Ćwiczenie 1

Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
Wyznaczanie współczynnika tarcia materiałów konstrukcyjnych
Cel ćwiczenia
1. Wyznaczenie współczynników tarcia poślizgowego – statycznego dla różnych
układów materiałów
2. Wyznaczenie współczynników tarcia tocznego dla różnych układów materiałów
Wprowadzenie
Tarciem nazywamy zbiór zjawisk występujących podczas względnego ruchu ciał lub obszarów ciała, którego skutkiem jest – przeciwstawiająca się ruchowi – siła oporu skierowana przeciwnie do kierunku ruchu powodująca dyssypacją energii w postaci ciepła. Tarcie może mieć miejsce w obrębie jednego ciała, gdy przemieszczają się względem siebie
poszczególne jego elementy składowe (np. warstwy, cząsteczki itp.). Zachodzi ono głównie w płynach w obszarze występowania gradientów prędkości lub przy deformacji ciał
stałych. Ten rodzaj tarcia nazywa się tarciem wewnętrznym w przeciwieństwie do tarcia zewnętrznego występującego przy powierzchniowym styku dwóch różnych ciał wykonanych
z tego samego lub różnych materiałów. Tarcie zewnętrzne może być sklasyfikowane jako
ślizgowe lub toczne. Rysunek 1 przedstawia typografię tarcia występującego w przyrodzie.
Rys.1. Klasyfikacja rodzajów tarcia występującego w przyrodzie
Tarciem ślizgowym nazywa się taki rodzaj tarcia, przy którym prędkości obu ciał w
punktach ich wzajemnego styku są różne – tarcie kinetyczne (ruchowe) lub gdy ciała spoczywają względem siebie a istnieje siła dążąca do ich przesunięcia – tarcie statyczne (spoczynkowe). Tarcie ruchowe jest spotykane w wielu elementach maszyn, jak np. w kołach
zębatych, łożyskach ślizgowych, prowadnicach maszyn, układach tłokowych sprzęgłach i
hamulcach zaś spoczynkowe między częściami nieruchomymi względem siebie np.
sprzęgła cierne, elementy znitowane lub skręcone śrubami.
Tarciem tocznym nazywa się taki rodzaj tarcia, przy którym podczas ruchu ciał ich
prędkości w punktach wzajemnego styku są równe, a czas trwania styku tych punktów w
przypadku ciał idealnie sztywnych dąży do zera. Zwykle ruch jednego ciała względem
1/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
drugiego sprowadza się do obrotu ciała wokół osi przechodzącej przez punkty styku i leżącej na płaszczyźnie stycznej do obu ciał. Taka geometria tarcia jest spotykana w takich
elementach maszyn jak łożyska kulkowe, przekładnie cierne itp. Ponieważ przedmiotem
tego ćwiczenia jest tarcie zewnętrzne stąd dalej pod pojęciem tarcia będzie rozumieć się
tarcie zewnętrzne czyli poślizgowe lub toczne.
Tarcie ślizgowe
Istniej wiele hipotez wyjaśniających mechanizm tarcia. Według nich jest ono wynikiem:
odkształcania materiału (spęcznianie spotęgowane powstawaniem fal odkształceniowych)
w pobliżu powierzchni (teoria Kragielskiego); oddziaływaniem molekularnym, wywołanym koniecznością pokonania sił adhezji atomów powierzchniowych stykających się ciał
(t. Tomilsona); pokonywania nierówności na powierzchni trących ciał (t. Dieragina) lub
powstawaniem i zrywaniem mikrospoin, występujących w punktach styku mikronierówności (t. Bowdena-Tabora). W tej dziedzinie wciąż prowadzi się badania a nauka, która się
tym zajmuje się nazywa się trybologią.
Niezależnie o przyjętego mechanizmu tarcia rządzi się ono prawami, które odkryto
doświadczalnie już w XIV/XVIII wieku, a które stwierdzają, że tarcie poślizgowe pomiędzy dwoma ciałami:
–
–
–
–
–
nie zależy od wielkości przylegających powierzchni (!),
jest proporcjonalne do siły nacisku
zależy od materiałów i stanu powierzchni trących,
dla małych prędkości względnych, siła tarcia nie zależy od prędkości,
kierunek siły tarcia jest zgodny z kierunkiem wektora prędkości, ale ma przeciwny
zwrot.
