wstęp do matematyki finansowej

Transkrypt

WSTĘP DO MATEMATYKI FINANSOWEJ
Wiesław Krakowiak
14 października 2006 roku
2
Spis treści
1 Elementy teorii procentu
1.1 Ekonomiczne aspekty teorii procentu i pojęcia stopy procentowej . . . . . . . . . . .
1.1.1 Pojęcia i struktura stopy procentowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zmiana wartości pieniądza w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dodatek. Rachunek czasu w matematyce finansowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funkcje oprocentowania (akumulacji) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Funkcja dyskontowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Kapitalizacja prosta (oprocentowanie proste) z dołu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Klasyczne zagadnienia procentu prostego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Funkcje oprocentowania i dyskontowania prostego (z dołu) . . . . . . . . . .
1.5.3 Kapitalizacja prosta (oprocentowanie proste) z dołu przy zmiennej stopie procentowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Kapitalizacja prosta (oprocentowanie proste) z góry . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) z dołu . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Klasyczne zagadnienia procentu złożonego (z dołu) . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) przy zmiennej stopie procentowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Funkcje oprocentowania i dyskontowania złożonego . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Stopa dyskontowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Dyskonto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Dyskonto matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Dyskonto proste, handlowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) z góry . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Klasyczne zagadnienia procentu złożonego (z góry) . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Funkcja oprocentowania i dyskontowania złożonego z góry . . . . . . . . . . .
1.10.3 Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) z góry przy
zmiennej stopie dyskontowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Natężenie oprocentowania i dyskontowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Oprocentowanie zmienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Równoważność modeli oprocentowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Kapitalizacja mieszana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Stopa inflacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17 Dodatek. Kapitalizacja ciągła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17.1 Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
13
14
16
17
19
20
22
23
23
27
28
28
31
32
32
33
36
39
40
41
42
45
45
47
49
53
53
54
2 Strumienie przepływów pieniężnych
57
2.1 Wartość aktualna przepływów pieniężnych (kapitału) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Strumienie przepływów pieniężnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3
4
3 Renty pewne proste
3.1 Wiadomości wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Renty pewne, proste, o płatnościach tworzących ciąg arytmetyczny . . .
3.3 Renty pewne proste stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Renty pewne proste z odroczonymi płatnościami . . . . . . . . . . . . .
3.5 Renty pewne, proste, o płatnościach tworzących ciąg arytmetyczny (cd)
3.6 Renty pewne proste o płatnościach tworzących ciąg geometryczny . . . .
3.7 Niestandardowe terminy i stopy procentowe . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Klasyczne zagadnienia związane z rentami . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Oprocentowanie zmienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Renty związane z innymi sposobami oprocentowania . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
65
66
67
68
71
72
73
74
74
4 Renty wieczne proste
4.1 Wiadomości wstępne
4.2 Renty wieczne proste
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
77
78
79
80
81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o płatnościach tworzących ciąg arytmetyczny
stałe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
z odroczonymi płatnościami . . . . . . . . . .
o płatnościach tworzących ciąg geometryczny
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Renty pewne uogólnione
83
5.1 Wiadomości wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Renty o okresie będącym wielokrotnością okresu bazowego stopy procentowej . . . . 84
5.2.1 Renty o płatnościach tworzących ciąg arytmetyczny . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.2 Dodatek. Zastosowanie do rent pewnych prostych o zmiennych płatnościach . 89
5.3 Renty pewne o m-krotnych płatnościach w okresie konwersji . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Renty ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5 Renty wieczne uogólnione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5.1 Renty wieczne o okresie będącym wielokrotnością okresu bazowego stopy procentowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.2 Renty wieczne o m-krotnych płatnościach w okresie konwersji . . . . . . . . . 97
6 Rachunek ratalnej spłaty długów
6.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Spłata długu krótkoterminowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Ustalanie brakującej raty łącznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Spłata długu w równych ratach łącznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 Zasada amerykańska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Spłata długów średnioterminowych i długoterminowych . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Spłata długu zgodna. Wiadomości wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Spłaty zgodne długu o zadanych ratach łącznych . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Spłata długu o zadanych ratach łącznych. Okres spłat większy od okresu
kapitalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Spłata długu o zadanych ratach łącznych. Okres spłat mniejszy od okresu
kapitalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Spłaty zgodne długu o zadanych ratach kapitałowych . . . . . . . . . . . . .
6.3.6 Spłata długu o zadanych ratach kapitałowych. Okres spłat większy od okresu
kapitalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.7 Spłata długu o zadanych ratach kapitałowych. Okres spłat mniejszy od okresu
kapitalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.8 Wpływ prowizji i opłat administracyjnych na wysokość oprocentowania . . .
6.3.9 Spłata długu z uwzględnieniem inflacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
99
100
102
104
106
106
108
111
116
118
121
127
129
132
133
W. Krakowiak – Wstęp do matematyki finansowej
Bibliografia
5
135
6
Rozdział 1
Elementy teorii procentu
1.1
Ekonomiczne aspekty teorii procentu i pojęcia stopy procentowej
Procent jest ceną jaką dłużnik musi zapłacić wierzycielowi za czasowe przekazanie i użytkowanie w
określonym okresie czasu wartości majątkowej. Cena jest zwykle wyrażona w procentach wypożyczonej wartości majątkowej w skali rocznej. Tą wartością majątkową może być
• ziemia (czynsz dzierżawny),
• nieruchome dobra rzeczowe, jak domy, mieszkania i zabudowania gospodarcze,
• ruchome dobra rzeczowe, jak maszyny (czynsz dzierżawny);
• kapitał ludzki, czyli ososby o określonych umiejętnościach w przypadku umów o “wyporzyczeniu” pracowników (stawka za wypożyczenie siły roboczej);
• pieniądz (procent pieniężny).
W węższym znaczeniu przez procent rozumie się tylko cenę czasowego przekazania pieniężnych
wartości majątkowych.
Zagadnienie pobierania procentu są tak stare jak gospodarka pieniężna.
Prawo rzymskie traktowało lichwę jako nadmierny wyzysk pozostającego w potrzebie dłużnika.
Prawo koraniczne zabrania pobierania odsetek, traktując pożyczkę jako akt miłosierdzia. Cywilizacja bizantyjska, która zachowała autonomię prawa prywatnego względem kościelnego nie dostrzegała
lichwy jako problemu prawno-moralnego. Słowa św. Łukasza: “ . . . czyńcie dobrze i pożyczajcie niczego się nie spodziewając” (Łk 6,34-35) legły u podstawy zachodniej tradycji teologiczno moralnej
oraz prawnej, uznającej pożyczkę za akt miłosierdzia, a repompensatę za nią w postaci określonych
korzyści (np. odsetek) – za chciwość. Początkowo za liczwę uznawano także każdą transakcję, w której kupiec sprzedawał towar po wyższej cenie niż sam kupił. Cywilizacja zachodnia, która powstała
na zrębach agrarnego społeczeństwa feudalnego, przyczynę nieuzasadnionego zysku dostrzegała początkowo także w obrocie towarowo-pieniężnym. Do XII w. Kościół uważał, że dochód osiagany bez
pracy jest łupem. Systematyzacji poglądów na temat lichwy i kredytu dokonał w XIII w. św. Tomasz z Akwinu w Sumie teologicznej, w której określił dozwoloną sopę procentową na 12% rocznie
oraz uporządkował zasadę ceny sprowiedliwej. W połowie XIII wieku franciszkanin Piotr Janowy
Oliwi pod wpływem rozważań uczonych żydowskich o istocie sprzedaży przedstawił teorię kapitału
i kredytu obrotowego oraz zwrócił uwagę, że jego stopa procentowa zależy od aktualnej sytuacji na
rynku. Ponadto uznał, że kapitał może być traktowany jak każdy inny towar. W XV wieku poglady
te rozwinęli i upowszechnili św. Bernardyn ze Sieny oraz św. Antonin z Florencji.
7
8
Teorie procentu zaliczane do klasycznej teorii ekonomii uzasadniają istnienie procentu i wyjaśniają jego kształtowanie się.
• Teoria procentu związana z wydajnością, reprezentowana przez J. B. Saya, H.C. Carreya, T.R.
Malthusa, oparta jest na twierdzeniu, że zastosowanie kapitału w postaci środków produkcji zwiększa wydajność pracy ludzkiej i dlatego z wartości dodatkowo wytworzonych dóbr
określona część może być przypisana wkładowi kapitału.
• Teoria użyteczności, reprezentowana przez J.B. Saya F.B.W,. von Hermanna i C. Mengera,
wyjaśnia procent jako odszkodowanie należne dawcy kapitału za rezygnację z użycia swoich
pieniędzy.
• Teoria powściągliwości, reprezentowana przez N.W. Seniora, argumentuje, że posiadacz pieniędzy w okresie, na jaki udzielił kredytu, powstrzymuje się od przeznaczenia swoich pieniędzy
na własne potrzeby i dlatego powinien dostać odszkodowanie.
• Teoria wyzysku, reprezentowana przez D. Ricardo, P. Proudhona, K. Rodbertusa, k. Marksa,
określa procent jako część wartości dodatkowej powiększonej o zużycie kapitału realnego.
• Teoria agio, reprezentowana przez E. Bohm-Bawerka, upatruje w procencie wynagrodzenie za
różnicę między dobrami teraźniejszymi, które w życiu ludzkim mają większą wartość i które
można nabyć, a dobrami przyszłymi, które można nabyć dopiero w przyszłości, na koniec
okresu, na jaki udzielono kredytu, za pieniądze, które dopiero spłyną.
• Teoria oczekiwania, reprerzentowana przez A. Marshalla, G. Cassela, reprezentuje pogląd,
że procent jest niezbędną opłatą, jaką musi otrzymać kapitalista za oczekiwanie na spływ
wypożyczonych pieniędzy.
• Dynamiczna teoria procentu, reprezentowana przez J. Schumpetera, powstanie procentu wyjaśnia tym, że tylko w dynamicznej, rozwijającej sie gospodarce są w stanie realizować innowacje,
wprowadzając postęp techniczny i lepszą kombinację czynników produkcji.
• Teoria użyteczności krańcowej, reprezentowana przez G. Mengera, W.St. Jevonsa, L. Waldrasa,
H. Mayera, podała subiektywistyczne wyjaśnienie procentu jako wynagrodzenia za użyteczność, jaką przynosi kredytodawcy ostatnia jednostka pieniężna w ostatnim zastosowaniu.
