 mamy
^
|EhDG, ui| ≤ C(u)kGkL2 (Ω) .
G∈D1,2
Stąd u = F h ∈ D(δ). Niech teraz G ∈ D1,2 . Korzystając jeszcze raz z leamtu 1.20
dostajemy
E(Gδ(u)) = EhDG, uiH = E(hDG, hiH F ) =
−E(hDF, hiH G) + E(F GW (h)) = E G F W (h) − hDF, hiH .
Stąd
δ(u) = F W (h) − hDF, hiH .
2
65
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
1.3.1
Operatory Hilberta-Schmidta
Zaczniemy od przypomnienia definicji operatora Hilberta-Schmidta.
Definicja 1.36 Ograniczony operator liniowy T : H → H nazywamy operatorem HilbertaSchmidta jeśli dla pewnej bazy ortonormalnej {ei }i≥1 w H mamy
∞
X
(1.55)
kT ei k2 < ∞.
i=1
Uwaga. Jeśli suma w (1.55) jest skończona dla pewnej bazy ortonormalnej w H, to jest
skończona dla każdej bazy ortonormalnej w H.
Dowód. Niech {fi }i≥1 będzie inną bazą ortonormalną w H. Wtedy
(1.56)
∞
X
kT ei k2 =
i=1
∞ X
∞
∞ X
∞
∞
X
X
X
hT ei , fj i2 =
hei , T ∗ fj i =
kT ∗ fj k2 .
i=1 j=1
j=1 i=1
j=1
Ponieważ {ei }i≥1 i {fj }j≥1 były dowolnymi bazami ortonormalnymi w H, to podstawiając
w (1.56) za bazę {ei }i≥1 bazę {fj }j≥1 otrzymujemy
∞
X
(1.57)
2
kT fj k =
j=1
∞
X
kT ∗ fj k2 .
j=1
Stąd i z (1.56) mamy
∞
X
kT ei k2 =
i=1
∞
X
kT ∗ fj k2 =
j=1
∞
X
kT fj k2 .
j=1
2
Przez L2 (H) oznaczmy przestrzeń liniową operatorów Hilberta-Schmidta z H w H. W
L2 (H) można określić iloczyn skalarny i normę wzorem
hT, Si2 :=
∞
X
hT ei , Sei iH ,
T, s ∈ L2 (H)
i=1
oraz
kT k2 =
∞
X
kT ei k2H
1
2
,
T ∈ L2 (H),
i=1
{ei }i≥1 jest bazą ortonormalną w H. Z tak określonym iloczynem skalarnym L2 (H) jest
przestrzenią Hilberta, ponadto z (1.57) mamy kT k2 = kT ∗ k2 . Zauważmy również, że norma
66
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
operatorowa T ∈ L2 (H) jest słabsza od normy HilbertSchmidta. Rzeczywiście, dla h ∈ H
z nierowności Schwarza i z (1.57) mamy
kT hk2 =
∞
X
hT h, ei i2 =
i=1
∞
X
∞
X
hh, T ∗ ei i2 ≤
i=1
khk2 kT ∗ ei k2 =
i=1
∞
X
khk2 kT ei k2 = khk2 kT k22 .
i=1
Stąd
kT k ≤ kT k2 .
Pokażemy, że przestrzeń L2 (H) możemy utożsamiać z iloczynem tensorowym H ⊗ H (są
one izometryczne). Niech więc T ∈ H ⊗ H i niech {ei }i≥1 będzie bazą ortonormalną w H.
Jak wiadomo
T =
∞
X
gdzie kT k2H⊗H =
aij ei ⊗ ej ,
i,j=1
∞
X
a2ij < ∞.
i,j=1
Określmy Φ : H ⊗ H → L2 (H) wzorem
Φ(T )(h) =
∞
X
aij hej , hi ei ,
h ∈ H.
i,j=1
Zauważmy, że Φ(T ) ∈ L2 (H), bo
kΦ(T )k22
=
∞
X
kΦ(T )(ek )k2H
k=1
∞ X
∞
2
X
=
aij hej , ek i ei =
k=1
i,j=1
∞ X
∞
∞ X
∞
2 X
X
aik ei =
a2ik = kT k2H⊗H .
k=1
i=1
k=1 i=1
Stąd widać, że Φ jest izometrią. Pokażemy, że Φ jest „na” L2 (H). Niech T ∈ L2 (H).
Określmy
∞
X
S :=
(T ei ) ⊗ ei ,
i=1
gdzie {ei }i≥1 baza ortonormalna w H. Jest oczywiste, że S ∈ H ⊗ H, bo
∞
X
2
kSk2H⊗H = (T ei ) ⊗ ei i=1
∞
X
i=1
H⊗H
=
∞
X
k(T ei ) ⊗ ei k2H⊗H =
i=1
kT ei k2 kei k2 = kT k22 < ∞.
| {z }
=1
67
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Ponadto dla h ∈ H mamy
Φ(S)(h) = Φ
∞
X
∞
∞
X
X
(T ei ) ⊗ ei (h) =
hei , hiT ei = T
hh, ei iei = T (h).
i=1
i=1
i=1
Stąd Φ(S) = T . Zatem Φ jest izometrią „na” L2 (H).
2
1.3.2
Własności operatora dywergencji
P
Niech u ∈ SH tj. u = m
j=1 Fj hj , Fj ∈ S, hj ∈ H, j = 1, 2, . . . , m, m ≥ 1. Wtedy
Du =
m
m
X
X
(DFj ) ⊗ hj ∼
hhj , ·i DFj
=
j=1
j=1
oraz z powyższego
(1.58)
Dh u =
m
X
hDFj , hihhj , ·i ∼
=
j=1
m
X
hDFj , hihj =
j=1
m
X
(Dh Fj )hj .
j=1
Określmy normę
kuk21,2;H = kuk2L2 (Ω;H) + kDuk2L2 (Ω;H⊗H) .
