MODELE WIELORÓWNANIOWE

MODELE WIELORÓWNANIOWE
RODZAJE
MODELI WIELORÓWNANIOWYCH ZE WZGLĘDU NA POWIĄZANIA
POMIĘDZY NIEOPÓŹNIONYMI ZMIENNYMI ENDOGENICZNYMI
MODELE PROSTE
Brak powiązao między zmiennymi endogenicznymi. Żadna zmienna egzogeniczna nie jest zmienną
endogeniczną w innym równaniu. Modele są estymowane MNK. W modelu macierz współczynników stojących
przy zmiennych endogenicznych jest macierzą diagonalną
MODELE REKURENCYJNE
Powiązania jednokierunkowe. Modele estymowane pośrednią MNK, podwójną MNK, metoda największej
wiarygodności MNW. Równania modelu rekurencyjnego można tak uporządkowad, że macierz współczynników
stojących przy zmiennych endogenicznych będzie macierzą trójkątną.
Cena=f(koszty czynników produkcji, ξ)
Popyt=f(Cena, Dochody, ξ)
MODELE ŁĄCZNIE WSPÓŁZALEŻNE
Występują sprzężenia zwrotne w powiązaniach między zmiennymi endogenicznymi w równaniach modelu.
Macierzy współczynników stojących przy zmiennych endogenicznych nie da się uporządkować do macierzy
trójkątnej. Ponad główną przekątną pozostanie kilka elementów różnych od zera.
Popyt na dobro A=f(Cena dobra A, Popyt na dobro B – komplementarne, ξ)
Popyt na dobro B=f(Cena dobra B, Popyt na dobro A – komplementarne, ξ)
ZMIENNE
W MODELACH WIELORÓWNANIOWYCH
W modelach wielorównaniowych występują zmienne:
Endogeniczne – objaśniane przez model (po lewej stronie znaku = )
Egzogeniczne – zmienne objaśniające – nie są objaśniane przez inne równania
Z góry ustalone = zmienne egzogeniczne + zmienne endogeniczne opóźnione;
Łącznie współzależne – nieopóźnione zmienne endogeniczne w modelach łącznie współzależnych
POSTAĆ MACIERZOWA MODELU WIELORÓWNANIOWEGO
Wielorównaniowy liniowy model ekonometryczny można zapisad następująco – jest to tzw.
postać strukturalna modelu:
AX  BY  Ε ,
co można rozpisad jako
 11 12

 22
 21
 ...
...

 m1  m 2
... 1k   x1(t )   11 12


...  2k   x 2(t )    21  22


... ...   ...   ...
...
 x  
...  mk   k (t )    m1  m 2
1m   y1(t ) 


...  2m   y 2(t ) 
 ε1(t ) 
ε 
2(t ) 


... ...   ...   ... 
 


...  mm  y m(t )  ε m(t ) 
...
gdzie:
 x1(t )   x11
x  
x
2 (t ) 
X
  21

  ...

 
x
 k (t )   xk1
 y 1(t )   y11
y
 
2(t )   y 21
Y

 ...   ...

 
y m(t )   y m1
Zajęcia 7.
x12 ... x1T 
x22 ... x2T 

... ... ... 

xk 2 ... xkT 
y1T 
y 2T 

... ... 

... y mT 
y12
...
y 22
...
...
y m2
są wartościami i macierzą zmiennych z góry ustalonych,
jest macierzą i wartościami nieopóźnionych zmiennych endogenicznych
(zmiennych objaśnianych) modelu,
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 1 z 4
 ε 1(t )    11  12
ε
 
 22
2(t )    21
Ε


  ...
...

 
ε m(t )   m1  m 2
 11 12

 22
A   21
 ...
...

 m1  m 2
 11 12

 22
 21
B
...  1T 
...  2T 

... ... 

...  mT 
to wartości składników losowych równao modelu,
... 1k 
...  2k 

... ... 

...  mk 
... 1m 
...  2m 

jest macierzą współczynników przy zmiennych z góry ustalonych,
jest macierzą współczynników przy zmiennych objaśnianych.
 ...
... ... ... 


  m1  m 2 ...  mm 
IDENTYFIKOWALNOŚĆ
MODELI WIELORÓWNANIOWYCH
Zanim przystąpimy do estymacji modelu, musimy zbadad, czy jest on identyfikowalny. Jeśli model nie jest
identyfikowalny, nie może byd poprawie oszacowany. Równania postaci strukturalnej muszą byd takie, aby
nie było wątpliwości co do tego, jakie parametry szacujemy, jaką zależnośd badamy. Model
wielorównaniowy jest identyfikowalny tylko wtedy, gdy wszystkie równania modelu są identyfikowalne.
Jeżeli chod jedno równanie jest nie identyfikowalne, cały model jest nie identyfikowalny.
1. Model wielorównaniowy prosty i rekurencyjny jest identyfikowalny jeśli:
− n > k;
− zmienne objaśniające nie są współliniowe.
2. Model wielorównaniowy łącznie współzależny jest identyfikowalny gdy:
G1 - 1 ≤ K2, dla każdego jego równania.
Gdzie: G1 - liczba zmiennych endogenicznych nie opóźnionych występująca w i-tym równaniu; K2 - liczba
zmiennych z góry ustalonych nie występujących w i-tym równaniu.
G1 - 1 = K2 równanie jest jednoznacznie identyfikowalne,
G1 - 1 < K2 - nadmiernie identyfikowalne.
Zadanie 14
Sklasyfikowad model i zmienne w nim występujące:
Zmienne endogeniczne (nie stoi przy nich parametr): M t Pt , Z t
Zmienne egzogeniczne: brak
Zmienne z góry ustalone: M t 1, Pt 1, Z t 1
MODEL:
wielorównaniowy, przyczynowo-skutkowy, stochastyczny, dynamiczny, liniowy
Aby zweryfikowad czy jest to model prosty, rekurencyjny czy łącznie-współzależny zapisujemy model w postaci
macierzowej. Zapis macierzowy postaci strukturalnej:
Zajęcia 7.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 2 z 4
  0 1  1
  0
1
 0
   0 0
0
1 
2   P   0
 t 
0    M t    1
1   Z t   0
 
