Rozwiązania zadań z zestawu 03 (nb

Zestaw 3
In[6]:=
ClearAll"Global`*"
Zadanie 1
Liczymy rotację dla wszystkich sił. Tylko w przypadku, gdy rotacja znika, możemy szukać potencjału.
In[7]:=
F := 2 * x * z * z - 2 * y, -2 * x - 6 * y * z, 2 * x * x * z - 3 * y * y;
In[8]:=
rotF = CurlF, {x, y, z}
Out[8]=
0, 0, 0
In[9]:=
G := x * x * z, -x * y, 5;
In[10]:=
rotG = CurlG, {x, y, z}
Out[10]=
0, x2 , -y
In[11]:=
H := -2 * x - y * z, z - x * z, y - x * y;
In[12]:=
rotH = CurlH, {x, y, z}
Out[12]=
In[13]:=
Out[13]=
In[14]:=
Out[14]=
0, 0, 0
GradVF[x, y, z], {x, y, z}
VF1,0,0 [x, y, z], VF0,1,0 [x, y, z], VF0,0,1 [x, y, z]
DSolveGradVF[x, y, z], {x, y, z} ⩵ F, VF[x, y, z], {x, y, z}
VF[x, y, z] → -3 y2 z - 2 x y -
x2 z2
+ C[1]
2
In[15]:=
(* potencjał dla siły F został znaleziony *)
In[16]:=
GradVG[x, y, z], {x, y, z}
Out[16]=
In[17]:=
Out[17]=
VG1,0,0 [x, y, z], VG0,1,0 [x, y, z], VG0,0,1 [x, y, z]
DSolveGradVG[x, y, z], {x, y, z} ⩵ G, VG[x, y, z], {x, y, z}
DSolveVG1,0,0 [x, y, z], VG0,1,0 [x, y, z], VG0,0,1 [x, y, z] ⩵ x2 z, -x y, 5,
VG[x, y, z], {x, y, z}
In[18]:=
(* zgodnie z oczekiwaniem, dla siły G nie ma rozwiązania *)
In[19]:=
GradVH[x, y, z], {x, y, z}
Out[19]=
VH1,0,0 [x, y, z], VH0,1,0 [x, y, z], VH0,0,1 [x, y, z]
2
rozw_zadania_03.nb
In[20]:=
Out[20]=
DSolveGradVH[x, y, z], {x, y, z} ⩵ H, VH[x, y, z], {x, y, z}
VH[x, y, z] → -x2 + y z - x y z + C[1]
In[21]:=
(* potencjał dla siły H został znaleziony *)
In[22]:=
ClearAll"Global`*"
Zadanie 2
In[23]:=
F[x_, y_, z_] := 2 * x * z * z - 2 * y, -2 * x - 6 * y * z, 2 * x * x * z - 3 * y * y;
In[24]:=
G[x_, y_, z_] := x * x * z, -x * y, 5;
In[25]:=
H[x_, y_, z_] := -2 * x - y * z, z - x * z, y - x * y;
In[26]:=
(* parametryzacja pierwszej drogi *)
In[27]:=
x = -Cost;
In[28]:=
y = Sint;
In[29]:=
z = 0; (* t ∈ 0,π *)
In[30]:=
vecdlpodt = Dx, t, Dy, t, Dz, t
Out[30]=
In[31]:=
Out[31]=
In[32]:=
Sin[t], Cos[t], 0
WF1 = IntegrateF[x, y, z].vecdlpodt, t, 0, Pi
0
WG1 = IntegrateG[x, y, z].vecdlpodt, t, 0, Pi
2
Out[32]=
3
In[33]:=
Out[33]=
WH1 = IntegrateH[x, y, z].vecdlpodt, t, 0, Pi
0
In[34]:=
ClearAllx, y, z, vecdlpodt;
In[35]:=
(* druga droga *)
In[36]:=
x = -1 + t;
In[37]:=
y = 0;
In[38]:=
z = 0; (* t ∈ 0,2 *)
In[39]:=
vecdlpodt = Dx, t, Dy, t, Dz, t
Out[39]=
1, 0, 0
rozw_zadania_03.nb
In[40]:=
Out[40]=
In[41]:=
Out[41]=
In[42]:=
Out[42]=
In[43]:=
WF2 = IntegrateF[x, y, z].vecdlpodt, t, 0, 2
0
WG2 = IntegrateG[x, y, z].vecdlpodt, t, 0, 2
0
WH2 = IntegrateH[x, y, z].vecdlpodt, t, 0, 2
0
ClearAll"Global`*"
Zadanie 3
In[44]:=
(* pierwszy etap; tylko moment pędu względem punktu zawieszenia nici jest zachowany.
l*m*v=l*m+M*v1→ v1=mm+M*v.
Dalej mamy zasadę zachowania energii mechanicznej:
m+M*v1^22=m+M*g*h;
Kąt wychylenia dostaniemy z warunku
l-l*cosa=h.
*)
In[45]:=
v1 = m * v  m + M;
In[46]:=
h = v1^2  2 * g
m2 v2
Out[46]=
In[47]:=
In[48]:=
Out[48]=
In[49]:=
Out[49]=
In[50]:=
2 g m + M2
(* Uwaga: prędkość pocisku v nie może być zbyt duża. Nie
może dojść do pełnego obrotu wahadła i musi zachodzić h < 2*l *)
cosa = Simplifyl - h  l
1-
m2 v2
2 g l m + M2
alfa = ArcCos[cosa]
ArcCos1 -
m2 v2
2 g l m + M2
ClearAll"Global`*"
Zadanie 4

