Wykonywanie obliczen inzynierskich w programie Maxima na

Wykonywanie obliczeń inżynierskich w
programie Maxima na przykładzie
wyznaczania wektora prawdopodobieństw
przepływu
8 maja 2015
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Przepływy
Przepływy dzienne w rzece w pewnym punkcie
pomiarowym można podzielić według nastepuj
˛ acego
˛
schematu:

od 30 do 50 m3 /s



 od 50 do 70 m3 /s

od 70 do 90 m3 /s



wiecej
˛
niż 90 m3 /s
− przepływ na poziomie A1
− przepływ na poziomie A2
− przepływ na poziomie A3
− przepływ na poziomie A4
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Wektor prawdopodobieństwa
Przepływ w pewnym ustalonym dniu może być opisany za
pomoca˛ wektora prawdopodobieństw przepływu.
Oznacza to, że jeśli stwierdzono, że przepływ w pewnym
dniu wynosił 65 m3 /s, to wektor prawdopodobieństw
przepływu jest równy [0, 1, 0, 0].
Jest to tzw. stan poczatkowy,
˛
od którego rozpoczynana
jest obserwacja i bedziemy
˛
go oznaczać przez p0 .
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Wektor prawdopodobieństwa
Przepływ w pewnym ustalonym dniu może być opisany za
pomoca˛ wektora prawdopodobieństw przepływu.
Oznacza to, że jeśli stwierdzono, że przepływ w pewnym
dniu wynosił 65 m3 /s, to wektor prawdopodobieństw
przepływu jest równy [0, 1, 0, 0].
Jest to tzw. stan poczatkowy,
˛
od którego rozpoczynana
jest obserwacja i bedziemy
˛
go oznaczać przez p0 .
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Wektor prawdopodobieństwa
Przepływ w pewnym ustalonym dniu może być opisany za
pomoca˛ wektora prawdopodobieństw przepływu.
Oznacza to, że jeśli stwierdzono, że przepływ w pewnym
dniu wynosił 65 m3 /s, to wektor prawdopodobieństw
przepływu jest równy [0, 1, 0, 0].
Jest to tzw. stan poczatkowy,
˛
od którego rozpoczynana
jest obserwacja i bedziemy
˛
go oznaczać przez p0 .
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Macierz przejścia prawdopodobieństw
Prawdopodobieństwa przejścia ze stanu Ai do stanu Aj w
jednym kroku (w jednym dniu) sa˛ elementami tzw.
macierzy przejścia. Może ona wygladać
˛
nastepuj
˛ aco:
˛


0, 96 0, 04
0
0
0, 03 0, 91 0, 06
0 

P=
 0
0, 06 0, 82 0, 12
0
0
0, 07 0, 93
Wtedy element pij , gdzie i, j ∈ {1, 2, 3, 4} oznacza
prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i w stan j.
Oznacza to na przykład, że poziom rzeki ulegnie po
jednym dniu zmianie z A2 na A3 z prawdopodobieństwem
0, 06, a z A4 na A3 z prawdopodobieństwem 0, 07.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Macierz przejścia prawdopodobieństw
Prawdopodobieństwa przejścia ze stanu Ai do stanu Aj w
jednym kroku (w jednym dniu) sa˛ elementami tzw.
macierzy przejścia. Może ona wygladać
˛
nastepuj
˛ aco:
˛


0, 96 0, 04
0
0
0, 03 0, 91 0, 06
0 

P=
 0
0, 06 0, 82 0, 12
0
0
0, 07 0, 93
Wtedy element pij , gdzie i, j ∈ {1, 2, 3, 4} oznacza
prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i w stan j.
Oznacza to na przykład, że poziom rzeki ulegnie po
jednym dniu zmianie z A2 na A3 z prawdopodobieństwem
0, 06, a z A4 na A3 z prawdopodobieństwem 0, 07.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Macierz przejścia prawdopodobieństw
Prawdopodobieństwa przejścia ze stanu Ai do stanu Aj w
jednym kroku (w jednym dniu) sa˛ elementami tzw.
macierzy przejścia. Może ona wygladać
˛
nastepuj
˛ aco:
˛


