docFO W8 Pole magnetyczne_Prawo Faradaya
download 
Reklamacja Transkrypt
FO W8 Pole magnetyczne_Prawo Faradaya
Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 1 Sta»e pole magnetyczne Wokó» przewodników z prdem wyst“puje pole si» zwanych si»ami magnetycznymi Analiza wielu róónych doÑwiadcze½ prowadzi do wyraóenia na si»“ Lorentza r r r r F =q E+q( v x B ) Jest to zarazem definicja pola magnetycznego Oznacza to, óe jednostk“ pola magnetycznego definiuje si“ poprzez si»“ oddzia»ywania »adunków w ruchu tj. prdów elektrycznych. r Jednostk wektora indukcji magnetycznej B jest 1 T (tesla) kg 1T = A s2 Uwaga: Pole elektryczne wprowadza si“ definiujc jego nat“óenie. Pole magnetyczne wprowadza si“ definiujc indukcj“ pola magnetycznego. Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 2 îród»ami pola magnetyczego s • »adunki w ruchu Pole magnetyczne jest t cz“Ñci pola elektrycznego »adunku poruszajcego si“, któr “widzimy” dzi“ki transformacji Lorentza si»y Coulomba. • kwantowomechaniczne spin oraz moment p“du Fizyka Ogólna 3 Wyk»ad 8 Si»a dzia»ajca na przewodnik z prdem Dla elementu r dl konturu z prdem r r r dF = dq ( v xB ) dq = I dt r r dl v= dt r r r r dl r dF = I dt x B = I ( dl x B ) dt r r r F = I ∫ dl x B Γ Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 Przyk»ad: dl = r dα r r dl ⊥ B F = I 2π rB Wniosek: Na przewodnik z prądem równoległy do pola magnetycznego siła nie działa 4 Fizyka Ogólna 5 Wyk»ad 8 Wybrane w»asnoÑci pola magnetycznego kszta»t linii si» pola magnetycznego wokó» przewodnika z prdem o indukcja pola magnetycznego jest prostopad»a do p»aszczyzny wyznaczonej przez przewodnik z prdem i punkt, w którym pole mierzymy o linie si» pola magnetycznego s okr“gami otaczajcymi przewodnik z prdem r 1 | B | ∝ co wynika bezpoÑrednio z tego, óe r o nat“óenie pola elektrycznego charakteryzuje taka sama zaleónoу oraz o z faktu relatywistycznego zwizku pola magnetycznego z polem elektrycznym cyrkulacja indukcji magnetycznej – rys.a)r obok: r B ⋅ d l =0 ∫ Γ bo pole wzd»uó »uku AB jest r 2 r1 silniejsze nió na »uku CD, który jest r 2 d»uószy r1 Podobnie: dla konturu Γ o dowolnym kszta»cie r rale nie obejmujcy przewodnika z prdem elektrycznym ∫ B ⋅dl = 0 Γ Fizyka Ogólna 6 Wyk»ad 8 Prawo Ampère’a Cyrkulacja wektora indukcji pola magnetycznego por konturze Γ obejmujcym prd elektryczny: r ∫ B ⋅ dl = µ 0 I Γ gdzie I jest ca»kowitym nat“óenie prdu przep»ywajcym przez powierzchni“ rozpi“t na konturze a µ0 jest przenikalnoÑci magnetyczn próóni H m kg = 4π ⋅ 10-7 2 2 m A s Powyóej zapisano postaƒ ca»kow prawa Ampère’a. µ 0 = 4π ⋅ 10-7 Przypomnienie: r Twierdzenie Stokesa mówi, óe dla dowolnego wektora C r r r r C ⋅ d l = rot C ⋅ da ∫ ∫∫ Γ gdzie powierzchnia S jest rozpi“ta na konturze Γ. S Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 7 r r r r B ⋅ d l = rot B ⋅ da ∫ ∫∫ Γ S r r µ 0 I = ∫ ∫ µ 0 j ⋅ da S Std otrzymuje si“ róóniczkow postaƒ prawa Ampère’a r r rot B = µ 0 j r gdzie j jest wektorem g“stoÑci prdu. Problem: Jest wiele pól wektorowych