Uwaga: przy wprowadzaniu listy pytan zapomniałem o pytaniach z

Uwaga: przy wprowadzaniu listy pytań zapomniałem o pytaniach z wykładu 14.12.2004:
1. Jakich statystyk używamy do wykrywania obserwacji nietypowych i outlier’ów?
2. Kiedy mówimy, że zmienne w modelu sa˛ ściśle współliniowe?
3. Za pomoca˛ jakiej statystyki można wykryć współliniowość w modelu?
4. Co to znaczy, że estymator jest zgodny?
oraz o pytaniu z ostatniego wykładu:
1. Wymień znane ci odporne macierzy wariancji kowariancji i wyjaśnij, kiedy
je stosujemy.
Pytania te obowiazuj
˛ a˛ na egzaminie
Errata do zdań ze zbiorku
Odpowiedź do zadania 1.9 (usuni˛ecie transpozycji przy x i zastapieniu
˛
β przez b)
punkt 1
P
Jeśli b0 i b sa˛ estymatorami MNK, to zachodzi ei = 0. Zatem:
X
yi = b0 + xi b + ei ,
X
X
X
yi =
b0 +
xi b +
e,
P
P
yi
nb0
0
xi b
=
+
+ ,
n
n
n
n
y = b0 + xb.
i
punkt 2
Jeśli b jest estymatorem MNK, to:
yi
yi − y
yi∗
yi∗
yi∗
ei
= b0 + xi b + ei ,
= b0 + xi b + ei − y,
= xi b + ei − x0 b,
= (xi − x) b + ei ,
= x∗i b + ei =⇒
= yi∗ − x∗i b
Odpowiedź do zadania 1.11 punkt 2 (zamiana γ 2 na β 2 )
100
p∗ = 1+c 1 = 1−
1 = 200
β2
2
Odpowiedź do zadania 1.13
punkt 1 (zagubiony logarytm w ostatniej formule)
µ
P
¶
µ
¶
· µ
¶¸2
kpB
kinc
kinc
+ α3 ln
+ α3 ln
kpA
kpA
kpA
µ ¶
µ
¶
· µ
¶¸2
pB
inc
inc
= α 1 + α2
+ α3
+ α3 ln
pA
pA
pA
µ ¶
qA
= ln
pA
=
α1 + α2 ln
1
α2 )
punkt 2,3 (zamiana kolejności)
punkt 2 (bł˛ednie oznaczony jako 3)
i podobnie w przypadku ostatniej formy funkcyjnej eqA ,pB = α2 (zamiana α3 na
punkt 3 (bł˛ednie oznaczony jako 2)
(zamiana γ 4 na β 4 )
ln qA
eq,inc = ∂∂ ln
inc = β 4 i nie zależy od poziomu dochodu
(odwrócony kierunek nierówności)
a luksusowym dla eq,inc > 1
(pomyłka w przekształceniach)
Dobro b˛edzie wi˛ec dobrem podrz˛ednym dla
µ
¶
inc
α3 + 2α4 ln
<0
pA
µ
¶
inc
α3
< exp −
pA
2α4
Dobrem niezb˛ednym dla
µ
α3 + 2α4 ln
inc
pA
¶
<1
µ
¶
1 − α3
inc
< exp
pA
2α4
³
´
1−α3
a dobrem luksusowym dla inc
.
pA > exp
2α4
Odpowiedź do zadania 1.14 (zamiast wyn1 było educ1 etc.)
E (ln wyn1 )−E (ln wyn2 ) = E (ln wyn3 )−E (ln wyn4 ) = E (ln wyn4 )−E (ln wyn5 ) = β
przy czym jako wyns oznaczyliśmy tu wynagrodzenie respondenta, który osiagn
˛ a˛
poziom wykształcenia s. Procentowy oczekiwany przyrost płacy dla dodatkowego osiagni˛
˛ etego poziomu edukacji jest wi˛ec taki sam niezależnie od tego jaki poziom edukacji
respondent już uzyskał.
Odpowiedź do zadania 1.16 (bład
˛ rachunkowuy)
1

0
0
8
1
0 .
Var[b] =  0 44
1
0 0 88
Odpowiedź do zadania 2.2
punkt 1 (bład
˛ rachunkowy)
i−1
h
−1
0
(Hb − h)
(Hb − h) H (X0 X) H0
s2
¡ 1 ¢ ¡ 5 ¢−1 ¡ 1 ¢
− 2 11
−2
5
=
=
2
88
Stosujac
˛ podany wzór otrzymuje si˛e wartość statystyki testujacej
˛ F (1, 47) = 0.06.
2
punkt 4 (bład
˛ rachunkowy)

x0T +1 Var [b] xT +1 =
£
1
x2T +1
x3T +1
¤
1

[s2 (X0 X)−1 ]  x2T +1  = 20. 35
x3T +1
Var[yT +1 − ybT +1 ] = x0T +1 Var [b] xT +1 + s2
= 20. 35 + 2 = 22. 35
punkt 5 (bł˛edny wzór na przedział ufności)
Przedział ufności b2 ± t47,0.975 × se (b2 ) ≈ (−0.51, 3.51)
Odpowiedź do zadania 2.4
punkt 2 (zmiana γ na β uwzgl˛ednienie ograniczenia, że β 0 = 0)
Jeżeli narzucone zostana˛ ograniczenia na współczynniki równiania, to model można
zapisać jako:
yi = β 2 xi1 + β 2 xi2 + (1 − β 2 )xi3 + ²i
= β 2 (xi1 + xi2 − xi3 ) + xi3 + ²i,
wobec tego nowe zmiene można zapisać jako:
yi∗ = yi − xi3 ,
x∗i = [xi1 + xi2 − xi3 ].
˛ rachunkowy)
punkt 3 (bład
F =
(SR − S)/ g
(20 − 10)/ 3
=
= 25/ 3 = 8.33
S/ (N − K)
10/ (29 − 5)
Odpowiedź do zadania 2.7 punkt 4 (bład
˛ rachunkowy)
F =
(148 − 100)/ 3
(SR − S)/ g
=
= 16/ 5 = 3.20.
S/ (N − K)
100/ (25 − 5)
Odpowiedź do zadania 3.1 punkt 1 (bład
˛ liczbowy)
płaca kobiet wzrasta średnio o 0, 065%
Odpowiedź do zadania 3.2 punkt 5 (pewne zmiany w sposobie wyjaśnienia)
Po usuni˛eciu zmiennej zmiennej paeduc rozwiazany
˛
zostanie problem współliniowości, w zwiazku
˛
z tym spadna˛ odchylenia standardowe, wzrosna˛ statystyki t ale F
pozostanie na tym samym poziomie, ponieważ po usuni˛eciu paeduc zniknie problem
współliniowości, w zwiazku
˛
z tym poziom 7 padeg nie b˛edzie przez STATE˛ usuwany a
suma kwadratów reszt pozostanie ta sama co w modelu z paeduc, bo zmienna paeduc
była i tak niepotrzebna.
Odpowiedź do zadania 4.3 punkt 8 (nie elestyczność ale zwykły współczynnik)
Współczynnik przy zmiennej oznacza, że wzrost PKB o 1% spowoduje spadek
stopy bezrobocia o 0.72%.
3