Te obserwacje podsumowuje prawo Amontonsa-Coulomba (znane już Leonardo da Vinci), które wiąże siłę tarcia T oraz nacisku N następującym wzorem:
T=N
(1)
Wielkość  zwana jest współczynnikiem tarcia. Jest ona bezwymiarowa i zależy tylko od rodzaju materiałów i stanu powierzchni (chropowatość, czystość, wilgotność itp.). Jak wynika z (1) wielość  jest współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy siłą tarcia T a siłą
nacisku N i jest parametrem charakteryzującym parę materiałów dla określonego stanu
powierzchni ich styku. W zależności od tego czy ma miejsce tarcie statyczne czy kinetyczne wyróżnia się współczynniki tarcia statycznego s lub kinetycznego k. Dla tych samych
materiałów oraz stanu powierzchni zachodzi s > k.
Tarcie toczne
Opór toczenia jest spowodowany innymi zjawiskami niż w tarciu ślizgowym. Jego przyczyną są zjawiska ściskania oraz rozdzielania podłoża i toczącego się ciała. Styk między
nimi nie zachodzi w jednym punkcie, lecz na pewnym obszarze zwanym kontaktem Hertza. Tam dochodzi do odkształcenia zarówno toczącego się ciała jak i podłoża (rys.2). Dla
ciała w spoczynku rozkład naprężeń w miejscu styku jest symetryczny i siła reakcji R po2/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
krywa się z siłą nacisku N a dokładnie R = – N. Jeżeli ciało toczy się, rozkład naprężeń w
miejscu styku przestaje być symetryczny i siła reakcji nie pokrywa się z siłą nacisku. W
efekcie obie siły – będąc równe, co do wartości, równoległe i przeciwnie skierowane – dają
moment tarcia (hamujący) MT = N·f = R·f, w którym f jest odległością między prostymi
działania sił R i N. To właśnie ten moment daje tarcie toczne. Najważniejsze zjawiska wywołujące tarcie toczne to:
 Histereza sprężysta materiałów podłoża i toczonego ciała. W próbie rozciągania
wykresy n (n) przy wzroście i spadku n nie porywają się.
 Tworzenie się "fałdy podłoża" przed toczącym się ciałem i praca tracona na jego
tworzenie i pokonywanie,
 Tworzenie i rozrywanie połączeń mostkowych (adhezyjnych) między ciałami,
 Tarcie suwne - przy dużej powierzchni styku (miękkie materiały) toczące się ciało
rozsuwa podłoże z miejsca największego nacisku.
Rys.2. Schemat powstawania tarcia tocznego. N – siła
nacisku, R – siła reakcji podłoża, P – siła napędowa, T –
siła tarcia statycznego, f – ramię sił R i N. Z warunków
równowagi wynika, że:
|P|=|T| oraz |N|=|R|
moment napędowy: Mo = P·r = T·r
moment tarcia:
MT = R·f = N·f
a przy jednostajnym toczeniu zachodzi:
MT = Mo
W tarciu tocznym siłę tarcia T na podstawie zależności z rys.2, wylicza się ze wzoru:
T
f
N  t N
r
(2)
Tu r jest promieniem toczącego się ciała a wielkość f zwana współczynnikiem tarcia tocznego
jest współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy momentem tarcia MT (a nie siłą tarcia)
a siłą nacisku N. Jej wymiar to metr lub inna jednostka długości. Wielkość t zwana współczynnikiem oporów toczenia jest, podobnie jak przy tarciu ślizgowym, bezwymiarowa. Miedzy f a t zachodzi oczywista zależność f = t · r. W literaturze podaje się zwykle f albowiem jest on niezależny od promienia toczącego się ciała a zależy zaś tylko – podobnie jak
s oraz k – od rodzaju materiału podłoża i ciała oraz od stanu stykających się powierzchni. Dla takich samych materiałów i stanu powierzchni zachodzą następujące nierówności:
𝜇𝑠 > 𝜇𝑘 ≫ 𝜇𝑡 .
3/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
Metodyka pomiaru
Wyznaczenie współczynników tarcia poślizgowego
Współczynnik tarcia ślizgowego można wyznaczyć formalnie przekształcając wzór (1) do
następującej postaci:
T
(3)

N
czyli jest on jednoznacznie określony stosunkiem T/N. Do wyznaczenia współczynników
tarcia ślizgowego można użyć równi pochyłej z możliwością regulacji kąta nachylenia
rys.3. Wykorzystuje się tu fakt, że dla ciała spoczywającego na równi siła napędowa F
(ściągająca ciało w dół) musi być równoważona siłą tarcia T, czyli F = N. Ponadto F oraz
siła nacisku N są składowymi siły ciężkości G skierowanymi odpowiednio równolegle i
prostopadle do powierzchni równi a ich stosunek F/N regulowany jest kątem pochylenia
równi .
