Liczby Fibonacciego w przyrodzie

Transkrypt

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)
dr hab. inż. Małgorzata Sterna
[email protected]
www.cs.put.poznan.pl/msterna/
REKURENCJA
Matematyka Dyskretna
© Małgorzata Sterna
DEFINICJA REKURENCYJNA CIĄGU
Ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeśli:
określony jest pewien skończony zbiór wyrazów ciągu
(pierwszy lub kilka pierwszych wyrazów) –
warunek początkowy (P),
pozostałe wyrazy ciągu zdefiniowane są za pomocą poprzednich
wyrazów ciągu
(wzór, równanie, zależność rekurencyjna) –
warunek rekurencyjny (R).
Poprawność definicji rekurencyjnych dowodzi się w oparciu o
zasadę indukcji matematycznej
(pierwszą lub drugą w zależności od postaci definicji).
2
DEFINICJA REKURENCYJNA CIĄGU - PRZYKŁAD
definicja rekurencyjna ciągu wartości
n
1
suma(n)  
dla n  N
k 0 k!
warunek początkowy (P): suma(0)=1
warunek rekurencyjny (R): suma(n  1)  suma(n) 
1
dla n  N
(n  1)!
definicja rekurencyjna ciągu wartości o wzorze jawnym
xn=2na+(2n-1)b, dla nN
warunek początkowy (P): x0=a
warunek rekurencyjny (R): xn=2xn-1+b dla nZ+
3
CIĄGI DEFINIOWANE REKURENCYJNIE
Wyrazy ciągu xn zdefiniowanego rekurencyjnie można wyznaczyć
stosując:
obliczenia iteracyjne:
czyli wyznaczając x0, x1, x2, ..., xn,
obliczenia rekurencyjne:
wyznaczające wartość wyrazu ciągu w oparciu o wartości
pewnego podzbioru jego poprzedników.
4
PRZYKŁAD
P: x0=0
x1=1
R: x n  x  n   x  n  , dla n  2, n  N
2
 
5
 
Należy wyznaczyć x72.
w obliczeniach iteracyjnych wyznaczamy 73 wyrazy:
x0, ..., x72
w obliczeniach rekurencyjnych tylko 10 wyrazów:
x0, x1, x2, x3, x4, x7, x9, x14, x18 i x36
5
PRZYKŁAD
x72  x 72  x 72  x36  x14 
 
 
 2 
 5 
 (x36   x36  )  (x14   x14  )  x18  x7  x7  x2  x18  2x7  x2 
 2 
 5 
 2 
 5 
 2 
 5 
 2 
 5 
 (x18   x18  )  2(x 7   x 7  )  (x2   x 2  ) 
2 
 5 
 x9  x3  2x3  2x1  x1  x0  x9  3x3  3x1  x0 
 (x 9   x 9  )  3(x3   x 3  )  3x1  3x0 
 2 
 5 
2 
 5 
 x4  x1  3x1  3x0  3x1  x0  x4  7x1  4x0 
 x 4   x 4   7 x1  4x0 
 2 
 5 
 x2  x0  7x1  4x0  x2  7x1  5x0 
 x2   x 2   7 x1  5x0 
2 
x n  x  n   x  n  , dla n  2,n  N
2
 
5
 
x 0  0, x1  1
 5 
 x1  x0  7x1  5x0  8x1  6x0  8
6
DEFINICJA REKURENCYJNA ZBIORU
Definicja rekurencyjna zbioru S składa się z dwóch części:
warunku początkowego (P):
XS, gdzie X jest pewnym konkretnym zbiorem,
warunku rekurencyjnego (R):
jeśli element s powstaje z elementów zbioru S
w wyniku zastosowania pewnych reguł,
to sS.
przykład: zbiór nieparzystych liczb całkowitych dodatnich
S = {1, 3, 5, 7, 9, …}
S = {2n+1: nN}
warunek początkowy:
warunek rekurencyjny:
1 S
  (a  2)  S
aS
7
DEFINICJA REKURENCYJNA ZBIORU
W oparciu o definicję rekurencyjną zbiór S
konstruowany jest ze zbioru X stopniowo,
tzn. X=S0  S1  S2  ...  Sn  ...,
w taki sposób, że:
S0 = X
Sn+1= suma zbioru Sn i
zbioru elementów skonstruowanych z elementów Sn
za pomocą reguły rekurencyjnej
(zbiór tych elementów S,
które mogą zostać skonstruowane z elementów X
w wyniku co najwyżej (n+1)-krotnego
zastosowania reguły rekurencyjnej)

