= ∫ 2

1.7 Zagadnienia szczegółowe związane z równaniem ruchu
1.7.1 Moment bezwładności i moment zamachowy
Równanie równowagi sił działających na element masy dm pokazany na rys.1.18 będzie
miało postać:
dϑ
dF = dm
dt
,
a stąd elementarny moment dynamiczny:
dϑ
dω
2
dM d = r * dm
= r * dm
dt
dt
.
ω
dm
r
dv
dF
Rys.1.18 Ilustracja pojęcia momentu bezwładności:
dm- masa elementarna, dF- elementarna siła przyspieszająca masę dm
Sumując elementarne momenty dla całej masy m. rozpatrywanej bryły, otrzymuje się:
dω 2
dω
Md =
r dm = J
∫
dt 0
dt
m
,
skąd wynika, że moment bezwładności J opisany jest wzorem:
m
2
J = ∫ r dm
0
.
(1.27)
Wyznaczenie momentu bezwładności jest szczególnie proste dla regularnych brył
geometrycznych. Na przykład, dla wydrążonego cylindra ( o promieniu wewnętrznym r1 i
zewnętrznym r2 ) o masie właściwej γ [kg/m3] będzie:
dm = γ ⋅ dv = (γ ⋅ 2π ⋅ r ⋅ l )dr ,
stąd
r2
J = ∫ r (γ ⋅ 2π ⋅ r ⋅ l ) dr =
2
r1
a po wstawieniu
m = γ l π (r22 - r12),
γ
2
lπ ( r24 − r14 )
,
otrzymuje się:
m 2
J = (r2 + r12 ) [kg m ].
2
2
Dla bardziej złożonych brył moment bezwładności oblicza się dla ich składników
prostych, sumując je bezpośrednio.
Jeśli przyjąć, że ciało o masie zredukowanej mb wiruje względem osi przechodzącej przez
punkt ciężkości, to moment bezwładności jest równy iloczynowi masy ciała i kwadratu
zastępczego promienia bezwładności masy rb [kg m2 lub Nm s2]:
J = mb ⋅ rb2 .
W katalogach jest podawana niekiedy wartość tzw. momentu zamachowego:
GD = g m (2rb ) = 4 Jg ,
2
2
gdzie: g - przyspieszenie ziemskie [m/s2].
Tak więc:
GD 2
J=
4g
,
(1.28a)
przy czym GD2 jest wyrażone w [Nm2].
Jeśli GD2 jest wyrażone w [kG m2], to przelicznik będzie wynosił:
GD 2
J=
4
,
(1.28b)
Jeśli prędkość jest wyrażona w obrotach na minutę, to moment dynamiczny wyznacza się z
zależności:
dω
GD 2 π dn
GD 2 dn
Md = J
=
=
4 g 30 dt
375 dt ,
dt
(1.29)
GD2 [Nm2],
przy czym: Md [Nm],
n [1/min].
1.7.2 Zastępczy moment bezwładności
Technicznie rozwiązania układów napędowych zawierają zwykle przekładnie mechaniczne
zmieniające prędkość obrotową i zmieniające ruch obrotowy na postępowy (rys.1.19).
Elementy maszyny roboczej, połączone z silnikiem napędowym oraz między sobą za
pomocą przekładni mechanicznych mają różne prędkości kątowe lub liniowe, różne momenty
oporowe. Dlatego zarówno do obliczeń statycznych (np. wyznaczenie mocy znamionowej
silnika) jak i dynamicznych (rozwiązywanie równania ruchu), należy sprowadzić momenty
oporowe i momenty bezwładności poszczególnych elementów układu na wał silnika.
Js
M e,Ω s
i1 ,η1
SE
i2 ,η2
J1
ηb
M 1,Ω 1
J2
M 2,Ω 2
G
Vg
Rys.1.19 Mechanizm z przekładnią i zmianą ruchu obrotowego na postępowy
Przy wyznaczeniu zastępczego momentu bezwładności korzysta się z zasady zachowania
energii, czyli, że całkowita energia kinetyczna układu zastępczego musi być równa sumie
energii kinetycznych poszczególnych elementów układu rzeczywistego.
Dla układu zawierającego elementy o ruchu obrotowym i postępowym (przy oznaczeniach
jak na rys.1.19) będzie:
2
2
2
2
2
g
s
s
2
Ek = Jz
= Js
+ J1 1 + J 2
+ mG
ω
2
ω
2
ω
2
ϑ
ω
2
2
a po przekształceniu:
1
1
J z = J s + J1 2 + J 2
2
i1
(i1i2 )
 ϑg 
+ mG  
 ωs 
2
ωs
i
=
gdzie: 1
ω1
,
ω1
i2 =
ω2
- przełożenia poszczególnych przekładni.
Czyli ogólna zależność będzie miała postać:
gdzie:
n
Jz =
Jj
∑
j =1
ω j 
 +
Jj
 ωs 
2
 ϑk 

