Wersja elektroniczna artykułu

ELEKTRYKA
Zeszyt 1 (229)
2014
Rok LX
Andrzej ZAWADZKI, Maciej WŁODARCZYK
Politechnika Świętokrzyska w Kielcach
ZASTOSOWANIE RACHUNKU UŁAMKOWEGO RZĘDU
DO MODELOWANIA PEWNEJ KLASY GENERATORÓW
NIELINIOWYCH
Streszczenie. W pracy przedstawiono metodę linearyzacji nieliniowego równania
stanu z zastosowaniem geometrycznej transformacji zmiennych stanu. Do konstrukcji tej
transformacji wykorzystano elementy algebry Liego. Podano odpowiednie definicje
i twierdzenia, na podstawie których dokonano linearyzacji nieliniowego równania stanu
drugiego rzędu, opisującego pewien nieliniowy generator. Następnie w zlinearyzowanym
równaniu, zmieniając operator różniczkowy pierwszego rzędu na operator rzędu
ułamkowego, uzyskano liniowy ciągły układ ułamkowego rzędu, który rozwiązano
stosując macierzowe funkcje Mittag-Lefflera. Uzyskane wyniki w porównaniu
z rozwiązaniem równania pierwszego rzędu przedstawiono na wykresach. Obliczenia
wykonano dla rzędów mniejszych i większych od jednego, co pozwoliło na wyciągnięcie
pewnych wniosków.
Słowa kluczowe: układ nieliniowy, linearyzacja, pochodna ułamkowego rzędu
APPLICATION OF FRACTIONAL DIFFERENTIAL CALCULUS USED
TO MODELING A CLASS OF NONLINEAR GENERATORS
Summary. Linearization method for nonlinear equation of state by using the
geometric transformation of the state variables is shown in the paper. Some elements of
Lie algebra was used for the construction of this transformation. All necesary definitions
and principles that are required to linearize the nonlinear state equation describing
a second-order non-linear generator is shown. Continuous linear fractional system is the
result of change of the first order differential operator on the order of the fractional
operator in the linearized equation. It was solved by using matrix Mittag-Leffler
functions. A comparison of the results with the solution of equations of the first order is
made. The results are shown in diagrams. The calculations were made for the lower and
higher than first orders of equations.
Keywords: nonlinear system, linearization, fractional degree derivative
A. Zawadzki, M. Włodarczyk
66
1. WSTĘP
Rzeczywiste układy fizyczne wykazują cechy nieliniowości oraz dodatkowo posiadają
zmienne w czasie parametry. Badanie takich układów sprowadza się do analizy ich modelu
matematycznego, który w ogólnym przypadku ma charakter nieliniowy. Znaczną ich część da
się opisać za pomocą układu równań różniczkowych w postaci normalnej Cauchy’ego [4, 8,
10]. Dotyczy to dynamiki obwodów elektrycznych o parametrach skupionych, układów
mechnicznych czy elektromechanicznych. Ponieważ teoria liniowych układów równań
różniczkowych w formie Cauchy’ego, tzn. rozwiązanych względem pierwszej pochodnej
wektora stanu, jest wyczerpująco opracowana, więc poszukuje się zlinearyzowanych –
najlepiej liniowych modeli układów nieliniowych. Umożliwia to badanie dynamicznego
zachowania się danego obiektu jako liniowego, a następnie powrót za pomocą transformacji
odwrotnej do układu oryginalnego. Podejście takie może być przydatne podczas badań
jakościowych układów, np.: zagadnień stabilności, sterowania czy istnienia rozwiązań
okresowych.
Ogólnie, nieliniowy model układu opisujący jego dynamikę w przestrzeni stanu można
przedstawić za pomocą następującego układu równań:
 x (t )  f x(t ), u(t ), t 