Teorie klasyczne wyjaśniają kształtowanie się procentu jako procesu realnego i obiektywnego
za pomocą krzywej podaży pieniądza z oszczędności oraz krzywej popytu pieniędzy na cele inwestycyjne. Zakładająprzy tym, że krzywa podaży pieniadza lub krzywa oszczędności S jest krzywą
rosnącą, ponieważ rosnąca stopa procentowa skłania gospodarstwa domowe do większych oszczędności. Z drugiej strony przyjmują, że niska stopa procentowa zachęca przedsiębiorstwa do inwestowania,
gdyż powoduje wzrost rentowności inwestycji finansowych z kredytu. Wyjaśnia to opadanie krzywej inwestycji. Równowaga rynkowa jest wyznaczona przez punkt przeciącia funkcji oszczędności S
oraz funkcji inwestycji I, przy stopie procentowej i, przy której zaoszczędzona, zaoferowana ilość
pieniądza S jest równa potrzebnej i zainwestowanej ilości pieniądza.
1.1.1
Pojęcia i struktura stopy procentowej
Przez stopę procentową rozumie się cenę, jaką pożyczkobiorca musi płacić za przywilej korzystania
z pieniedzy udostępnionych mu przez pożyczkodawcę, a pożyczko dawca jest wynagradzany za to,
że nie dysponuje swoimi pieniędzmi.
Wyróżnia się dwa rodzaje stopy procentowej:
• realna stopa procentowa,
• bieżąca stopa procentowa.
9
Realna stopa procentowa
W idealnym modelu świata, w którym nie ma inflacji, deflacji, ryzyka, niepewności, preferencji
płynności o koszcie pieniądza decydowała by realna stopa procentowa równoważąca podaż funduszy
pieniężnych ze zgłaszanym przez inwestorów popytem.
Przypominamy, że zasada ekonomiczna zw. efektem Fishera mówi, że rynkowa stopa procentowa
jest równa realnej stopie procentowej opartej na rzeczywistej produktywności kapitału powiększonej
o stopę przeiwdywanej inflacji, co zapisujemy wzorem
Rynkowa stopa procentowa = realna stopa procentowa + oczekiwana stopa inflacji
Bieżąca stopa procentowa
Bieżąca stopa procentowa, której żąda posiacz funduszy pieniężnych zawiera w sobie realną stopę
procentową oraz kompensatę za dwa dodatowe czynniki:
• oczekiwanie inflacyjne dotyczące okresu udzielania pożyczki lub trwania inwestycji, które
oznaczamy przez IE;
• czynnik, oznaczny przez LC, a wynikający z cech charakterystycznych konkretnej pożyczki
lub inwestycji takich jak: ryzyko związane z udzieleniem pożyczki lub inwestycją, okrss na jaki
została udzielona, wypłacalność i stabilność pożyczkobiorcy, perspektywy i prognozy inwestycji.
Zatem istnieje następujący związek między realną, a bieżącą stopą procentową:
i0 = ia + IE + LC,
gdzie: i0 – bieżąca stopa procentowa,
ia – realna stopa procentowa,
IE – oczekiwanie inflacyjne,
LC – premia za ryzyko,
ia + IE – stopa wolna od ryzyka.
Jak wynika z powyższych rozważań jednym z głównych czynników wpływających na wyskość
stopy procentowej jest ryzyko. Wyższe ryzyko powoduje wzrost stopy procentowej. Im bardziej
ryzykowna jest inwestycja, tym wyższa jest stopa przychodu, jakiej domaga się inwestor. Drugą
istotną determinantą stopy procentowej jest płynność. Im płynniejsze są aktywa, tym niższa jest
stopa przychodu. Gotówka, która jest najbardziej płynna ze wszystkich aktywów, nie jest w ogóle
oprocentowana. Jednak zdarza sie w praktyce, że długoterminowe stopy procentowe są niższe od
stóp krótkoterminowych. Ogólna zasada finansów mówi: mniejsza płynność wymaga wyższego wynagrodzenia.
W rzeczywistości współistnieje w gospodarce wiele stóp procentowych. W przypadku banków
mamy stopę oprocentowania wkładów i udzielanych kredytów, a stopa procentowa może zależeć od
terminów zapadalności na rynku pieniężnym i kapitałowym, od ryzyka i wiarygodności kredytowej
dłużnika, a także od segmentu rynku i rodzaju kredytu. Wzajemne proporcje różnych stóp procentowych w określonym momencie nazywamy strukturą oprocentowania. Jej zmiany w czasie należy
przypisać zmianom wysokości ryzyka i relacji rzadkości poszczególnych segmentów rynku, między
którymi istnieje wyższy lub niższy stopień współzależności.
1.2
Zmiana wartości pieniądza w czasie
W gospodarce znajduje zastosowanie następujace stwierdzenie: Pieniądz dzisiaj otrzymany jest wiecej wart, niż pieniądz otrzymany jutro. Dzieje sie tak z dwóch powodów:
• inflacji, która zmniejsza wartośc pieniadza;
10
• pieniądz otrzymany dzisiaj zainwestować i w przyszłości otrzymać zysk.
Zatem wartość pieniądza jest funkcją czasu (zwykle funkcją rosnącą).
Konsekwencją zmiennej wartości pieniądza w czasie jest to, że przy podejmowaniu wszelkiego
rodzaju działań mających skutki finansowe, zachodzi konieczność porównania kwot pieniężnych
pochodzących z różnych okresów. Badanie zmiany wartości pieniądza w czasie jest jednym z ważnych
zadań (klasycznej) matematyki finansowej.
W zależności od wyboru momentu czasu w którym chcemy ustalić wartość pieniądza rozważane
są dwa odmienne zagadnienia:
• ustalenie przyszłej (zakumulowanej) wartości pieniadza (ang. future value), którą będziemy
oznaczać jako FV, gdy momentem odniesienia jest pewien moment z przyszłości;
• ustalenie obecnej, teraźniejszej, zaktualizowanej, bieżącej wartości pieniądza (ang. present value), którą będziemy oznaczać jako PV, gdy momentem odniesienia jest chwila obecna.
Różnicę miedzy wartością przyszłą danej kwoty pieniędzy, a jej wartością aktualną nazywa się
procentem (odsetkami ) (ang. interest) i jest oznaczana przez I, tj.
I = F V − P V.
Natomiast czas, w ciągu którego odsetki są generowane, nazywa się czasem oprocentowania.
Do obliczania wartości pieniedzy w różnych momentach czasu służą operacje: kapitalizacji i
dyskontowania.
Operację polegającą na obliczeniu kwoty, do jakiej wzrasta po określonym okresie czasu początkowy kapitał lub równoważnie polegająca na dopisaniu procentu (odsetek) do pożyczonego
(zainwestowanego) kapitału nazywamy kapitalizacją lub konwersją procentu (odsetek). Niektórzy
autorzy operację tę nazywają oprocentowaniem.
Efektem kapitalizacji odsetek jest przyszła wartość kapitału. Zatem kapitalizacja prowadzi do
wyznaczenia wartości przyszłych w oparciu o wartość teraźniejszą, ogólnej – późniejszych wartości
w oparciu o wartości wcześniejsze.
Operacja dyskontowania służy poszukiwaniu początkowej wartości pieniądza na podstawie znajomości jego przyszłej wartości.
Aby dokonać kapitalizacji i dyskontowania, trzeba określić stopę procentową i czas oprocentowania.
Matematyczna definicja stopy procentowej jest następująca:
DEFINICJA 1.1. Stopą procentową (ang. interest rate) nazywamy stosunek odsetek do wartości
początkowej kwoty, która je wygenerowała w określonym okreśie czasu, tzn.
i=
FV − PV
.
PV
(1.1)
Stopa procentowa i jest liczbą niemianowaną. Zawsze będzie zakładali, że i > 0. Na ogół, i ∈
(0, 1). Stopę procentową można wyrazić w procentach mnożąc ją przez 100%. Zauważmy, że we
wszystkich formułach matematycznych używa się stopy procentowej jako liczby niemianowanej.
UWAGA 1.1. Informacja i = 0, 3 oznacza to samo, że i = 30%.
Przykład 1.1. Załóżmy, że pożyczamy z banku 1000 jp na rok czasu i po jego upływie mamy
oddać 1160 jp. Wtedy stopa procentowa tej operacji wynosi
i=
czyli stopa procentowa jest równa 16%.
1160 − 1000
= 0, 16,
1000
11
WNIOSEK 1.1. Wartość przyszła kapitału jest równa F V = P V (1 + i), natomiast odsetki są
równe I = F V − P V = P V i.
Stopa procentowa służy do opisu zmiany wartości kapitału w aspekcie dynamicznym (zmiana
wartości pieniądza w czasie). Ponieważ wielkość odsetek zależy istotnie od wielkości kwoty początkowej to aby uniezależnić się od wielkości kwoty początkowej można obliczyć całkowite wielkości
odsetek przypadajacą na kwotę kapitału początkowego w wysokości 1. Jednookresowa stopa procentowa jest podstawową miarą wykorzystywaną w pomiarze oprocentowania.
Stopa procentowa jest związana zawsze z pewnym ustalonym przedziałem czasu uwzględnianym
w określających ją odsetkach. Przedział ten nazywamy okresem stopy procentowej lub podstawową
(bazową) jednostką czasu.
W matematyce finansowej, zgodnie ze światową praktyką rozliczeń finansowych okresem stopy
procentowej jest jeden rok. W dalszym ciągu jeżeli nie będzie zaznaczone inaczej za podstawową
jednostkę będziemy przyjmować jeden rok.
W praktycznych zagadnieniach matematyki finansowej rozważa się stopy procentowe, których
okres jest różny od jednego roku, np. o okresie miesięcznym, kwartalnym, półrocznym, dwuletnim
itd.
Przejście od stopy procentowej o okresie rocznym do stóp procentowych o innym okresie umożliwia względna stopa procentowa.
DEFINICJA 1.2. Niech i będzie stopą procentową o okresie rocznym oraz m będzie liczbą naturalną lub odwrotnością liczby naturalnej. Wtedy
i=
i
.
m
(1.2)
nazywa się względną (dostosowaną) stopą procentową o okresie:
(i) półrocznym, gdy m = 2;
(iii) kwartalnym, gdy m = 4;
(iii) miesięcznym, gdy m = 12;
(iv) tygodniowym, gdy m = 52;
(v) godzinnym, gdy m = 8640;
(vi) dwuletnim, gdy m = 0, 5;
(vii) czteroletnim, gdy m = 0, 25.