Rys.3. Zasada pomiaru tarcia ślizgowego. Jak wynika z rysunku rozkład ciężaru
G na składowe F i N (styczne i prostopadłe do równi) prowadzi do następujących zależności
N = G cos 
F = G sin 
Wynika to w sposób oczywisty z geometrii równi, albowiem uwzględniając podane na
rys.3 zależności mamy
F G sin 

 tg 
N G cos 
(4)
Ponieważ w stanie równowagi F = T, zatem F/N = T/N stąd ostatecznie uwzględniając (3) i
(4) mamy:
  tg 
(5)
Wyliczony na podstawie (5) kąt  = arctg  nazywa się kątem tarcia. Zależność (5) można
stosować do wyznaczenia zarówno współczynnika tarcia statycznego s jak i kinetycznego
k. Należy jednakże pamiętać o definicji współczynników tarcia. W przypadku tarcia statycznego T jest maksymalną siłą oporu, przy której nie występuje jeszcze ruch. Zatem zależność (5) jest prawdziwa dla granicznej wartości kąta pochylenia równi  przekroczenie,
której spowoduje zsuwanie się klocka w dół.
Pomiar współczynnika s między materiałami polega na położeniu klocka wykonanego z materiału pierwszego na powierzchni równi wykonanej z materiału drugiego i
powolnego zwiększania kąta  pochylenia równi, aż do momentu, w którym klocek zacznie się zsuwać. Wówczas tangens kąta , przy którym pojawiły się oznaki ruchu będzie
dokładnie równy współczynnikowi tarcia statycznego.
4/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
W przypadku tarcia kinetycznego, współczynnik k jest równy tangensowi tego
kąta , przy którym klocek zsuwa się ruchem jednostajnym, albowiem tylko w takim wypadku spełniony jest warunek F = T. Ten pomiar jest kłopotliwy w realizacji ze względu
na trudności w stwierdzeniu występowania jednostajnego ruchu klocka po równi i jego
utrzymaniu. Współczynnik ten można wyznaczyć pozwalając klockowi zsuwać się po
równi ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Ruch ten obywał się będzie pod wpływem
siły F–T ze stałym przyśpieszeniem wynikającym z prawa Newtona a = (F–T)/m. Drogę s
jaką przebędzie klocek w czasie t – licząc od momentu spoczynku – można wyliczyć ze
znanej zależności kinematycznej dla ruchu jednostajnie przyśpieszonego s = at2/2. Porównując przyśpieszenia wyliczone oboma sposobami mamy
a
F  T 2s
 2.
m
t
(6)
Korzystając teraz z (6), (3) oraz rys.3 otrzymuje się po przekształceniach:
k 
T
2s
 tg   2
N
gt cos 
(7)
gdzie g – przyśpieszenie ziemskie. Zatem do wyznaczenia k trzeba zmierzyć czas t zsuwania się klocka będącego początkowo w bezruchu na znanej drodze s przy znanym pochyleniu  (na tyle dużym by klocek zsuwał się samoczynnie) i zastosowaniu wzoru (7).
Wyznaczenie współczynnika tarcia tocznego
Pomiar współczynnika tarcia tocznego jest bardziej złożony. Zasada pomiaru oparta jest
na fakcie, że w czasie toczenia siła tarcia T wykonuje pracę, która zmniejsza całkowitą
energię toczącego się obiektu. Praca ta jest równa stracie energii E i nie zależy od prędkości ciała a tylko od przebytej drogi s pod warunkiem, że siła nacisku podczas ruchu pozostaje stała N = const. Zatem strata energii E = T·s.
0
g
a
l
∆h
∆l
Rys.4. Schemat stanowiska do pomiaru tarcia tocznego. Z rysunku
wynika następująca zależności
Zmiana wysokości:

b
h = l sin
Dobrym kandydatem do wyznaczenia straty energii jest wahadło matematyczne,
albowiem całkowita energia wahadła (suma energii potencjalnej i kinetycznej) jest równa
w skrajnym wychyleniu tylko energii potencjalnej. Tą zaś łatwo wyznaczyć mierząc wysokość h, na jaką wznosi się masa m zawieszona na końcu wahadła. Dokładniej h można
wyznaczyć z zależności geometrycznych na podstawie kąta  maksymalnego wychylenia
wahadła – czyli jego amplitudy – co jest łatwiejsze niż pomiar samej wysokości h. Jeżeli po
5/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
pewnej liczbie wahnięć n, amplituda wychylenia n będzie mniejsza niż amplituda początkowego wychylenia o, to będzie to oznaczać, że miała miejsce strata energii równa E
= mgh, gdzie h jest różnicą wysokości odpowiadającej wychyleniom o i n.