3
4
rozw_zadania_03.nb
In[51]:=
(* przyspieszenie klocka wzdłuż równi wynosi a = g*Sintheta-f*g*Costheta *)
In[52]:=
s = h  Sintheta;
In[53]:=
a = g * Sintheta - f * g * Costheta ;
In[54]:=
sol = Solves == a * t^2  2, t
Out[54]=
In[55]:=
Out[55]=
In[56]:=
2
t → -
h
Csc[theta]
-f g Cos[theta] + g Sin[theta]
, t →
2
h
-f g Cos[theta] + g Sin[theta]
sol2
t →
2
h
Csc[theta]
-f g Cos[theta] + g Sin[theta]

t = t /. sol2
2
h
Csc[theta]
Out[56]=
-f g Cos[theta] + g Sin[theta]
In[57]:=
Out[57]=
In[58]:=
Out[58]=
v = a*t
2
h
-f g Cos[theta] + g Sin[theta]
Csc[theta]
Ekin = m * v * v  2
h m Csc[theta] -f g Cos[theta] + g Sin[theta]
In[59]:=
(* Liczymy to samo innym sposobem: z bilansu energii *)
In[60]:=
Ekin2 = m * g * h - s * f * m * g * Costheta
Out[60]=
g h m - f g h m Cot[theta]
In[61]:=
SimplifyEkin2 ⩵ Ekin
Out[61]=
True
In[62]:=
(* Dalszy ruch klocka z opóźnieniem f*g *)
In[63]:=
a2 = f * g;
In[64]:=
t2 = v  a2;
In[65]:=
s2 = 1  2 * v * t2
Out[65]=
h Csc[theta] -f g Cos[theta] + g Sin[theta]
fg
Csc[theta]