UWAGA 1.2. W praktycznej działaności ekonomicznej występuje jeszcze inne znaczenie stopy procentowej – stopa procentowa jest ‘wielkością pierwotną’. W gospodarce rynkowej, tak rozumiane,
podstawowe stopy procentowe ustalane są na rynku finansowym. Formalnie ich wielkość jest ustalana przez instytucje finansowe, np. RPP lub banki. W dalszym ciągu wykładu w takim przypadku
będziemy zakładali, że stopa procentowa jest ustalona (dana jest liczba rzeczywista) i nie będziemy
omawiali sposoby ustalania stopy procentowej.
Odsetki mogą być dopisywane ciągle (raczej ma to znaczenie teoretycznie) lub w określonych
momentach okresu inwestowania. Jeżeli odsetki są dopisywane co określony czas to okres po którym
odsetki dopisuje się do kapitału nazywa się okresem kapitalizacji (lub okresem konwersji ). Kapitalizacje odsetek można dzielić ze względu na różne kryteria. Niżej przedstawimy najważniejsze.
Ze względu na moment dopisywania odsetek, kapitalizację dzielimy na:
(i) kapitalizacja z góry — odsetki dopisywane są na początku każdego okresu kapitalizacji;
(ii) kapitalizacja z dołu — odsetki dopisywane są na końcu każdego okresu kapitalizacji.
12
W każdym z tych przypadków dopisywane są z reguły odsetki różnej wielkości.
W praktyce najczęściej występuje kapitalizacja z dołu i jeżeli nie zaznaczymy inaczej to będziemy
rozważali kapitalizację z dołu.
Ze względu na wzajemny stosunek okresów stopy procentowej i kapitalizacji wyróżniamy:
(i) kapitalizację zgodną — okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji;
(ii) kapitalizację niezgodną — okres stopy procentowej jest różny od okresu kapitalizacji.
Na przykład, przy bazowej jednostce czasu równej jeden rok, możliwe jest dopisywanie odsetek po
upływie roku lub po upływie np. kwartału, miesiąca itp.
W przypadku kapitalizacji niezgodnej, mówimy o:
(i) kapitalizacji w podokresach, gdy okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu
kapitalizacji;
(ii) kapitalizacji w nadokresach, gdy okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy
procentowej.
Niech m oznacza stosunek okresu stopy procentowej do okresu kapitalizacji, czyli
m=
okres stopy procentowej
.
okres kapitalizacji
DEFINICJA 1.3. Jeżeli i jest roczną stopą procentową, to kapitalizację nazywa się:
(i) roczną, gdy m = 1;
(ii) półroczną, gdy m = 2;
(iii) kwartalną, gdy m = 4;
(iv) miesięczną, gdy m = 12;
(v) tygodniową, gdy m = 52;
(vi) godzinną, gdy m = 8640;
(vii) dwuletnią, gdy m = 0, 5;
(viii) czteroletnią, gdy m = 0, 25.
Wyróżnia się dwa ważne sposoby ustalania odsetek:
(i) kapitalizacja prosta — oprocentowaniu podlega jedynie kapitał początkowy, natomiast odsetki
nie podlegają oprocentowaniu;
(ii) kapitalizacja złożona — oprocentowaniu podlega cała nagromadzona do tej chwili kwota.
DEFINICJA 1.4. Jeżeli okres stopy procentowej i jest różny od okresu kapitalizacji to i nazywa
się stopą nominalną (ang. nominal ).
UWAGA 1.3. Jeżeli okres stopy procentowej i jest m-krotnością okresu konwersji to stopę i będziemy oznaczać jako i(m) .
13
Dodatek. Rachunek czasu w matematyce finansowej
W powszechnie stosowanym kalendarzu gregoriańskim rok dzieli się na dwanaście miesięcy, z których siedem liczy 31 dni, pięc – 30 dni, a jeden – 28 lub 29 dni, w zależności od tego czy dany rok
jest rokiem zwykłym, liczącym 365 dni, czy przestępnym, liczącym 366 dni. Dla obliczeń finansowych jest to duża niedogodność – np. pieniądze ulokowane w banku pierwszego dnia miesiąca, a
wypłacone pierwszego dnia miesiąca następnego spoczywały w banku (i przynosiły odsetki) 28, 29,
30 lub 31 dni, w zależności od tego, jaki miesiąc i rok jest brany pod uwagę. Aby uniknąc takich
niekonsekwencji, w fiansach wprowadzono różne systemy liczenia dni.
1. System rzeczywisty polega na obliczaniu rzeczywistej, zgodnej z kalendarzem gregoriańskim
liczby dni, jakie minęły pomiędzy dwoma datami.
2. W systemie 30-dniowego miesiąca tzw. europejskim wszystkie miesiace liczą zawsze 30 dni.
Osiąga się to przez zrównanie 31 dnia miesiaca z 30 dniem tego samego miesiaca. Na przykład
w tym systemie:
• pomiędzy 29 a 30 maja mija 1 dzień,
• pomiędzy 29 a 31 maja — także 1 dzień,
• pomiędzy 29 maja a 1 czerwca – 2 dni.
Pomiędzy 30 a 31 maja mija oczywiście 0 (zero) dni.
W krótszym miesiącu lutym dodaje się brakujace dni: jeden w latach przestępnych lub dwa –
w zwykłych. I tak:
• pomiędzy 27 a 28 lutego mija 1 dzień
• pomiędzy 27 a 29 lutego (w latach przestępnych) – 2 dni,
• pomiędzy 27 lutego a 1 marca – 4 dni, niezależnie od tego czy rok jest zwykły czy
przestępny.
3. System 30-dniowego miesiąca tzw. amerykański jest podobny do systemu europejskiego. Wszystkie miesiące w tym systemie liczą zawsze 30 dni. Osiąga się to tak samo jak w systemie
europejski. Odstępstwa od reguły 30-dniowego miesiąca są dwa:
a) jeżeli okres kończy się 31 dnia miesiąca i rozpoczął się przed 30 dniem miesiaca (niekoniecznie tego samego), to tę datę pozostawia się niezmienioną – miesiąc liczy wówczas 31
dni; w stosunku do systemu europejskiego wydłuża to okres o jedn dzień,
b) jeżeli okres rozpoczyna się ostatniego dnia lutego, to w latach zwykłych, jak i przestępnych niedodaje się brakującego jednego dnia lub dwóch dni. W stosunku do systemu
europejskiego skraca to okres o jeden lub dwa dni.
W systemie tym na przykład
• pomiędzy 29 a 30 maja mija 1 dzień,
• pomiędzy 29 a 31 maja – 2 dni,
• pomiędzy 29 maja a 1 czerwca – 2 dni,
• pomiędzy 27 lutego a 1 marca mijają 4 dni,
• pomiędzy 28 lutego a 1 marca – w latch zwykłych 1 dzień, a w latach przestępnych 3
dni,
• pomiędzy 29 lutego (w latch przestępnych) a 1 marca - 1 dzień.
14
Przy obliczeniach finansowych często przelicza się roczną stopę procentową na dzienną stopę
procentową. Przeliczenie takie polega, oczywiście, na podzieleniu rocznej stopy przez liczbę dni w
roku. W ten sposób jednak w latch zwykłych i przestępnych przy tej samej rocznej stopie procentowej, otrzymuje się różne dzienne stopy procentowe. Stosuje się dwa sposoby rozwiązanie tej
niedogodności:
1. Rok 360-dniowy – będący konsekwencją wprowadzenia dwunastu 30-dniowych miesięcy;
2. Rok 365-dniowy – każdy rok, także przestępny ma 365 dni.
Możliwe jest także pozostawienie rzeczywistej długości roku (365 lub 366 dni).
Jeżeli przy ustalonej rocznej stopie procentowej i stosowana jest
i
to mówimy, że odsetki naliczane są jako procent dokładny.
365
i
(ii) stosowana jest dzienna stopa procentowa równa
to mówimy, że odsetki naliczane są jako
360
procent zwykły.
(i) dzienna stopa procentowa równa
W obliczeniach finansowych stosowane są różne kombinacje systemów naliczania dni i długości
roku (teoretycznie jest możliwe 9 kombinacji).
W Polsce zgodnie z artykułem 53 ustawy “Prawo bankowe” z roku 1997 dla rachunków bankowych przyjmuje się do obliczania odsetek, że miesiąc liczy 30 dni, a rok 365 dni. Stosowanie reguły
bankowej oznacza, że przyjmujemy rzeczywistą liczbę dni oraz rok bankowy równy 360 dni.
1.3
Funkcje oprocentowania (akumulacji)
Każda inwestycja pociąga za sobą pewne ryzyko, wymaga określonego początkowego wydatku w
zamian za niepewne przyszłe zyski.
Czas mierzony od początku okresu inwestowania może być mierzony w wiele jednostkach, np. w
dniach, miesiącach, kwartałach, etc. Jednostka czasu w której mierzony jest okres trwania inwestycji
nazywa się okresem podstawowym (bazowym). W matematyce finansowej zazwyczaj za okres bazowy
przyjmuje się jeden rok i w dalszych rozważaniach praktycznych, jeżeli nie będzie zaznaczone inaczej,
również my przyjmiemy za okres podstawowy jeden rok. Natomiast w rozważaniach teoretycznych
czas będziemy mierzyć w umownych okresach bazowych.
Początkową, zainwestowaną kwotę pieniędzy nazywamy kwotą początkową (ang. principal ), a
całkowitą kwotę otrzymaną na końcu określonego okresu czasu nazywamy wartością zakumulowaną
(ang. accumulated value), końcową. Przeważnie wartość początkowa kapitału jest mniejsza od wartości zakumulowanej.
Obecnie zakładamy, że dla zainwestowanej początkowej kwoty pieniędzy wartość zakumulowana
jest ściśle określona w każdej chwili w przyszłości oraz że kwota początkowa nie jest ani powiększana
ani zmniejszana przez inwestora w okresie inwestowania, tj. wszelkie jej zmiany są jedynie efektem
usyskiwania odsetek. W dalszych częściach będziemy dopuszczać zmianę przez inwestora kwoty
początkowej podczas okresu inwestowania.
DEFINICJA 1.5. Funkcję α : R+ → R nazywa się funkcją oprocentowania (akumulacji ) jednostki
kapitału, gdy
(i) α(0) = 1;
(ii) α jest funkcją niemalejącą.
WNIOSEK 1.2. Funkcja α jest nieujemna.
UWAGA 1.4. Dla każdego t ≥ 0, α(t) oznacza wartość zakumulowaną zainwestowanej kwoty o
wysokości 1.
