materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl

D
materiał pochodzi ze strony matematyka.pisz.pl
Dane są punkty M = (−2, 1) i N = (−1, 3). Punkt K jest środkiem odcinka M N . Obrazem
punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
A. K 0 = 2, − 32
B. K 0 = 2, 32
C. K 0 =
D. K 0 =
3
2, 2
3
2 , −2
A
S
C
B
y
Punkt przecięcia przekątnych
jest na środku
Środek odcinka
√ równoległoboku
√
√ tych przekątnych.
√
AC , gdzie A = (−6 − 2 2, 4 − 2 2), C = (2 + 6 2, 6 − 2 2):
N
K
S=
M
x
K
0
=
√
√
√
√ !
−6 − 2 2 + 2 + 6 2 4 − 2 2 + 6 − 2 2
,
=
2
2
√
√ !
−4 + 4 2 10 − 4 2
=
,
2
2
√
√
= (−2 + 2 2, 5 − 2 2)
Brudnopis:
M = (−2, 1)
N = (−1, 3)
Dany jest okrąg o środku S = (−6, −8) i promieniu 2014. Obrazem tego okręgu w symetrii
osiowej względem osi Oy jest okrąg o środku w punkcie S1 . Odległość między punktami S i
S1 jest równa
Środek odcinka M N
K=
−2 + (−1) 1 + 3
,
2
2
=
−3 4
,
2 2
=
1
−1 , 2
2
A. 12
B. 16
C. 2014
D. 4028
Brudnopis:
Obrazem punktu S = (−6, −8) w symetrii osiowej względem Oy jest punkt S1 = (6, −8).
Obrazem punktu K = −1 21 , 2 w symetrii względem początku układu współrzędnych jest
punkt K = 1 12 , −2 = 32 , −2 .
y
√
√
√
√
√
√
−6
Punkty A = (−6−2 2, 4−2 2), B = (2+4 2, −6 2), C = (2+6 2, 6−2 2) są
kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Przekątne tego równoległoboku przecinają
się w punkcie
6
x
√
√
A. S = (−1 + 4 2, 5 − 5 2)
√
√
B. S = (−2 + 2, 2 − 4 2)
√
√
C. S = (2 + 5 2, 3 − 4 2)
√
√
D. S = (−2 + 2 2, 5 − 2 2).
S
−8
S1
Odległość między punktami S i S1 wynosi 12.
Brudnopis:
— matematyka.pisz.pl —
1
— matematyka.pisz.pl —
Punkt S = (4, 1) jest środkiem odcinka AB , gdzie A = (a, 0) i B = (a + 3, 2). Zatem
A. a = 0
Punkty A = (13, −12) i C = (15, 8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD .
Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie
A. S = (2, −20)
C. S = (14, −2)
B. S = (14, 10)
B. a =
C. a = 2
C
S
A
B
S=
13 + 15 −12 + 8
,
2
2
=
28 −4
,
2 2
2a + 3
=4
·2
2
2
=1
2
2a + 3 = 8
1 =1
a =
Punkt C = (0, 2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD , którego podstawa AB jest zawarta w
prostej o równaniu y = 2x − 4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD .
C. y = −2x + 2
C. P = (−25, 2)
P = (x, y)
Q = (17, 12)
Środek odcinka:
Brudnopis:
Podstawy trapezu AB i CD są równoległe, więc prosta zawierająca CD ma taki sam współczynnik kierunkowy.
AB : y = 2x − 4
a=2
y = 2x + b
x + 17 y + 12
,
2
2
= (−4, 7)
x + 17
= −4
·2
2
y + 12
=7
·2
2
x + 17 = −8
y + 12 = 14
x = −8 − 17
y = 14 − 12
x = −25
y=2
P = (−25, 2)
y = 2x + 2
— matematyka.pisz.pl —
D. P = (−12, 4)
Brudnopis:
D. y = − 21 x + 2
Prosta y = 2x + b zawiera punkt C = (0, 2), który leży na osi Oy , dlatego b = 2.
5
2
B. P = (38, 17)
S=
CD : y = ax + b
prawda
Punkt S = (−4, 7) jest środkiem odcinka P Q, gdzie Q = (17, 12). Zatem punkt P ma
współrzędne
= (14, −2)
A. P = (2, −25)
B. y = 21 x + 2
0+2
=1
2
2a = 8 − 3
2a = 5
:2
Przekątne kwadratu przecinają się w punkcie, który jest środkiem tych przekątnych. Środek
odcinka o końcach A = (13, −12) i B = (15, 8).
5
2
Środek odcinka AB to punkt S = (4, 1).
D. S = (28, −4)
a + (a + 3)
=4
2
D
D. a =
Brudnopis:
Brudnopis:
A. y = 2x + 2
1
2
2
— matematyka.pisz.pl —
Punkty A = (−1, 2) i B = (5, −2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD .
Obwód tego rombu jest równy
A.
√
B. 13
13
Zadanie 14 (1 pkt)
Dane są punkty A = (1, −4) i B = (2, 3). Odcinek AB ma długość
√
D. 8 13
C. 676
Rozwiązanie:
B = (5, −2)
A = (−1, 2)
=
p
√
D. 7
Brudnopis:
Długość odcinka o końcach A = (1, −4) i B = (2, 3)
Romb ma cztery równe boki.
|AB| =
√
C. 5 2
√
B. 4 3
A. 1
(5 − (−1))2 + (−2 − 2)2 =
36 + 16 =
√
52 =
√
p
|AB| =
p
(2 − 1)2 + (3 − (−4))2 =
=
p
12 + 7 2 =
62 + (−4)2 =
=
√
1 + 49 =
√
= 50 = 25 · 2 =
√
=5 2
√
√
4 · 13 = 2 13
√
√
Obw = 4 · 2 13 = 8 13
Zadanie 20 (1 pkt)
Punkty A = (−1, 3) i C = (−5, 5) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole
tego kwadratu jest równe
Zadanie 15 (1 pkt)
Dane są punkty A = (6, 1) i B = (3, 3). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy
A. − 23
B. − 32
C.
3
2
D.
A. 10
2
3
B. 25
C. 50
D. 100
Brudnopis:
Brudnopis
Współrzędne punktów A = (6, 1) i B = (3, 3) spełniają równanie y = ax + b prostej AB .
y
7
B
(
1=a·6+b
6
C
5
3=a·3+b
(
−
4
A
1 = 6a + b
2
D
3 = 3a + b
:3
−2 = 3a
3
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
−1
− 23
=a
a = − 23
Liczę długość przekątnej AC ze wzoru na odległość dwóch punktów od siebie.
Odp. a = − 32
A = (−1, 3)
C = (−5, 5)
q
2
|AC| = (−5 − (−1)) + (5 − 3)2 =
— matematyka.pisz.pl —
3
— matematyka.pisz.pl —
=
p
(−4)2 + 22 =
√
16 + 4 =
√
20 =
√
Zadanie 22 (1 pkt)
√
4·5=2 5
Punkty A = (−5, 2) i B = (3, −2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC . Obwód
tego trójkąta jest równy
√
C. 12 5
√
B. 4 5
A. 30
D. 36
I sposób:
√
Wzór na przekątną kwadratu d = a 2.
√
√ √
2 5=a 2
: 2
√
2 5
√ =a
2
√ √
2 5
2
a= √ ·√
2
2
√
2 10 √
= 10
a=
2
Pole kwadratu:
√
P = a2 =
10
2
Brudnopis:
Liczę ze wzoru długość boku AB tego trójkąta, dla A = (−5, 2) i B = (3, −2)
p
(3 − (−5)2 + (−2 − 2)2 =
p
= 82 + (−4)2 =
√
√
√
= 64 + 16 = 80 = 16 · 5 =
√
=4 5
|AB| =
Trójkąt
ma trzy boki takiej samej długości, dlatego jego obwód jest równy
√
√ równoboczny
3 · 4 5 = 12 5.
= 10
II sposób:
Kwadrat jest szególnym przypadkiem rombu. Pole rombu można policzyć znając długości jego
przekątnych.
√
√
P =
Zadanie 1 (1 pkt)
e·f
2 5·2 5
4·5
=
=
= 10
2
2
2
A.
Odp. Pole kwadratu jest równe 10.
|AC| =
Dane są punkty A = (−2, 3) oraz B = (4, 6). Długość odcinka AB jest równa
A.
B.
208
√
5 3
2
B.
5 3
3
C.
52
√
D.
45
√
40
p
(4 − 1)2 + (2 − (−2))2 =
A = (−2, 3)
q
2
5 3
6
D.
5 3
9
2
(4 − (−2)) + (6 − 3) =
62 + 32 =
— matematyka.pisz.pl —
32 + 42 =
√
9 + 16 =
√
√
5 3
a 3
h=
=
2
2
B = (4, 6)
p
p
Odp. Wysokość trójkąta wynosi
√
36 + 9 =
√
√
25 = 5
Długość boku AC trójkąta ABC wynosi a = 5. Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
Brudnopis:
Korzystam ze wzoru na odległość dwóch punktów od siebie:
d=
C.
Brudnopis:
Liczę odległość między punktami A = (1, −2) i C = (4, 2).
Zadanie 19 (1 pkt)
√
(informator str. 36)
Punkty A = (1, −2), C = (4, 2) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC .
Wysokość
tego trójkąta jest równa
√
√
√
√
√
5 3
2 .
45
4
— matematyka.pisz.pl —