rozw_zadania_03.nb
In[66]:=
(* Czas do momentu zatrzymania się klocka: t + t2 *)
In[67]:=
tc = FullSimplifyt + t2
2
h 1 + f Tan theta 
2
Out[67]=
f
Csc[theta]
g -f Cos[theta] + Sin[theta]
In[68]:=
(* s2 z bilansu energii *)
In[69]:=
s22 = m * v * v  2  f * m * g
Out[69]=
h Csc[theta] -f g Cos[theta] + g Sin[theta]
fg
In[70]:=
Out[70]=
In[71]:=
Simplifys22 == s2
True
ClearAll"Global`*"
Zadanie 5
In[72]:=
In[73]:=
In[74]:=
(* W układzie laboratoryjnym całkowity pęd
przd zderzeniem ma tylko składową poziomą p0=Sqrt2*m1*T *)
p0 = Sqrt2 * m1 * T;
(* Korzystamy z zasady zachowania pędu,
wyrażając pęd p2 przez pęd całkowity ten sam przed i po zderzeniu i pęd p1: p2=
p0-p1, a następnie liczymy kwadrat pędu p2, czyli p22 *)
In[75]:=
Out[75]=
p22 = p0^2 + p1^2 - 2 * p0 * p1 * Costheta1
p12 + 2 m1 T - 2
2 p1
m1 T Cos[theta1]
5
6
rozw_zadania_03.nb
In[76]:=
In[77]:=
Out[77]=
(* Podstawowe równanie na długość pędu p1
wynika z zasady zachowania energii kinetycznej *)
solp1 = SimplifySolvep1^2  2 * m1 + p22  2 * m2 ⩵ T, p1
p1 →
p1 →
1
m1 + m2
1
2 m1
m1 T Cos[theta1] -
m1
T
-m12 + 2 m22 + m12 Cos[2 theta1] ,
2 m1
m1 T Cos[theta1] +
m1
T
-m12 + 2 m22 + m12 Cos[2 theta1] 
m1 + m2
In[78]:=
(* Wyrażenie pod pierwiastkiem musi byc nieujemne *)
In[79]:=
r1 = Reducem1 T -m12 + 2 m22 + m12 Cos2 theta1 ≥ 0 &&
m1 > 0 && m2 > 0 && T > 0 && m1 > m2 && 0 < theta1 < Pi, theta1, Reals
Out[79]=
m1 > 0 && 0 < m2 < m1 && T > 0 &&
0 < theta1 ≤
In[80]:=
1
ArcCos
m12 - 2 m22
m12
2
 ||
1
2
2 π - ArcCos
m12 - 2 m22
m12
 ≤ theta1 < π
r2 = Reducem1 T -m12 + 2 m22 + m12 Cos2 theta1 ≥ 0 &&
m1 > 0 && m2 > 0 && T > 0 && m1 < m2 && 0 < theta1 < Pi, theta1, Reals
Out[80]=
In[81]:=
m1 > 0 && m2 > m1 && T > 0 && 0 < theta1 < π
(* Widać, że możliwe są dwa przypadki. Jeśli m1 < m2,
to nie ma ograniczenia na kąt wylotu cząstki o masie m1 i tylko jedno
z rozwiązań na p1 jest fizycznie dopuszczalne p1 >0. Jeśli m1 > m2,
to mamy ograniczenie na kąt theta1 :
0<theta1≤ 1 ArcCos m1
2
2
-2 m2 2
m1 2
,
ale oba rozwiazania na p1 są dopuszczalne !
W każdym przypadku, mając policzone p1, możemy policzyć długość pędu p2:
p2=Sqrt2*m2*T-p1^22*m1,
a następnie kąt wylotu cząstki o masie m2:
theta2=ArcCosp0-p1*Costheta1p2.
Wektory pędów p1 i p2 muszą mieć składowe prostopadłe
do wiazki przeciwnie skierowane, by pęd był zachowany.
Zbadajmy, co dzieje się dla theta1= 0 i równych mas.
*)
In[82]:=
p11 = p1 /. solp11
1
Out[82]=
2 m1
m1 T Cos[theta1] -
m1
T
-m12 + 2 m22 + m12 Cos[2 theta1]
m1
T
-m12 + 2 m22 + m12 Cos[2 theta1]
m1 + m2
In[83]:=
p12 = p1 /. solp12
1
Out[83]=
2 m1
m1 + m2
In[84]:=
Out[84]=
m1 = m2 = m
m
m1 T Cos[theta1] +
rozw_zadania_03.nb
In[85]:=
Out[85]=
In[86]:=
Out[86]=
In[87]:=
theta1 = 0
0
Simplifyp11, m > 0
0
Simplifyp12, m > 0
2
Out[87]=
In[88]:=
p221 = SimplifySqrt2 * m2 * T - p11^2  2 * m1, m > 0
2
Out[88]=
In[89]:=
Out[89]=
mT
mT
p222 = SimplifySqrt2 * m2 * T - p12^2  2 * m1, m > 0
0
In[90]:=
(* Widać więc, że następuje wymiana energii *)
In[91]:=
(* Przejście do układu środka masy wymaga użycia wzoru na dodawanie prędkości:
vilab = V + vicm,
gdzie wektor prędkości środka masy ma tylko składowa wzdłuż wiązki:
V=p0m1+m2,0.
p1*Costheta1=m1*V+m1 + p1cm*Costheta1'
oraz
p1*Sintheta1=p1cm*sintheta1'.
Można też od początku rozpatrywać zderzenie w układzie
środka masy. Różnica polega na zmianie energii kinetycznej:
Tcm=T-p0^22*m1+m2 i warunku p1=p2.
Długość pędu nie zależy w ukladzie środka masy od kąta theta1'.
W tym układzie nie ma oczywiscie ograniczenia na kąt wylotu cząstki.
*)
In[92]:=
ClearAllm1, m2;
In[93]:=
Tcm = T - p0^2  2 * m1 + m2
Out[93]=
T-
m1 T
m1 + m2
In[94]:=
In[95]:=
Out[95]=
(* W układzie środka masy długości pędów obu cząstek są takie
same p2cm=p1cm i można je policzyć z energii kinetycznej *)
solp1cm = SimplifySolvep1cm^2  2 * m1 + p1cm^2  2 * m2 ⩵ Tcm, p1cm
p1cm → -
2
m2
m1+m2
m1 m2
T
2
, p1cm →
2
m2
m1+m2
m1 m2
T
2