mk 
∑
ωs 
k =1
m
2
,
(1.30)
- momenty bezwładności elementów wirujących z prędkością kątową
ωj
(indeks j=1 dotyczy silnika napędowego),
ϑk .
mk
- masy elementów poruszających się ruchem postępowym z prędkością liniową
Uwzględniając zależność (1.28a), zastępczy moment zamachowy układu można wyrazić
wzorem:
2
m
ω


 ϑk 
j
2
2
GDz = ∑ GD j 
 + 4∑ Gk 

ω
ω
 s
 s
k =1
j =1
n
gdzie:
2
, (1.31)
Gk = mk ⋅ g .
1.7.3 Zastępczy moment oporowy
Zastępczy (zredukowany) moment oporowy na wale silnika elektrycznego wyznacza się na
podstawie zasady zachowania energii w stanie ustalonym, tzn.: przyjmuje się, że moc
wydawana przez silnik napędowy równa jest sumie mocy pobieranych przez poszczególne
elementy maszyny roboczej, powiększonej o straty w przekładniach.
η,i
SE
Mo
P
Ω s Me
MR
Ωm
Rys.1.20 Schemat układu napędowego z przekładnią jednostopniową
Rozpatrując to zagadnienie dla prostego układu napędowego, w którym maszyna robocza
wirująca z prędkością ωm jest połączona z silnikiem wirującym z prędkością ωe , za
pośrednictwem jednostopniowej przekładni mechanicznej (rys.1.20), otrzymujemy zależność
na moment oporowy zastępczy w dwóch przypadkach:
1 - dla przypadku pracy silnikowej - przepływ energii od silnika do maszyny roboczej:
Pe = M e Ω sη = M o Ω m
skąd zastępczy moment oporowy sprowadzony do wału silnika będzie wynosił:
M oz
gdzie przełożenie przekładni -
i=
Mo
= Me =
η ⋅i
Ωs
Ωm
,
(1.32)
;
2 - dla przypadku pracy hamulcowej - przepływ energii od maszyny roboczej do silnika:
Pe = M e Ω s = M o Ω mη
,
stąd:
M oz = M e
Mo
=
η
i
.
(1.33)
Jeżeli w układzie zastosowana jest przekładnia k-stopniowa, to wypadkowa sprawność i
wypadkowe przełożenie przekładni są równe odpowiednio:
η = η1 ⋅ η2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ηk
i = i1 ⋅ i2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ i k
(1.34)
W przypadku złożonego układu napędowego, w którym moc silnika jest doprowadzona za
pośrednictwem przekładni do kilku elementów maszyny roboczej oraz dodatkowo ruch
obrotowy silnika jest przekształcony w ruch postępowy elementu roboczego o prędkości
liniowej ν, jak to ma miejsce w urządzeniach transportowych (klatka wyciągu pionowego,
most i wózek suwnicy - rys.1.19),
to przy podnoszeniu (praca silnikowa) moc silnika będzie równa:
ϑg
Ps = M e Ω s = M 1
+ M2
+ mG
η1
η1η 2
η1η 2 η b
Ω1
czyli:
M oz
Ω2
ϑg
1
1
1
= M e = M1
+ M2
+ mG
η1i1
η1η2 i1i2
Ω b η1η2ηb i1i2
(1.35)
gdzie Ω b = Ω 2 - prędkość kątowa bębna na rys.1.19.
Podobnie przy opuszczaniu (praca hamulcowa silnika) będzie:
M oz = M 1
η1
i1
+ M2
η1η 2
i1i 2
+ mG
ϑ g η1η 2 ηb
Ωb
i1i 2
.
(1.36)
,
,