15
UWAGA 1.5. Funkcja oprocentowania α nie może być globalnie funkcją malejącą, gdyż w tym przypadku procent też byłby stale ujemny. Jest teoretycznie możliwe, ale nie występuje w rzeczywistych
sytuacjach. Pojawiają się okresy czasu w których funkcja jest malejąca tj. inwestycja przynosi straty,
a więc odsetki są ujemne, a także okresy w których funkcja oprocentowania jest stały, tj. inwestycja
przynosi zerowe zyski.
Zazwyczaj kapitał początkowy jest dowolną kwotą P V = P > 0. W tym przypadku wprowadzamy następującą funkcję.
DEFINICJA 1.6. Funkcja A nazywa się funkcję oprocentowania kapitału (ang. amount function),
gdy A(t) = P α(t), gdzie P > 0 jest kapitałem początkowym, a α funkcją oprocentowania jednostki
kapitału (funkcją akumulacji).
WNIOSEK 1.3. Funkcja oprocentowania kapitału A ma następujące własności:
(i) A(0) = P ;
(ii) A jest funkcją niemalejącą;
(iii) A ≥ 0.
UWAGA 1.6. Jak wiemy odsetki mogą być naliczane w sposób ciągły lub okresowo (w ściśle określonych momentach w czasie trwania inwestycji). Jeżeli odsetki są naliczane w sposób ciągły to
zakładamy, że funkcja oprocentowania jest stała. Natomiast w przypadku naliczania odsetek okresowo funkcja oprocentowania jest stała między terminami wypłaty odsetek, a więc jest funkcją
schodkową, prawostronnie ciągłą.
W praktyce fincnsowej dominującą rolę odgrywają dwie funkcje oprocentowania kapitału, które
są stosowane się do większości rozważanych zagadnień fiansowych. Są to funkcje oprocentowania
(kapitalizacji) prostego i złożonego. Pomimo tego,
Oznaczmy przez In odsetki uzyskane w n-tym okresie bazowym, tj.
In = A(n) − A(n − 1)
dla
n ≥ 1.
DEFINICJA 1.7. Niech A będzie funkcją oprocentowania kapitału P > 0. Wtedy stopą procentową w n-tym okresie bazowym, którą będziemy oznaczać przez in nazywamy stosunek odsetek
In = A(n) − A(n − 1) uzyskanych w czasie n-tego okresu do kwoty A(n − 1), tj.
in =
In
A(n) − A(n − 1)
=
A(n − 1)
A(n − 1)
dla
n ≥ 1.
WNIOSEK 1.4. Jeżeli α jest funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego to
in =
α(n) − α(n − 1)
.
α(n − 1)
(1.3)
W szczególności, α(1) = 1 + i.
Proof. Dowód Mamy
A(n)−A(n−1)
A(n−1)
=
α(n)−α(n−1)
.
α(n−1)
UWAGA 1.7. Dla dowolnego i > 0, przez punkty (0, 1) oraz (1, 1+i) można przeprowadzić wykresy
wielu funkcji oprocentowania kapitału jednostkowego. Dwie z nich: funkcja oprocentowania prostego
i funkcja oprocentowania złożonego, są bardzo ważne z punktu praktycznych zastosowań.
UWAGA 1.8. W matematyce finansowej nie ogólnie przyjetych oznaczeń na wartość obecną i wartość przyszłą. W naszym wykładzie wartość obecną będziemy oznaczać jako P V , P , A(0) = A 0 lub
F0 . Natomiast wartość przyszłą w chwili t (odp. n) będziemy oznaczać jako F V t , Ft , A(t) = At
(odp. F Vn , Fn , A(n) = An ).
16
Rozważmy zmianę kapitału A0 w czasie. Zmiany te następują skokowo i są spowodowane kapitalizacją odsetek. Załóżmy, że okres kapitalizacji pokrywa się z okresem stopy procentowej oraz
rozważmy kapitalizację z dołu. Niech An oznacza przyszłą wartość kapitału po n okresach kapitalizacji, gdzie n ∈ N.
Mechanizm tworzenia przeszłej wartości An+1 na koniec (n + 1)-tego okresu kapitalizacji jest
następujący: do wartości An dopisujemy odsetki In+1 przypadające za (n + 1)-szy okres. Zatem ciąg
(An ) przyszłych wartości kapitału A0 spełnia następujące równanie rekurencyjne:
An+1 = An + In+1 ,
n = 0, 1, . . . .
(1.4)
Zatem w celu wyznaczenia na podstawie równania (1.4) ciągu (An ) należy ustalić ciąg odsetek (In ).
WNIOSEK 1.5. Niech i będzie stopą procentową względem której obliczmy odsetki. Wtedy
(i) w przypadku kapitalizaji prostej zgodnej z dołu In = A0 i;
(ii) w przypadku kapitalizacji złożonej zgodnej z dołu In = An i.
1.4
Funkcja dyskontowania
W poprzednim podrozdziale omówiliśmy funkcję oprocentowania kapitału. Wartości funkcji α informują jaką wartość kapitału uzyskamy w momencie t, jeżeli w momencie początkowym t = 0
zainwestujemy jednostkę kapitału. Często ważna jest znajomość odpowiedzi na pytanie dualne: jaka
wartość kapitału należy zainwstować w chwili t = 0, aby w ustalonym momencie t 0 uzyskać kapitał
o wartości równej jednostce kapitału?
Operacja obliczania wartości d(t), która odpowiada na postawione wyżej pytanie nazywamy
dyskontowanie kapitału, a funkcję d określoną na R+ będziemy nazywać funkcją dyskontowania
jednostki kapitału.
Zakładamy, że funkcja d jest ściśle związana z odpowiednią funkcją oprocentowania jednostki
kapitału α: jeżeli α(t) jest wartością jednostki kapitału w chwili t to jako kapitał początkowy trzeba
przyjąć 1/α(t) aby w chwili t otrzymać 1.
Prowadzi to do następującej definicji.
DEFINICJA 1.8. Funkcję d : R+ → R nazywamy funkcją dyskontowania jednostki kapitału (ang.
discount function) odpowiadającą funkcji oprocentowania jednostki kapitału α, gdy dla t ∈ R + ,
α(t)d(t) = 1.
WNIOSEK 1.6. (i) d(0) = 1;
(ii) d jest funkcją nieujemną i nierosnącą.
Przykład 1.2. Niech α będzie zadana wzorem α(t) = 1 + [t]3 dla wersji okresowej kapitalizacji
odsetek oraz α(t) = 1 + t3 dla wersji ciągłej. Stąd
d(t) =
1
1 + [t]3
oraz
d(t) =
1
.
1 + t2
LEMAT 1.7. Funkcja d : R+ → R+ jest funkcją dyskontowania jednostki kapitału iff funkcja d
spełnia następujace warunki
(i) d(0) = 1;
(ii) d jest funkcją nierosnącą.
17
Dowód. ⇒ Oczywiste.
⇐ Określamy funkcję α wzorem
α(t) =
1
.
d(t)
Wtedy α(0) = 1 oraz α jest funkcją niemalejącą, a więc jest funkcją oprocentowania kapitału
jednostkowego.
W ogólnym przypadku (dla dowolnego kapitału) funkcja dyskontowania jest określana następujaco
DEFINICJA 1.9. Funkcja D : R+ → R+ nazywa się funkcją dyskontowania kapitału P > 0, gdy
D(t) = P d(t),
gdzie P > 0 oznacza wartość kapitału końcowego, a d jest funkcją dyskontowania jednostki kapitału.
UWAGA 1.9. Niech D będzie funkcją dyskontowania kapitału P > 0. Wtedy D(t0 ) oznacza wartość
początkową (dla t = 0) kapitału, który w chwili t = t0 > 0 ma wartość P .
WNIOSEK 1.8. Niech D będzie funkcją dyskontowania kapitału P > 0. Wtedy
(i) D(0) = P ;
(ii) D jest funkcją nierosnąca;
(iii) D jest funkcją ciągła, gdy d jest funkcją ciągłą.
Korzystając z funkcji oprocentowania i dyskontowania oraz znając wartość kapitału w pewnym ustalonym momencie można obliczyć jego wartość w każdym innym momencie. W tym celu
wprowadzamy następujacą definicję.
DEFINICJA 1.10. Aktualna wartość Fta w chwili ta kapitału, który w chwili t ma wartość Ft
wynosi
Fta = Ft d(t)α(ta ) = Ft
α(ta )
.
α(t)
(1.5)
gdzie t jest datą kapitału, α – funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego, a d odpowiadającą
jej funkcją dyskontowania kapitału jednostkowego, tj. d = 1/α.
Obliczanie aktualnej wartości kapitału nazywamy aktualizacją, natomiast moment czasu na który
aktualizujemy wartość kapitału, nazywamy momentem lub datą aktualizacji.
UWAGA 1.10. Istnieją jeszcze inne metody auktualizacji, które nie pokrywają się z powyżsż definicją. Będziemy o nich mówić w rozdziale II.
1.5
Kapitalizacja prosta (oprocentowanie proste) z dołu
Model kapitalizacji prostej stosuje się do krótkich okresów czasu (dni, tygodni). Rozważanie kapitalizacji prostej w okresach wieloletnich jest jedynie konstrukcją teoretyczną.
STWIERDZENIE 1. Przyszła wartość Fn kapitału początkowego F0 w kapitalizacji zgodnej po n
okresach kapitalizacji wynosi dla kapitalizacji prostej
Fn = F0 (1 + ni);
gdzie n = 0, 1, . . . .
(1.6)
18
Dowód. W przypadku kapitalizacji prostej z dołu oprocentowaniu podlega tylko kapitał początkowy
F0 . Dlatego ciąg odsetek (In ) jest ciągien stałym takim, że In+1 = F0 i dla n = 0, 1, . . . . Stąd
Fn+1 − Fn = F0 i dla n = 0, 1, . . . , czyli ciąg (Fn ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy ciągu
arytmetycznego równej F0 i.
DEFINICJA 1.11. Liczba 1+ni nazywa się współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wartości
przyszłej w modelu kapitalizacji prostej.
Rachunek procentowy w przypadku kapitalizacji niezgodnej jest analogiczny do rachunku procentowego dla kapitalizacji zgodnej z tym, że zamiast nominalnej stopy procentowej należy zastosować
względną stopę procentową, a zamiast liczby okresów stopy procentowej n należy uwzględnić liczbę
okresów kapitalizacji k.
