Opływ walca kołowego

Ćwiczenie
2
Opływ walca kołowego
1. Wprowadzenie
Celem ćwiczenia jest eksperymentalne określenie rozkładu ciśnienia na
powierzchni walca kołowego oraz obliczenie współczynnika oporu ciśnieniowego cxc.
Rozpatrywany jest opływ nieskończenie długiego walca, tzn. są pominięte efekty
brzegowe, a obraz opływu jest identyczny w kaŜdym z przekrojów poprzecznych.
Zakładając przepływ czynnika nielepkiego i nieściśliwego, moŜliwe jest uzyskanie
analitycznego rozwiązania, znanego pod nazwą potencjału kołowego zasadniczego [1].
Linie prądu opływu potencjalnego walca, uzyskane z rozwiązania analitycznego
pokazano na rysunku 1, z zaznaczeniem wartości prędkości w czterech
charakterystycznych punktach opływanego ciała:
π
3
α = 0, , π , π
2
2
Rys. 1. Obraz linii prądu dla opływu potencjalnego walca
Ciśnienie na powierzchni okręgu utworzonego przez zerową linię prądu Ψ = 0 jest
opisane zaleŜnością:
pα = p∞ + q∞ 1− 4 sin 2 α
(1)
gdzie:
p∞
- ciśnienie statyczne przepływu niezakłóconego,
ρU ∞2
q∞ =
- ciśnienie dynamiczne przepływu niezakłóconego,
2
U∞
- prędkość przepływu niezakłóconego,
- gęstość medium.
ρ
Związek ten moŜe być przekształcony do postaci opisującej tzw. współczynnik
ciśnienia definiowany jako:
(
)
11
c pα =
∆pα pα − p∞
=
= 1 − 4 sin 2 α
q∞
q∞
(2)
a jego zmienność zilustrowano na rys. 2a.
Odpowiednie wartości
∆pα
(α ) naniesiono wzdłuŜ promienia walca w taki sposób, Ŝe
q∞
dodatnie wartości współczynnika ciśnienia są odkładane od powierzchni do wnętrza
walca, a ujemne na zewnątrz opływanej powierzchni. MoŜna zauwaŜyć, Ŝe rozkład
ciśnienia jest symetryczny względem układu współrzędnych, zawierając dwa punkty
stagnacji PS (połoŜone na osi x) i dwa punkty maksymalnej depresji PD (połoŜone na
osi y).
Rys. 2. Rozkład ciśnień na powierzchni walca opływanego płynem nielepkim (a)
i schemat sił ciśnieniowych, działających na element powierzchni (b)
Na element powierzchni walca dS (rys. 2b) o jednostkowej długości działa
elementarna siła powierzchniowa:
dP = pα dS = pα 1 R dα
(3)
co po zsumowaniu sił działających na cały obwód walca i rozłoŜeniu na kierunki x i y
daje:
2π
Px = − R
∫ pα cos α dα
0
2π
Py = − R
(4)
∫ pα sin α dα
0
JeŜeli w miejsce pα podstawiona zostanie zaleŜność (1), wówczas po scałkowaniu
otrzymamy:
Px = 0
(siła oporu)
Py = 0
(siła nośna)
co oznacza, Ŝe na walec opływany płynem idealnym nie działa Ŝadna siła (paradoks
d’Alamberta). Wynik ten jest w sposób oczywisty sprzeczny z doświadczeniem, co
oznacza, Ŝe lepkość zmieniać musi obraz opływu, przy czym mechanizm tego
oddziaływania jest dwojaki:
- lepkość prowadzi do ukształtowania takiego rozkładu ciśnień na powierzchni
opływanego ciała, który daje róŜną od zera siłę wypadkową (siła oporu
ciśnieniowego Pxc),
12
-
lepkość powoduje wystąpienie na powierzchni opływanego ciała sił stycznych,
dających niezerową wypadkową (opór tarcia Pxt).
