Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 6

Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 6

Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne.
Lista nr 6
1. Sprawdzić, które z przekształceń jest liniowe:
a) L : IR3 → IR, L(x, y, z) = −x2 + yz;
b) L : IR2 → IR3 L(x, y) = (x, x − 2y, −y);
c) L : IR3 → IR2 , L(x, y, z) = (x + 2y − z, x − 2y + 2z);
d) L : IR2 → IR3 , L(x, y) = (−1, −x − 2y, 0).
2. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego L, jeśli:
a) L(1, 1) = (1, 1), L(1, −1) = (3, −3);
b) L(1, 0, 0) = (1, 1), L(0, −1, 1) = (2, −3), L(1, −1, 0) = (3, 0).
3. Rozwiązać układy równań (metodą eliminacji Gaussa):



x−y−z
3x + 4y − 2z


3x − 2y + 4z





2x + y + z
x + 3y + z

x + y + 5z



2x + 3y − 3z

x + y + 2z + 3t = 1



= 4
 3x − y − z − 2t = −4
= 11 ,
,
 2x + 3y − z − t = −6


= 11 
x + 2y + 3z − t = −4
=
=
=
=
2x + y − z + t
3x − 2y + 2z − 3t

5x + y − z + 2t



2x − y + z − 3t










x + 3y + 2z
2
2x − y + 3z
5
,
 3x − 5y + 4z
−7 


x + 17y + 4z
14
=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
,
0
0
1
x − 2y + 3z − 4t




y−z+t
2
,

−1 
x + 3y − 3t


−7y + 3z + t
4

=
=
=
=
4
−3
.
1
−3
4. Zbadać liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m:


 mx + y + z
= 1
x + my + z = m .


x + y + mz = m2