WNIOSEK 1.9. Przyszła wartość Fk/m kapitału począkowego F0 w kapitalizacji niezgodnej po k
okresach kapitalizacji wynosi dla kapitalizacji prostej
¶
µ
i
;
(1.7)
Fk/m = F0 1 + k
m
gdzie k = 0, 1, . . . oraz m jest liczbą okresów kapitalizacji zawartej w okresie stopy procentowej. W
szczególności, podstawiając za i dzienną stopę procentową mamy
¶
µ
k
dla procentu zwykłego;
Fk/360 = F0 1 + i
360
µ
¶
k
dla procentu dokładnego
Fk/365 = F0 1 + i
365
WNIOSEK 1.10. Przyszła wartość kapitału w modelu kapitalizacji prostej zależy jedynie od długości okresu trwania lokatym a nie zależy od okresu kapitalizacji (częstości dopisywania odsetek).
Przykład 1.3. Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego
o miesiąc terminu płatności faktury. Jeśli zapłata nastąpi natychmiast, to nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 3% (skonto to premia za przyśpieszoną zapłatę faktury). Wartość
zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnąć kredyt bankowy i skorzystać ze
skonta, jeżeli stopa kresytu bankowego wynosi 12%?
Zauważmy, że miesięczna stopa procentowa jest równa i = 0, 01.
Wyznaczamy obniżoną o skonto cenę towaru:
12000 − 0, 03 · 12000 = 11640 jp.
Aby skorzystać ze skonta, trzeba zaciągnąć kredyt w wysokości 11640 jp. Po miesiącu trzeba zwrócić
do banku następującą kwotę
11640(1 + 0, 01) = 11756, 4 jp.
Powyższe wyliczenia wskazują, że opłaca się zaciągnąć kredyt. Ewentualny zysk wynosi
12000 − 11756, 4 = 243, 6 jp.
Obliczanie w modelu kapitalizacji prostej, wartości teraźniejszej kapitału na podstawie wartości
przyszłej ma małe znaczenie praktyczne, ale jest możliwe.
STWIERDZENIE 2. Wartość teraźniejsza F0 wyraża sie przez wartość przyszłą wzorem
F0 =
Fn
.
1 + ni
(1.8)
19
Wartość przyszłą Fn można zaktualizować na dowolny moment czasowy i aktualizacja wartości
przyszłej Fn na moment m wyraża się wzorem
Fm = F n
1 + mi
.
1 + ni
(1.9)
W szczególności,
Fn+k
=
Fn−k
=
µ
¶
ki
F0 1 +
,
1 + ni
µ
¶
ki
F0 1 −
,
1 + ni
n, k = 0, 1, 2, . . . ,
(1.10)
n = 0, 1, 2, . . . , k = 0, 1, . . . , n.
(1.11)
Dowód. Wynika bezpośrednio z definicji 1.10.
DEFINICJA 1.12. Współczynnik
ν=
1
1 + ni
(1.12)
nazywamy czynnikiem dyskonta (ang. discount factors) oprocentowania prostego.
Przykład 1.4. Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 30 tys. jp. Ile kosztował samochód
przed podwyżką i o ile wzrosła jego cena?
Podwyżkę można interpretować jako dopisanie odsetek za umowny okres. Stąd
F0 =
30000
= 28571, 4 jp
1 + 0, 05
Cena samochodu wzrosła o
30000 − 28571, 4 ≈ 1428, 6 jp.
1.5.1
Klasyczne zagadnienia procentu prostego
• Obliczanie kapitału końcowego
Końcowa wartość kapitału Fn jest n-tym wyrazem ciągu arytmetycznego o wyrazie początkowym F0 i różnicy F0 i, tj.
Fn = F0 (1 + in)
• Obliczanie kapitału początkowego
F0 = F n
1
.
1 + in
• Obliczanie stopy procentowej i
1
i=
i
• Obliczanie długości okresu inwestowania
t=
µ
¶
Fn
−1 .
F0
Ft − F 0 1
· .
Ft
i
• Wartość odsetek nagromadzonych w ciągu n okresów kapitalizacji
n
X
i=1
Ii = Fn − F0 = F0 in.
20
1.5.2
Funkcje oprocentowania i dyskontowania prostego (z dołu)
Powyższe rozważania pokazują, że z kapitalizacją prostą z dołu można związać następujace funkcje
akumulacji.
DEFINICJA 1.13. Funkcja oprocentowania A kapitału P > 0 nazywa się funkcją oprocentowania
prostego (z dołu), gdy jest zadana wzorem
(i) w przypadku okresowej kapitalizacji odsetek
A(t) = P (1 + i[t]),
(1.13)
(ii) w przypadku ciągłej kapitalizacji odsetek
A(t) = K(1 + it),
(1.14)
gdzie i > 0 nazywa się stopą oprocentowania prostego.
LEMAT 1.11. Niech i będzie stopą oprocentowania prostego, a in stopą procentową n-tego okresu.
Wtedy
(i) in =
i
. W szczególności, i = i1 .
1 + i(n − 1)
(ii) limn→∞ in = 0.
Dowód. Mamy
in =
α(n) − α(n − 1)
[1 + in] − [1 + i(n − 1)]
i
=
=
.
α(n − 1)
1 + i(n − 1)
1 + i(n − 1)
Następujące stwierdzenia charakteryzują funkcje oprocentowania prostego wśród wszystkich
funkcji oprocentowania.
STWIERDZENIE 3. Niech α będzie funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego oraz i =
α(1) − 1. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(i) dla n ∈ N, funkcja akumulacji α spełnia zależność:
α(n) = 1 + ni,
(1.15)
czyli jest funkcją oprocentowania prostego w przypadku okresowej kapitalizacji odsetek;
(ii) dla n ∈ N, funkcja akumulacji α spełnia równanie rekurencyjne
α(n) = α(n − 1) + i,
(1.16)
(iii) kwota odsetek funkcji akumulacji α jest stała we wszystkich okresach bazowych:
α(n) − α(n − 1) = α(1) − α(0).
Dowód. (i)⇒(ii) Mamy
α(n − 1) + i = 1 + i(n − 1) + i = 1 + in.
(1.17)
21
(ii)⇒(iii) Mamy
α(n) − α(n − 1) = α(n − 1) + i − α(n − 1) = i = (1 + i) − 1 = α(1) − α(0).
(iii)⇒(i) Ponieważ α(n) − α(n − 1) = α(1) − 1 = i oraz α(0) = 1 to
α(n) =
n
X
k=1
(α(k) − α(k − 1)) + α(0) = ni + 1.
W stwierdzeniu 4, podane są warunki opisujące wartości funkcji oprocentowania kapitału jednostkowego jedynie dla n naturalnych. Następny lemat uogólnia te wyniki na przypadek R + tak,
aby spełnione było uogólnienie warunku (1.17).
STWIERDZENIE 4. Niech α będzie ciągłą funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego oraz
i = α(1) − 1. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(i) funkcja α jest funkcją postaci
α(t) = 1 + it,
t ≥ 0,
czyli jest funkcją oprocentowania przy ciągłej kapitalizacji odsetek
(ii) dla t, s ≥ 0,
α(t + s) = α(t) + is,
(iii)
α(t + s) − α(t) = α(s) − α(0).
tj. każdego ustalonego s ≥ 0 funkcja t 7→ α(t + s) − α(t) jest stała.
α(t + s) − α(t) = 1 + i(t + s) − (1 + is) = is = 1 + is − 1 = α(s) − α(0)
(ii)⇒(iii) Mamy
α(t + s) − α(t) = is = 1 + is − 1 = α(s) − α(0).
(iii)⇒(i) Niech β(t) = α(t) − 1. Ponieważ α(s + t) = α(s) + α(t) − 1 to β(t + s) = β(t) + β(s) oraz
β(0) = 0.
Ponieważ β jest funkcją ciągłą to z ogólnego twierdzenia wynika, że β(t) = tβ(1), czyli α(t) =
1 + it.
Uogólniając model oprocentowania prostego z dołu, niezgodnego dochodzimy do następującej
definicji funkcji oprocentowania prostego, niezgodnego
prostego, niezgodnego (z dołu), gdy jest zadana wzorem
(i) w przypadku okresowej kapitalizacji odsetek
A(t) = P
µ
i(m)
1 + [mt]
m
¶
,
(1.18)
22
(ii) w przypadku ciągłej kapitalizacji odsetek
A(t) = P
µ
1 + tm
i(m)
m
¶
,
(1.19)
gdzie i(m) > 0 nazywa się nominalną stopą oprocentowania prostego, m jest liczbą kapitalizacji w
jednym okresie bazowym (liczbą podokresów).
WNIOSEK 1.12. W wersji ciągłej funkcja oprocentowania prostego nie zależy od liczby kapitalizacji w okresie bazowym.
LEMAT 1.13. Funkcja dyskontowania D odpowiadająca oprocentowaniu prostemu zgodnemu (z
dołu) jest postaci
(i) D(t) =
(ii) D(t) =
P
dla ciągłej kapitalizacji odsetek;
1 + it
P
dla okresowej kapitalizacji odsetek.
1 + i[t]
Dowód. Oczywiste.
DEFINICJA 1.15. Funkcję dyskontowania D odpowiadającą oprocentowaniu prostemu nazywamy funkcją dyskontowania (dyskonta) prostego, matematycznego lub prostego, rzeczywistego.
LEMAT 1.14. Funkcja dyskontowania D odpowiadająca oprocentowaniu prostemu niezgodnemu
(z dołu) jest postaci
(i) D(t) =
(ii) D(t) =
P
dla ciągłej kapitalizacji odsetek;
1 + i(m)
P
(m)
1 + [mt] i m
dla okresowej kapitalizacji odsetek.
Dowód. Oczywiste.
1.5.3
Kapitalizacja prosta (oprocentowanie proste) z dołu przy zmiennej
stopie procentowej
Rozważamy kapitalizację zgodną.
STWIERDZENIE 5. Zakładamy, że przez n1 okresów obowiązywała stopa procentowa i1 , przez
następnych n2 okresów obowiązywała stopa procentowa i2 itd. oraz niech n = n1 + . . . + np . Wtedy
przyszła wartość Fn kapitału F0 po n okresach jest równa
Fn = F 0 + F 0 n 1 i1 + . . . + F 0 n p ip .
(1.20)
Dowód. Ponieważ obowiązywała kapitalizacja prosta to odsetki proste od kapitału F 0 po n okresach
wynoszą
F0 n 1 i1 + . . . + F 0 n p ip .
W przypadku kapitalizacji przy zmiennej stopie procentowej uzasadnione jest wprowadzenie
pojęcia przeciętnej stopy procentowej w okresie trwania lokaty.
23
DEFINICJA 1.16. Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stałą stopę procentową i prz , dla
której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przyszła wartość tego kapitału przy zmieniającej
się stopie procentowej.