S   Sn
n 0
8
UOGÓLNIONA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ
DLA ZBIORÓW DEFINIOWANYCH REKURENCYJNIE
Załóżmy, że S jest zbiorem zdefiniowanym rekurencyjnie
i z każdym sS związane jest zdanie p(s).
Jeśli
(1) dla każdego sX zdanie p(s) jest prawdziwe
i
(2) zdanie p(s) jest prawdziwe dla każdego elementu s,
utworzonego z takich elementów tS,
dla których p(t) jest prawdziwe
to
zdanie p(s) jest prawdziwe dla każdego sS.
[  p(s)  [
sX

sS
sR( t ):tS
p(t)  p(s)]]   p(s)
sS
gdzie s=R(t) oznacza, że element s powstaje przez zastosowanie reguły
rekurencyjnej R do elementu t.
9
UOGÓLNIONA ZASADA INDUKCJI MATEMATYCZNEJ
DLA ZBIORÓW DEFINIOWANYCH REKURENCYJNIE
[  p(s)  [
sX

sS
sR( t ):tS
p(t)  p(s)]]   p(s)
Dla zbioru liczb naturalnych, N,
zdefiniowanego rekurencyjnie jako:
sS
P : 0 N
R :  (n  1)  N
nN
uogólniona zasada indukcji matematycznej brzmi następująco:
jeśli
(1) p(0) jest prawdziwe
i
(2) dla dowolnego nN,
p(n+1) jest prawdziwe, jeśli p(n) jest prawdziwe,
to
p(n) jest prawdziwe dla wszystkich nN
i jest równoważna pierwszej zasadzie indukcji matematycznej.
10
ZALEŻNOŚCI REKURENCYJNE
Z uwagi na fakt, iż wiele zależności występujących w przyrodzie,
matematyce, fizyce itd. ma charakter rekurencyjny
opracowano techniki uzyskiwania wzorów jawnych
dla zależności rekurencyjnych określonych typów.
Metody ogólne rozwiązywania zależności rekurencyjnych podane
zostaną dla :
liniowych jednorodnych zależności rekurencyjnych 1-szego rzędu,
liniowych jednorodnych zależności rekurencyjnych 2-giego rzędu,
liniowych jednorodnych zależności rekurencyjnych k-tego rzędu.
Nie są znane metody ogólne rozwiązywania zależności
rekurencyjnych niejednorodnych.
11
LINIOWA ZALEŻNOŚĆ REKURENCYJNA PIERWSZEGO
RZĘDU ZE STAŁYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI
an+1 + can = f(n)
gdzie:
n - liczba naturalna (nN),
c - pewna stała,
f(n) - pewna funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych.
Gdy f(n)=0 dla wszystkich nN,
to zależność nazywamy jednorodną (an+1=dan).
Dla pozostałych funkcji jest to zależność niejednorodna.
12
PRZYKŁAD
Liniowa jednorodna zależność rekurencyjna 1-szego rzędu
postaci:
an+1 = 3an
a0=5, n0
definiuje ciąg 5, 15, 45, 135, ... .
Liniowa niejednorodna zależność rekurencyjna 1-szego rzędu
postaci:
an = an-1+(n-1) a1=0, n2
definiuje ciąg 0, 1, 3, 6, 10, ... .
13
TWIERDZENIE
Istnieje jednoznaczne rozwiązanie zależności rekurencyjnej
an+1 = dan, dla n0, stałych d i a0
postaci an = a0dn, dla n0.
Przykład
Dla liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej 1-szego rzędu
an+1 = 3an, gdzie a0=5, n0
wzór jawny na n-ty element ciągu ma postać (d=3):
an= a0dn =5(3)n.
a0=5
a0 = 5(3)0 =5
a1=3a0 = 15
a1 = 5(3)1 =15
a2=3a1 = 45
a2 = 5(3)2 =45
a3=3a2 = 135
a3 = 5(3)3 =135
...
...
a15=?
a15=5(3)15 =71 744 535
14
LINIOWA ZALEŻNOŚĆ REKURENCYJNA DRUGIEGO
cnan + cn-1an-1+cn-2an-2 = f(n)
gdzie:
n
cn, cn-1, cn-2
f(n)
- liczba naturalna (nN), n2,
- pewne stałe rzeczywiste (cn, cn-1, cn-2R), cn 0, cn-20
- pewna funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych.
Gdy f(n)=0 dla wszystkich nN, to zależność nazywamy jednorodną.
Metoda ogólna rozwiązywania liniowej jednorodnej zależności
rekurencyjnej drugiego rzędu
opiera się na rozwiązaniu równania charakterystycznego.
15
RÓWNANIE CHARAKTERYSTYCZNE
Przewidywane rozwiązanie zależności
cnan + cn-1an-1+cn-2an-2 = 0, dla n2, cn 0, cn-20
ma postać
an=crn, gdzie c0, r0.
Po podstawieniu do zależności rekurencyjnej otrzymujemy równanie
cncrn + cn-1crn-1 + cn-2crn-2 = 0,
które upraszcza się (c,r0) do równania charakterystycznego postaci:
cnr2 + cn-1r + cn-2 = 0
Jeśli równanie charakterystyczne ma:
dwa różne pierwiastki r1, r2
to,
jeden pierwiastek podwójny r to,
an=ĉ1r1n+ ĉ2r2n
an=ĉ1rn+ ĉ2nrn
dla pewnych stałych ĉ1, ĉ2,
których wartości można wyznaczyć w oparciu
o wartości początkowe ciągu a0 i a1.
16
PRZYKŁAD
Liczby Fibonacciego definiuje jednorodna zależność rekurencyjna 2giego rzędu ze stałymi współczynnikami postaci:
Fn+2 = Fn+1 + Fn dla n0, F0 =0, F1=1
czyli
Fn+2 - Fn+1 – Fn = 0.
Zakładamy, że rozwiązanie ma postać Fn=crn.
Po podstawieniu do zależności rekurencyjnej otrzymujemy równanie
crn+2 – crn+1 - crn = 0,
które upraszcza się do równania charakterystycznego postaci:
r2 - r - 1 = 0
1 5
o 2 różnych pierwiastkach:
czyli ciąg ma wzór jawny:
r1 
2
1 5
r2 
2
n
n
  1 5    1 5 
  c2 