(1.59)
Uzupełnienie SH w normie k · k1,2:H daje D1,2 (H) przestrzeń typu Sobolewa funkcjonałów
o wartościach w H od procesu izonormalnego.
P
Fakt. Niech u ∈ SH , u = m
j=1 Fj hj , Fj ∈ S, hj ∈ H, j = 1, 2, . . . , m, m ≥ 1. Wtedy dla
h ∈ H mamy
Dh (δ(u)) = hu, hiH + δ(Dh u).
(1.60)
Dowód. Jak już wiemy (z Faktu po definicji 1.35)
δ(u) =
m
X
m
m
m
X
X
X
Fj W (hj ) −
hDFj , hj iH =
Fj W (hj ) −
Dhj Fj .
j=1
Zatem
Dh (δ(u)) =
j=1
m
X
j=1
j=1
j=1
m
X
Dh Fj W (hj ) + Fj hhj , hi −
Dh (Dhj Fj ) =
j=1
68
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
m
X
Fj hhj , hi +
m
X
j=1
j=1
m
X
m
X
Fj hhj , hi +
j=1
Dh Fj W (hj ) − Dh (Dhj Fj ) =
Dh Fj W (hj ) − Dhj (Dh Fj ) =
j=1
hu, hiH + δ
m
X
(Dh Fj )hj = hu, hiH + δ(Dh u)
j=1
na mocy (1.58).
2
Stwierdzenie 1.37 Zachodzi zawieranie D1,2 (H) ⊂ D(δ). Jeśli u, v ∈ D1,2 (H), to
E(δ(u)δ(v)) = Ehu, viH + E(T r(Du ◦ Dv)),
gdzie T r oznacza ślad operatora.
Uwaga. Jeśli T ∈ L2 (H), to
T r(T ◦ T ) :=
∞
X
hT ◦ T ei , ei i
i=1
jest skończony. Powyższy szereg jest zbieżny bezwzględnie, bo
∞
X
(1.61)
|hT ◦ T ei , ei i| =
i=1
∞
X
∗
|hT ei , T ei i| ≤
i=1
∞
X
kT ei k2
i=1
∞
1 X
2
kT ∗ ei k2
∞
X
kT ei kkT ∗ ei k ≤
i=1
1
2
i=1
=
∞
X
kT ei k2 = kT k22 < ∞.
i=1
Ponadto z definicji T r i tożsamości Parsevala mamy
T r(T ◦ T ) :=
∞
∞
X
X
hT ◦ T ei , ei i =
hT ei , T ∗ ei i =
i=1
∞ X
∞
X
i=1 j=1
hT ei , ej ihT ∗ ei , ej i =
i=1
∞ X
∞
X
hT ei , ej ihT ej , ei i.
i=1 j=1
2
Dowód stwierdzenia 1.37 Niech u, v ∈ SH i {ei }i≥1 ⊂ H baza ortonormalna. Wtedy
∞
X
E(δ(u)δ(v)) = E(hv, D(δ(u))i) = E
hv, ei ihD(δ(u)), ei i =
i=1
69
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
E
∞
X
∞
X
hv, ei iDei (δ(u)) = E
hv, ei i[hu, ei i + δ(Dei u)] =
i=1
i=1
E
∞
X
∞
X
hv, ei ihu, ei i + E
hv, ei iδ(Dei u) =
i=1
i=1
∞
X
Ehv, ui + E
Dhv, ei i, Dei u =
i=1
Ehv, ui + E
∞ X
∞
X
Dhv, ei i, ej hDei u, ej i =
i=1 j=1
Ehv, ui + E
∞ X
∞
X
Dhv, ei i, ej
Dhu, ej i, ei
=
i=1 j=1
Ehv, ui + E
∞ X
∞
X
hDv(ei ), ej ihDu(ej ), ei i = Ehv, uiH + E(T r(Du ◦ Dv)).
i=1 j=1
na mocy Uwagi. Z udowodnionej równości dla u = v oraz (1.61) dostajemy
(1.62)
E(δ(u))2 ≤ Ekuk2 + EkDuk2H⊗H = kuk21,2;H .
Jeśli teraz u ∈ D1,2 (H), to istnieje ciąg {un }n≥1 ⊂ SH taki, że
L2 (Ω;H)
L2 (Ω;H⊗H)
n→∞
n→∞
un −−−−−→ u oraz Dun −−−−−−−−→ Du.
Z (1.62) wynika, że {δ(un )}n≥1 jest ciągiem Cauchy’ego w L2 (Ω), a stąd zbieżny w L2 (Ω)
do δ(u), bo δ jest domknięty. Stąd i z (1.62) dostajemy
E(δ(u))2 ≤ kuk21,2;H < ∞,
u ∈ D1,2 (H)
tzn. u ∈ D(δ). Z powyższych rozważań wynika również, że dla u, v ∈ D1,2 (H) mamy
E(δ(u)δ(v)) = Ehu, viH + E(T r(Du ◦ Dv)).
2
Lemat 1.38 Niech G ∈ L2 (Ω). Załóżmy, że istnieje Y ∈ L2 (Ω) takie, że
E[Gδ(F h)] = E(Y F )
dla
F ∈ D1,2 .
Wtedy G ∈ Dh,2 oraz Dh G = Y , gdzie Dh,2 oznacza dziedzinę operatora Dh w L2 (Ω).
