Układy równań różniczkowych zwyczajnych - E-SGH

Transkrypt

Wprowadzenie
Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
Układy równań różniczkowych zwyczajnych
Jacek Kłopotowski
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
27 kwietnia 2016
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układ równań różniczkowych
Definicja
Układem równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego
rzędu rozwikłanym względem y10 , y20 , ..., yn0 nazywamy układ
równań postaci
y10 = f1 (x, y1 , y2 , ..., yn ),
y20 = f2 (x, y1 , y2 , ..., yn ),
..
.
yn0 = fn (x, y1 , y2 , ..., yn ),
gdzie f1 , f2 , ..., fn są funkcjami n + 1 zmiennych.
Jacek Kłopotowski
(1)
Wprowadzenie
Układ równań różniczkowych cd
Definicja
Rozwiązaniem układu nazywamy n funkcji (jednej zmiennej)
y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),..., yn = yn (x) spełniających ten układ dla
x ∈ (a, b). Zagadnieniem Cauchy’ego nazywamy problem
wyznaczenia takiego rozwiązania układu, które spełnia warunek
(0)
(0)
(0)
początkowy y1 = y1 (x0 ), y2 = y2 (x0 ),..., yn = yn (x0 ), gdzie
x0 ∈ (a, b).
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Zapis wektorowy
Wprowadzając oznaczenia






(0)
y1
y1 (x)
y10 (x)


 0



y (0) 
y2 (x) (0)
y2 (x)
 2  0



y(x) =  .  , y = y(x0 ) =  .  , y (x) =  . 
,
 .. 
 .. 
 .. 

yn (x)

(0)
yn

yn0 (x)

f1 (x, y)


f2 (x, y)

F (x, y) =  . 
,
.. 


fn (x, y)
gdzie fj (x, y) = fj (x, y1 , y2 , ..., yn ) dla j = 1, 2, ..., n, układ równań
możemy zapisać w postaci wektorowej y0 = F (x, y) lub
dy
= F (x, y), gdzie F : X → Rn , X ⊂ R × Rn , a warunek
dx
początkowy – w postaci wektorowej y(0) = y(x0 ).
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Postać całkowa
Podobnie, jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych
pierwszego rzędu, równanie y0 = F (x, y(x)) z warunkiem
początkowym y(0) = y(x0 ) możemy przekształcić do postaci
ˆ x
ˆ x
0
y (t)dt =
F (t, y(t))dt ⇔ y(x) − y(x0 ) =
x0
x0
ˆ x
ˆ x
(0)
=
F (t, y(t))dt ⇔ y(x) = y +
F (t, y(t))dt,
x0
x0
´ x
ˆ
gdzie
x

f 1 (t, y(t))dt

x0 f 2 (t, y(t))dt 
.
..