 
0
 2
0
0   Pt 1    1 
0    M t 1    2 
  1   Z t 1   3 
Wyznaczamy macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych. Jest ona macierzą trójkątną więc model
posiada równania powiązane rekurencyjnie.
Zadanie 15
Na podstawie zaprezentowanego modelu (postaci analitycznej):
C t   0   1Yt   2 Ct 1   t1
I t   0  1 Rt   2Yt   2Yt 1   t 2
Yt  C t  I t  Gt  0
1. Zapisz postad macierzową modelu
 1 0  1  Ct    0   2
 0 1      I     0
2  t 

 0
 1  1
1   Yt   0 0
0
 2
0
1 
0 0  C    1 
 t 1 
 3 0    Rt    2 
0  1  Yt 1   


 Gt 
Macierz współczynników przy zmiennych endogenicznych nie jest jednostkowa ani trójkątna. Oznacza
to, że model jest wielorównaniowy o równaniach łącznie-współzależnych.
2. Sprawdź identyfikowalnośd modelu.
Równanie I:
G1=2 zmienne endogeniczne,
K2=3 zmienne z góry ustalone nie występujące w równaniu
G1-1=1 < 3 – równanie nadmiernie identyfikowalne
Równanie II:
G1= 2 zmienne endogeniczne,
K2= 2 zmienne z góry ustalone nie występujące w równaniu
G1-1=1<2 – równanie nadmiernie identyfikowalne
Równanie III:
G1= 3 zmienne endogeniczne występujące w równaniu
K2= 3 zmienne z góry ustalone nie występujące w równaniu
G1-1=2< 3 – równanie nadmiernie identyfikowalne
Należy stwierdzid, że model jest identyfikowalny. Może byd poprawnie oszacowany.
Zadanie 16
Zapisad postad modelu ekonometrycznego wiedząc, że : wszystkie zależności pomiędzy zmiennymi
uwzględnionymi w modelu są liniowe i stochastyczne;
1. inwestycje produkcyjne w danym roku są funkcją inwestycji w dwóch poprzednich latach i produktu
krajowego brutto w danym roku;
2. zatrudnienie w danym roku w produkcyjnych działach gospodarki narodowej jest funkcją inwestycji w
roku poprzednim i przyrostu produktu krajowego brutto w porównaniu z rokiem poprzednim;
3. produkt krajowy brutto w danym roku jest funkcją dochodu w roku poprzednim oraz inwestycji w
ciągu trzech poprzednich lat.
Dokonad klasyfikacji zmiennych występujących w modelu. Określid jego rodzaj.
Zajęcia 7.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 3 z 4
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRÓW MODELU
Inaczej – wyznaczanie przedziałów ufności nieznanych parametrów strukturalnych (w domyśle w dużej próbie)
P( α̂i - S( α̂i )·t0 ,05;n-k-1 < a < α̂i + S( α̂i )·t0 ,05;n-k-1 ) = 1 - 0,05
Zadanie 17
Z 95% prawdopodobieostwem wyznaczyd przedział ufności parametru w populacji generalnej gospodarstw
domowych wiedząc, że jednostkowy wzrost dochodów o 1 zł w wylosowanych gospodarstwach powodował
wzrost wydatków o 50 gr. Szacując parametr mylimy się średnio o +/- 0,01. Wartośd krytyczna statystyki tStudent odczytana z tablic wynosi 1,96.
P(0,5 - 0,01·1,96  a  0,5  0,01·1,96)  0,95
P(0,5 - 0,01·1,96  a  0,5  0,01·1,96)  0,95
P(0,4804  a  0,5196)  0,95
TEST FISHERA-SNEDECORA NA
HETEROSKEDASTYCZNOŚĆ RESZT MODELU
Aby przeprowadzid test należy podzielid próbę na podpróby według zmiennej porządkującej (np. czasu),
następnie oszacowad parametry równania indywidualnie w każdej podpróbie oraz wyznaczyd wariancje
2
resztowe Se oddzielnie dla każdej podpróby. Wybieramy następnie dwie skrajne wariancje – minimalną i
maksymalną.
H 0 :12   22 (wariancja jest jednorodna)
H 0 :12   22 (wariancja nie jest jednorodna)
Statystyka testu:
S e21
F 2
S e2
2
e1
2
S e1
S
– największa wariancja spośród rozpatrywanych prób
– najmniejsza wariancja spośród rozpatrywanych prób
Obszar odrzucenia: W=<F ; +), F odczytujemy z tablic F-Snedecora dla poziomu istotności , oraz r1=n1-1 (n1
to liczebnośd próby o większej wariancji) i r2=n2-1 (n2 to liczebnośd próby o mniejszej wariancji).
Zadanie 18
4. Zbadad występowanie autokorelacji rzędu pierwszego, jeśli
5. Zbadad występowanie heteroskedastyczności, jeśli
Zajęcia 7.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
mgr Emilia Modranka
[email protected]
Strona 4 z 4