Fn  c1



 2 
 2 
17
PRZYKŁAD
n
Ponieważ
to
n
  1 5    1 5 
  c2 

Fn  c1



2
2




 
F0  c1  c 2  0

1
ĉ1  

5
1
1







 1 5
 1 5
  c2 
 1 
1
F1  c1



ĉ

2
 2 
 2 

5
Rozwiązując zależność rekurencyjną otrzymano wzór jawny na n-ty wyraz ciągu
Fibonacciego:
n
n
1  1  5   1  5  
 
 ,

Fn 



5  2   2  


F0 = 0
F1 = 1
F2 = F1+F0 = 0 + 1 = 1
F3 = F2+F1 = 1 + 1 = 2
F4 = F3+F2 = 2 + 1 = 3
...
F13=?
dla n  0
13
13





1 1 5
1 5 
 
   233

F13 



2  
5  2 



18
LINIOWA ZALEŻNOŚĆ REKURENCYJNA K-TEGO
cnan + cn-1an-1+... + cn-kan-k = f(n)
gdzie:
n
- liczba naturalna (nN),
k
- liczba całkowita dodatnia (kZ+), nk,
cn, cn-1, ..., cn-k - pewne stałe rzeczywiste (cn,cn-1, ..., cn-kR), cn 0, cn-k0
f(n)
- pewna funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych.
Gdy f(n)=0 dla wszystkich nN, to zależność nazywamy jednorodną.
Metoda ogólna rozwiązywania liniowej jednorodnej zależności
rekurencyjnej k-tego rzędu ze stałymi współczynnikami
jest uogólnieniem metody rozwiązującej zależność rekurencyjną rzędu
drugiego.
19
Dla zależności rekurencyjnej rzędów wyższych niż 2 postaci:
cnan + cn-1an-1+... + cn-kan-k = 0
równanie charakterystyczne powstałe przez podstawienie przewidywanego
rozwiązania
an=crn (c0, r0)
jest również równaniem rzędu wyższego niż 2.
Każdy z pierwiastków równania charakterystycznego wprowadza do
rozwiązania an pewien czynnik:
pierwiastek m-krotny r (2mk):
(ĉ1 + ĉ2n + ĉ3n2 + ... +ĉmnm-1)rn
pierwiastek pojedynczy r:
ĉ 1r n
gdzie ĉ1, ĉ2, ..., ĉm są pewnym stałymi, których wartości można wyznaczyć
w oparciu o wartości początkowe ciągu.
20
PROBLEMY REKURENCYJNE
Problemy rekurencyjne są to problemy
rozwiązywane w oparciu o rekurencję,
tzn. rozwiązanie problemu o pewnym rozmiarze
uzyskiwane jest w oparciu o rozwiązanie tego samego problemu
o mniejszym rozmiarze.
PROBLEM WIEŻ Z HANOI
8
7
6
5
4
3
2
1
A
B
C
W jakiej minimalnej liczbie ruchów, T8,
można przenieść wszystkie krążki z jednego pręta na drugi,
przenosząc je pojedynczo
i nigdy nie kładąc większego na mniejszy?
22
WYZNACZENIE WARUNKÓW POCZĄTKOWYCH
Analiza problemów o małym rozmiarze
n=0
n=2
T0=0
A
B
C
T2=3
2
1
A
B
C
B
C
2
1
A
n=1
T1=1
1
A
B
1
C
A
2
B
C
1
A
B
1
C
A
B
2
C
23
ODGADNIĘCIE WZORU OGÓLNEGO
Aby wykonać zadanie należy:
należy w Tn-1 ruchach przenieść n-1 krążków na pręt pomocniczy,
pozostały n-ty (największy krążek) przesunąć w jednym ruchu na pręt docelowy