70
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Dowód. Mając na uwadze równość E(δ(F h)) = 0 mamy
E(Y F ) = E[Gδ(F h)] =
∞
X
E[(Jn G)δ(F h)] =
n=1
∞
X
E(hD(Jn G), F hi) =
n=1
∞
X
E[Dh (Jn G)F ].
n=1
W otrzymanej równości podstawmy F := Jn−1 K, K ∈ L2 (Ω), n ≥ 1. Mamy
E(Jn−1 Y Jn−1 K) = E(Y Jn−1 K) =
∞
X
E[Dh (Jk G)Jn−1 K] =
k=1
∞
X
E(hD(Jk G), hiJn−1 K) =
k=1
∞
X
E(hJk−1 (DG), hiJn−1 K) =
k=1
∞
X
E(Jk−1 hDG, hiJn−1 K) = E(Jn−1 hDG, hiJn−1 K) =
k=1
E(hD(Jn G), hiJn−1 K) = E[Dh (Jn G)Jn−1 K].
Stąd
E[(Jn−1 Y − Dh (Jn G))Jn−1 K] = 0,
czyli
E[(Jn−1 Y − Dh (Jn G))K] = 0.
Z dowolności K ∈ L2 (Ω) mamy
Jn−1 Y = Dh (Jn G),
Mamy
m
X
L2 (Ω)
Jn−1 Y −−−−−−→ Y
m→∞
n=1
Dh
m
X
n=0
oraz
n ≥ 1.
m
X
L2 (Ω)
Jn G −−−−−−→ .G
n=0
m→∞
m
m
X
X
L2 (Ω)
Jn G =
Dh (Jn G)) =
Jn−1 Y −−−−−−→ Y.
n=1
n=1
m→∞
Ponieważ Dh jest domkniętym operatorem, więc G ∈ Dh,2 oraz Dh G = Y .
2
Jak się okazuje wzór (1.60) można rozszerzyć dla u ∈ D1,2 (H)
Stwierdzenie 1.39 Niech u ∈ D1,2 (H) oraz Dh u ∈ D(δ), h ∈ H . Wtedy δ(u) ∈ Dh,2 i
Dh (δ(u)) = hu, hi + δ(Dh u).
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
71
Dowód. Niech F ∈ D1,2 . Ze stwierdzenia 1.37 mamy
E(δ(u)δ(F h)) = E[hu, hiF ] + E[T r(Du ◦ D(F h))] =
E[hu, hiF ] + E
∞
X
hDu(ei ), ej ihD(F h)(ej ), ei i =
i,j=1
E[hu, hiF ] + E
∞
X
hDu(ei ), ej ihDF hh, ej i, ei i =
i,j=1
E[hu, hiF ] + E
∞
X
Du(ei ), hh, ej iej hDF, ei i =
i,j=1
∞
X
E[hu, hiF ] + E
hDu(ei ), hihDF, ei i =
i=1
∞
X
E[hu, hiF ] + E
hDh u, ei ihDF, ei i =
i=1
h
E[hu, hiF ] + EhD u, DF i = E[hu, hiF ] + E[δ(Dh u)F ] = E[(hu, hi + δ(Dh u))F ].
Stąd i z lematu 1.38 mamy δ(u) ∈ Dh,2 oraz
Dh (δ(u)) = hu, hi + δ(Dh u).
2
Kolejna własność pozwala wyłączyć zmienna losowa przed dywergencję
Stwierdzenie 1.40 Niech F ∈ D1,2 , u ∈ D(δ) oraz F u ∈ L2 (Ω; H). Wtedy F u ∈ D(δ) i
δ(F u) = F δ(u) − hDF, ui,
o ile prawa strona jest całkowalna z kwadratem.
Dowód. Niech G ∈ S0 . Mamy
E(hDG, F ui) = E(hF DG, ui) = E(hD(F G) − GDF, ui) =
E[hD(F G), ui − hGDF, ui] = E[F Gδ(u) − hDF, uiG] = E[(F δ(u) − hDF, ui)G].
Stąd oraz definicji 1.35(i) mamy F u ∈ D(δ) oraz (S0 ⊂ L2 (Ω) gęsty)
δ(F u) = F δ(u) − hDF, ui,
2
Następna własność jest modyfikacją stwierdzenia 1.40, mianowicie u jest zastąpione stałym
wektorem losowym h. Wtedy wystarczy założyć, że F ∈ Dh,2 .
72
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Stwierdzenie 1.41 Niech h ∈ H i F ∈ Dh,2 . Wtedy F h ∈ D(δ) oraz
δ(F h) = F W (h) − Dh F.
Dowód. Zauważmy, że stały wektor losowy h ∈ D(δ). Istotnie, z lematu 1.19 dla G ∈ D1,2
mamy
|EhDG, hi| = |E[GW (h)]| ≤ kGkL2 (Ω) kW (h)kL2 (Ω) .
Stąd i z definicji 1.35(i) mamy h ∈ D(δ). Niech F ∈ S, to oczywiście F ∈ D1,2 . Z lematu
1.19 mamy
E[F W (h)] = EhDF, hi = [F δ(h)].
Stąd δ(h) = W (h). stosując teraz stwierdzenie 1.40 dostajemy
δ(F h) = F δ(h) − hDF, hi = F W (h) − Dh F.
