{n ∈ N−{0} | n−1

Sławomir Rudnicki
Rozwiązania zadań z kolokwium poprawkowego
Zadanie 1.
Ponieważ warunek, że
X ' = {n ∈ N −{0} | n−1 ∈ X }
jest równoważny
X ' = {n1 | n ∈ X } ,
to wystarczy pokazać, że istnieje  taka, że dla każdego n, jeżeli n ∈ spec  , to
n1 ∈ spec .
Niech nową sygnaturą będzie  ' =∪{c} , gdzie c jest pewną nową stałą. Teraz
pokażę konstrukcję zdania  ze zdania  tak, aby warunki zadania były spełnione.
Konstrukcji dokonujemy przez indukcję strukturalną ze względu na stopień
zagnieżdżenia kwantyfikatorów.
W dalszym ciągu podformułą będę nazywał funkcję zdaniową taką, że:
•
jeżeli ≡∀ x 1  x lub ≡∃ x 1  x , to 1  x jest podformułą zdania 
•
jeżeli 1  x jest podformułą pewnej formuły lub zdania, to jeżeli
1≡∀ x 2  x lub 1≡∃ x  2  x  , to  2 jest podformułą formuły 1  x
•
jeżeli 1≡2   3, 1≡2∨ 3 lub 1≡2∧3, , to formuły 2 i 3 są
podformułami formuły 1
•
jeżeli 1 ≡ ¬2 , to  2 jest podformułą formuły 1
Konstrukcji dokonujemy w następujący sposób:
•
jeżeli ≡∀ x 1  x  , to podformułę 1  x zastępujemy formułą
 x≠c 1  x 
•
jeżeli ≡∃ x  1  x , to podformułę 1  x zastępujemy formułą
 x≠c∧1  x
•
•
•
jeżeli  ≡  1   2,  ≡  1∨ 2 lub  ≡  1 ∧  2 , to przechodzimy do
rozpatrzenia formuł 1 i  2 .
jeżeli  ≡ ¬ 1 , to przechodzimy do rozpatrzenia formuły 1
w dalszym ciągu konstrukcji analogicznie, rekurencyjnie zmieniamy
podformuły funkcji zdaniowej 1  x , jeżeli ich ranga kwantyfikatorowa jest
niezerowa, dopóki zmianie nie poddamy wszystkich wystąpień
kwantyfikatorów w formule.
Algorytm konstrukcji w funkcyjnym pseudokodzie:
let construct  =
let rec transform  =
if QR  = 0 then  else
match  with
| ∀ x 1 -> ∀ x  x ≠ c  transform 1 
| ∃ x 1 -> ∃ x  x ≠ c ∧ transform 1
| 1  2 -> transform  1   transform 2
| 1 ∧ 2 -> transform  1  ∧ transform 2 
| 1 ∨ 2 -> transform  1  ∨ transform 2 
| ¬ 1 -> ¬ transform 1
in
transform 
Uzyskane na skutek powyższej konstrukcji zdanie  ma tę własność, że jeżeli 
miało model mocy n∈N , to  ma model mocy n1 , ze względu na dodaną stałą.
Zatem
spec = {k1 ∈ N | k ∈ spec}
Więc jeżeli spec = X , to spec = X ' .
Zadanie 2.
Zdefiniujmy funkcję zdaniową:
 x  ≡ ∀ y f  x , y = x .
Jest ona prawdziwa dla x ∈ {0, 1} , ponieważ dla dowolnych y ∈ N :
2y
•
0 =0
2y
•
1 =1
2y
2 y
•
k = k  ≠k , o ile k ≥2 .
Wystarczy znaleźć funkcję zdaniową, która rozróżnia liczby 0 i 1.
Weźmy formułę
 x ≡ ∃ y ∃ z ¬ y ∧ ¬ z  ∧ f  y , x≠ f  z , x  .
Rzeczywiście rozróżnia ona liczby 0 i 1, ponieważ
•
dla x = 1 : znajdziemy takie liczby y , z ≥ 2 , aby y 2≠z 2 (np. 2 i 3)
•
dla x = 0 : o ile y , z ≥ 2 , to y 0 = 1 = z 0 ,
więc 1 jest w A spełnione, zaś  0 - nie.
Poszukiwaną formułą  x spełnioną w A wtedy i tylko wtedy, kiedy x = 1 , jest
 x ≡  x  ∧  x
Zadanie 3.
Jeżeli rozpatrujemy zdania nad sygnaturą  = {≤ , 0, 1} w strukturze ℚ , to istnieją
grupy elementów tej struktury, które są w tej strukturze izomorficzne, tj. spełniają te
same funkcje zdaniowe.
Przez Q będę oznaczał zbiór {q ∈ Q | ℚ |=  q} . Zauważmy, że:
1) Jeżeli a , b  0 , to istnieje izomorfizm przekształcający a w b, postaci
{
b
x
f x = a
x
x0
.
wpp.
Zatem jeżeli pewien element a  0 należy do Q , to wszystkie elementy
mniejsze od 0 również należą do Q .
2) Jeżeli a , b  0 ∧ a , b  1 to istnieje izomorfizm przekształcający a w b,
postaci
f x =
{
x
log a b
x
x ∈  0, 1 .
wpp.
Jeżeli więc a ∈ 0, 1 ∧ a ∈ Q , to 0, 1 ⊆ Q
3) Analogicznie jeżeli a , b  1, to istnieje izomorfizm przekształcający a w b,
więc jeżeli 1  a ∈ Q to {q ∈ Q | q  1} ⊆ Q , izomorfizmem jest
{
b−1
 x−1  1 x  1
f  x  = a−1
x
wpp.
Aby udowodnić, że dla dowolnego  x , Q jest 0, 1, 2 lub ℵ0 , pokażę
przykłady formuł, dla których moc zbioru elementów struktury spełniających je jest
właśnie taka oraz udowodnię, że nie jest możliwe, aby zbiór ten był innej mocy.
1. Przykłady formuł:
1. Q = 0 :  x ≡ ∀ y y  x
2. Q = 1 :  x ≡ x = 1
3. Q = 2 :  x ≡ x = 1 ∨ x = 0
4. Q = ℵ0 :  x ≡ ∃ y y  x
2. Dowód, że nie istnieje  x takie, że Q jest innej mocy:
1. Nie jest możliwe, aby Q    ℵ0 , ponieważ w sposób oczywisty
Q ⊆ Q , a Q = ℵ0 .
2. Załóżmy, że Q  = n ∈ N −{0, 1, 2} . Wtedy oczywiście istnieje element
a ∈ Q taki, że a nie jest równe żadnej ze stałych, ponieważ w
sygnaturze są jedynie dwie stałe. Wobec tego, na mocy faktu istnienia
wskazanych wcześniej izomorfizmów, do Q należą również wszystkie
elementy zbioru „stowarzyszonego” z a przez jeden z tych izomorfizmów:
•
Jeżeli a  0, to {q ∈ Q | q  0} ⊆ Q 
•
Jeżeli a  1 ∧ a  0, to {q ∈ Q | q  0 ∧ q  1} ⊆ Q 
•
Jeżeli a  1, to {q ∈ Q | q  1} ⊆ Q .
Ponieważ moce zbiorów
{q ∈ Q | q  0}, {q ∈ Q | q  0 ∧ q  1} , {q ∈ Q | q  1}
są ℵ0 , to z powyższych zawierań wynika, że Q  ≥ ℵ0 , co prowadzi do
sprzeczności, zatem nie jest możliwe, aby Q był skończonej mocy
różnej od 0, 1, 2 .