STWIERDZENIE 6. Przeciętna stopa procentowa w modelu kapitalizacji prostej jest równa
iprz =
1
(n1 i1 + . . . + np ip ).
n
(1.21)
Dowód. Ponieważ
F0 (1 + niprz ) = F0 (1 + n1 i1 + . . . + np ip ).
1.6
Kapitalizacja prosta (oprocentowanie proste) z góry
W przypadku kapitalizacji prostej zgodnej z góry odsetki proste dopisywane są do kapitału na
początku okresów kapitalizacji. Model ten jest analogiczny do kapitalizacji zgodnej prostej z dołu
z tą tylko różnicą, że przez Fn rozumiemy przyszłą wartość kapitału F0 na początku n-tego okresu
kapitalizacji.
1.7
Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) z dołu
W oprocentowaniu prostym odsetki nie są reinwestowane i nie otrzymujemy z nich dodatkowych
odsetek. Rozważmy następujacy przykład. Załóżmy, że inwestor inwestuje 100 jp na okres 2 lat przy
oprocentowaniu prostym 10%. Po dwóch latach uzyskuje on 120 jp. Natomiast w rzeczywistości,
po pierwszym roku posiada on 110 jp i po zainwestowaniu otrzymuje on 121 jp. Ponieważ inwestor
woli w drugim roku zysk 11 jp zamiast 10 jp to zainwestuje również odsetki.
W modelu kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega zarówno kapitał początkowy F 0 , jak i
nagromadzone do tej pory odsetki. Ponadto zakładamy w tym podrozdziale, że odsetki są dopisywane do kapitału na koniec okresów kapitalizacji.
STWIERDZENIE 7. Zakładamy, że okres stopy procentowej i pokrywa się z okresem kapitalizacji. Wtedy przyszła wartość kapitału początkowego F0 po n okresach kapitalizacji jest równa
Fn = F0 (1 + i)n ,
n = 0, 1, 2, . . .
(1.22)
Dowód. W tym przypadku ciąg wartości przyszłych (Fn ) spełnia równanie rekurencyjne (1.4). Obliczymy obecnie wyrazy ciągu (In ). Mamy In+1 = Fn i dla n = 0, 1, 2, . . . , a więc
Fn+1 = Fn + Fn i = (1 + i)Fn ,
n = 0, 1, . . . ,
(1.23)
czyli ciąg (Fn ) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie F0 i ilorazie 1 + i. Stąd
Fn = F0 (1 + i)n ,
n = 0, 1, 2, . . .
DEFINICJA 1.17. Liczbę (1 + i)n nazywamy współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wartości przyszłej w modelu kapitalizacji złożonej.
Przykład 1.5. Przy jakiej rocznej stopie procentowej i kapitalizacji rocznej złożonej z dołu dany
kapitał podwoi swoją wartość po pięciu latach?
W tym przykładzie n = 5 oraz F5 = 2F0 , czyli
F0 (1 + i)5 = 2F0 .
Stąd (1 + i)5 = 2 oraz i = 0, 1487.
24
Przykład 1.6. Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 tys. jp, złożoną w
banku, który stosuje kapitalizację roczną z dołu przy rocznej stopie procentowej 20%. Życzeniem
spadkodawcy było takie podzielenie spadku, aby w momencie osiągnięcia przez dzieci 21 lat wartości
przyszłe części spadku każdego dziecka były takie same. Jak należy podzielić spadek?
Niech x oznacza tę część kwoty, którą otrzyma młodsze dziecko. Wtedy starsze dziecko otrzyma
500000 − x jp. Z warunków zadania wynika, że przyszła wartość kwoty x po 13 latach ma być równa
przyszłej wartości kwoty 500000 − x po 11 latach. Zatem x musi spełniać następujące równanie
x(1 + 0, 2)13 = (500000 − x)(1 + 0, 2)11 .
Stąd x ≈ 204919, 2 jp oraz 500000 − x = 295080, 8 jp.
Przykład 1.7. Bank przyjmuje kapitał w depozyt, płacąc odsetki i udziela kredytu, pobierając za
tę usługę odsetki, Stopy procentowe płaconcyh odsetek są niższe od stóp procentowych pobieranych
odsetek. Stąd odsetki pobierane prze bank z tytułu udzielanego kredytu są na ogół wyższe od odsetek
wypłacanych za lokatę. Różnica tych odsetek nosi nazwę marży odsetkowej (marży bankowej ) i
stanowi podstawowe źródło dochodu banku. Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który
przyjął w depozyt kwotę 10 tys. jp według rocznej stopy procentowej 15% i udzielił kredytu tej
wysokości według rocznej stopy procentowej 20%. Bank stosuje kapitalizację roczną złożoną z dołu.
Odsetki od lokaty
10000 · (1 + 0, 15)5 − 10000 ≈ 11113, 57 jp,
natomiast odsetki od kredytu
10000 · (1 + 0, 2)5 − 10000 = 14883, 2 jp.
Stąd odsetkowa marża banku
14883, 2 − 11113, 57 ≈ 3769, 63 jp.
Wartość przyszłą Fn można zaktualizować w modelu kapitalizacji złożonej z dołu na dowolny
moment czasowy.
STWIERDZENIE 8. Wartość teraźniejszą F0 kapitału Fn jest równa
F0 =
Fn
,
(1 + i)n
n = 0, 1, 2, . . .
(1.24)
Natomiast aktualizacja na moment m wartości przyszłej Fn jest równa
Fm = Fn (1 + i)m−n .
(1.25)
Dowód. Wynika z definicji 1.10.
DEFINICJA 1.18. Współczynnik
v=
1
1+i
(1.26)
nazywamy czynnikiem dyskonta (ang. discount factors). Również potęgi v n nazywają się czynnikami
dyskonta.
WNIOSEK 1.15. 0 < v < 1.
Rozważymy teraz sytuację w której odsetki podczas danego okresu bazowego płacone są częściej
niż jeden raz. Rachunek procentowy w tym przypadku jest analogiczny do rachunku procentowego
dla kapitalizacji zgodnej z tą różnicą, że zamiast bazowej stopy procentowej należy zastosować
25
STWIERDZENIE 9. Przyszła wartość kapitału F0 w kapitalizacji niezgodnej po k okresach kapitalizacji wynosi dla kapitalizacji złożonej z dołu:
µ
¶k
i
Fk/m = F0 1 +
;
(1.27)
m
gdzie k = 0, 1, . . . oraz m liczba podokresów.
Poniższe stwierdzenie pokazuje, że modelu kapitalizacji złożonej z dołu niezgodnej wartość kapitału wzrasta w przypadku mniejszego okresu kapitalizacji, czyli częstszego dopisywania odsetek.
STWIERDZENIE 10. Przy ustalonej wielokrotności okresu stopy procentowej przyszła wartość
kapitału w modelu kapitalizacji złożonej z dołu jest rosnącą
¶mnczęstości kapitalizacji odsetek.
µ funkcją
i
jest funkcją rosnącą względem
Dokładniej, przy ustalonym n funkcja m 7→ Fmn/m = F0 1 +
m
m.
µ
¶x
i
, i > 0, jest rosnąca.
Dowód. Funkcja [1, +∞) 3 x 7→ 1 +
x
WNIOSEK 1.16. Przy ustalonym n ∈ N, Fn ≤ Fmn/m dla m = 1, 2, . . . .
W przypadku kapitalizacji złożonej z dołu, niezgodnej użyteczne jest wprowadza się pojęć: nomionalnej i efektywnej stopy procentowej.
DEFINICJA 1.19. Stopa procentowa i nazywa się
(i) efektywną stopą procentową (ang. effective rate of interest), gdy okres stopy procentowej pokrywa sie z okresem kapitalizacji;
(ii) nominalną stopę procentową, gdy okres stopy procentowej i jest różny od okresu kapitalizacji.
UWAGA 1.11. Zgodnie z umową przyjętą w matematyce finansowej, gdy i jest nominalną stopę
procentową, to będziemy zakładać, że istnieje liczba naturalna (lub odwrotność liczby naturalnej)
m taka, że okres konwersji związany z tą stopą procentową stanowi m-tą część okresu bazowego (w
przypadku, gdy m jest odwrotnością liczby naturalnej – okres konwersji jest 1/m krotnością okresu
bazowego) oraz, że odsetki w wysokości i(m) /m płacone są m-razy pod koniec każdego z m równych
podokresów na które dzielony jest okres bazowy. Taką stopę będziemy oznaczać jako i (m) .
W niektórych zagadnieniach matematyki finansowej (wkłady oszczędnościowe, spłata długów)
zachodzi konieczność zmiany okresów kapitalizacji z równoczesnym zachowaniem efektów oprocentowania. W szczególności pojawia się potrzeba zastąpienia kapitalizacji niezgodnej kapitalizacją
zgodną i odwrotnie. W związku z tym powstaje pytanie o możliwość zrównoważenia efektów kapitalizacji w podokresach lub w nadokresach.
Wprowadzimy najpierw ogólną definicję równoważności stóp procentowych.
DEFINICJA 1.20. Dwie stopy procentowe i1 oraz i2 nazywają się równoważnymi w czasie t, gdy
dla dowolnej, ustalonej wartości początkowej kapitału oba modele kapitalizacji określone przez te
stopy procentowe dają tą sama wartość przyszłą w momencie t.
WNIOSEK 1.17. Niech α1 i α2 będą funkcjami oprocentowania kapitału jednostkowego określonymi przez i1 i i2 . Wtedy stopy procentowe i1 i i2 są równoważne w momencie t iff α1 (t) = α2 (t).
DEFINICJA 1.21. Dwie stopy procentowe i1 oraz i2 nazywają się równoważnymi, gdy dla każdego momentu t, dowolna, ustalona wartość początkowa kapitału daje w obu modelach kapitalizacji
określonych przez stopy procentowe i1 i i2 tą sama wartość przyszłą w momencie t.
WNIOSEK 1.18. Niech α1 i α2 będą funkcjami oprocentowania kapitału jednostkowego określonymi przez i1 i i2 . Wtedy stopy procentowe i1 i i2 są równoważne iff α1 = α2 .
26
UWAGA 1.12. Można porównywać z sobą np. różne stopy procentowe oprocentowania prostego i
złożonego.
STWIERDZENIE 11. Niech i(m) będzie nominalną stopę procentową, której okres konwersji stanowi m-tą część okresu bazowego. Wtedy istnieje równoważna jej w momentach n efektywna stopa
procentowa i0 , która jest zadana wzorem
µ
¶m
i
0
− 1.
(1.28)
i = 1+
m
UWAGA 1.13. Stopę procentową i0 będziemy oznaczać jako ieff .