Ze stwierdzenia 1.37 dla u = v = F h mamy
E{[ δ(F h) ]2 } = khk2 E(F 2 ) + E[T r(D(F h) ◦ D(F h))] =
∞
X
khk2 E(F 2 ) + E
DF hh, ej i, ei DF hh, ei i, ej =
i,j=1
2
2
khk E(F ) + E
∞
X
DF, hh, ei i ei DF, hh, ej i ej =
i,j=1
khk2 E(F 2 ) + E[hDF, hihDF, hi] = khk2 E(F 2 ) + E[(Dh F )2 ].
Niech teraz Fn ∈ S, n ≥ 1 będzie taki, że
L2 (Ω)
Fn −−−−−→ F
n→∞
L2 (Ω)
oraz Dh Fn −−−−−→ Dh F,
n→∞
to z otrzymanego powyżej wzoru wynika, że ciąg {δ(Fn h)}n≥1 jest ciągiem Cauchy’ego w
L2 (Ω), a więc jest w tej przestrzeni zbieżny. Z domkniętości δ dostajemy tezę.
2
Niech H =
oraz A ∈ B. Przez
oznaczmy przestrzeń zmiennych losowych
różniczkowalnych na A tj. DA,2 jest uzupełnieniem S względem normy
Z
kF k2A,2 = E(F 2 ) + E
(Dt F )2 dµ(t) .
L2 (T, B, µ)
DA,2
A
W tym przypadku stwierdzenie 1.40 przybiera postać
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
73
Stwierdzenie 1.42 Niech H = L2 (T, B, µ). Załóżmy ponadto, że A ∈ B, F ∈ DA,2 oraz
u ∈ L2 (Ω; H) jest taki, że uIA ∈ D(δ) i F uIA ∈ L2 (Ω; H). Wtedy F uIA ∈ D(δ) oraz
Z
δ(F uIA ) = F δ(uIA ) −
Dt F ut dµ(t),
A
o ile prawa strona jest całkowalna z kwadratem.
2
Na zakończenie paragrafu użyteczne kryterium na istnienie dywergencji
Stwierdzenie 1.43 Niech {un }n≥1 ⊂ D(δ) oraz un → u w L2 (Ω; H), gdy n → ∞. Załóżmy, że istnieje G ∈ L2 (Ω) taki, że
^
lim E[δ(un )F ] = E(GF ).
F ∈S
n→∞
Wtedy u ∈ D(δ) oraz δ(u) = G.
Dowód. Niech F ∈ S. Wtedy z założenia
Ehun , DF i −−−−−→ Ehu, DF i.
n→∞
Z drugiej strony
Ehun , DF i = E(δ(un )F ) −−−−−→ E(GF ).
n→∞
Zatem
^
Ehu, DF i = E(F G).
F ∈S
Z gęstości S ⊂ D1,2 mamy
^
Ehu, DF i = E(F G).
F ∈D1,2
Stąd u ∈ D(δ) oraz Ehu, DF i = E(δ(u)F ) czyli δ(u) = G.
2
1.3.3
Całka Skorohoda
Niech H = L2 (T, B, µ), gdzie µ jest σ-skończona bezatomową miarą na B. Jak wiadomo
D(δ) ⊂ L2 (Ω; L2 (T )) ∼
= L2 (T × Ω). w tym przpadku operator dywergencji δ nazywamy
całką Skorohoda i piszemy
Z
δ(u) =
ut dWt , u ∈ D(δ).
T
74
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Ponieważ u ∈ D(δ) ⊂ L2 (T × Ω), więc
ut =
(1.63)
∞
X
t ∈ T,
In (fn (·, t)),
n=0
gdzie fn ∈ L2 (T n+1 ) jest funkcją symetryczną wzgledem pierwszych n zmiennych. Ponadto
E
(1.64)
∞
X
n!kfn k2L2 (T n+1 ) .
u2t dµ(t) =
Z
T
n=0
Stwierdzenie 1.44 Niech u ∈ L2 (T × Ω) oraz u ma przedstawienie (1.63). Wtedy u ∈
D(δ) wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
∞
X
∞
X
In+1 (fn ) =
n=0
In+1 (fen )
n=0
jest zbieżny w L2 (Ω), gdzie
n
fen (t1 , . . . , tn , t) =
X
1 fn (t1 , . . . , tn , t) +
f (t1 , . . . , ti−1 , t, ti+1 , . . . , tn ) .
n+1
i=1
Jeśli zachodzi teza powyższego stwierdzenia, to
δ(u) =
∞
X
In+1 (fen )
n=0
Dowód. Załóżmy, że G = In (g), gdzie g jest funkcja symetryczną. Wtedy
Ehu, Dt Gi = E
∞ Z
X
ut Dt G dµ(t) =
E[Im (fm (·, t))nIn−1 (g(·, t))] dµ(t) =
Z
T
m=0 T
Z
E[In−1 (fn−1 (·, t))nIn−1 (g(·, t))] dµ(t) =
T
Z
n(n − 1)!
hfn−1 (·, t)), g(·, t))iL2 (T n−1 ) dµ(t) =
T
n!hfn−1 , giL2 (T n ) = n!hfen−1 , giL2 (T n ) = E[In (fen−1 )In (g)] = E[In (fen−1 )G].
Załóżmy, że u ∈ D(δ). Wtedy z powyższego wzoru i definicji δ dostajemy
E[Jn (δ(u))G] = E[δ(u)G] = Ehu, DGiH = E[In (fen−1 )G].
Ponieważ G ∈ Hn , więc
Jn (δ(u)) = In (fen−1 ).