Suma elementarnych oporów ciśnienia i tarcia działających na element powierzchni
walca dS przy załoŜeniu, Ŝe kierunek przepływu pokrywa się z osią x (rys. 3), moŜe
być opisana zaleŜnością:
r r
r r
Px = Pxc + Pxt = ∫ p cos ( p, i ) dS + ∫ τ cos (τ , i ) dS
(6)
S
S
gdzie:
r
p - wektor elementarnej siły normalnej,
r
τr - wektor elementarnej siły stycznej,
i - wersor osi x.
Rys. 3. Schemat oddziaływania elementarnej siły normalnej i stycznej na element
powierzchni walca dS
Siła Px, nazywana oporem profilowym [2], wyznaczana jest zazwyczaj przez pomiar
reakcji wywieranej przez płyn na opływane ciało. Pomiar ten jest realizowany za
pomocą wagi aerodynamicznej [3], przy czym jest to metoda kosztowna i wymagająca
specjalistycznego wyposaŜenia. Opór tarcia moŜna obliczyć za pomocą zaleŜności
wyprowadzonych dla przepływu w warstwie przyściennej, przy czym dokładność tego
typu metod jest zadowalająca jedynie w przypadku smukłych ciał opływowych [2].
Obliczanie oporu ciśnieniowego na drodze analitycznej jest bardzo trudne i stąd
najczęściej wyznacza się go eksperymentalnie przez pomiar rozkładu ciśnienia na
powierzchni opływanego ciała.
Analiza wymiarowa omawianego przepływu [3] wykazuje, Ŝe związek opisujący
zmienność siły oporu profilowego moŜe być zapisany w postaci:
ρU ∞2
Px = c x
S
(7)
2
gdzie:
cx - współczynnik oporu,
S - powierzchnia odniesienia.
13
W przypadku opływu walca najczęściej jako powierzchnię odniesienia przyjmuje się
pole będące rzutem powierzchni walca na płaszczyznę prostopadłą do kierunku
przepływu, tzn.:
S = 2 RL .
(8)
gdzie L – długość walca.
Istnienie dwóch składowych oporu zaznacza się często [4] następującym zapisem:
c x = c xc + c xt
(9)
gdzie:
cxc - współczynnik oporu ciśnieniowego,
cxt - współczynnik oporu tarcia.
Współczynnik oporu profilowego dla nieskończenie długiego walca pokazany na
rysunku 4 w funkcji liczby Reynoldsa (przy ograniczeniu rozwaŜań do przepływów
nieściśliwych) ma, jak widać, bardzo złoŜony przebieg. Lepkość powoduje bowiem, Ŝe
obraz rzeczywistego opływu walca róŜni się w sposób istotny od tego, który moŜna
było zaobserwować dla płynu idealnego (rys. 5 i rys. 1). Najistotniejsze róŜnice
występują w tylnej części opływanego ciała, gdzie zauwaŜa się wyraźne odsunięcie
linii prądu od powierzchni opływanego ciała (pkt 0 – rys. 5a). Za walcem tworzy się
wówczas obszar, w którym linie prądu tworzą obraz zupełnie odmienny od tego, który
występuje w przepływie otaczającym (pole zakreskowane na rys. 5), nazywamy często
strefą cienia aerodynamicznego [1]. Zjawisko to jest definiowane oderwaniem
warstwy przyściennej, a jego mechanizm przedstawiono na rys. 5b.
