Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z - Eko-DOk

Analiza Fouriera, pole opadowe,skalowanie
Dagmara DŻUGAJ, Maria Niesobska, Paweł LICZNAR*
STUDIA NAD ZMIENNOŚCIĄ MIEJSKIEGO POLA
OPADOWEGO Z WYKORZYSTANIEM ANALIZY FOURIERA
W artykule przedstawiono wyniki analizy szeregów opadowych z sieci 25 deszczomierzy rozmieszczonych na terenie Warszawy. Widma mocy opracowane dla wszystkich deszczomierzy charakteryzowały się występowaniem zjawiska przerwania widma i wyraźnym ich podziałem na dwa przedziały
skalowania, o odmiennych wartościach wykładników potęgowych. Analiza zbiorów wartości czasów
przerwania widma i wykładników potęgowych skalowania widm mocy wykazała zróżnicowanie warunków opadowych w obrębie miejskiego pola opadowego.
1. WSTĘP I CEL PRACY
Zmiany intensywności opadów deszczu w czasie i w przestrzeni zależą od procesów
fizycznych z zakresu dynamiki klimatu i formowania się kropel deszczu. Opady deszczu są elementem nieciągłym w obiegu wody na Ziemi, a informacji o zmianach
w czasie i przestrzeni opadów dostarcza pole opadowe. Pole opadowe jest też zasadniczym czynnikiem wpływającym na dynamikę czasową i przestrzenną spływu powierzchniowego, a także na obserwowane wahania przepływów w ciekach [1].
Lepsze poznanie pola opadowego, a zwłaszcza poprawa narzędzi służących jego modelowaniu są jednymi z najważniejszych zadań współczesnej hydrologii. Jest to szczególnie istotne z punktu widzenia hydrologii miejskiej, gdyż na obszarach miast przy dużym
udziale powierzchni utwardzonych dynamika opadu przekłada się natychmiastowo i wyraziście na dynamikę spływu powierzchniowego i jego dalszą transformację w kanałach
systemów odwodnienia. Można przypuszczać, że badania w zakresie modelowania miejskiego pola opadowego powinny w przyszłości wzbogacić warsztat projektowania
i modelowania systemów odwodnienia.
__________
*Politechnika Wrocławska, ul. Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, [email protected]
140
D. DŻUGAJ i in.
We współczesnej praktyce projektowania miejskich systemów odwodnienia praktycznie nie uwzględnia się zróżnicowania pola opadowego. W Polsce, najczęściej stosowaną
metodą obliczeniową nowych sieci odwodnienia jest metoda granicznych natężeń, która
wykorzystuje wzór Błaszczyka na natężenia deszczów miarodajnych. Formuła Błaszczyka
jest powszechnie stosowana na terenie całego kraju chociaż została opracowana na podstawie danych obserwacyjnych z Warszawy. Nawet w przypadkach, gdy formuła Błaszczyka jest zastępowana przez inny lokalny model deszczu miarodajnego, to jest on stosowany jako uniwersalny dla całego obszaru miejskiego, właściwie niezależnie od skali
wielkości miasta, a nawet skali samej projektowanej sieci kanalizacyjnej [2]. Krajowa
wiedza dotycząca współczynników redukcji natężeń maksymalnych deszczów, zależnych
od skali odwadnianej zlewni jest niewielka i ogranicza się zasadniczo do wycinkowych
badań z obszaru Warszawy i Częstochowy opublikowanych jedynie w postaci prac o charakterze czysto naukowym [9].
Jeszcze trudniejsza jest sytuacja w zakresie modelowania miejskich systemów odwodnienia. Dla osiągnięcia wielu celów modelowania, konieczne jest zasilanie modeli hydrodynamicznych lokalnymi wieloletnimi szeregami opadowymi o wysokiej rozdzielczości
czasowej, których to na terenie Polski jest brak lub też, do których dostęp jest bardzo trudny. Jeśli już szeregi takie udaje się pozyskać, to pochodzą one z deszczomierzy zainstalowanych w pobliżu miasta (np. na stacjach lotniskowych) i z braku innych możliwości są
stosowane do modelowania sieci kanalizacyjnych na dowolnym obszarze nawet bardzo
dużych miast. Co więcej, spotyka się z kuriozalną praktyką podejmowania prób wykorzystywania nielicznych szeregów opadowych do modelowania systemów odwodnienia
w miastach odległych nawet o setki kilometrów od deszczomierzy, na których je zarejestrowano. Jest to w istocie trudne do zaakceptowania, gdyż zmienność warunków opadowych w skali setek kilometrów nie podlega dyskusji. Współczesne doniesienia literaturowe wskazują, że zmienność ta ujawnia się także w znacznie mniejszej skali miejskiego
pola opadowego. Na przykład Kotowski [3] dla Wrocławia w oparciu o dane z kilku deszczomierzy wskazywał na zróżnicowanie pola opadowego manifestujące się choćby różnymi sumami opadów.