o tej samej rotacji. Aby jednoznacznie wyznaczyƒ pole magnetyczne potrzebne jest jeszcze jedno równanie Otrzymuje si“ je badajc w»asnoÑci dywergencji pola magnetycznego r div B = 0 Pole magnetyczne jest wi“c bezïïród»»owe: nie ma takiej obj“toÑci, z której strumie½ r rpola magnetycznego by wyp»ywa» lub do której by wnika» ∫∫S C ⋅ da r Przypomnienie: div C = lim gdzie S jest powierzchni zamkni“t V →0 V Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 8 Porównanie pola elektrostatycznego i sta»ego pola magnetycznego r r div B = 0 div D = ρ r r r rot B = µ 0 j rot E = 0 Nat“óenie pola magnetycznego Pole magnetyczne jest bezïród»owe wi“c znana definicja nat“óenia jako stosunku si»y w danym polu do »adunku nie moóe byƒ uóyta. Czasami jednak wprowadza si“ nat“óenie pola magnetycznego poprzez zwizek r r B= µ ( H ) r gdzie H jest nat“óeniem pola magnetycznego µ przenikalnoÑci magnetyczn oÑrodka. Dla oÑrodków liniowych i izotropowych nat“óenie pola moóna wyraziƒ jako r r B H= µ0 µ r gdzie µr jest przenikalnoÑci magnetyczn wzgl“dn charakteryzujc oÑrodek. Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 9 Prawo Ampère’a dla oÑrodków liniowych i izotropowych r r moóna wyraziƒ jako rot H = j w postaci róóniczkowej a w postaci ca»kowej r r ∫ H ⋅ dl = I Γ Fizyka Ogólna 10 Wyk»ad 8 Prawo Ampère’a dla prdów zmiennych Dany jest kondensator powietrzny. Zastanówmy si“ czy dotychczasowa postaƒ prawa Ampère’a jest w»aÑciwa dla opisu zjawisk w tym uk»adzie. r r r r ∫ B ⋅ dl = ∫ ∫ rot B ds = µ I C A Powierzchnie S i S’ s rozpi“te na tym samym konturze C Jak widaƒ dotychczasowa postac prawa Ampère’a jest wi“c niepe»na: w naszym przypadku r r rot B ⋅ ds = µ I ∫∫ S r r ∫ ∫ rot B ⋅ ds = ??? S′ Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 11 Za»óómy, óe prd p»yncy przez kondensator nie jest zbyt duóy - moóna wtedy pominƒ efekty zwizane z promieniowaniem. MoŜna pokazać, Ŝe spełnione jest równanie ciągłości:r r ∂D j+ =0 ∂t Szybkoу zmian wektora indukcji elektrycznej nazywa si“ prdem przesuni““cia Widaƒ, óe g“stoу prdu elektrycznego w przewodach doprowadzajcych »adunek do kondensatora jest równa prdowi przesuni“cia w przerwie pomi“dzy ok»adkami. Pe»na postaƒ prawa Ampère’a ma postaƒ: r r r ∂D rot B = µ j + µ ∂t r r r ∂D r B ⋅ d l = µ I + µ ∫Γ ∫S∫ ∂t ds Taka postaƒ opisuje nasz przyk»adowy uk»ad w zupe»noÑci. Fizyka Ogólna 12 Wyk»ad 8 Prawo Faradaya r W jednorodnym polu magnetycznym pod wp»ywem ruchu z pr“dkoÑci v na elektrony w pr“cie dzia»a si»a Lorentza r r r F = - e ( v xB ) gdzie e jest »adunkiem elementarnym. Jest ona skierowana przeciwnie do osi Ox. Na jony sieci si»a dzia»a w kierunku przeciwnym. ºadunki przemieszczaj si“ ku ko½com r r pr“ta tak d»ugo dopóki pole powsta»e pola elektrycznego nie zrównowaóy si»y Lorentza tj. aó F + F pola elektrycznego = 0 r r r - e E - e ( v xB ) = 0 r r r = e ( v xB ) F pola elektrycznego r r r E = - ( v xB ) Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 13 Wed»ug konwencji pole elektryczne ma zwrot kierunku