³
Dowód. Stopa i0 jest równoważna stopie im dla każdego n iff F0 (1 + i0 )n = F0 1 +
¶m
µ
i
.
(1 + i ) = 1 +
m
0
i(m)
m
´mn
, a więc
(1.29)
Mamy również stwierdzenie odwrotne.
STWIERDZENIE 12. Niech i będzie efektywną stopą porocentową. Wtedy dla każdego m, istnieje
nominalna stopa procentowa i(m) , której okres konwersji stanowi m-tą część okresu stopy procentowej, która jest równoważna w momentach n stopie procentowej i. Jest ona określona wzorem
i(m) = m((1 + i)1/m − 1).
(1.30)
Stopy efektywne pozwalają na równoważne zastępowanie (bez zmiany efektu oprocentowania)
kapitalizacji niezgodnych kapitalizacjami zgodnymi i odwrotnie.
Przykład 1.8. Wyznaczyć przyszłą wartość kapitału F0 = 100 jp po 13 miesiącach, jeśli roczna
stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu.
Zakładamy, że efektywna stopa jest równa 12% i szukamy odpowiadającej jej przy kapitalizacji
miesięcznej stopy nominalnej i(12) . Mamy
i(12) = 12((1 + 0, 12)1/12 − 1).
Stąd
µ
¶13
i(12)
F13/12 = 100 1 +
= 100(1 + 0, 12)13/12 ≈ 113, 0627 jp.
12
Przykład 1.9. Wyznaczyć przyszłą wartość 100 zł po 1 roku i 8 dniach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 20% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu.
W tym przykładzie czas oprocentowania nie jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji.
Aby rozwiązać ten przykład za okres kapitalizacji przyjmiemy dzień.
Obliczymy najpierw efektywną stopę procentową przy kapitalizacji kwartalnej odpowiadającą
stopie nominalnej 20%. Mamy
ieff = (1 + 0, 5)4 .
Załóżmy obecnie, że jest to stopa efektywna przy kapitalizacji dziennej i obliczymy odpowiadającą
jej stopę nominalną. Mamy
1/365
i = 365(ieff
− 1).
Ostatecznie otrzymujemy
1/365
F373/365 = (1 + ieff
− 1)373 = (1 + 0, 5)(4·373)/365 .
27
1.7.1
Klasyczne zagadnienia procentu złożonego (z dołu)
Kapitalizacja zgodna
Końcowa wartość kapitału Fn jest n-tym wyrazem ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym F0 i ilorazie 1 + i, tj.
Fn = F0 (1 + i)n
F0 = F n
1 n
= Fn ν n .
(1 + i)
• Obliczanie stopy procentowej i
i=
µ
t=
Fn
F0
¶1/n
− 1.
ln Fn − ln F0
.
ln(1 + i)
n
X
i=1
Ii = Fn − F0 = F0 ((1 + i)n − 1).
Kapitalizacja niezgodna
Końcowa wartość kapitału Fn jest n-tym wyrazem ciągu geometrycznego o wyrazie począt(m)
kowym F0 i ilorazie 1 + i m , tj.
µ
¶k
i(m)
Fk = F 0 1 +
m
¶−k
µ
i(m)
.
F0 = F k 1 +
m
• Obliczanie stopy procentowej i(m)
i(m) = m
k=
Ãµ
Fk
F0
¶1/k
!
−1 .
ln Fk − ln F0
³
´.
(m)
ln 1 + i m
• Wartość odsetek nagromadzonych w ciągu k okresów kapitalizacji
Ãµ
!
¶k
k
X
i(m)
1+
Ii = Fk − F0 = F0
−1 .
m
i=1
28
1.7.2
Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) przy zmiennej stopie procentowej
następnych i2 okresów obowiązywała stopa procentowa i2 itd oraz n = n1 + . . . + np . Wtedy
Fn = F0 (1 + i1 )n1 (1 + i2 )n2 · . . . · (1 + ip )np .
(1.31)
Dowód. Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu końcowa wartość kapitału po danym okresie staje
się wartością początkową dla okresu następnego. Dzięki tej własności można łatwo ustalić przyszłą
wartość kapitału F0 dla tych modeli. Zatem dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu:
Fn = F0 (1 + i1 )n1 (1 + i2 )n2 · . . . · (1 + ip )np .
Również w tym przypadku wprowadzimy pojęcie przeciętnej stopy procentowej.
DEFINICJA 1.22. Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stałą stopę procentową i prz dla
STWIERDZENIE 14. Przeciętna stopa procentowa jest równa
iprz = ((1 + i1 )n1 (1 + i2 )n2 · . . . · (1 + ip )np )1/n − 1.
(1.32)
Dowód. Ponieważ
F0 (1 + iprz )n = F0 (1 + i1 )n1 (1 + i2 )n2 · . . . · (1 + ip )np
więc
iprz = ((1 + i1 )n1 (1 + i2 )n2 · . . . · (1 + ip )np )1/n − 1.
1.7.3
Funkcje oprocentowania i dyskontowania złożonego
Powyższe rozważania prowadzą do następującej funkcji oprocentowania.
DEFINICJA 1.23. Funkcja kapitalizacji A nazywa się funkcją oprocentowania złożonego (zgodnego) (ang. compound interest), gdy jest zadana wzorem
(i) A(t) = K(1 + i)[t] przy okresowej kapitalizacji odsetek;
A(t) = K(1 + i)t przy ciągłej kapitalizacji odsetek;
gdzie i nazywa się stopą procentową oprocentowania złożonego.
UWAGA 1.14. W przypadku oprocentowania złożonego oprocentowaniu podlega nie tylko kapitał
początkowy, ale również odsetki.
Wielkość 1 + i nazywamy współczynnikiem akumulacji (ang. accumulation factor ).
Liczbę (1 + i)t nazywamy współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wartości przyszłej oprocentowania złożonego.
Następujące stwierdzenia charakteryzują funkcje oprocentowania złożonego
STWIERDZENIE 15. Niech α będzie funkcją akumulacji oraz i = α(1) − 1. Wtedy następujące
warunki są równoważne:
29
(i) dla n = 0, 1, 2, . . . ,
α(n) = (1 + i)n ,
(1.33)
czyli a chwilach n pokrywa się z funkcją oprocentowanioa złożonego zgodnego;
(ii) stopy in są stałe dla wszystkich okresów bazowych.
(iii) dla n = 1, 2, . . . ,
α(n) = α(n − 1)(1 + i);
(1.34)
in =
Mamy
(1 + i)n − (1 + i)n−1
α(n) − α(n − 1)
=
= (1 + i) − 1 = i.
α(n − 1)
(1 + i)n−1
α(n − 1)(1 + i) = (1 + i)n−1 (1 + i) = (1 + i)n = α(n).
(ii)⇒(iii) Ponieważ in = i1 to
α(n)−α(n−1)
α(n−1)
= i, czyli zachodzi (1.34). (iii)⇒(i) Indukcyjny.
Powyższa funkcja akumulacji jest jednoznacznie określona jedynie dla n naturalnych. Jednakże,
można ją rozszerzyć na zbiór wszystkich t ≥ 0 tak, aby spełniała ona uogólnienie warunku (1.34).
STWIERDZENIE 16. Niech α będzie ciągłą funkcją akumulacji oraz i = α(1) − 1. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(i) dla t ≥ 0
α(t) = (1 + i)t ,
(1.35)
czyli jest ciągłą funkcją oprocentowania złożonego;
(ii) dla każdego ustalonego s ≥ 0 funkcja
α(t + s) − α(t)
α(t)
(1.36)
α(t + s) = α(t)α(s);
(1.37)
t 7→
jest stała.
(iii) dla t ≥ 0, s ≥ 0,
(1 + i)t+s − (1 + i)t
α(t + s) − α(t)
= (1 + i)s − 1.
=
α(t)
(1 + i)t
(ii)⇒(iii) Mamy
α(s) − α(0)
α(t + s) − α(t)
=
= α(s) − 1,
α(t)
α(0)
czyli
α(t + s) − α(t) = α(t)α(s) − α(t).
(iii)⇒(i) Ponieważ α(t) = (α(t/2))2 to α ≥ 0. Załóżmy, że dla pewnego t0 > 0 mamy α(t0 ) = 0.
Ponieważ α(t0 /n)n = α(t0 ) = 0 to α(t0 /n) = 0, a więc α(0) = limn→∞ α(t0 /n) = 0. Sprzeczność,
gdyż α(0) = 1. Stąd α > 0. Niech β(t) = log α. Wtedy β(t + s) = β(t) + β(s) oraz β(0) = 0. Stąd
β(t) = β(1)t, a więc α(t) = α(1)t . Zauważmy, że α(1) = 1 + i.
30
LEMAT 1.19. Funkcja dyskontowania D odpowiadająca oprocentowaniu złożonemu z dołu zgodnemu jest postaci
(i) D(t) = K(1 + i)−[t] przy okresowej kapitalizacji odsetek;
(ii) D(t) = K(1 + t)−t przy ciągłej kapitalizacji odsetek.
Dowód. Oczywisty.
DEFINICJA 1.24. Funkcję dyskontowania odpowiadającą oprocentowaniu złożonemu z dołu nazywamy funkcją dyskontowania złożonego z dołu (zgodną).
1
nazywać będziemy współczynnikiem dyskonta (ang. discount factor ).
Wielkość ν = 1+i
Niech α będzie funkcją oprocentowania złożonego kapitału jednostkowego, a D odpowiadającą
jej funkcją dyskotowania. Wtedy d(t) = α(−t), czyli w tym przypadku funkcja dyskontowania
przedłuża w tym przypadku funkcję α na półoś ujemną.
TWIERDZENIE 1.20. Niech A będzie ciągłą funkcją oprocentowania złożonego, a B ciągłą funkcją oprocentowania prostego o tej samym kapitale początkowym K > 0 i stopie procentowej i > 0.
Wtedy
(i) A(t) < B(t) dla t ∈ (0, 1);
(ii) A(1) = B(1) = 1 + i;
(iii) A(t) > B(t) dla t > 1.
Dowód. Wynika z badania przebiegu funkcji [0, +∞)t 7→ (1 + it) − (1 + i)t ∈ R.
DEFINICJA 1.25. Funkcja oprocentowania A kapitału K > 0 nazywa się funkcją oprocentowania
złożonego, z dołu (niezgodnego), gdy jest zadana wzorem
³
(i) A(t) = K 1 +
i(m)
m
³
(ii) A(t) = K 1 +
´[mt]
i(m)
m
´mt
, przy okresowej kapitalizacji odsetek;
, przy ciągłej kapitalizacji odsetek.
gdzie i(m) > 0 nazywa się nominalną stopą oprocentowania złożonego, a m jest liczbą kapitalizacji
w jednym okresie bazowym (liczbą podokresów).