przełożyć pozostałe n-1 krążków w Tn-1 ruchach na pręt docelowy
Należy więc wykonać co najmniej Tn=2Tn-1+1 ruchów dla n>0 (T0=0).
24
WYZNACZENIE WZORU JAWNEGO
Zależność rekurencyjna Tn=2Tn-1+1 (n>0, T0=0) jest niejednorodna.
T0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
=0
=2·0 + 1
=2·1 + 1
=2·3 + 1
=2·7 + 1
=2·15 + 1
=2·31 + 1
...
=0
=1
=3
=7
=15
=31
=63
...
=20-1
=21-1
=22-1
=23-1
=24-1
=25-1
=26-1
...
Tn=2n-1, n0
zależność rekurencyjna:
Tn=2Tn-1+1, T0=0, n>0
wzór jawny:
Tn=2n-1, n0
25
DOWÓD POPRAWNOŚCI WZORU JAWNEGO
Dowód poprawności poczynionej obserwacji
(wzoru jawnego na liczbę ruchów Tn=2n-1, n0)
oparty jest o zasadę skończonej indukcji matematycznej:
warunek początkowy dla n=0
n=0
A
B
C
T0=20-1=0
krok indukcyjny: (Tn=2n-1)  (Tn+1=2n+1-1) dla dowolnego nN
Tn+1= 2Tn+1 =2(2n-1)+1 =2n+1-2+1 =2n+1-1
z zależności
rekurencyjnej
z założenia o
prawdziwości hipotezy
indukcyjnej
teza
c.b.d.u.
26
PROBLEM WIEŻ Z HANOI
minimalna liczba kroków koniecznych do przełożenia n krążków
wynosi:
T0=0
Tn=2Tn-1+1, n>0
Tn=2n-1, n0
problem sformułowany przez Eduarda Lucas’a w 1883 roku dla
n=64:
T64 = 264-1 = 18 446 744 073 709 551 615
1 przesunięcie krążka na μs  ok. 500 000 lat
27
ALGORYTMY REKURENCYJNE
Algorytmy rekurencyjne, to metody wywołujące same siebie.
Warunki poprawności algorytmu rekurencyjnego:
algorytm musi zakończyć działanie
tzn. muszą zostać zdefiniowane przypadki początkowe,
w których wynik jest uzyskiwany
bez kolejnych wywołań rekurencyjnych (warunek wyjścia z rekurencji),
algorytm musi generować poprawne wyniki
w przypadkach początkowych,
kolejne wywołania rekurencyjne algorytmu
powinny przybliżać metodę do przypadków początkowych,
algorytm musi generować poprawne wyniki,
jeśli wszystkie wywołania rekurencyjne
generowały poprawne wyniki.
28
PRZYKŁAD ALGORYTMU REKURENCYJNEGO
przypadki początkowe dla n  {0,1}
Fibonacci (n)
begin
if n  1 then
else
end.
Fibonacci:=n
Fibonacci:=Fibonacci(n-1)+ Fibonacci(n-2);
wywołanie rekurencyjne
29
OGÓLNY SCHEMAT ALGORYTMU REKURENCYJNEGO
Rekurencja (I,O)
jeśli dana I jest jakimś przypadkiem początkowym, to
wynik O staje się tym, czym być powinien
w przeciwnym wypadku
znajdź pewne dane Ik, bliższe przypadkowi początkowemu niż I,
Rekurencja(Ik,Ok) dla każdego Ik,
wykorzystaj wszystkie wyniki Ok aby wyznaczyć O.
Warunki poprawności algorytmu:
jeśli I jest przypadkiem początkowym, to wynik O ma właściwą wartość,