y (t )  hx(t ), u(t ), t 
(1)
gdzie: t – czas, x (t ) – pochodna wektora stanu x(t), u(t) – wektor wymuszeń, y(t) – wektor
odpowiedzi (wyjść), f i h – funkcje nieliniowe.
Współczesna teoria układów nieliniowych, w szczególności jej geometryczne ujęcie,
uzyskała zasadnicze znaczenie w zastosowaniu do linearyzacji układów nieliniowych [3, 9].
Pozwala w wielu przypadkach na przedstawienie układów nieliniowych za pomocą ich
liniowych modeli. Modele takie powstają w wyniku działania transformacji linearyzującej –
transformującej układ nieliniowy przy użyciu zmiany współrzędnych w przestrzeni stanu.
Zmiana taka polega na algebraicznej zamianie oryginalnych zmiennych stanu x(t) na nowe
zmienne z(t), ale przedstawione (opisujące układ) już w nowej przestrzeni stanu.
Obrazowo działanie takiej transformacji linearyzującej – transformującej układ nieliniowy przy użyciu zmiany współrzędnych w przestrzeni stanu można przedstawić następująco:
S ( x) :
x(t )  z (t )
(2)
gdzie: S(x) – transformacja linearyzująca, z(t) – nowy wektor stanu.
Metody te pozwalają na linearyzację (odsprzęganie i dekompozycję) układów
nieliniowych (1) do następującej postaci liniowej:
Zastosowanie rachunku ułamkowego…
67
d z (t )
 A z (t )  B v(t )
dt
w (t )  C z (t )
(3)
gdzie: z(t) i v(t) – nowe wektory stanu i wymuszenia, A, B, C – macierze odpowiednich
wymiarów, w(t) – wektor wyjść w zlinearyzowanym układzie.
W niniejszej pracy rozważane będą układy nieliniowe opisane szczególną postacią
układu (1), danego następującym równaniem:
m
d x(t )
(4)
= f (x(t )) +  gi (x) ui , x  R n
dt
i 1
gdzie: f, g1, g2, …, gm – gładkie pola wektorowe określone na rozmaitości M = Rn,
nazywanej przestrzenią stanu.
Do konstrukcji transformacji (2) wykorzystano elementy algebry Liego (własności
grupowego działania, jakim są nawiasy Liego) [1, 2, 6, 7].
2. PODSTAWOWE DEFINICJE I TWIERDZENIA
W analizie układów nieliniowych na szczególną uwagę zasługuje operacja obejmująca
pola wektorowe f oraz g określone na otwartym zbiorze M przestrzeni Rn [1, 4, 8]. Wynikiem
operacji jest nowe gładkie pole wektorowe.
Definicja. Niech f i g będą polami wektorowymi określonymi na rozmaitości M zawartej
w Rn. Nawiasami Liego pól wektorowych f i g nazywamy pole wektorowe, zdefiniowane
zależnością:
ad f g 
g
f
f 
 g  (  g) f  ( f )  g
 x
x
(5)
gdzie:  – operator Hamiltona,
 – iloczyn skalarny,
g ,f – gradienty pól wektorowych f i g.
Twierdzenie. Układ nieliniowy dynamiczny (4) w otoczeniu punktu równowagi xo, tzn.
f(xo) = 0, jest transformowalny do układu liniowego:
m
z  A z   b i  u i
i 1
(6)
wtedy i tylko wtedy, kiedy spełnione są następujące dwa warunki w otoczeniu V punktu
równowagi xo ( x  V):
j
(a) dim( span{ad f g i (x)})  n;
k
l
(b) [adf gi , adf g j ](x)  0;
1  i  m, j  0, , n  1 ;
1  i, j  m, k , l  0 .
A. Zawadzki, M. Włodarczyk
68
Dowód twierdzenia przedstawiony został w pracy [8].
Intuicyjnie zbiór układów spełniających powyższe warunki jest dość ograniczony,
dlatego układy, które nie dają się zlinearyzować, a jedynie transformują się do układów quasiliniowych mogą być dalej linearyzowane przez zastosowanie sprzężenia zwrotnego. Należy
wówczas korzystać z połączenia (kombinacji) linearyzacji poprzez transformację zmiennych
stanu i transformacji wymuszenia u(t) z zastosowaniem sprzężenia zwrotnego [4, 8, 12].
Obrazowo wektor stanu w zlinearyzowanym układzie można przedstawić jako:
z  S (x) + sprzężenie zwrotne
Składowe transformacji Si(x); 1  i  n ( S : x  z ) wyznaczymy rozwiązując następujący
układ równań różniczkowych pierwszego rzędu:
dS i , Dn i  0
(7)
dS i , ad (nf1) g  ci  0, 1  i  n
lub rozpisując:
dS1 , Dn1  0
dS1 , ad (nf1) g  c1
dS 2 , Dn2  0