0, 96 0, 04
0
0
0, 03 0, 91 0, 06
0 

P=
 0
0, 06 0, 82 0, 12
0
0
0, 07 0, 93
Wtedy element pij , gdzie i, j ∈ {1, 2, 3, 4} oznacza
prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i w stan j.
Oznacza to na przykład, że poziom rzeki ulegnie po
jednym dniu zmianie z A2 na A3 z prawdopodobieństwem
0, 06, a z A4 na A3 z prawdopodobieństwem 0, 07.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Wektor prawdopodobieństwa po n dniach
Jeśli nie zmienione zostały warunki pogodowe, to stan
przepływu po jednym dniu jest równy
p1 = p0 · P T ,
a po n dniach
pn = p0 · P T
n
.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Wektor prawdopodobieństwa po n dniach
Jeśli nie zmienione zostały warunki pogodowe, to stan
przepływu po jednym dniu jest równy
p1 = p0 · P T ,
a po n dniach
pn = p0 · P T
n
.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Wyznaczanie wektora prawdopodobieństw przepływu
Zadanie 1
Zdefiniować funkcje˛ p(n) = pn , gdzie pn jest wektorem
prawdopodobieństw przepływu po n dniach. Nastepnie
˛
wyznaczyć p 6 oraz p 30 .
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Rozwiazanie
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Zadanie 2
Napisać algorytm oparty na petli
˛ typu for ... unless,
który zwróci najmniejsza˛ liczbe˛ dni, po upływie których
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
przepływu na poziomie
A4 bedzie
˛
wieksze
˛
niż 20%.
Rozwiazanie:
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Zadanie 2
Napisać algorytm oparty na petli
˛ typu for ... unless,
który zwróci najmniejsza˛ liczbe˛ dni, po upływie których
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
przepływu na poziomie
A4 bedzie
˛
wieksze
˛
niż 20%.
Rozwiazanie:
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Zadanie 3
Napisać algorytm oparty na petli
˛ typu for ... while,
który zwróci najmniejsza˛ liczbe˛ dni, po upływie których
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
przepływu na poziomie
A2 bedzie
˛
mniejsze lub równe 25%.
Rozwiazanie:
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Zadanie 3
Napisać algorytm oparty na petli
˛ typu for ... while,
który zwróci najmniejsza˛ liczbe˛ dni, po upływie których
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
przepływu na poziomie
A2 bedzie
˛
mniejsze lub równe 25%.
Rozwiazanie:
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Ciag
˛ instrukcji w ramach jednego bloku
Polecenie
block([zm_lok],inst_1,inst_2,...,inst_n)
wprowadza ciag
˛ n instrukcji do wykonania przez Maxime˛
w ramach jednego bloku.
W nawiasach kwadratowych możemy zdefiniować
zmienne oraz funkcje lokalne, rozdzielone przecinkami,
dostepne
˛
tylko wewnatrz
˛ tego bloku.
Jako wynik zwraca wartość wyrażenia zawartego w
ostatniej instrukcji.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Ciag
˛ instrukcji w ramach jednego bloku
Polecenie
block([zm_lok],inst_1,inst_2,...,inst_n)
wprowadza ciag
˛ n instrukcji do wykonania przez Maxime˛
w ramach jednego bloku.
W nawiasach kwadratowych możemy zdefiniować
zmienne oraz funkcje lokalne, rozdzielone przecinkami,
dostepne
˛
tylko wewnatrz
˛ tego bloku.
Jako wynik zwraca wartość wyrażenia zawartego w
ostatniej instrukcji.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Ciag
˛ instrukcji w ramach jednego bloku
Polecenie
block([zm_lok],inst_1,inst_2,...,inst_n)
wprowadza ciag
˛ n instrukcji do wykonania przez Maxime˛
w ramach jednego bloku.
W nawiasach kwadratowych możemy zdefiniować
zmienne oraz funkcje lokalne, rozdzielone przecinkami,
dostepne
˛
tylko wewnatrz
˛ tego bloku.
Jako wynik zwraca wartość wyrażenia zawartego w
ostatniej instrukcji.
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Przykład
W powyższym poleceniu zadeklarowaliśmy, że a jest
zmienna˛ lokalna,
˛ stad
˛ przypisanie obowiazuje
˛
tylko w
ramach polecenia block.
Sprawdźmy:
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Przykład
W powyższym poleceniu zadeklarowaliśmy, że a jest
zmienna˛ lokalna,
˛ stad
˛ przypisanie obowiazuje
˛
tylko w
ramach polecenia block.
Sprawdźmy:
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Przykład
W powyższym poleceniu zadeklarowaliśmy, że a jest
zmienna˛ lokalna,
˛ stad
˛ przypisanie obowiazuje
˛
tylko w
ramach polecenia block.
Sprawdźmy:
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
W ramach polecenia block możemy użyć funkcji:
return(instrukcja) – zwraca wartość instrukcji
i nie wykonuje nastepnych,
˛
go(etykieta) – wraca do instrukcji poprzedzonej
etykieta˛ (czyli dowolnym słowem).
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Zadanie 3 (raz jeszcze)
Napisać algorytm oparty na petli
˛ w ramach funkcji block,
który zwróci najmniejsza˛ liczbe˛ dni, po upływie których
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
przepływu na poziomie
A2 bedzie
˛
mniejsze lub równe 25%.
Rozwiazanie:
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima
Zadanie 3 (raz jeszcze)
Napisać algorytm oparty na petli
˛ w ramach funkcji block,
który zwróci najmniejsza˛ liczbe˛ dni, po upływie których
prawdopodobieństwo wystapienia
˛
przepływu na poziomie
A2 bedzie
˛
mniejsze lub równe 25%.
Rozwiazanie:
˛
Wykonywanie obliczeń inżynierskich w programie Maxima