7
8
rozw_zadania_03.nb
In[96]:=
p1cm = Simplifyp1cm /. solp1cm2, m1 > 0 && m2 > 0
2 m2
m1 T
Out[96]=
m1 + m2
In[97]:=
ClearAll"Global`*"
Zadanie 6
In[98]:=
In[98]:=
Out[98]=
(* W układzie nieinercjalnym związanym z wagonem działa dodatkowa
stała pozioma siła m*a skierowana przeciwnie do przyspieszenia wagonu.
Wahadło czuje zmienione "przyspieszenie ziemskie" o wartości gn=
Sqrt[a*a+g*g]. Wystarczy więc skorzystać ze "zwykłego" wzoru na okres
małych drgań wahadła matematycznego i zastąpić w nim g przez gn *)
T = 2 * Pi * Sqrtl  g → 2 * Pi  Sqrtl  gn *)
T = 2 * Pi * Sqrtl  g /. g → Sqrt[a * a + g * g]
2
l
a2
In[99]:=
π
+ g2
ClearAll"Global`*"
Zadanie 7
In[100]:=
(* Zakładamy, że Ziemia jest kulą o promieniu R=6400 km.
Siła grawitacji, Fgraw,
ma wartość G*M*mR^2=m*g0 i jest skierowana do środka kuli. Jeśli
phi jest kątem między płaszczyzną równikową a odcinkiem łączącym
środek kuli i punkt na powierzchni Ziemi, to r= R*Cosphi.
w=2*Pi24*3600 1s
*)
In[101]:=
Out[101]=
vecg0 = g0 * -Cosphi, -Sinphi
-g0 Cos[phi], -g0 Sin[phi]
In[102]:=
r = R * Cosphi;
In[103]:=
w = 2 * Pi  T; (* 1s *)
rozw_zadania_03.nb
In[104]:=
Out[104]=
In[105]:=
Out[105]=
In[106]:=
Out[106]=
aodsr = w * w * r, 0