.
x
´ x0

F (t, y (t))dt = 


x0
´x
x0
f n (t, y(t))dt
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Postać całkowa cd
Funkcja y = y(x) jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego wtedy
i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania
ˆ x
(0)
F (t, y(t))dt
T (y)(x) = y +
x0
określonego na przestrzeni funkcji ciągłych jednej zmiennej
przyjmujących wartości w Rn .
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Jednoznaczność rozwiązania
Twierdzenie
Jeśli odwzorowanie F : ha, bi × V → Rn , gdzie V jest otwartym
podzbiorem przestrzeni Rn , jest ciągłe i spełnia warunek
_
^
F (x, y(1) ) − F (x, y(2) ) ¬ L y(1) − y(2) ^
L>0 x∈ha,bi y(1) ,y(2) ∈V
(warunek Lipschitza), to dla każdego x0 ∈ (a, b), y(0) ∈ V :
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Twierdzenie o jednoznaczności cd
a) istnieje taki przedział hx0 − ε, x0 + εi ⊂ (a, b), że odwzorowanie
T : C (hx0 − ε, x0 + εi , Rn ) → C (hx0 − ε, x0 + εi , Rn )
określone wzorem
ˆ
x
T (y)(x) = y(0) +
F (t, y(t))dt
x0
jest odwzorowaniem zwężającym.
b) układ równań różniczkowych y0 (x) = F (x, y) z warunkiem
początkowym y(x0 ) = y(0) ma dokładnie jedno rozwiązanie
określone w pewnym otoczeniu punktu x0 ∈ (a, b).
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Jednoznaczność rozwiązania cd
Wniosek
Niech F będzie odwzorowaniem różniczkowalnym o składowych
∂f
f1 , f2 , ..., fn . Jeśli pochodne cząstkowe ∂yji składowych
odwzorowania F są ciągłe w pewnym otoczeniu punktu
(x0 , y(0) ) ∈ Rn+1 , to zagadnienie Cauchy’ego ma dokładnie jedno
rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układy niejednorodne
Układ o stałych współczynnikach
Zajmiemy się szczególnym przypadkiem układu, gdy odwzorowanie
F jest określone wzorem F (x, y) = Ay + q(x) (F jest liniowe
względem y), gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n, zaś
q : (a, b) → Rn jest funkcją jednej zmiennej o wartościach
h
wektorowych, tzn. q = q1 q2 · · · qn
iT
, gdzie qi : (a, b) → R.
Definicja
Układ y0 = Ay + q(x) nazywamy układem równań
różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach . Jeśli
q(x) ≡ 0, to układ nazywamy jednorodnym, w przeciwnym
przypadku układ nazywamy niejednorodnym.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ o stałych współczynnikach
Zajmiemy się szczególnym przypadkiem układu, gdy odwzorowanie
F jest określone wzorem F (x, y) = Ay + q(x) (F jest liniowe
względem y), gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n, zaś
q : (a, b) → Rn jest funkcją jednej zmiennej o wartościach
h
wektorowych, tzn. q = q1 q2 · · · qn
iT
, gdzie qi : (a, b) → R.
Definicja
Układ y0 = Ay + q(x) nazywamy układem równań
różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach . Jeśli
q(x) ≡ 0, to układ nazywamy jednorodnym, w przeciwnym
przypadku układ nazywamy niejednorodnym.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ o stałych współczynnikach cd
Twierdzenie
Odwzorowanie F : ha, bi × Rn → Rn określone wzorem
F (x, y) = Ay + q(x) spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = kAk.
Z twierdzeń 3 i 6 wynika, że układ równań F (x, y) = Ay + q(x),
gdzie q : ha, bi → Rn , ma dla każdego punktu x0 ∈ (a, b) i y0 ∈ Rn
dokładnie jedno rozwiązanie y = y(x) określone w pewnym
otoczeniu punktu x0 i spełniające warunek y(x0 ) = y(0) .
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ jednorodny
Twierdzenie
Jednorodny układ równań różniczkowych liniowych y0 = Ay z
warunkiem początkowym y(x0 ) = y(0) ma dokładnie jedno
rozwiązanie
y(x) = e (x−x0 )A y(0)
(2)
określone dla wszystkich x ∈ R.
Po prawej stronie wzoru (2) występuje szereg nieskończony, można
go zamienić na szereg skończony, korzystając z wartości własnych
macierzy A.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ jednorodny
Twierdzenie
Jednorodny układ równań różniczkowych liniowych y0 = Ay z
warunkiem początkowym y(x0 ) = y(0) ma dokładnie jedno
rozwiązanie
y(x) = e (x−x0 )A y(0)
(2)
określone dla wszystkich x ∈ R.
Po prawej stronie wzoru (2) występuje szereg nieskończony, można
go zamienić na szereg skończony, korzystając z wartości własnych
macierzy A.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ jednorodny cd
Twierdzenie
Niech λ1 , λ2 , . . . , λk będą wartościami własnymi macierzy
kwadratowej A stopnia n o krotnościach algebraicznych
odpowiednio równych n1 , n2 , . . . , nk , gdzie n1 + n2 + · · · + nk = n,
Vr = {z ∈ Zn : (A − λr I)nr z = 0}
dla r = 1, 2, . . . , k. Wówczas równanie różniczkowe y0 = Ay z
warunkiem początkowym y(x0 ) = y(0) ma rozwiązanie postaci
y(x) =
k
X
r =1
e λr (x−x0 )
nX
r −1
m=0
(x − x0 )m
(A − λr I)m y(r ) ,
m!
(3)
gdzie y(r ) ∈ Vr dla r = 1, 2, . . . , k, y(0) = y(1) + y(2) + · · · + y(k) .
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Wniosek
Rozwiązanie ogólne układu y0 = Ay jest postaci
y(x) =
k
X
r =1
e λr x
nX
r −1
m=0
xm
(A − λr I)m c(r ) ,
m!
gdzie c(r ) ∈ Vr .
Jacek Kłopotowski
(4)
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Równanie det (A − λI) = 0 nazywamy równaniem
charakterystycznym równania różniczkowego y0 = Ay.
Podprzestrzenie liniowe Vr = {z ∈ Zn : (A − λr I)nr z = 0}
nazywamy podprzestrzeniami własnymi macierzy A.
Jeśli wszystkie wartości własne są liczbami rzeczywistymi, to
możemy przyjąć
Vr = {z ∈ Rn : (A − λr I)nr z = 0} ,
czyli Vr jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn .
Rozkład y(0) = y(1) + y(2) + · · · + y(k) , gdzie y(r ) ∈ Vr dla
r = 1, 2, . . . , k, jest wyznaczony jednoznacznie.
Nawet jeśli macierz A ma nierzeczywiste wartości własne, to
rozwiązanie układu jest rzeczywiste.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
możemy przyjąć
Vr = {z ∈ Rn : (A − λr I)nr z = 0} ,
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
możemy przyjąć
Vr = {z ∈ Rn : (A − λr I)nr z = 0} ,
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
możemy przyjąć
Vr = {z ∈ Rn : (A − λr I)nr z = 0} ,
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
możemy przyjąć
Vr = {z ∈ Rn : (A − λr I)nr z = 0} ,
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ jednorodny przykład
Przykład
Wyznaczymy rozwiązanie układu równań