75
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Zatem szereg
∞
X
In+1 (fen ) =
n=0
∞
X
In (fen−1 ) =
n=1
∞
X
Jn (δ(u))
n=1
jest zbieżny w L2 (Ω), bo δ(u) ∈ L2 (Ω). Ponadto mamy równość
∞
X
In+1 (fen ) =
n=0
∞
X
Jn (δ(u)) = δ(u),
n=1
bo J0 (δ(u)) = E[δ(u)] = 0. W drugą stronę. Załóżmy, że szereg
zbieżny w L2 (Ω) i przez V oznaczmy jego sumę tj.
V =
∞
X
In+1 (fen ) =
n=0
Dla F =
PN
n=0 In (gn ),
n=0 In+1 (fn )
e
jest
In (fen−1 ).
n=1
N ≥ 0 korzystając z poprzednich obliczeń dostajemy
Ehu, Dt F i = E
Z
ut Dt F dµ(t) = E
T
Zatem
∞
X
P∞
N
h X
i
In (fen−1 ) F = E(V F ).
n=1
Z
ut Dt F dµ(t) ≤ kV kL2 (Ω) kF kL2 (Ω)
E
T
PN
2
dla dowolnego F =
n=0 In (gn ), N ≥ 0. Ponieważ takie F są gęste w L (Ω), więc
1,2
powyższa nierówność zachodzi dla F ∈ D . Stąd u ∈ D(δ) oraz δ(u) = V .
2
Z podanego powyżej stwierdzenia wynika, że rodzina D(δ) procesów całkowalnych wg Skorohoda jest równa rodzinie procesów z L2 (T × Ω) dla których
E[δ(u)2 ] =
∞
X
(n + 1)! kfen k2L2 (T n+1 ) < ∞.
n=0
Przestrzeń D1,2 (L2 (T )) będziemy oznaczać przez L1,2 i jest to rodzina procesów u ∈ L2 (T ×
Ω) takich, że dla p.w. t ∈ T u(t) ∈ D1,2 oraz istnieje mierzalna wersja dwuparametrowego
procesu Ds ut taka, że
Z
E
(Ds ut )2 dµ(s)dµ(t) < ∞.
T2
Ze stwierdzenia 1.37 mamy zawieranie L1,2 ⊂ D(δ). Przestrzeń L1,2 jest oczywiście przestrzenią Hilberta z normą (patrz (1.59))
kuk21,2;L2 (T ) = kuk2L2 (Ω×T ) + kDuk2L2 (Ω×T 2 ) .
76
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Zauważmy, że L1,2 ∼
= L2 (T ; D1,2 ). Równanie ze stwierdzenia 1.37 przyjmuje postać
Z
Z
(1.65)
E[δ(u)δ(v)] =
E(ut vt ) dµ(t) +
E(Ds ut Dt vs ) dµ(s)dµ(t), u, v ∈ L1,2 .
T2
T
Niech T = [0, ∞) i µ = λ - miara Lebesgue’a. Jeśli u, v ∈ L1,2 są adaptowane względem
filtracji generowanej przez ruch Browna, to z wniosku 1.33 mamy Ds ut = 0 dla p.w. (s, t)
takich, że s > t, bo Ft = F[0,t] . Stąd drugi składnik w (1.65) jest równy zero. Zatem mamy
Z
E(ut vt ) dµ(t),
E[δ(u)δ(v)] =
T
co przypomina własność izometrii całki Ito.
Niech
n
X
ut =
Fj hj (t),
Fj ∈ S, hj ∈ L2 (T ), j = 1, . . . , n.
j=1
Korzystając z (1.54) mamy
Z
ut dWt = δ(u) =
T
n
X
Fj W (hj ) −
j=1
n
X
Z
hj (t) dWt −
Fj
T
j=1
n
X
hDFj , hj i =
j=1
n Z
X
Dt Fj hj (t) dµ(t).
T
j=1
Zatem całka Skorohoda z gładkiego procesu elementarnego składa się z dwóch składników:
całek Wienera plus drugi związny z operatorem pochodnej. Jeśli hj = IAj , Aj ∈ B0 , Fj
jest FA0j - mierzalna, j = 1, . . . , n, to z wniosku 1.33 mamy
Z
ut dWt =
T
n
X
Z
Fj
hj (t) dWt .
T
j=1
Stwierdzenie 1.39 możemy teraz zapisać w postaci
Stwierdzenie 1.45 Niech u ∈ L1,2 oraz {Dt us , s ∈ T } jest dla p.w. t ∈ T całkowalny
względem całki Skorohoda oraz istnieje wersja procesu
Z
nZ
o
Dt us dWs , t ∈ T , dla której
D(·) us dWs ∈ L2 (Ω × T ).
T
T
Wtedy δ(u) ∈ D1,2 oraz
Z
Dt (δ(u)) = ut +
Dt us dWs .
T
77
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
2
Stwierdzenie 1.46 Niech u ∈ L2 (T × Ω). Jak wiadomo u ma w tym przypadku reprezentację postaci (1.63) spelniajacą warunek (1.64). Wtedy istnieje F ∈ D1,2 taka, że Dt F = ut
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego n ≥ 1 funkcje fn są symetryczne względem wszystkich
swoich zmiennych.
Dowód. Konieczność. Załóżmy, że istnieje F ∈ D1,2 takie, że DF = u. Jeśli F =
P
∞
2
n
n=0 I(fn ), gdzie fn ∈ L (T ) jest symetryczna dla n ≥ 1, to ze stwierdzenia 1.30 mamy
Dt F =
∞
X
In−1 (fn (·, t)).
n=1
Dostateczność. Niech
F :=
(1.66)
∞
X
n=0
1
In+1 (fn ).
n+1
Szereg (1.66) jest zbieżny w L2 (Ω), bo jest ortogonalny oraz
(1.67)
∞
X
n=0
∞
X n!