4 π2 R Cos[phi]
T2
, 0
vecg = vecg0 + aodsr
-g0 Cos[phi] +
4 π2 R Cos[phi]
T2
SimplifyNorm[vecg], g0 > 0 && R > 0 && T > 0 && 0 < phi < Pi  2
Abs[g0 Sin[phi]]2 + g0 -
In[107]:=
R = 6 400 000; (* m *)
In[108]:=
T = 24 * 3600; (* s *)
In[109]:=
phi = 50 Degree;
In[110]:=
g0 = 981  100; (* ms^2 *)
In[111]:=
vecg
Out[111]=
In[112]:=
Out[112]=
In[113]:=
Out[113]=
In[114]:=
Out[114]=
In[115]:=
Out[115]=
In[116]:=
Out[116]=
, -g0 Sin[phi]
-
981
Sin[40 °] +
4 π2 R
T2
5 π2 Sin[40 °]
100
1458
2
,-
Cos[phi]2
981
Cos[40 °]
100
N[vecg] (* składowe kartezjańskie zmienionego przyspieszenia *)
-6.28399, -7.5149
Nvecg0
-6.30575, -7.5149
n1 = NNormvecg0
9.81
n2 = NNorm[vecg]
9.79603
n1  n2
1.00143
In[117]:=
(* składowa radialna zmienionego przyspieszenia *)
In[118]:=
grad = Nvecg.-Cosphi, -Sinphi
Out[118]=
In[119]:=
9.79602
(* teraz mamy także składową styczną przyspieszena *)
9
10
rozw_zadania_03.nb
In[120]:=
Out[120]=
In[121]:=
Out[121]=
In[122]:=
Out[122]=
In[123]:=
gstyczne = Nvecg.-Sinphi, Cosphi
-0.0166661
g0rad = Nvecg0.-Cosphi, -Sinphi
9.81
g0styczne = Nvecg0.-Sinphi, Cosphi
0.
ClearAll"Global`*"
Zadanie 8
In[124]:=
(* Wygodnie jest wprowadzić listy mas i wektorów mołożenia *)
In[125]:=
m = 1, 2, 3;
In[126]:=
r = 1, 2, 0, 3, 2, 0, -4, 1, 0
Out[126]=
In[127]:=
Out[127]=
In[128]:=
Out[128]=
In[129]:=
1, 2, 0, 3, 2, 0, -4, 1, 0
M = Total[m] (* calkowita masa *)
6
rcm = m.r  M (* położenie środka masy, używając operacji na listach *)
-
5
,
6
3
, 0
2
rcm = Summi * ri, i, 1, Length[m]  M
(* położenie środka masy w dłuższym, bardziej tradycyjnym zapisie *)
Out[129]=
In[130]:=
-
5
6
,
3
, 0
2
ClearAll"Global`*"
Zadanie 9
In[131]:=
(* parametryzacja górnej połowy okręgu:
x=R*Cost;
y=R*Sint;
t ∈ 0,π *)
rozw_zadania_03.nb
In[132]:=
x = R * Cost;
y = R * Sint;
In[134]:=
Out[134]=
In[135]:=
r = {x, y}
R Cos[t], R Sin[t]
dlpodt = SqrtDx, t^2 + Dy, t^2
R2 Cos[t]2 + R2 Sin[t]2
Out[135]=
In[136]:=
Out[136]=
dlpodt = SimplifySqrtDx, t^2 + Dy, t^2, R > 0
R
In[137]:=
(* całkowita masa połowy jednorodnej obręczy w kształcie okręgu o promieniu R *)
In[138]:=
M = Integratelambda * dlpodt, t, 0, Pi
Out[138]=
In[139]:=
lambda π R
rcm = Integratelambda * r * dlpodt, t, 0, Pi 
M (* wspolrzedne srodka masy polokregu *)
Out[139]=
0,
2R
π

In[140]:=
(* Teraz zakładamy, że interesuje nas dowolny fragment okręgu, gdy t ∈ 0, α *)
In[141]:=
ClearAllM, rcm;
In[142]:=
Malfa = Integratelambda * dlpodt, t, 0, alfa
Out[142]=
In[143]:=
Out[143]=
alfa lambda R
rcmalfa = Integratelambda * dlpodt * r, t, 0, alfa  Malfa