0

 y1 = 2y1 + y2 − y3 ,
0
y2 = y1 + y2 + y3 ,

 y 0 = y + 3y ,
2
3
3
z warunkiem początkowym y1 (0) = −2, y2 (0) = −4, y3 (0) = 3.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Rozwiązując układ równań będziemy na ogół wyznaczali
rozwiązanie ogólne zależne od układu nieznanych stałych, a
następnie wstawiając warunki początkowe otrzymamy rozwiązanie
szczególne.
Rozwiązanie ogólne układu możemy zapisać w postaci
y(x) =
nj
k X
X
Cq(r ) yq(r ) (x) =
r =1 q=1
(r )
n
X
Cj yj (x),
j=1
(r )
gdzie Cj = Cq , yj (x) = yq (x) dla
j = nr −1 + q, q = 1, 2, . . . , nr ,n0 = 0.
Jacek Kłopotowski
(5)
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Rozwiązując układ równań będziemy na ogół wyznaczali
rozwiązanie ogólne zależne od układu nieznanych stałych, a
następnie wstawiając warunki początkowe otrzymamy rozwiązanie
szczególne.
Rozwiązanie ogólne układu możemy zapisać w postaci
y(x) =
nj
k X
X
Cq(r ) yq(r ) (x) =
r =1 q=1
(r )
n
X
Cj yj (x),
j=1
(r )
gdzie Cj = Cq , yj (x) = yq (x) dla
j = nr −1 + q, q = 1, 2, . . . , nr ,n0 = 0.
Jacek Kłopotowski
(5)
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Szczególnie prostą postać ma rozwiązanie ogólne, gdy wszystkie
wartości własne mają krotność algebraiczną równą 1. Wówczas
y(x) =
n
X
Cj e λj x vj ,
j=1
gdzie vj jest wektorem własnym odpowiadającym wartości
własnej λj .
Jacek Kłopotowski
(6)
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Przykład
Przykład
(
dy1
dt
dy 2
dt
= y 1 + y2 ,
= y1 + y2 ,
spełniające warunek początkowy y1 (0) = 1, y2 (0) = 2.
Przykład

0

y1 = 2y 1 − 3y2 + 3y3 ,
0
y2 = y1 + 3y2 − 2y3 ,


y30 = 3y1 + y3 ,
spełniające warunek początkowy y1 (0) = 1, y2 (0) = 2,
Jacek Kłopotowski
y (0) = −1.
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Przykład
Przykład
(
dy1
dt
dy 2
dt
= y 1 + y2 ,
= y1 + y2 ,
spełniające warunek początkowy y1 (0) = 1, y2 (0) = 2.
Przykład