1
2
E[(I
(f
))
]
=
kfn k2L2 (T n+1 ) < ∞,
n+1
n
(n + 1)2
(n + 1)
n=0
mocy (1.64). Zauważmy, że dla szeregu pochodnych mamy
∞
X
n=0
∞
X
1
Dt [In+1 (fn )] =
fn (·, t)) = ut ,
n+1
n=0
na mocy (1.63). Tak więc szereg (1.66) na mocy domkniętości operatora D jest zbieżny w
D1,2 oraz Dt F = ut .
2
Stwierdzenie 1.47 Każdy proces u ∈ L2 (T × Ω) ma jednoznaczny rozkład ortogonalny
u = DF + u0 ,
gdzie F ∈ D1,2 , EF = 0 oraz hDG, u0 i = 0 dla G ∈ D1,2 . Ponadto u0 jest całkowalne wg
Skorohoda oraz δ(u0 ) = 0.
Dowód. Zauważmy najpierw, że obraz Im(D) := D(D1,2 ) jest zbiorem domkniętym w
L2 (T × Ω). Istotnie, niech un ∈ Im(D), n ≥ 1 oraz un → u w L2 (T × Ω), gdy n → ∞.
Procesy u i un , n ≥ 1 maja reprezentację
ut =
∞
X
k=0
Ik (fk (·, t)),
(un )t =
∞
X
k=0
Ik (fn,k (·, t)),
n ≥ 1,
78
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
gdzie fk , fn,k ∈ L2 (T k ), k ≥ 0, n ≥ 1 są funkcjami symetrycznymi. Mamy
0 ←−−− kun −
n→∞
uk2L2 (T ×Ω)
Z
=E
T
[(un )t − ut ]2 dµ(t) =
∞
X
k!kfn,k − fk k2L2 (T k+1 ) .
k=0
Stąd dla k ≥ 1 mamy fn,k → fk w L2 , gdy n → ∞. Z nierówności Czebyszewa i twierdzenia
Riesza zbieżności powyższa jest µ - p.w. dla pewnego podciągu. Ponieważ un ∈ Im(D) dla
n ≥ 1, więc ze stwierdzenia 1.46 funkcje fn,k są symetryczne w k + 1 zmiennych. Zatem
fk są również symetryczne, więc ze stwierdzenia 1.46 proces u ∈ Im(D), co kończy dowód
domkniętości Im(D). Z twierdzenia o rozkładzie ortogonalnym
L2 (T × Ω) = Im(D) ⊕ Im(D)⊥ .
Stąd
u = DF + u0 ,
gdzie F ∈ D1,2 , u0 ⊥ Im(D) tj. hDG, u0 i = 0 dla G ∈ D1,2 . Stąd i definicji dywergencji
1.35(i) mamy u0 ∈ D(δ) oraz δ(u0 ) = 0 z definicji 1.35(ii).
2
1.3.4
Całka Ito jako szczególny przypadek całki Skorohoda
Jak wiemy L1,2 ⊂ D(δ). Zawieranie to jest istotne, co pokazuje kolejny lemat.
Lemat 1.48 Niech A ∈ B0 , F ∈ L2 (Ω) oraz F jest FA0 - mierzalny. Wtedy proces F IA
jest całkowalny wg Skorohoda oraz
δ(F IA ) = F W (A).
Dowód. Zauważmy, że lemat ten jest szczególnym przypadkiem stwierdzenia 1.41, bo
F ∈ L2 (Ω, FA0 , P ), a stąd F ∈ DIA ,2 oraz DIA F = 0. Rzeczywiście, niech dodatkowo
F ∈ D1,2 . Wtedy ze stwierdzenia 1.41 mamy F IA ∈ D(δ) oraz
Z
δ(F IA ) = F W −
Dt F IA (t) dµ(t) = F W (A)
T
na mocy wniosku 1.33. Niech teraz Fn → F w L2 (Ω, FA0 , P ), gdy n → ∞, gdzie Fn ∈ D1,2 .
Wtedy
L2 (Ω;H)
D(δ) 3 Fn IA −−−−−−−→ F IA
n→∞
oraz
L2 (Ω)
δ(Fn IA ) = Fn W (A) −−−−−→ F W (A),
n→∞
79
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
bo
E (Fn − F )2 W (A)2 = E[(Fn − F )2 ]E[W (A)2 ] −−−−−→ 0.
n→∞
Z domkniętości δ dostajemy F IA ∈ D(δ) oraz δ(F IA ) = F W (A).
2
Stosując powyższy lemat pokażemy, że całka Skorohoda δ jest rozszerzeniem całki Ito
w przypadku ruchu Browna. Niech W = {W i : t ∈ [0, 1], i = 1, 2, . . . , d} będzie d
- wymiarowym ruchem Browna (patrz Przykład 1.17). Oznaczmy przez L2a domkniętą
podprzestrzeń przestrzeni
L2 ([0, 1] × Ω; IRd ) ∼
= L2 (T × Ω),
gdzie T = [0, 1] × {1, 2, . . . , d} generowaną przez adaptowane procesy.