R Sin[alfa]
,-
R -1 + Cos[alfa]
alfa
alfa

In[144]:=
(* Sprawdzam, czy dla alfa=2*Pi dostanę właściwy wynik *)
In[145]:=
rcmalfa /. alfa → 2 * Pi
Out[145]=
In[146]:=
0, 0
ClearAll"Global`*"
Zadanie 10
11
12
rozw_zadania_03.nb
In[147]:=
(* Jednorodna półkula o promieniu R dana jest wzorami:
x=r*Sinth*Cosph;
y=r*Sinth*Sinph;
z=r*Costh;
r ∈ 0,R,
θ ∈ 0,π2
ϕ ∈ 0,2*π
*)
In[148]:=
x = r * Sinth * Cosph;
y = r * Sinth * Sinph;
z = r * Costh;
In[151]:=
rvec = {x, y, z};
In[152]:=
dVpodrdthdph = r^2 * Sinth;
In[153]:=
M = Integraterho * dVpodrdthdph, r, 0, R, th, 0, Pi  2, ph, 0, 2 * Pi
2
Out[153]=
3
In[154]:=
Out[154]=
In[155]:=
π R3 rho
rcm = Integraterho * dVpodrdthdph * rvec, r, 0, R, th, 0, Pi  2, ph, 0, 2 * Pi  M
0, 0,
3R
8

ClearAll"Global`*"
Zadanie 11
In[156]:=
(* Wystarczy zauważyć,
że środek masy pełnego jednorodnego koła znajduje się w jego środku geometrycznym,
a takie pełne koło składa się z małego koła o promieniu r i koła o promieniu R
z wyciętym otworem kołowym. σ jest stałą gęstością powierzchniową masy. *)
In[157]:=
(* Mr to masa małego koła *)
In[158]:=
Mr = σ * π * r^2
Out[158]=
π r2 σ
rozw_zadania_03.nb
In[159]:=
(* Mw to masa koła o promieniu R z wyciętym otworem kołowym *)
In[160]:=
Mw = σ * π * R^2 - σ * π * r^2
Out[160]=
In[161]:=
In[162]:=
Out[162]=
In[163]:=
Out[163]=
In[164]:=
-π r2 σ + π R2 σ
(* xw położenie środka masy koła z wyciętym otworem kołowym. Z symetrii wynika,
że ten środek masy musi leżeć po przeciwnej stronie niż otwór,
na prostej łączącej środki otworu kołowego i pełnego koła. *)
eq = 0 ⩵ Mr * -d + Mw * xw
0 ⩵ -d π r2 σ + xw -π r2 σ + π R2 σ
Solve[eq, xw]
xw → -
d r2
r2 - R2

ClearAll"Global`*"
Zadanie 12
In[165]:=
(* John R. Taylor,Mechanika klasyczna, tom I, PWN, Warszawa 2012, str. 85,
równanie 3.7 uzupełnione o stałą siłę przyciągania ziemskiego. Zakładam,
że rakieta startuje pionowo w górę.
mt*y''t⩵-m't*vwyl-mt*g;
mt=m0-k*t, m0,k > 0.
*)
In[166]:=
ClearAllm, y, k;
In[167]:=
mt_ := m0 - k * t;
In[168]:=
m't
Out[168]=
In[169]:=
-k
sol1 = DSolvemt * y''t ⩵ -m't * vwyl - mt * g, yt, t
(* całka ogólna, czyli rozwiązanie ogólne *)
Out[169]=
y[t] →
g m0 t
k
-
g t2
2
+ t vwyl + C[1] + t C[2] +
m0 vwyl Log[m0 - k t]
k
- t vwyl Log[m0 - k t]
13
14
rozw_zadania_03.nb
In[170]:=
sol2 = DSolvemt * y''t ⩵ -m't * vwyl - mt * g, y0 ⩵ 0, y'0 ⩵ 0, yt, t
(* całka szczególna przy założeniu,
że początkowa wysokość i prędkość wynoszą zero *)
Out[170]=
y[t] →
1
-g k t2 + 2 k t vwyl - 2 m0 vwyl Log[m0] +
2k
2 k t vwyl Log[m0] + 2 m0 vwyl Log[m0 - k t] - 2 k t vwyl Log[m0 - k t]
In[171]:=
Out[171]=
In[172]:=
sol3 = FullSimplifysol2, g > 0 && m0 > 0 && k > 0 && vwyl > 0 && m0 - k * t >> 0
y[t] →
1
2k
k t -g t + 2 vwyl + 2 m0 - k t vwyl -Log[m0] + Log[m0 - k t]
k t -g t + 2 vwyl + 2 m0 - k t vwyl -Log[m0] + Log[m0 - k t]
yt
1
Out[173]=
2k
In[174]:=
2k
yt_ = yt /. sol31
Out[172]=
In[173]:=
1
k t -g t + 2 vwyl + 2 m0 - k t vwyl -Log[m0] + Log[m0 - k t]
(* Poniżej dane liczbowe jak dla wahadłowca w pierwszych
minutach po starcie: Taylor, zadanie 3.7, strona 99 *)
In[175]:=
g = 9.81; (* ms^2 *)
In[176]:=
vwyl = 3000; (* m/s *)
In[177]:=
m0 = 2 * 10^6; (* kg *)
In[178]:=
k = 10^6  120; (* kgs *)
In[179]:=
yt
1
Out[179]=
50 000
3
25 000
3
6000 - 9.81 t t +
6000 2 000 000 -
25 000 t
-Log[2 000 000] + Log2 000 000 -
3
In[180]:=
3