jeśli każdy wynik Ok ma właściwą wartość przy wywołaniu Rekurencja(Ik,Ok),
to wynik O ma właściwą wartość dla danej I.
Mówimy, że dane I można otrzymać ze zbioru danych {I1, I2, ..., Im},
jeśli w algorytmie Rekurencja(I,O)
wynik O może być obliczony z wyników O1,O2,...,Om
uzyskanych z poszczególnych wywołań
Rekurencja(I1,O1), Rekurencja(I2,O2), ..., Rekurencja(Im,Om).
30
PRZYKŁAD ALGORYTMU REKURENCYJNEGO
dane I
Fibonacci (n)
begin
dane I1
dane I2
if n  1 then Fibonacci:=n
else
Fibonacci:=Fibonacci(n-1)+ Fibonacci(n-2);
end.
wynik O1
wynik O2
wynik O
np. dane I=2 można otrzymać z danych I1=1 i I2=0,
ponieważ wynik O=F2 dla I=2
jest obliczony na podstawie wyników
O1=F1 dla I1=1 i
O2=F0 dla I2=0
31
POPRAWNOŚĆ ALGORYTMU REKURENCYJNEGO
S -
zbiór danych, dla których algorytm może wyliczyć wyniki ma postać:
P: X jest zbiorem przypadków początkowych, XS
R: jeśli dane I można otrzymać z danych I1, I2, ..., Im S, to IS
p(I) – zdanie postaci „algorytm generuje poprawny wynik dla danych I”.
Prawdziwość zdania p(I) dla każdej IS gwarantuje poprawność algorytmu.
Dowód oparty o uogólniona zasadę indukcji dla zbiorów definiowanych rekurencyjnie:
Jeśli
(1) p(I) jest prawdziwe dla wszystkich IX
i
(2) p(I) jest prawdziwe dla wszystkich danych I,
które można otrzymać z takich danych IkS,
dla których p(Ik) są prawdziwe
to
p(I) jest prawdziwe dla każdego IS.
32
POPRAWNOŚĆ ALGORYTMU REKURENCYJNEGO
Przy konstrukcji algorytmów rekurencyjnych, należy rozważyć:
zasadność stosowania rekurencji, możliwość zastosowania
efektywnego podejścia iteracyjnego,
dopóki g,
wykonuj S
vs
rekurencja()
jeśli g jest fałszywe to
nic nie rób,
w przeciwnym wypadku
S
rekurencja()
poprawność sformułowania warunku początkowego, który musi
gwarantować zatrzymanie metody,
ograniczenia pamięciowe związane z maksymalnym
zagłębieniem rekurencji,
…
33

Liczby Fibonacciego w przyrodzie

Transkrypt

Podobne dokumenty

Literatura o OK: ,,Jak oceniać aby uczyć?" Paul Black, Christine

Grupa B – Kraków 1. Budek Anna 2. Gabryszewska Monika

komunikat nr 3

L. P Nazwa zespołu Przewodniczący/Członkowie 1. Zespól ds

Poszukujemy pomocy domowej z zamieszkaniem

Matematyka dyskretna - zadanie bonusowe na 4. marca Zadanie 74

Nowe perspektywy funkcjonowania rynku finansowego

PSYCHOLOGIA ROZWOJOWA DZIECKA Gr. IV Busko

ZAWIADOMIENIE z dnia 15 stycznia 2016 r. K.1001