Niski poziom krajowej wiedzy w zakresie modelowania pola opadowego może jednak
wkrótce ulec poprawie. Nadzieję na to daje rozwój systemów monitoringu opadów dla
potrzeb hydrologii miejskiej. Systemy takie funkcjonują już w kilku miastach w Polsce,
takich jak np.: Warszawa, Wrocław, Łódź, Gdańsk. W gronie tym na szczególną uwagę
zasługuje Warszawa, w której od roku 2008 funkcjonuje jedna z największych i najnowocześniejszych sieci deszczomierzowych w Europie. Sieć ta jest poligonem badawczym
niniejszej pracy, a jej podstawowa charakterystyka jest zawarta w dalszej części pracy.
Funkcjonowanie tej klasy sieci pomiarowych zapewnia lawinowy dopływ danych obserwacyjnych, których tak brakowało w latach poprzednich. Stawia to jednak nowe wyzwanie w postaci potrzeby poszukiwania warsztatu służącego przetwarzaniu tych danych.
Prezentowane w niniejszej pracy badania wychodzą naprzeciw powyższym potrzebom. Celem podjętych badań była wstępna próba analizy zmienności miejskiego pola
Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z wykorzystaniem analizy Fouriera
141
opadowego Warszawy z wykorzystaniem analizy Fouriera. Podjęte badania miały przede
wszystkim dać odpowiedź na pytania: czy otrzymywane widma wykazują zmienność w
obrębie zbioru 25 deszczomierzy oraz czy widma mocy szeregów opadowych mają charakter gładki wskazujący na skalowy charakter tychże szeregów opadowych.
2. POLIGON BADAWCZY
Dane opadowe wykorzystane w badaniach zostały udostępnione przez Miejskie Przedsiębiorstwo Wodociągów i Kanalizacji (MPWiK) w Warszawie i pochodziły z sieci 25
deszczomierzy wagowych, usytuowanych na terenie miasta Warszawa. Miasto stołeczne
Warszawa znajduje się w strefie klimatu umiarkowanego kontynentalnego. Średnia roczna
suma opadów w mieście, wg Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej, wynosi 519
mm/rok, przy czym w miesiącach letnich miesięczna średnia suma opadów wynosi 56
mm/m-c, a podczas zimy jest nieco niższa i wynosi około 30 mm/m-c [4].
Sieć deszczomierzy MPWiK pokrywa w sposób w przybliżeniu równomierny obszar
miasta, obejmujący 517,2 km2. Jej konfiguracja jest przedstawiona w pracy [10]. Na prawobrzeżu Wisły rozmieszczonych jest 8 deszczomierzy, natomiast 17 na lewobrzeżu,
gdzie znajduje się ścisłe centrum miasta, o największym stopniu uszczelnienia terenu. Sieć
pomiarowa jest oparta na deszczomierzach wagowych firmy MPS Systém Ltd. Są to deszczomierze modelu TRwS 200E, przystosowane zarówno do wykonywania pomiarów
deszczu jak i śniegu. Zasada ich działania opiera się na rejestracji przyrostu w czasie masy
deponowanego opadu w zbiorniku deszczomierza, umieszczonym na wadze tensometrycznej, rejestrującej dane z dokładnością określoną przez producenta na równą 0,1%.
Masa ta jest konwertowana na warstwę opadu (z rozdzielczością równą 0,001 mm) i zapisywana w zbiorczej bazie opadowej jako 1-minutowy szereg czasowy [10]. W badaniach
wykorzystano zarejestrowane szeregi opadowe z okresu od września 2008 r. do grudnia
2010 r.