(8)
dS n , D0  0
dSn , ad(nf1)g  cn
w którym kolejne dystrybucje Dn1 ; 1  i  n mają postać:
D0  span g 


D1  span g , ad (1f ) g




(9)
Dn1  span g , ad(1f )g, , ad(nf1) g
W równaniach (8), dSi ; 1  i  n są formami różniczkowymi pierwszego rzędu
reprezentowanymi przez gradienty funkcji Si (x) .
3. LINEARYZACJA UKŁADU NIELINIOWGO GENERATORA
Prezentowane metody zastosowano do linearyzacji układu równań nieliniowych, opisujących nieliniowy układ oscylacyjny drugiego rzędu. Rozpatrzono dynamiczny układ
nieliniowego generatora określonego na R+  R+ i opisanego następującym układem równań:
Zastosowanie rachunku ułamkowego…
69
x1  x1 ln x 2


 x 2   x 2 ln x1  x 2 u
(10)
i niech xo  1, 1 oraz wymuszenie u = 1(t).
Wyznaczając składowe transformacji, otrzymujemy:
T
z1  S1 ( x1 , x2 )  ln x1
z 2  S 2 ( x1 , x2 )  ln x2
(11)
Zatem, układ nieliniowy w nowych współrzędnych (z1(t), z2(t)) przyjmuje postać liniową
opisaną następującym układem równań:
d
dt
 z1 (t )   0 1  z1 (t )  0
 z (t )  
  z (t )  1 u

1
0
 2   
 2  
(12)
dla: z1 (0), z 2 (0)  S1 (1, 1), S 2 (1, 1)  0, 0 .
Rozwiązując równanie (12) i korzystając następnie z zależności (11), łatwo wyznaczyć
rozwiązania układu nieliniowego (6) w zależności od czasu o postaci:
x1 (t )  exp [1  cos t ]
x 2 (t )  exp [sin t ]
(13)
Powyższa transformacja jest zdefiniowana globalnie na R+  R+.
4. MODEL UŁAMKOWY ZLINEARYZOWANEGO RÓWNANIA
Zjawiska zachodzące w układach nieliniowych nie zawsze znajdują potwierdzenie
w eksperymentach. Dlatego dla dokładniejszego opisu rzeczywistego obwodu podejmuje się
próby zastosowania pochodnych lub całek dowolnego – niecałkowitego rzędu [11].
Stosując rachunek różniczkowy niecałkowitego rzędu do zlinearyzowanego równania
(12), otrzymuje się liniowy ciągły układ ułamkowego rzędu opisany w przestrzeni stanu
zdefiniowany następująco:
Definicja. Liniowym ciągłym układem ułamkowego rzędu opisanym w przestrzeni stanu
nazywamy układ dany następującymi równaniami:
 
 d x(t )  A x(t )  B u (t )
(14)
 d t


y (t )  C x(t )  Du
k
A. Zawadzki, M. Włodarczyk
70
Rozwiązaniem tego jest relacja [5]:
t
x(t )  Φ 0 (t )x(0)   Φ(t   ) Bu ( ) d
(15)
0
gdzie: Φ 0 (t ), Φ(t ) są funkcjami macierzowymi Mittag-Lefflera dane szeregami:
Φ 0 (t ) 
A k t k
k 0 ( k  1)