0

y1 = 2y 1 − 3y2 + 3y3 ,
0
y2 = y1 + 3y2 − 2y3 ,


y30 = 3y1 + y3 ,
spełniające warunek początkowy y1 (0) = 1, y2 (0) = 2,
Jacek Kłopotowski
y (0) = −1.
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ jednorodny 2 × 2
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia 2. Jeśli równanie
charakterystyczne det(A − λI) = 0 ma dwa różne pierwiastki
rzeczywiste λ1 , λ2 o odpowiadających im wektorach własnych
odpowiednio v1 , v2 , to równanie y0 = Ay ma rozwiązanie ogólne
postaci
#
"
y 1 (x)
y (x) =
= C1 e λ1 x v1 + C2 e λ2 x v2 .
y2 (x)
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ jednorodny 2 × 2 cd
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia 2. Załóżmy, że
równanie charakterystyczne det(A − λI) = 0 ma jeden pierwiastek
podwójny λ, wówczas:
a) jeśli krotność geometryczna wartości własnej λ jest równa jeden,
to równanie y0 = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci
"
#
y 1 (x)
y (x) =
= C1 e λx (e1 + x (A − λI) e1 ) +
y2 (x)
+ C2 e λx (e2 + x (A − λI) e2 ) ,
h
gdzie e1 = 1 0
iT
h
, e2 = 0 1
iT
Jacek Kłopotowski
.
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Twierdzenie cd
b) jeśli krotność geometryczna wartości własnej λ jest równa dwaa ,
to równanie y0 = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci
"
#
"
#
y 1 (x)
C1 e λx
y (x) =
.
= C1 e λx e1 + C2 e λx e2 =
y2 (x)
C2 e λx
a
Dla macierzy A stopnia drugiego jest to równoważne warunkowi A = λI.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia 2. Jeśli równanie
charakterystyczne det(A − λI) = 0 ma dwa pierwiastki zespolone
sprzężone λ = α + iβ, λ̄ = α − iβ, to równanie y0 = Ay ma
rozwiązanie ogólne postacia
"
#
y (x)
y (x) = 1
= Re e λx C v ,
y2 (x)
gdzie C ∈ Z, a v ∈ Z2 jest wektorem własnym odpowiadającym
wartości własnej λ.
a
Re(v) oznacza część rzeczywistą wektora v ∈ Z 2 .
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Przykład
Przykład
Wyznaczymy rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych
(
y10 = −y2 ,
y20 = y1
i rozwiązanie szczególne spełniające warunek początkowy
y1 (0) = 1, y2 (0) = −1.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ niejednorodny
Twierdzenie
Rozwiązanie ogólne układu y0 = Ay + q(x) jest sumą rozwiązania
ogólnego układu jednorodnego y0 = Ay i rozwiązania szczególnego
układu niejednorodnego y0 = Ay + q(x).
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ niejednorodny cd
Twierdzenie
Jeśli funkcje y1 (x), y2 (x),...,yn (x) są rozwiązaniami układu
y0 = Ay, gdzie A jest macierzą stopnia n, to:
a) dla dowolnych stałych C 1 , C2 , ..., Cn funkcja
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) jest rozwiązaniem
układu y0 = Ay.
Ponadto, jeśli dla pewnego x0 ∈ R wektory y1 (x0 ), y2 (x0 ),...,yn (x0 )
są liniowo niezależne, to:
b) dla każdego x ∈ R wektory y1 (x), y2 (x),...,yn (x) są liniowo
niezależne,
c) funkcja y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + · · · + Cn yn (x) jest
rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Definicja
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Układ funkcji
y1 (x), y2 (x),...,yn (x) będących liniowo niezależnymi rozwiązaniami
równania y0 = Ay nazywamy fundamentalnym układem
rozwiązań.
Twierdzenie
Każde równanie y0 = Ay ma fundamentalny układ rozwiązań.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Definicja
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Układ funkcji
y1 (x), y2 (x),...,yn (x) będących liniowo niezależnymi rozwiązaniami
równania y0 = Ay nazywamy fundamentalnym układem
rozwiązań.
Twierdzenie
Każde równanie y0 = Ay ma fundamentalny układ rozwiązań.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ niejednorodny – metoda uzmienniania stałych
Rozwiązania układu niejednorodnego y0 = Ay + q(x) będziemy
szukali w postaci y(x) =
n
X
Cj (x)yj (x), gdzie funkcje y1 (x),
j=1
y2 (x),...,yn (x) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu
jednorodnego, tzn yj0 = Ayj dla j = 1, 2, ..., n.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Metoda uzmienniania stałych cd
Obliczając pochodną funkcji y(x), otrzymujemy
y0 (x) =
=
=
=
n
X
j=1
n
X
j=1
n
X
j=1
n
X
Cj0 (x)yj (x) +
Cj0 (x)yj (x) +
n
X
j=1
n
X
Cj (x)yj0 (x) =
Cj (x)Ayj (x) =
j=1
Cj0 (x)yj (x) + A
n
X
Cj (x)yj (x) =
j=1
Cj0 (x)yj (x) + Ay(x).
j=1
Stąd mamy
n
X
Cj0 (x)yj (x) = q(x).
j=1
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Metoda uzmienniania stałych cd