Stwierdzenie 1.49 Zachodzi zawieranie L2a ⊂ D(δ) oraz δ zawężona do L2a jest całką Ito
tj.
d Z 1
X
δ(u) =
uit dWti ,
u ∈ L2a .
i=1
0
Dowód. Załóżmy, że u jest elementarnym adaptowanym procesem postaci
ut =
n
X
Fj I(tj ,tj+1 ] (t),
j=1
gdzie Fj ∈ L2 (Ω, Ftj , P ; IRd ) oraz 0 ≤ t1 < t2 < . . . < tn+1 ≤ 1 (Ft = F[0,t] ) Z lematu 1.48
dostajemy u ∈ D(δ) oraz
δ(u) =
(1.68)
d X
n
X
Fji W i ((tj , tj+1 ])
=
i=1 j=1
d X
n
X
Fji [W i ((0, tj+1 ]) − W i ((0, ti ])] =
i=1 j=1
n
d X
X
Fji [W i (tj+1 )
i
− W (tj )] =
i=1 j=1
d
X
uit dWti .
i=1
Jak wiemy elementarne adaptowane procesy są gęste w L2a w normie L2 (T × Ω). Zatem
dla u ∈ L2a istnieje ciąg {un }n≥1 elementarnych sdaptowanych procesów taki, że
L2 (T ×Ω)
un −−−−−−−→ u.
n→∞
Z (1.68) i własności całki Ito mamy
δ(un ) =
d Z
X
i=1
0
1
uin,t dWti
L2 (Ω)
−−−−−−−→
n→∞
d Z
X
i=1
0
1
uit dWti .
80
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Z domkniętości δ dostajemy u ∈ D(δ) oraz
δ(u) =
d Z
X
1
uit dWti .
0
i=1
2
Niech W = {W (t) : t ∈ [0, 1]} będzie jednowymiarowym ruchem Browna. Z własności całki
Ito wiemy, że dla F ∈ L2 (Ω, F, P ), gdzie F = σ({W (t) : t ∈ [0, 1]}) mamy przedstawienie
Z
1
φ(t) dWt ,
F = E(F ) +
0
gdzie φ ∈ L2a . Jeśli F ∈ D1,2 , to okazuje się, że φ jest warunkową wartością oczekiwaną
od pochodnej F . Otrzymana w tym przypadku reprezentacja F nazywana jest wzorem
Clarka-Ocone.
Stwierdzenie 1.50 Niech F ∈ D1,2 . Wtedy
Z 1
f = E(F ) =
E(Dt F | Ft ) dWt
0
Dowód. Załóżmy, że
∞
X
F =
In (fn ),
n=0
gdzie fn ∈
dostajemy
L2 ([0, 1]n
jest funkcją symetryczną. Stosując stwierdzenie 1.30 oraz lemat 1.31
E(Dt F | Ft ) =
∞
X
nE(In−1 (fn (·, t)) | Ft ) =
n=1
∞
X
⊗(n−1)
nIn−1 (fn (t1 , . . . , tn−1 , t)I[0,t]
(t1 , . . . , tn−1 )) =
n=1
∞
X
nIn−1 (fn (t1 , . . . , tn−1 , t)I{t1 ∨···∨tn−1 ≤t} ).
n=1
Określmy φt = E(Dt F | Ft ). Korzystając ze stwierdzenia 1.44 dostajemy
δ(φ) =
∞
X
⊗(n−1)
In (nfen Ie[0,1] ) =
n=1
∞
X
n=1
In fn (t1 , . . . , tn−1 , t)(I{t1 ∨···∨tn−1 ≤t} + I{t∨t2 ∨···∨tn−1 ≤t1 } + · · · + I{t1 ∨···∨tn−2 ∨t≤tn−1 } )
81
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
=
∞
X
In (fn ) = F − E(F )
n=1
co kończy dowód, bo δ(φ) = δ(E(Dt F | Ft ) jest równa całce Ito ze stwierdzenia 1.49.
2
Pokażemy teraz własność lokalną całki Skorohoda analogiczną do tej jaką posiada całka
Ito.
Stwierdzenie 1.51 Niech u ∈ D1,2 (H) oraz A ∈ F. Załóżmy, że u = 0 na A. Wtedy
δ(u) = 0, P - p.w. na A.
Dowód. Dla dowodu wystarczy pokazać, że
δ(u)I{ku||H =0} = 0,
P − p.w.
Niech F bedzie gładką zmienna losowa postaci
F = f (W (h1 ), . . . , W (hn )),
gdzie f ∈ C0∞ (IRn ). Określmy φ : IR → IR o własnościach: φ ∈ C ∞ (IR), φ ≥ 0, φ(0) = 1
oraz supp(φ) ⊂ [−1, 1]. Niech
x
φε (x) = φ
,
x ∈ IR, ε > 0.
ε
Udowodnimy teraz, że
F φε (kuk2H ) ∈ D1,2 .
(1.69)
W przypadku, gdy u ∈ SH tj.
u=
m
X
Gj hj ,
gdzie Gj ∈ S, h ∈ H, j = 1, . . . , m.
j=1
Bez straty ogólności możemy założyć, że {hj }m
j=1 jest układem ortonormalnym. Wtedy
jest oczywiste, że (1.69) zachodzi. Ponadto
D[F φε (kuk2H )] = φε (kuk2H ) DF + F φ0ε (kuk2H )D(kuk2H ) =
m
X
(1.70)
2
0
2
φε (kukH ) DF + 2F φε (kukH )
Gj DGj = φε (kuk2H ) DF + 2F φ0ε (kuk2H )(Du)u,
j=1
bo
Du =
m
X
j=1
DGj hhj , ·i oraz (Du)u = hu, Dui =
m
X
j=1
Gj DGj ∈ L2 (Ω; H).