Do pomiarów tarcia tocznego używa się wahadła matematycznego położonego na
równi nachylonej pod kątem , składającego się z nitki, na końcu, której przymocowana
jest kulka o znanym promieniu r. Kulka jest zamocowana tak, aby wpływ nitki na ruch
kulki był zminimalizowany. Schemat układu przedstawia na rys.4. Kulka odchylona o
pewien kąt o zostaje puszczona swobodnie. Od tego momentu wahadło wykonuje wahania pozwalając kulce toczyć się po nachylonej płaszczyźnie. Wskutek tarcia amplituda wychyleń maleje w czasie, gdyż zmniejsza się całkowita energia mechaniczną kulki, jaką jej
nadano wychyleniem początkowym o. Zatem za każdym wychyleniem wahadła kulka
wznosi się o pewną wysokość h niżej i jej energia maleje o wartość pracy wykonanej
przez siły tarcia, czyli E = mgh = T·s, co przy znanej drodze s przebytej przez kulkę pozwala już wyznaczyć T. Współczynnik tarcia f można wyliczyć z (2) pamiętając, że siłę
nacisku N liczy się analogicznie jak na rys.3. kładąc  w miejsce . Zatem N = mg cos  i
ostatecznie
f r
mgh / s
T
l sin 
l
r
r
 r tg 
N
mg cos 
s cos 
s
(8)
Do otrzymania końcowego wzoru pozostaje tylko powiązanie s oraz l z amplitudami
wychyleń  oraz liczbą wahnięć n. Pomocne w wyliczeniu tego będą szkice na rys.5.
Rys.5. Szkice wyjaśniające sposób obliczania s i l.
Droga s1 pierwszego pełnego wahnięcia (tam i z powrotem lewy szkic na rys.5) – suma
łuków AC, CD, DC i CB – wynosi s1 = o·l + o’·l +o’·l +1·l. Tutaj l jest długością nitki zaś
o i  amplitudami wychylenia początkowego i pierwszego mierzone w radianach. Przy
założeniu równomiernej straty energii kąt o’ powinien być równy średniej arytmetycznej
katów o i1 czyli o’ = (o +i)/2. Zatem droga przebyta w pierwszym wahnięciu wyniesie s1 = 2·l·(o +1). Przez analogię w k–tym wahnięciu: sk = 2·l·(k-1 +k). Drogę s obliczymy sumując drogi sk (k=1...n) przebyte w każdym wahnięciu w wyniku czego otrzymamy:
s  2  l  n  ( o  n )
6/9
(9)
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
Z kolei jak wynika z prawego szkicu na rys.5 strata wysokości po n wahnięciach wynosi l
= ln – lo = l·(cos n – cos o). Dla małych kątów  wyrażonych w radianach cos   1 –  2/2.
Zatem ostatecznie
l  l
 o2   n2
2
l
 ( o   n )( o   n )
2
(10)
Wstawiając teraz (9) i (10) do (8) otrzymuje się wzór na współczynnik tarcia tocznego w
postaci:
f  r  tg 
0  n
4n
(11)
Należy pamiętać, że ma on zastosowanie jedynie do małych (< 15°) wychyleń wahadła .
Przebieg pomiaru
Pomiary wykonuje się na równi pochyłej pokazanej na rys.6. Płyta równi przymocowana
jest obrotowo jedną krawędzią do podstawy, przy której znajduje się kątomierz pokazujący jej nachylenie. Nachylenie równi zmienia się kręcąc nakrętką wzdłuż śruby zamocowanej jednym końcem przegubowo do postawy i przechodzącym przez otwór w podstawie.
Rys.6. Równia pochyła do wykonywania pomiarów współczynników tarcia.
Na równi znajdują się bolce pozwalające przymocować płytki podłoża wykonane z różnych materiałów (tworzywa sztucznego i aluminium).