y1j (x)

y2j (x)



Zauważmy, że yj : R → Rn , czyli yj (x) = 
 .. , gdzie
 . 
ynj (x)
yij : R → R. Układ równań
n
X
Cj0 (x)yj (x) = q(x) z niewiadomymi
j=1
Cj0 (x) ma zatem postać


C10 (x)y11 (x) + C20 (x)y12 (x) + · · · + Cn0 (x)y1n (x) = q1 (x),



 C 0 (x)y21 (x) + C 0 (x)y22 (x) + · · · + Cn0 (x)y2n (x) = q2 (x),
1
2
..


.


C 0 (x)y (x) + C 0 (x)y (x) + · · · + C 0 (x)y (x) = q (x).
nn
n
n1
n2
n
1
2
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Metoda uzmienniania stałych
Wyznacznik tego układu (nazywany wyznacznikiem Wrońskiego)
jest w każdym punkcie x różny od zera. Z układu tego wyznaczamy
funkcje Cj0 (x) i po scałkowaniu otrzymujemy funkcje Cj (x).
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Uzmiennianie stałych – przykład
Przykład
Wyznaczymy rozwiązanie układu
(
y10 = 2y1 + 2y2 + x,
y20 = 2y1 − y2 + x.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Układ niejednorodny – metoda przewidywania
Metodę przewidywania rozwiązania ogólnego układu
niejednorodnego y0 = Ay + q(x), gdzie
h
iT
q(x) = q1 (x) q2 (x) . . . qn (x) , przedstawimy tylko w
przypadku, gdy funkcje q1 (x), q2 (x), . . . , qn (x) są wielomianami o
stopniach odpowiednio m1 , m2 , . . . , mn .
1
2
Jeśli 0 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to
rozwiązania szczególne są postaci wj (x) dla j = 1, 2, . . . , n,
gdzie funkcje wj (x) są wielomianami stopnia co najwyżej
max{m1 , m2 , . . . , mn }.
Jeśli 0 jest pierwiastkiem o krotności algebraicznej k, to
rozwiązania szczególne są postaci wj (x) dla j = 1, 2, . . . , n,
gdzie funkcje wj (x) są wielomianami stopnia co najwyżej
k + max{m1 , m2 , . . . , mn }.
Jacek Kłopotowski
Wprowadzenie
Układy jednorodne
Metoda przewidywania – przykład
Przykład
Wyznaczymy rozwiązanie układu
(
y10 = 3y1 − y2 + 1,
y20 = 2y1 + x,
spełniającego warunek początkowy y1 (0) = 1, y2 (0) = −1.
Jacek Kłopotowski

Układy równań różniczkowych zwyczajnych - E-SGH

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

Lista zadań 3 – Macierze, Wyznaczniki, Układy Równań

Projekt 3 Układy równań różniczkowych 1. Reakcje szeregowe: dla

teoria dystrybucji

Układy równań, z których jedno jest drugiego stopnia

Korzystając z twierdzenia o istnieniu i jednostajności dla równań

Microsoft Word Viewer 97 - 4 Wyk³ad_Uk³ady równań i met

Równania różniczkowe cząstkowe I