82
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
Niech teraz u ∈ D1,2 (H). Wtedy istnieje ciąg {un }n≥1 taki, że
(1.71)
L2 (Ω;H)
L2 (Ω;H⊗H)
n→∞
n→∞
un −−−−−−−→ u oraz Dun −−−−−−−−−→ Du
Stąd
L2 (Ω)
F φε (kun k2H ) −−−−−−→ F φε (kuk2H ),
n→∞
bo z (1.71) mamy un → u według prawdopodobieństwa, gdy n → ∞. Stąd
P
φε (kun k2H ) −−−→ φε (kuk2H ).
n→∞
A ponieważ F i φε są ograniczone, więc z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dostajemy tezę. Dalej ciąg {D[F φε (kun k2H )]}n≥1 jest zbieżny w L2 (Ω; H) do
φε (kuk2H ) DF + 2F φ0ε (kuk2H )(Du)u. Istotnie, z (1.70) mamy
D[F φε (kun k2H )] − φε (kuk2H ) DF + 2F φ0ε (kuk2H )(Du)u, 2
≤
L (Ω;H)
φε (kun k2H ) DF − φε (kuk2H ) DF 2
+
L (Ω;H)
2F φ0ε (kun k2H )(Dun )un − 2F φ0ε (kuk2H )(Du)u 2
L (Ω;H)
Pierwszy składnik na mocy (1.71) zmierza do zera, gdy n → ∞ (F i φ0ε są ograniczone).
Drugi składnik rozbijemy na dwa składniki:
2hF φ0ε (kun k2H )un , Dun i − hF φ0ε (kun k2H )un , DuiL2 (Ω;H) +
2hF φ0ε (kun k2H )un , Dui − hF φ0ε (kuk2H )u, DuiL2 (Ω;H) .
Ponieważ F i φ0ε są ograniczone, supx∈R |φ0ε (x2 )x| < ∞ oraz khu, Duik ≤ kukH kDukH⊗H ,
więc na mocy (1.71) każdy z tych składników zmierza do zera, gdy n → ∞. Z domkniętości
operatora D dostajemy (1.69) oraz
(1.72)
D[F φε (kun k2H )] = φε (kuk2H ) DF + 2F φ0ε (kuk2H )(Du)u.
Korzystając z defincji dywergencji oraz (1.72) mamy
E[δ(u)φε (kuk2H ) F ] = Ehu, D[φε (kuk2H ) F ]iH =
E[φε (kuk2H ) hu, DF iH ] + 2E[F φ0ε (kuk2H )hu, (Du)uiH ].
Twierdzimy, że powyższe wyrażenie zmierza do zera, gdy ε → 0. Rzeczywiście, zauważmy,
że zmienna losowa
Vε = φε (kuk2H ) hu, DF iH + 2F φ0ε (kuk2H )hu, (Du)uiH
M. Beśka, Wykład monograficzny, wykład 4
83
zmierza do zera, gdy ε → 0 oraz
φε (kuk2H ) hu, DF iH ≤ kφk∞ kukH kDF kH
i
F φ0ε (kuk2H )hu, (Du)uiH ≤ kF k∞ sup |xφ0ε (x)| kDukH⊗H .
x∈R
Stosując teraz twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej dostajemy tezę
2
Powyższe stwierdzenie zostalo udowodnione wektorów losowych o wartościach w H należących do przestrzeni D1,2 (H) (zawartej w D(δ), patrz stwierdzenie 1.37). Nie wiadomo,
czy lokalna własność zachodzi dla wszystkich elementów D(δ). Widomo, że zachodzi dla
elementow przestrzeni L2a , bo wtedy δ jest równa całce Ito, dla której zachodzi lokalna
własność. Na zakończenie tego wykładu lokalna własność operatora D w przestrzeni D1,1 .
Stwierdzenie 1.52 Niech F ∈ D1,1 oraz F = 0, P - p.w na pewnym zbiorze A ∈ F.
Wtedy DF = 0, P - p.w. na A.
Dowód. Możemy założyć F ∈ D1,1 ∩ L∞ (Ω) zastępując F przez arctg(F ). Dla dowodu
wystarczy wykazać I{F =0} DF = 0, P - p.w. Niech φ : IR → IR będzie taką funkcja jak w
stwierdzenie 1.51. Określmy
Z
x
ψε (x) =
φε (t) dt.
−∞
Ze stwierdzenia 1.23 mamy ψv e(F ) ∈ D1,1 oraz Dψε (F ) = φε (F ) DF . Niech u ∈ SH będzie
postaci
n
X
(1.73)
u=
Fj hj , gdzie Fj ∈ Sb , hj ∈ H, j = 1, 2, . . . , n.
j=1
Zauważmy, że defincja 1.35(ii) zachodzi dla F ∈ D1,1 ∩ L∞ (Ω) i u postaci (1.73), które
sa zbiorem totalnym w L1 (Ω; H) tzn. jeśli dla v ∈ L1 (Ω; H) mamy Ehu, viH = 0 dla
wszystkich u postaci (1.73), to v ≡ 0. Zatem mamy
(1.74) |E[φε (F )hDF, uiH ]| = |E[hD(ψε (F )), uiH ]| = |E[ψε (F )δ(u)]| ≤ 2εkφk∞ E[|δ(u)|].
Przechodząc z ε → 0 lewa strona zmierza do
E[I{F =0} hDF, uiH ],
bo punktowo φε (F )hDF, uiH → I{F =0} hDF, uiH , gdy ε → 0 oraz
|φε (F )hDF, uiH | ≤ kφε k∞ kuk∞ kDF kH ∈ L1 (Ω).
Prawa strona (1.74) zmierza do zera, zatem
E[hI{F =0} DF, uiH ] = E[I{F =0} hDF, uiH ] = 0,
co implikuje tezę stwierdzenia.
2