Pomiar tarcia statycznego
Do pomiarów wykorzystuje się klocki wykonane z trzech materiałów: teflonu, drewna i
stali. Pomiary wykonuje się między wszystkimi kombinacjami materiałowymi par płytek
oraz klocków. Dla wybranej pary płytka – klocek:
1. Zamocować płytkę na równi nakładając jej odpowiednie otwory na bolce na równi i
wypoziomować podstawę równi.
2. Ustalić nakrętką taki kąt nachylenia równi, aby położony na niej klocek pozostawał
w spoczynku.
7/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
3. Rozpocząć zwiększanie kąta nachylenia równi kręcąc powoli nakrętką, aż do momentu zaobserwowania ruchu klocka po równi.
4. W chwili ruchu klocka przerwać kręcenie i zanotować kąt nachylenia równi .
5. Powtórzyć procedurę kilkakrotnie pamiętając, aby klocek kłaść na równi w tym
samym miejscu i w takim samej pozycji (dlaczego?)
Dla zmierzonych kątów wyliczyć średnią i odchylenie standardowe . Wyliczoną średnią sr użyć do obliczenia współczynnika s ze wzoru (5). Niepewność pomiaru współczynnika tarcia wyznaczyć ze wzoru:
s 

cos 2 
(12)
Wyniki wszystkich pomiarów współczynników tarcia przedstawić w formie tabelarycznej.
Pomiar tarcia kinetycznego
Do pomiaru wybrać jedną parę materiałową podłoże – klocek, dla której zanotowano najniższy kąt tarcia. Przed pomiarem zmierzyć odległość s pomiędzy górną a dolną linią zaznaczoną na równi.
1. Ustawić równię pod takim kątem by klocek swobodnie zsuwał się po niej z możliwie małą prędkością. Zanotować nachylenie równi .
2. Ustawić klocek na górnej linii równi i przytrzymać go, aby pozostał w bezruchu.
3. Zwolnić klocek włączając jednocześnie stoper.
4. Zatrzymać stoper w chwili, gdy klocek mija dolną linię i zanotować czas t zsuwania
się klocka.
5. Powtórzyć procedurę kilkakrotnie pamiętając, aby klocek kłaść na równi w tym
samym miejscu i w takim samym położeniu.
Dla zmierzonych czasów t wyliczyć średnią i odchylenie standardowe t. Wyliczoną
średnią użyć do obliczenia k ze wzoru (7). Niepewność pomiaru współczynnika tarcia
wyznaczyć ze wzoru (zakłada się, że niepewności s i  są znacznie mniejsze od t):
k 
4s
t
gt cos 
3
(13)
Pomiar tarcia tocznego
Wahadło matematyczne składające się z kulki (bakelitowej lub metalowej) przymocowanej
za pomocą krętlika do nitki zamocować na centralnym bolcu równi mierząc przed tym jej
promień r.
1. Ustawić równię pochyłą pod wybranym kątem  i wypoziomować ją.
2. Zamocować płytkę w ten sposób by znajdująca się na niej podziałka kątowa znajdowała się na wierzchu.
3. Sprawdzić czy nitka wahadła zwisającego swobodnie pokrywa się z zerem skali kątomierza. Jeśli nie, to sprawdzić poziomowanie a jeżeli i to nie pomoże zanotować
8/9
Laboratorium Materiałów konstrukcyjnych i Eksploatacyjnych – P.Wr. – WME
wskazywany przez nią kąt z. O ten kąt trzeba będzie skorygować wyniki odczytanego wychylenia o i n.
4. Wychylić kulkę wahadła z położenia równowagi o kąt o = 15° (lub inny zbliżony) i
zwolnić ją.
5. Odczytać kąt n n-tego wahnięcia kulki. Przyjąć n = 10. Za pojedyncze wahnięcie liczy się wychylenie tam i z powrotem. Odczyt kąta należy n dokonać, w czasie ruchu kulki.
6. Powtórzyć procedurę kilkakrotnie dla tych samych ustawień oraz dla innych kątów
równi (=15°, 30° lub 45°).
Dla danych ustawień ze zmierzonych katów n wyliczyć średnią i odchylenie standardowe n. Wyliczoną średnią użyć do obliczenia f ze wzoru (11). Niepewność pomiaru
współczynnika tarcia wyznaczyć ze wzoru:
f 
r  tg
 n
4n
(14)
Tu jak poprzednio pomija się wpływ niepewności pomiarowych r, i  wychodząc z założenia, że są one znacznie mniejsze od n. Wyniki przedstawić w tabeli.
9/9