Rys. 4. Zmienność współczynnika oporu profilowego walca w funkcji liczby Reynoldsa
Rys. 5. Obraz opływu walca płynem rzeczywistym (a) i mechanizm oderwania warstwy
przyściennej (b)
Podczas opływu ciała, ograniczonego powierzchnią krzywoliniową, zmienia się
prędkość przepływu wzdłuŜ zewnętrznej granicy warstwy przyściennej, czemu
towarzyszy odpowiednia zmienność gradientu ciśnienia. Wzrostowi prędkości w
14
∂p
< 0 - pkt 1 rys. 5b),
∂s
podczas gdy spadek prędkości wywołuje wystąpienie gradientu dodatniego (pkt 3 i
dalsze – rys. 5b). W punkcie 4 (którego lokalizacja odpowiada punktowi 0 z tys. 5a)
siły lepkości powodują powstanie profilu prędkości, w którym w bezpośredniej
 ∂U 
bliskości ścianki występuje zerowy gradient prędkości 
= 0. Towarzyszy

 ∂n  n = 0
temu zerowa wartość napręŜeń stycznych na ściance τo = 0, a w przekrojach
następnych (pkt 5 i 6 – rys. 5b) dodatni gradient ciśnienia powoduje powstanie
przepływu powrotnego, prowadząc w konsekwencji do odsunięcia linii prądu od
opływanej powierzchni i oderwania warstwy przyściennej. Oderwana masa płynu
zostaje uniesiona w postaci wiru przez przepływ zewnętrzny, po czym następuje
ponowne przylgnięcie linii prądu do opływanej powierzchni i cały przebieg powtarza
się od nowa. Przestrzeń za profilem jest wypełniona wówczas wirami spływającymi
naprzemiennie z obu stron walca, jak pokazano na rys. 6.
Dwa szeregi wirów są przesunięte względem siebie o ½ l, a odległość poszczególnych
szeregów wynosi h/l = 0,281; układ ten jest znany powszechnie jako ścieŜka wirowa
Karmana. Jak wykazały liczne doświadczenia, wyraźny obraz ścieŜki wirowej
zaobserwować moŜna jedynie wówczas, gdy warstwa przyścienna na powierzchni
opływanego walca ma charakter laminarny. Przepływ taki jest nazywany powszechnie
podkrytycznym i jak wynika z rysunku 7, punkt maksymalnej depresji występuje
wówczas przy α ≈ 70o, podczas gdy oderwanie zauwaŜa się dla α ≈ 85o.
kierunku przepływu odpowiada ujemny gradient ciśnienia (
Rys. 6. Obraz linii prądu ścieŜki wirowej Karmana w ruchomym układzie odniesienia
Rys. 7. Rozkłady ciśnień na powierzchni walca przy opływie płynem idealnym (a)
oraz rzeczywistym w przepływie podkrytycznym (b) i nadkrytycznym (c)
15
W przypadku, gdy prędkość płynu opływającego walec jest na tyle duŜa, Ŝe na jego
powierzchni występuje przejście warstwy przyściennej laminarnej w turbulentną
(przed punktem oderwania), wówczas punkt 0 przesuwa się w stronę tylnej
powierzchni walca (α = 110o – rys. 7) i opływ taki jest nazywany nadkrytycznym.
Obszar cienia aerodynamicznego za opływanym ciałem jest wówczas znacznie węŜszy
w porównaniu z przepływem podkrytycznym, czego rezultatem jest wyraźny spadek
współczynnika oporu (rys. 4). Powodem jest intensywna wymiana elementów płynu w
turbulentnej warstwie przyściennej, która wywołując zasilanie w energię obszaru
przylegającego bezpośrednio do powierzchni walca, opóźnia wystąpienie oderwania.
Wartość krytycznej liczby Reynoldsa, przy której występuje przejście laminarnoturbulentne w warstwie przyściennej (rys. 4) zaleŜy od wielu czynników, takich jak
intensywność turbulencji w przepływie zewnętrznym, chropowatość powierzchni
walca itp. MoŜliwe jest przy tym celowe sprowokowanie przejścia laminarnoturbulentnego przez zaburzenie opływu czołowej powierzchni walca (rys. 8), co
Rys. 8. Ilustracja wpływu chropowatości opływanego ciała na proces przejścia laminarnoturbulentnego
pozwala na uzyskanie zmniejszonego współczynnika oporu przy tej samej liczbie
Reynoldsa.