3. METODYKA BADAŃ
Badania szeregów opadowych z Warszawy przeprowadzono z wykorzystaniem
analizy Fouriera. Analiza ta jest klasycznym narzędziem warsztatu analizy szeregów
czasowych i ich modelowania metodą szeregów czasowych [6]. W tym drugim przypadku analiza widma pozwala przede wszystkim na wykrywanie składników sezonowych (cyklicznych) danego procesu i ich oddzielenie od składników występujących
losowo (tzw. szumu) [11]. Podejście takie w obrębie inżynierii środowiska znajduje
szerokie zastosowanie na przykład przy prognozowaniu rozbiorów wody, gdzie
142
D. DŻUGAJ i in.
stwierdza się występowanie cykliczności dobowej i tygodniowej, która winna być
uwzględniania przez tworzony model.
Szereg czasowy opadów jest dyskretnym zapisem zarejestrowanych warstw opadów x(n), w ściśle określonych i stałych odstępach czasu. Ten dyskretny ciąg wartości
w dziedzinie czasu x(n) może zostać transformowany w dyskretny ciąg harmoniczny
wartości w dziedzinie częstotliwości X(m), dzięki zastosowaniu Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT), według zależności:
N 1
X (m)   x(n)e  j 2nm / N
(1)
n 0
gdzie j =  1 , N – całkowita liczba próbek, n – numer próbki sygnału, m - numer
harmonicznej.
Obliczenia numeryczne konieczne do przeprowadzenia transformacji DFT wymagają jednak znacznych nakładów pamięci i czasu przetwarzania, ze względu na szybko
rosnącą liczbę danych poddawanych obliczeniom. Odpowiedzią na ten problem jest
równoważna z DFT szybka transformacja Fouriera (ang. Fast Fourier Transform FFT) zwana również algorytmem o podstawie 2. Nazwa ta bierze się z faktu, że dla
efektywnego wykorzystania możliwości funkcji, zalecane jest, aby liczba próbkowanych elementów była całkowitą potęgą liczby 2 [8]. W przeprowadzonych badaniach
stosowano algorytm FFT, a uzyskiwany ciąg harmonicznych wartości X(m) był ostatecznie wykorzystywany do obliczenia wartości widma mocy P(f) dla N/2+1 częstotliwości f według metodyki opisywanej szczegółowo przez Licznara (2009) [5].
Wyżej opisywane obliczenia były wykonywane kompleksowo w programie
MATLAB, a ich uwieńczeniem było wykreślenie zależności P(f) w układzie podwójnie logarytmicznych osi wykresów.
4. WYNIKI BADAŃ I DYSKUSJA
Przykładowe widma mocy są prezentowane dla deszczomierzy R9 i R22 na rys. 1
i 2. Na wykresach tych, podobnie jak w przypadku wszystkich pozostałych deszczomierzy nie stwierdzono wyraźnych pików, wskazujących na występowanie w szeregach periodyczności. Słaby pik mógł być jedynie dla wielu deszczomierzy zauważony
dla częstotliwości odpowiadającej około 1 rokowi. Jest to zgodne z naturą procesu
opadowego, w którym, owszem rysuje się pewna generalna roczna cykliczność, ale
nie ma ona charakteru ścisłego.
Natomiast cechą charakterystyczną wszystkich widm mocy był ich skalowy charakter manifestujący się przebiegiem wykresów zgodnym z funkcją wykładniczą
o postaci:
Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z wykorzystaniem analizy Fouriera
P( f )  f  
143
(2)
Rys. 1. Widmo mocy 1-minutowego szeregu opadowego dla deszczomierza R9 (z obszaru Warszawy
lewobrzeżnej)
Rys. 2. Widmo mocy 1-minutowego szeregu opadowego dla deszczomierza R22 (z obszaru Warszawy
prawobrzeżnej)
Funkcja ta dla przyjętego podwójnie logarytmicznego układu osi miała przebieg prostoliniowy, a wykładnik  odpowiadał nachyleniu prostej. Skalowy charakter widm
