Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 13.01.2017 1 1. W walcu

Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 13.01.2017
1
1. W walcu o promieniu R i długości l, w odległości a = 23 R od osi walca, wydra˛żono równolegle
do tej osi walcowy otwór o promieniu r = 4r i wypełniono go substancja˛ o g˛estości n = 11
razy wi˛ekszej od g˛estości, z której wykonana jest reszta walca. Nast˛epnie walec ten położono
na desce. Jaki może być najwi˛ekszy kat
˛ nachylenia α deski do poziomu, przy którym walec
może jeszcze znajdować si˛e w równowadze, jeżeli współczynnik tarcia wynosi µ?
h
i
3
2. Na czastk˛
˛ e o masie m działa siła zależna od położenia F (x) = −k x − xa2 gdzie a i k sa˛
dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze.
• wyliczyć i naszkicować wykres energii potencjalnej V (x), wiedzac
˛ że V (0) = 0.
• Znaleźć i sklasyfikować wszystkie punkty równowagi, w których czastka
˛
może si˛e znaleźć.
• W jakim obszarze może poruszać si˛e czastka,
˛
gdy jej całkowita energia mechaniczna E
wynosi ka2 /8?
• Dla jakich wartości całkowitej energii mechanicznej E istnieja˛ punty zwrotne?
3. Pionowo ustawiony zbiornik cylindryczny o promieniu podstawy R wypełniony jest woda˛ do
wysokości h. W dnie zbiornika znajduje si˛e otwór o promieniu r. Obliczyć czas τ w jakim
woda wypłynie ze zbiornika.
4. Z jaka˛ siła˛ działa woda na boczna˛ prostokatn
˛ a˛ ściank˛e naczynia o wymiarach a × b, kiedy
naczynie jest całkowicie wypełnione woda.˛
5. Cylindryczny spławik o promieniu podstawy R wysokości h, g˛estości %s pływa w cieczy o g˛estości %. Spławik podniesiono do góry o x0 a nast˛epnie puszczono swobodnie. Jaki ruch
wykonuje spławik? Znajdź zależność położenia (zanurzenia) spławika od czasu.
6. Ciało o masie M ma moment bezwładności Icm wzgl˛edem osi przechodzacej
˛ przez środek
masy. Znaleźć okres T małych drgań jeżeli ciało zawieszono w punkcie odległym od środka
masy o d. Dla jakich dwóch odległości d1 i d2 punktu zawieszenia od środka masy otrzyma si˛e
taki sam okres drgań? Znaleźć dla jakiej odległości dm punktu zawieszenia okres ma wartość
minimalna.˛
r
M
M
k
m
Rys. 1
R
k
Rys. 2
Rys. 3
7. Znajdź małe drgania układu (Rys. 1) składajacego
˛
si˛e ze spr˛eżyny o stałej spr˛eżystości k i ci˛eżarka o masie m połaczonego
˛
ze spr˛eżynka˛ nieważka˛ i nierozciagliw
˛
a˛ linka.˛ Linka została
przerzucona przez bloczek o masie M i promieniu r, który może obracać si˛e bez tarcia wokół
swojej osi. Moment bezwładności bloczka wynosi I = 21 M r2 .
8. Środek jednorodnego walca jest przyczepiony do ściany za pomoca˛ spr˛eżyny (Rys. 2). Obliczyć cz˛estość drgań walca, wiedzac
˛ że stała spr˛eżystości spr˛eżyny wynosi k, masa walca
wynosi M , a jego promień R.
9. Znaleźć okres małych drgań wahadła fizycznego składajacego
˛
si˛e z dwóch kól o masach m1 ,
m2 (m2 > m1 ) i promieniach R1 , R2 (R2 > R1 ) połaczonych
˛
pr˛etem o masie m i długości L
jeśli osia˛ obrotu jest środek pr˛eta łacz
˛ acego
˛
kule (Rys. 3).
Postawy fizyki: Mechanika MT, grupa 2 — 13.01.2017
2
10. Pusty cylinder o promieniu R leży poziomo. Wewnatrz
˛ cylindra znajduje si˛e walec o promieniu
r (Rys. 4). Walec może si˛e toczyć bez poślizgu wewnatrz
˛ cylindra. Obliczyć okres T małych
drgań walca wokół położenia równowagi.
Rys. 4
PFG