Do niedawna uwaŜano, Ŝe występowanie ścieŜki wirowej Karmana jest
ograniczone jedynie do zakresu podkrytycznego. Najnowsze badania wykazują jednak,
Ŝe takŜe i w przypadku opływu nadkrytycznego zauwaŜa się istnienie zorganizowanej
wirowości w śladzie za walcem [5]. Struktury wirowe są jednak przytłoczone
turbulentnymi fluktuacjami o znacznej amplitudzie, co sprawia, Ŝe ich identyfikacja
wymaga zastosowania specjalnych technik pomiarowych.
2. Stanowisko badawcze
NajwaŜniejsze elementy tunelu aerodynamicznego, w którym jest realizowany
pomiar, pokazano schematycznie na rysunku 9. Wentylator zasysa powietrze z
otoczenia do komory pomiarowej 1, której odpowiednio ukształtowany wlot 2
zapewnia uzyskanie jednorodnego profilu prędkości. W połowie wysokości komory
zamontowany jest walec 3 w uchwycie 4 zapewniającym jego obrót w zakresie od 0o
do 360o. Kątomierz 5 obracający się wraz z walcem umoŜliwia odczyt kąta α
utworzonego między osią otworu pomiarowego 6 a kierunkiem napływającego
16
Rys. 9. Schemat stanowiska badawczego
strumienia. Ciśnienie mierzone na powierzchni walca jest przekazywane do
mikromanometru 7, którego drugi króciec jest połączony z sondą 8, słuŜącą do
pomiaru ciśnienia statycznego p∞ w komorze pomiarowej.
3. Metodyka pomiarów i obliczeń
Podstawową wielkością którą naleŜy określić w trakcie ćwiczenia jest
współczynnik oporu ciśnieniowego, który obliczyć moŜna z rozkładu ciśnienia na
powierzchni opływanego ciała. JeŜeli manometr jest połączony w sposób pokazany na
rys. 9, wówczas długość słupa cieczy manometrycznej jest proporcjonalna do róŜnicy
ciśnień ∆pα (2):
∆pα = pα − p∞ = lm ⋅ g ⋅ ρ m ⋅ i
(10)
gdzie:
lm - długość słupa cieczy manometrycznej, m,
g - przyspieszenie ziemskie, m/s2,
ρm - gęstość cieczy manometrycznej, kg/m3,
i = sinβ - przełoŜenie manometru.
Siłę oporu ciśnieniowego przypadającego na jednostkę długości walca moŜna obliczyć
z zaleŜności:
2π
Pxc jedn =
∫ ∆pα R cos α dα
(11)
0
lub w postaci przybliŜonej po obliczeniu wartości całki metodą prostokątów:
17
n=
Pxc jedn = ∆α R
2π
∆α
∑ ∆pα
n =1
n
cos α n
(12)
gdzie:
∆pαn
– nadciśnienie na powierzchni walca, którego połoŜenie jest określone kątem
αn, N/m2,
∆α - odstęp między punktami pomiarowymi, rad ∆α = 10o→0,1744 rad
Całkowita siła oporu ciśnieniowego wyraŜona moŜe być jako:
Pxc = Pxc jedn L
(13)
gdzie L – długość walca
lub po wykorzystaniu (7), (8) i (9):
Pxc = c xc
ρU ∞2
2
L⋅d
(14)
gdzie: d = 2R – średnica walca, m.
Z porównania wzorów (13) i (14) wyznaczyć moŜna współczynnik oporu
ciśnieniowego:
Pxc jedn
c xc =
(15)
ρU ∞2
d
2
NaleŜy przy tym pamiętać, Ŝe róŜnicowy pomiar ciśnień dla kąta α = 0 (otworek
impulsowy znajduje się w punkcie spiętrzenia) daje ciśnienie dynamiczne przepływu
niezakłóconego:
ρU ∞2
∆pα = 0 = q∞ =
= ρ m ⋅ lmα =0 ⋅ g ⋅ i
(16)
2
skąd wyliczyć moŜna zarówno prędkość napływającego czynnika jak i odpowiadającą
jej wartość liczby Reynoldsa
U d
Re = ∞
(17)
ν
Gęstość i lepkość przepływającego czynnika występujące w powyŜszych
zaleŜnościach moŜna obliczyć według wzorów (7) i (9) podanych w ćwiczeniu 1.