Plotyt, t, 0, 120, PlotRange → All, AxesLabel → "t [s]", "y [m]"
y [m]
40 000
30 000
Out[180]=
25 000 t
20 000
10 000
20
40
60
80
100
120
t [s]
rozw_zadania_03.nb
In[181]:=
Ploty't, t, 0, 120, PlotRange → All, AxesLabel → "t [s]", "vy [m/s]"
vy [m/s]
800
600
Out[181]=
400
200
20
In[182]:=
40
60
80
100
120
t [s]
Plotmt, t, 0, 120, PlotRange → All, AxesLabel → "t [s]", "m [kg]"
m [kg]
2.0 × 106
1.8 × 106
1.6 × 106
Out[182]=
1.4 × 106
1.2 × 106
20
In[183]:=
40
60
80
100
120
t [s]
ClearAll"Global`*"
Zadanie 13
In[184]:=
(* Siły w układzie spełniają III zasadę dynamiki Newtona *)
15
16
rozw_zadania_03.nb
In[185]:=
sol1 = FullSimplify
DSolvem1 * x1''t ⩵ -k * x1t - x2t, m2 * x2''t ⩵ k * x1t - x2t, x10 ⩵ 0,
x1'0 ⩵ 0, x20 ⩵ d, x2'0 ⩵ v0, x1t, x2t, t, k > 0 && m1 > 0 && m2 > 0
Out[185]=
x1[t] →
x2[t] →
1
m2 d + t v0 - d Cos
k
m1 + m2
1
1
+
m1
d m2 + m2 t v0 + d m1 Cos
1
k
m1 + m2
m1
1
m1
+
1

m2
,
k m1 m2 m1 + m2
+
1
m12 m2 v0 Sin
k
1
m1
Out[186]=
m2 d + t v0 - d Cos
k
m1 + m2
+
m1
k
m1 m2 v0 Sin
1
1
m1
+
1

m2
t
t k m1 m2 m1 + m2
m2
In[187]:=
x2t_ = x2t /. sol11
1
Out[187]=
d m2 + m2 t v0 + d m1 Cos
m1 + m2
k
1
m1
+
1
m2
m12 m2 v0 Sin
k
In[189]:=
xcmt_ = FullSimplifym1 * x1t + m2 * x2t  m1 + m2
m2 d + t v0
m1 + m2
vxcm = Dxcmt, t
m2 v0
Out[190]=
m1 + m2
In[191]:=
+
1

m2
k m1 m2 m1 + m2
(* położenie środka masy *)
In[190]:=
1
m1
t +
In[188]:=
Out[189]=
1

m2
k m1 m2 m1 + m2
x1t_ = x1t /. sol11
1
+
t +
m2
In[186]:=
1
t
t -
m2
1
k
m1 m2 v0 Sin
(* Środek masy rzeczywiście porusza się ruchem jednostajnym,
a jego prędkość można policzyć jako iloraz
całkowitego pędu układu i całkowitej masy układu *)
t
t