, Φ(t ) 
A k t ( k 1) 1
k 0 ( k  1) 


(16)
a Γ(α) jest funkcją Eulera.
Wyznaczenie rozwiązania (5) nie jest proste, ponieważ w związkach dla (15-16)
występują szeregi funkcyjne nieskończone. Mimo to można otrzymać wartości funkcji
przedstawionych przez te szeregi, biorąc sumę odpowiedniej liczby wyrazów tych szeregów.
a)
b)
x1 - pochodna rzedu 1 i alfa= 0.9
9
x2 - pochodna rzedu 1 i alfa= 0.9
3
alfa = 0.9
alfa = 1
8
alfa = 0.9
alfa = 1
2.5
7
2
5
u [V]
u [V]
6
1.5
4
1
3
0.5
2
1
0
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
8
9
0
10
0
1
2
3
4
5
t [s]
6
7
8
9
10
Rys. 1. Porównanie przebiegu zmiennych a) x1(t) i b) x2(t) pierwszego rzędu i ułamkowego rzędu
α=0.9
Fig. 1. Comparison of variable courses a) x1(t) and b) x2(t) of the first order and of the fractional order
α=0.9
a)
b)
x1 - pochodna rzedu 1 i alfa= 0.5
x2 - pochodna rzedu 1 i alfa= 0.5
8
3
alfa = 0.5
alfa = 1
7
alfa = 0.5
alfa = 1
2.5
6
2
u [V]
u [V]
5
1.5
4
1
3
0.5
2
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
Rys. 2. Porównanie przebiegu zmiennych a) x1(t) i b) x2(t) pierwszego rzędu i ułamkowego rzędu
α=0.5
Fig. 2. Comparison of variable courses a) x1(t) and b) x2(t) of the first order and of the fractional order
α=0.5
Zastosowanie rachunku ułamkowego…
71
a)
b)
x1 - pochodna rzedu 1 i alfa= 1.2
x2 - pochodna rzedu 1 i alfa= 1.2
30
3
alfa = 1.2
alfa = 1
25
2.5
20
2
u [V]
u [V]
alfa = 1.2
alfa = 1
15
1.5
10
1
5
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
0
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t [s]
3
3.5
4
4.5
5
Rys. 3. Porównanie przebiegu zmiennych a) x1(t) i b) x2(t) pierwszego rzędu i niecałkowitego rzędu
α=1.2
Fig. 3. Comparison of variable courses a) x1(t) and b) x2(t) of the first order and of the non-integer
order α=1,2
a)
b)
3
3
alfa = 0.5
alfa = 1
2.5
2.5
2
2
x2
x2
alfa = 0.9
alfa = 1
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
1
2
3
4
5
x1
6
7
8
0
9
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
Rys. 4. Trajektorie fazowe równania pierwszego rzędu i ułamkowych rzędów
a) α=0.9; b) α=0.5
Fig. 4. Phase trajectories of 1st order and fractional order equations a) α = 0,9; b) α = 0,5
a)
b)
3
3
alfa = 1.5
alfa = 1
2.5
2.5
2
2
x2
x2
alfa = 1.2
alfa = 1
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
5
10
15
x1
20
25
30
0
0
20
40
60
80
100
x1
120
140
160
180
200
Rys. 5. Trajektorie fazowe równania pierwszego rzędu i niecałkowitych rzędów a) α=1.2; b) α=1.5
Fig. 5. Phase trajectories of 1st order and non-integer order equations a) α = 1.2; b) α = 1.5
A. Zawadzki, M. Włodarczyk
72
I tak, na rysunkach 1, 2 i 3 przedstawiono przebiegi zmiennych stanu dla równań rzędów
ułamkowych α=0.9, α=0.5 i α=1.2. Na podstawie tych wykresów można stwierdzić, że
oscylacje zmiennych stanu dla rzędów α < 1 są tłumione, natomiast dla α > 1 są wzmacniane.
Obserwując ich trajektorie fazowe – rys. 4 i 5 - dla rzędów α < 1, położone są wewnątrz
trajektorii dla rzędu pierwszego, a dla rzędów α < 1 na zewnątrz.
5. PODSUMOWANIE