144
D. DŻUGAJ i in.
mocy dla deszczomierzy był obserwowany począwszy od częstotliwości co najmniej
4,16 godz-1 (co odpowiada czasowi 24 h) do końca widma dla najwyższych częstotliwości odpowiadających czasowi 2 minut. Niemniej każdorazowo skalowy przebieg
widma był podzielony na dwa odmienne przedziały, charakteryzowane przez różniące
się wykładniki potęgowe 1 i 2. Dla wszystkich deszczomierzy wykładnik 1 był
mniejszy od 1 a 2 był większy od 1. Częstotliwość graniczna, dla której obserwowano przerwanie widma i zmianę nachylenia wykresów zależności skalowych z  1 na  2
wynosiła około 1,1 godz-1. Odpowiadała ona zatem czasowi przerwania widma tb
równemu około 55 minutom. Wartości wszystkich trzech parametrów istotnych dla
opisu kształtu otrzymanych widm mocy odczytano z wykresów. Wyznaczono także
podstawowe miary statystyczne ich zbiorów wartości, które zestawiono w tabeli 1.
Tabela 1. Podstawowe statystyki zbiorów wartości parametrów 1, 2 i tb
Parametr
Średnia
Mediana
Odchylenie standardowe
Minimum
Maksimum
Kwantyl dolny (25%)
Kwantyl górny (75%)
tb, min.
49,1
55
15
18
86
43
60
1
1
0,523
0,523
0,084
0,378
0,727
0,467
0,575
1,661
1,70
0,24
1,09
2,09
1,54
1,84
Dane zestawione w tabeli 1 wskazują na występowanie zróżnicowania poszczególnych parametrów w obrębie analizowanego zbioru 25 deszczomierzy. Wartości
wykładników 1 i 2 wahały się odpowiednio od 0,378 do 0,727 oraz od 1,09 do 2,09,
natomiast czas przerwania widma tb przyjmował wartości od 18 do 86 minut. Pomimo
tego wyraźnego zróżnicowania ekstremalnych wartości, należy zauważyć, że zbiory
analizowanych parametrów były jednak dosyć ściśle skupione wokół ich średnich
wartości. Świadczą o tym, zwłaszcza w przypadku wykładników 1 i 2 zbliżone do
średnich wartości kwantyli dolnych i górnych zbiorów oraz niskie wartości odchyleń
standardowych. Te średnie wartości wykładników 1 i 2 wynosiły odpowiednio
0,523 oraz 1,661. Natomiast obliczony średni czas przerwania widma tb dla zbioru 25
deszczomierzy wynosił 49,1 min.
Scharakteryzowany powyżej przebieg widm otrzymanych dla deszczomierzy
z Warszawy jest zgodny z wcześniejszymi doniesieniami literatury zagranicznej
i krajowej, Przykładowo Lima (1998) uzyskała analogiczne widma energii dla deszczomierzy z Vale Formoso w Portugali oraz z Nancy we Francji. Podawane przez nią
wykładniki potęgowe skalowania widm wynosiły odpowiednio dla tych deszczomierzy 1=0,15 i 1 = 0,21oraz 2 = 0,73 i 2 = 0,96, a czasy przerwania widma tb wynosiły około 100 minut dla Vale Formoso i od 17 do 80 minut dla Nancy [7]. Dla bliżej
położonych Warszawy deszczomierzy niemieckich, Licznar i in. (2011) także stwier-
Studia nad zmiennością miejskiego pola opadowego z wykorzystaniem analizy Fouriera
145
dzili występowanie przerwania widma dla czasu równego około 60 minut. W zbiorze
4 badanych deszczomierzy niemieckich wartości wykładników  1 wynosiły około 0,5,
a wykładników 2 były około dwukrotnie, a nawet trzykrotnie większe. Licznar (2009)
dla Wrocławia dla szeregów opadowych z lat: 1964 i 1997 stwierdził występowanie
przerwania widm dla czasów około 110 i 85 minut oraz wartości wykładnika 1 równe
0,27 i 0,28, a wykładnika 2 wynoszące 1,40 i 1,11 [5,6].
5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE
Na podstawie przeprowadzonej analizy Fouriera ponad dwuletnich szeregów opadowych z sieci 25 deszczomierzy MPWiK w Warszawie sformułowano następujące
wnioski końcowe:
1) Otrzymane widma mocy szeregów opadowych dowodzą skalowego charakteru
lokalnego procesu opadowego w Warszawie. Skalowy charakter widm mocy jest
zauważalny w zakresie częstotliwości odpowiadających czasom od 2 minut, do co
najmniej 24 godzin.