4. Szczegółowy program ćwiczenia
Po uruchomieniu tunelu aerodynamicznego i ustaleniu odpowiedniej prędkości
przepływu naleŜy dokonać pomiaru temperatury czynnika i po obliczeniu gęstości i
lepkości zanotować wyniki w tabeli pomiarowej.
Pomiar ciśnienia na powierzchni walca naleŜy rozpocząć przy α = 0o, tzn. w
połoŜeniu, w którym oś otworu pomiarowego jest równoległa do kierunku przepływu.
Następne odczyty wykonać naleŜy co 10o aŜ do wartości kąta α = 350o, zapisując
odpowiednie długości słupa cieczy manometrycznej w rubryce (4) tabeli pomiarowej.
Po obliczeniu wartości ciśnień i współczynnika ciśnienia w odpowiednich punktach na
powierzchni walca (wzory 10 i 2) i zanotowaniu ich w rubrykach 5 i 6 tabeli naleŜy
∆pα
, zarówno w postaci rozwiniętej (rys. 7), jak i
sporządzić wykres zmienności
q∞
18
naniesionej na powierzchnię walca (rys. 2a). Dla porównania trzeba na te wykresy
nanieść równieŜ odpowiednią zmienność współczynników ciśnienia dla przepływu
nad- i podkrytycznego, odczytane z rys. 7. Po zaznaczeniu punktu oderwania naleŜy
przeanalizować, czy badany przepływ określić moŜna jako pod- czy teŜ nadkrytyczny.
Następnym krokiem jest oszacowanie wartości całki, występującej we wzorze (11),
metodą prostokątów (12). Po obliczeniu iloczynów ∆pαncosαn (dla ułatwienia obliczeń
wartości cosαn podano w rubryce 3) i sumy, naleŜy obliczyć siłę jednostkowego oporu
ciśnieniowego (12) i współczynnik oporu ciśnieniowego (15). Dla obliczonej
uprzednio liczby Reynoldsa (17), naleŜy odczytać wartość współczynnika oporu
profilowego cx (rys. 4) i oszacować odpowiednie udziały oporu ciśnieniowego i oporu
tarcia. Trzeba równieŜ stwierdzić, czy wartość uzyskanego współczynnika oporu
ciśnieniowego potwierdza wcześniejsze wnioski o rodzaju opływu (nad- czy
podkrytycznego).
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1959
Bukowski J., Kijowski P.: Kurs mechaniki płynów, PWN, Warszawa 1980
Duckworth R.A.: Mechanika płynów, WNT, Warszawa 1983
Elsner J.W.: Turbulencja przepływów, PWN, Warszawa 1987
Wysocki J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1967
19
d = 0,04 m;
∆α = 0,1744 rad;
ρ = …........kg/m3;
Tabela pomiarowo-obliczeniowa
ρm = ............ kg/m3;
g = 9,81 m/s2;
tot = ….....…oC;
ν = ……m2/s;
i = sin β = …….
n
αn
cosαn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
1,0000
0,9848
0,9387
0,8660
0,7660
0,6428
0,5000
0,3420
0,1736
0,0000
-0,1736
-0,3420
-0,5000
-0,6428
-0,7660
-0,8660
-0,9397
-0,9848
-1,0000
-0,9848
-0,9387
-0,8660
-0,7660
-0,6428
-0,5000
-0,3420
-0,1736
0,0000
0,1736
0,3420
0,5000
0,6428
0,7660
0,8660
0,9397
0,9848
lm n
m
∆pαn
N/m
∆pαn
q∞
∆pαncosαn
N/m2
20