Analiza układów nieliniowych, zwłaszcza w stanach dynamicznych należy do bardzo
trudnych zadań teorii obwodów. W większości przypadków nie istnieje rozwiązanie analityczne problemu, a jedyną drogą uzyskania informacji o przebiegach prądów i rozkładach
napięcia są przybliżone metody całkowania numerycznego. Są one wprawdzie uniwersalne
i stosowane do dowolnej liczby równań różniczkowych, ale mają poważne problemy ze
stabilizacją i dokładnością rozwiązania, jeśli równania są sztywne i źle uwarunkowane.
Powszechna jest opinia, że do uzyskania dobrych wyników całkowania równań nieliniowych
potrzebna jest wstępna znajomość rozwiązania problemu. Dlatego transformacja opisu
nieliniowego w liniowy poprzez linearyzację (zapewniającą równoważność lokalną dynamiki
układu) jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu praktycznych problemów, dotyczących
zachowania się obiektów nieliniowych. Pozwala nie tylko na uproszczenie procesu analizy
takich układów, ale na uniknięcie wielu problemów związanych z nieliniowością układu.
Analizując rozwiązania równań ułamkowego rzędu, zauważono, że dla rzędów α coraz
mniejszych od jeden następuje coraz większe tłumienie oscylacji zmiennych stanu, natomiast
zwiększanie rzędu powyżej jeden powoduje ich wzmacnianie, co potwierdzają przebiegi ich
trajektorii fazowych.
BIBLIOGRAFIA
1.
2.
3.
4.
5.
Bourbaki N.: Lie groups and Lie algebras. Springer, Berlin 1998, Chapters 1–3, Lie
groups and Lie algebras, Springer, Berlin 2002, Chapters 4–6.
Bump D.: Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2004, vol.
225.
Gancarzewicz J., Opozda B.: Wstęp do geometrii różniczkowej. Wyd. UJ, Kraków 2003.
Isidori A.: Nonlinear Control Systems. Springer, Berlin 1995.
Kaczorek T.: Fractional positive linear system and electrical circuits. „Przegląd
Elektrotechniczny” 2008, nr 9, s. 135-141.
Zastosowanie rachunku ułamkowego…
73
Krzemiński S., Zawadzki A.: Linearyzacja układu równań Lagrange’a metodą
geometryczną. SPETO’99, Gliwice-Ustroń 1999, s. 265-268.
7. Krzemiński S., Zawadzki A.: Geometric approach to modelling of nonlinear electrical
networks. SPETO'2002. Gliwice 2002, s. 191-194.
8. Nijmeijer H., van der Schaft A.J.: Nonlinear Dynamical Control Systems. SpringerVerlag, New York 1991.
9. Oprea J.: Geometria różniczkowa i jej zastosowania. PWN, Warszawa 2002.
10. Osowski S.: Modelowanie i symulacja układów i procesów dynamicznych.
Wydawnictwo OWPW, Warszawa 2007.
11. Włodarczyk M., Zawadzki A.: Connecting a Capacitor to Direct Voltage in Aspect of
6.
Fractional Degree Derivatives. „Przegląd Elektrotechniczny” 2009, nr 10, p. 120-122.
12. Zawadzki A.: Analiza porównawcza metod wyznaczania transformacji linearyzujących
nieliniowe równania stanu układu. „Przegląd Elektrotechniczny”(w druku).
Dr inż. Andrzej Zawadzki, Dr hab. inż. Maciej Włodarczyk, prof. PŚk.
Politechnika Świętokrzyska
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Al. 1000-lecia Państwa Polskiego 7
25-314 Kielce
e-mail: [email protected]
[email protected]