2) Lokalny proces opadowy w Warszawie nie ma jednak charakteru prostego procesu
fraktalnego (ściśle mówiąc monofraktalnego), gdyż dla częstotliwości około 1,1
godz-1 dla wszystkich deszczomierzy widoczne jest charakterystyczne przerwanie
widma, połączone ze zmianą wartości wykładnika potęgowego β. Sugeruje to, że
proces opadowy ma charakter wielkoskalowy, typowy dla multifraktali. Zachęca to
do dalszego kontynuowania analiz pola opadowego Warszawy z wykorzystaniem
narzędzi warsztatu multifraktalnego.
3) Stwierdzone zróżnicowanie parametrów opisujących widma mocy dla poszczególnych deszczomierzy świadczy o zróżnicowaniu struktury samego procesu opadowego w obrębie miejskiego pola opadowego. Zasadnym jest zatem kontunuowanie
badań mających na celu lepsze poznanie przestrzennej i czasowej zmienności miejskich pól opadowych.
Badania zrealizowano na przełomie lat 2012-2013 w ramach projektu badawczego
NCN nr 2011/03/B/ST10/06338, pt: Przestrzenno-czasowa analiza i modelowanie
miejskiego pola opadowego.
LITERATURA
[1]
KIELY G., IVANOVA K.: Multifractal Analysis of Hourly Precipitation, Physic and Chemistry of
the Earth, 1999, Vol, 24, No, 7, 781-786,
146
D. DŻUGAJ i in.
[2]
KOTOWSKI A.: Analiza metodologii modelowania opadów do wymiarowania kanalizacji, Zeszyty
Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Budownictwo i Inżynieria Środowiska, 2011, nr 2, 127-146,
[3] KOTOWSKI A., KAŹMIERCZAK B., DANCEWICZ A.: Modelowanie opadów do wymiarowania
kanalizacji, Studia z zakresu inżynierii, Warszawa, Polska Akademia Nauk, 2010,
[4] KRAJOWY ZARZĄD GOSPODARKI WODNEJ: Program wodno-środowiskowy kraju [online],[dostęp 28 stycznia 2013] Warszawa 2010, Dostępny w Internecie: http://kzgw,gov,pl/Programwodno-srodowiskowy-kraju,html,
[5] LICZNAR P.: Generatory syntetycznych szeregów opadowych do modelowania sieci kanalizacji
deszczowych i ogólnospławnych, Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu 2009, ISBN: 978–83–60574–72–0,
[6] LICZNAR. P. SCHMITT T.G., RUPP D.E.: Distribution of Microcanonical Cascade Weights of
Rainfall at Small Timescales, Acta Geophysica, 2011, no 5, 1013-1043,
[7] LIMA M. I. P.: Multifractals and the temporal structure of rainfall. Doctoral dissertation, Wageningen Agricultural University, Wageningen, 1998,
[8] LYONS G, R.: Wprowdzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Warszawa: Wydawnictwa
Komunikacji i Łączności 2006, ISBN: 978-83-206-1318-6,
[9] MROWIEC M.: Efektywne wymiarowanie i dynamiczna regulacja kanalizacyjnych zbiorników
retencyjnych, Częstochowa: Wydawnictwo Politechniki Częstochowskiej 2009, ISBN:978-837193-424-7,
[10] RUPP D.E., LICZNAR P., ADAMOWSKI W., LEŚNIEWSKI M.: Multiplicative cascade models
for fine spatial downscaling of rainfall: parameterization with rain gauge data, Hydrology and
Earth System Science, 2012, no 16, 671-684,
[11] STATSOFT Electronic Statistic Textbook, Internetowy Podręcznik Statystyki, [online], [dostęp 27
stycznia 2013], Dostępny w Internecie: http://www,statsoft,pl/textbook/stathome,html.
STUDY ON VARIABILITY OF URBAN PRECIPITATION FIELD USING FOURIER ANALYSIS
Analysis results of rainfall time series originating from the network of 25 rain gauges deployed in
Warsaw are presented in this article. Power spectra developed for all rain gauges were characterized by
the presence of a clear scaling break of the spectrum and their division into two scaling intervals with
different exponents values. An analysis of the spectrum break times and the power spectra scaling exponents values sets showed variability of precipitation conditions within the urban precipitation field.