ruchu »adunku próbnego. Ładunek próbny jest dodatni. Widaƒ wi“c, óe si»a zwizana z polem elektrycznym i dzia»ajca na elektrony b“dzie skierowana przeciwnie do si»y Lorentza. r W zamkniętej ramce z przewodu, pole elektryczne E wywoła przepływ prądu elektrycznego. Regu»»a Lenza: W zamkniętym Prd p»ynie w takim kierunku aby przeciwdzia»aƒ zmianom strumienia pola magnetycznego. Definicja Si»»a elektromotoryczna jest to praca wykonana podczas ruchu jednostkowego »adunku dodatniego wokó» obwodu zamkni“tego r r 1 r r ε = ∫ F ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl qΓ Γ Postaƒƒ ca»»kowa prawa Faradaya: r r r r ∂ ∫ E ⋅ dl = - ∂t ∫ ∫ B ⋅ ds Γ S Fizyka Ogólna 14 Wyk»ad 8 Komentarze: o jest to ogólne prawo indukcji elektromagnetycznej - nie zawiera ono informacji o przyczynie zmian strumienia o Nigdzie nie jest powiedziane, óe Γ jest materialnym przewodem (“drutem”) ! o Γ moóe byƒ po prostu abstrakcyjnym konturem w przestrzeni. Uóyjemy twierdzenia Stokesa: r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∫ rot E ⋅ ds Γ S r r ∂ rot E ⋅ d s = ∫S∫ ∂t Postaƒƒ róóóniczkowa prawa Faradaya: r r B ∫ ∫ ⋅ ds r r ∂B rot E = ∂t S Fizyka Ogólna 15 Wyk»ad 8 Konsekwencje prawa Faradaya a) indukcyjnoу wzajemna Jeóeli dwa obwody elektryczne oddzia»uj ze sob poprzez pole magnetyczne wytworzone przez jeden z nich to si»a elektromotoryczna wytworzona w drugim obwodzie d Φ 21 d I1 = = ε 21 M 21 dt dt gdzie M21 jest indukcyjnoÑci wzajemn. Jednostk indukcyjnoу wzajemnej jest 1 H (czyt.: henr), który wyst“puje wtedy gdy zmiana prdu o 1 A/s powoduje si»“ elektromotoryczn 1 V b) indukcyjnoу w»asna ε1= - d Φ1 d = - L I1 dt dt Jednostka jest ta sama c) energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki - moc prdu dW d = ε1 I1= - L I1 I1 dt dt Fizyka Ogólna 16 Wyk»ad 8 - energia zmagazynowana we w»asnym polu magnetycznym wynosi W =− 1 L I 12 2 Gdy obliczymy moc prdu wytworzonego w danej cewce przez inn cewk“ dI dW 21 = ε 21 I 2 = - M 21 I 2 1 dt dt W = − M 21 I 1 I 2 Ogólniej energia zmagazynowa w polu magnetycznym r r 1 W = ∫ ∫ ∫ B ⋅ H dv 2 V a dla oÑrodków liniowych i izotropowych, dla których r r B = µ0 µ r H W = µ0 1 r2 dv µ r H ∫ ∫ ∫ 2 V Przypomina to wyraóenie na energi“ pola elektrycznego r r 1 W = ∫ ∫ ∫ D ⋅ E dv 2 V Fizyka Ogólna 17 Wyk»ad 8 Przyk»ad Wyznaczyƒ pole elektryczne na ko»owym konturze Γ a nast“pnie wyznaczyƒ napi“cie pomi“dzy punktami A i B, które s widoczne ze Ñrodka konturu pod ktem 120°. Za»oóyƒ, óe pole magnetyczne o indukcji Br zamkni“te jest ca»kowicie w pr“cie ferromagnetycznym o przenikalnoÑci µ oraz powierzchni przekroju S = 1, który leóy wzd»uó osi konturu przy czym r r B =U t i z Z prawa Faradaya r r ∂ E ⋅ d l = ∫ ∂t Γ r r B ∫ ∫ ⋅ ds = - U S gdzie skorzystaliÑmy z za»oóenia, óe caly strumie½ zawarty jest wewntrz przekroju pr“ta. Kszta»t konturu zapewnia nam stycznoу konturu do pola elektrycznego w kaódym punkcie konturu. Symetria problemu jest odpowiednia do r tego aby uóyƒ wspó»rz“dnych walcowych tzn. E = ( Eα , E r , E z ) = ( Eα ,0,0 ) r W tych wspó»rz“dnych | dl |= R dα Fizyka Ogólna 18 Wyk»ad 8 2π ∫ Eα R dα = - U 0 Eα = - U 2π R r r U r iα E = Eα iα = 2π R Pytanie: Czy istnieje funkcja skalarna ϕ taka, óe nat“óenie pola elektrycznego w tym przyk»adzie da si“ wyraziƒ jako r E = - grad ϕ We wspó»rz“dnych walcowych gradient wyraóa si“ jako ∂ϕ r 1 ∂ϕ r ∂ϕ r grad ϕ = + + i i i ∂r r r ∂α α ∂z z Skoro tylko Eα ≠ 0 to z trzech równa½ skalarny nie trywialne jest tylko jedno 1 dϕ r U r i iα=R dα 2π R α dϕ U = dα 2 π Rozdzielamy zmienne Fizyka Ogólna 19 Wyk»ad 8 dϕ = U dα 2π i ca»kujc obie strony otrzymujemy ϕ ( α )= U α +C 2π Wnioski: • ϕ ( α ) jest wi“c rodzin krzywych ze wzgl“du na sta» C Nie mamy przy tym óadnych przes»anek ile ta sta»a powinna si“ równaƒ • potencja» skalarny ϕ ( α ) okaza» si“ niejednoznaczny ϕ ( α )≠ϕ ( α +2π ) Ujednoznacznienie ϕ ( α ) : Niech α → α + 2 π - ε gdzie ε → 0 Wtedy na takim (niepe»nym) obrocie zyskujemy ∆ϕ ≅U Podsumowanie przyk»adu: pole elektryczne w tym przypadku jest niezachowawcze r r ∫ E ⋅ dl = - U ≠ 0 Γ napięcie elektryczne pomi“dzy punktami A i B zaleŜy wtedy od drogi po jakiej je wyznaczamy Fizyka Ogólna 20 Wyk»ad 8 ∫ U AB = Γ2 U AB = ∫ Γ1 r r U E ⋅ dl = 3 r r U E ⋅ dl = + 2 3 Potencja» wektorowy pola magnetycznego Aby wyznaczyƒ nat“óenie pola elektrostatycznego wygodnie jest pos»uóyƒ si“ potencja»em skalarnym ρ (x ′, y ′z ′) d ′v ϕ (x, y, z) = ∫ ∫ ∫ r r 4 π ε 0 |r - r ′ | V′ wtedy r E = - grad ϕ Ale potencja»em skalarnym moóna pos»ugiwaƒ si“ bo rot ( grad f(x, y, z) ) ≡ 0 dla dowolnej (g»adkiej) funkcji skalarnej f(x,y,z) Tymczasem na ogó» r rot B ≠ 0 r r Wprowadza si“ wi“c potencja»» wektorowy B = rot A Fizyka Ogólna 21 Wyk»ad 8 r Jest to definicja potencja»u wektorowego A Zapewnia ona, óe spe»nione jest r div B =0 r bo spe»niona jest toósamoу div ( rot A ) ≡ 0 Dokonuje si“ wi“c takiego wyboru potencja»u wektorowego aby spoÑród wszystkich spe»niajcych r r rot A = B r spe»nione by»o jeszcze div A = 0 Wtedy równanie na potencja» wektory przyjmuje postaƒ równania Poissona r r 2 A= - µ j ∇ Analogiczne równanie dla potencja»u skalarnego pola elektrostatycznego ∇ 2ϕ = - Ma ono rozwizanie ogólne w postaciϕ (x, y, z) = ∫ ∫ ∫ V′ ρ ε ρ (x ′, y ′z ′) d ′v r r 4 π ε 0 |r - r ′ | r r j (x ′, y ′z ′) d ′v podobnie dla potencja»u wektorowego ogólne rozwizanie ma postaƒ: A(x, y, z) = µ 0 µ r ∫ ∫ ∫ r r 4 π |r - r ′ | V′ Potencja» wektorowy jest wi“c równoleg»y do kierunku (wypadkowego) prdu elektrycznego, który go wytwarza. Fizyka Ogólna Wyk»ad 8 22 Przyk»ad Dany jest przewód o przekroju a i zadanym kszta»cie Γ jak na rysunku: Wyznaczyƒ potencja» wektorowy i pole magnetyczne zwizane z przep»ywem sta»ego prdu elektrycznego o nat“óeniu I przez ten przewód. Element obj“toÑci dV = dx dy dz = a rdl r r r dl std j dV = I dl oraz dA = µ I r r r dl A= µ I ∫ Γ 4π r r r a indukcja pola magnetycznego dB = rot ( d A ) r r r µI dl dl µI dB = rot ( )= ∇× 4π r 4π r r µI r 1 dB = dl × ∇ ( ) 4π r Prowadzi to do prawa Biot-Savarta: r r r dl × r dB = µ I 4 π r3