WNIOSEK 1.21. W wersji ciągłej funkcja oprocentowania złożonego niezgodnego (z dołu) o nominalnej stopie
i(m) pokrywa się z funkcją oprocentowania złożonego z dołu o stopie
´m
³ procentowej
(m)
.
procentowej 1 + i m
LEMAT 1.22. Funkcja dyskontowania D odpowiadająca oprocentowaniu złożonemu z dołu, niezgodnemu jest postaci
³
(i) D(t) = K 1 +
³
(ii) D(t) = K 1 +
Dowód. Oczywisty.
i(m)
m
´−[mt]
i(m)
m
´−mt
przy okresowej kapitalizacji odsetek;
przy ciągłej kapitalizacji odsetek;
31
1.8
Stopa dyskontowa
DEFINICJA 1.26. Stopą dyskontową (ang. rate of discount) d nazywamy stosunek odsetek uzyskanych w czasie okresu bazowego do wartości na końcu okresu bazowego kapitału zainwestowanego,
czyli:
d=
FV − PV
FV
(1.38)
Definicja ta jest analogiczna do definicji stopy procentowej, rozważanej wcześniej.
Wielkość F V − P V będziemy nazywać zamiennie, albo ”kwotą dyskonta”, albo ”kwotą odsetek”
w sytuacjach w których występuje stopa dyskontowa.
UWAGA 1.15. Stopa dyskontowa d jest liczbą niemianowaną. Zawsze będzie zakładali, że d > 0. Na
ogół, d ∈ (0, 1). Stopę dyskontową można wyrazić w procentach mnożąc ją przez 100%. Informacja
d = 0, 03 oznacza to samo, że d = 3%. Zauważmy, że we wszystkich formułach matematycznych
używa się stopy dyskontowej jako liczby niemianowanej.
Stopa dyskontowa jest związana zawsze z pewnym ustalonym przedziałem czasu. Przedział ten
nazywamy okresem stopy dyskontowej lub podstawową (bazową) jednostką czasu.
W matematyce finansowej, zgodnie ze światową praktyką rozliczeń finansowych okresem stopy
dyskontowej jest jeden rok. W dalszym ciągu jeżeli nie będzie zaznaczone inaczej za podstawową
jednostkę będziemy przyjmować jeden rok.
Stopa dyskontowa mierzy wysokość odsetek, które należy zapłacić na początku okresu bazowego.
UWAGA 1.16. Roczna stopa dyskontowa w dziełalności ekonomicznej jest często ‘wielkością pierwotną’ i przedstawia względne zmniejszenie rocznej wartości np. bonu skarbowego lub weksla. Jej
poziom jest ustalany przez banki i inne instytucje finansowe (w Polsce postawową stopę dyskontową ustala RPP) dla konkretnych operacji finansowych, z uwzglednieniem poziomu rocznej stopy
oprocentowania lokat i kredytów.
STWIERDZENIE 17. Mamy
FV =
1
P V,
1−d
I = F V − P V = dF V =
d
P V.
1+d
(1.39)
Dowód. Bezpośrednio wynika z definicji stopy dyskontowej.
DEFINICJA 1.27. Niech A będzie funkcją oprocentowania kapitału P > 0. Stopą dyskontową
w n-tym okresie bazowym, którą będziemy oznaczać przez dn , nazywamy stosunek odsetek In =
A(n) − A(n − 1) uzyskanych w czasie n-tego okresu do kwoty A(n), tj.
dn =
A(n) − A(n − 1)
In
=
A(n)
A(n)
dla
n ≥ 1.
(1.40)
Ogólnie, dn zmienia się z okresu na okres.
WNIOSEK 1.23. Niech A = P α, gdzie α jest funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego.
Wtedy
dn =
in
α(n) − α(n − 1)
=
.
α(n)
1 + in
(1.41)
Dowód. Mamy α(n) = α(n − 1)(1 + in ).
Funkcja oprocentowania złożonego ma następującą własność:
WNIOSEK 1.24. Niech A będzie funkcją oprocentowania złożonego. Wtedy stopy dyskontowe (d n )
tworzą ciąg stały.
32
1.9
Dyskonto
Dyskontem nazywamy potrącenia z góry odsetek od zaciąganego kredytu lub potrącenie odsetek od
weksli i innych papierów wartościowych, oznaczających zobowiązanie, sprzedawanych przed terminem płatności.
Zaciągając w banku kredyt, kredytobiorca zobowiązuje się zwrócić pożyczoną kwotę w określony sposób i w określonym terminie, oraz uiścić stosowne odsetki jako zapłatę za wypożyczoną
kwotę. Odsetki te mogą być pobierane z góry lub z dołu. Gdy odsetki pobierane są z góry, wóczas
kredytobiorca otrzymuje obniżoną wartość kredytu o odsetki. To obniżenie kredytu o odsetki jest
dyskontem.
Podobna sytuacja występuje w przypadku obrotu wekslami lub innymi papierami wartościowymi
sprzedawanymi z dyskontem. Weksel oznacza zobowiązanie do zapłacenia określonej kwoty, tzw.
wartości nominalnej, w określonym terminie, tzw. terminie wykupu lub terminie płatności. Może
się zdarzyć, że posiadacz weksla nie chce lub nie może czekać na swój kapitał pieniężny aż do terminu
wykupu weksa. Jeżeli jadank chce otrzymać swoje pieniądze wcześniej, to musi się liczyć z tym, że
nie otrzyma pełnej kwoty, ale kwotę mniejszą. To obniżenie wartości weksla jest dyskontem.
Dyskonto można interpretować jako zapłatę za udzielenie kredytu lub wcześniejszy wykup weksla.
1.9.1
Dyskonto proste matematyczne
DEFINICJA 1.28. Niech D będzie funkcją dyskontowania kapitału F > 0. Wtedy różnicę D M
między końcową wartością kapitału D(0), a początkową wartością kapitału D(t) nazywamy dyskontem matematycznym (rzeczywistym), tj.
DM (t) = D(0) − D(t).
UWAGA 1.17. Dyskonto jest opłatą pobieraną z góry za prawo dysponowania kapitałem końcowym
F w momencie początkowym t = 0.
WNIOSEK 1.25. Niech funkcja dyskontowania jednostkowego kapitału d odpowiada funkcji oprocentowania jednostkowego kapitału α. Wtedy
(i) DM (t) = F (1 − d(t)).
(ii) DM (t) = It , gdzie It = A(t) − A(0), gdzie A funkcja oprocentowania kapitału w wysokości
F/α(t).
Dowód. (ii) Mamy
DM (t) = F (1 − d(t)) = K(1 − 1/α(t)) = (F/α(t))α(t) − F/α(t) = A(t) − A(0).
UWAGA 1.18. Warunek (ii) wniosku mówi, że dyskonto za zdyskontowanie kapitału końcowego
K w przedziale [0, t] jest równe procentowi (odsetkom) za oprocentowania kapitału początkowego
P = F/α(t) w tym samym przedziale czasu.
DEFINICJA 1.29. Niech D będzie funkcją dyskontowania odpowiadającą oprocentowaniu prostemu. Wtedy różnicę
DM (t) = D(0) − D(t)
nazywamy dyskontem prostym, matematycznym (prostym, rzeczywistym).
33
WNIOSEK 1.26. W przypadku dyskontowania prostego D odpowiadające mu dyskonto proste matematyczne jest równe
DM (t) = F ti(1 + it)−1 ,
tj. jest równe procentowi (odsetkom).
Dyskonto proste matematyczne może występować przy udzielaniu kredytu bankowego z dyskontem.
Przykład 1.10. Bank udziela kredytu, pobierając zapłatę z góry w postaci dyskonta matematycznego według rocznej stopy procentowej 24% i kapitalizacji prostej. Jaką kwotę otrzyma do ręki
kredytobiorca, jeżeli zaciągnął kredyt w wysokości 200 tys. zł na 9 miesięcy?
W tym przypadku dyskonto matematyczne jest równe:
DM = 200 ·
9
· 0, 24 = 36.
12
Kredytobiorca otrzyma otrzyma kwotę
C = 200 − 36 = 164 tys. zł.
UWAGA 1.19. Można określić dyskonto matematyczne związane z innymi modelami kapitalizacji.
1.9.2
Dyskonto proste, handlowe
Ponieważ funkcja dyskontowania prostego, rzeczywistego nie jest funkcją liniową to wprowadza się
funkcję dyskontowania która jest liniowa.
DEFINICJA 1.30. Funkcja dyskontowania kapitału jednostkowego d nazywa się funkcją dyskontowania prostego, handlowego, gdy zadana jest wzorem
d(t) = 1 − dt,
t ∈ [0, d), d > 0,
gdzie d bazowa stopa dyskontowa, t czas dyskontowania liczony w okresach bazowych.
DEFINICJA 1.31. Dyskontem prostym handlowym za n okresów stopy dyskontowej (lat) nazywamy wielkość:
(1.42)
DH = Fn dn,
gdzie Fn oznacza wartość kapitału (wartość nominalną) w chwili n, d — stopę dyskontową, n —
liczbę okresów stopy dyskontowej, której dyskonto dotyczy.
Jeżeli czas wykorzystywania cudzego kapitału jest mierzony
w dniach, to dyskonto handlowe obliczmy według wzoru
DH = F n d
n
,
360
(1.43)
gdzie n jest liczbą dni;
w miesiącach, to dyskonto handlowe obliczamy według wzoru
DH = F n d
n
,
12
gdzie n jest liczbą miesięcy;
UWAGA 1.20. Dyskonto proste, handlowe nazywane jest również dyskontem bankowym.
(1.44)
34
Okres wykorzystania cudzego kapitału jest najczęściej mierzony w dniach i wysokość stopy dyskontowej jest zbliżona do wysokości stopy procentowej kredytów krótkoterminowych.
Dyskonto proste, handlowe stosuje się w przypadku korzystania z weksli, czeków, obligacji sprzedawanych z dyskontem i innych papierów wartościowych oznaczających zobowiązanie. W tych przypadkach znana jest nominalna wartość papieru wartościowego jako wartość końcowa, a dyskonto
handlowe powoduje obniżenie wartości nominalnej do wartości aktualnej.
UWAGA 1.21. Dyskonto handlowe jest proporcjonalne do wartości nominalnej danego papieru wartościowego, a współczynnik proporcjonalności jest stopa dyskontowa. Ponadto, dyskonto handlowe
jest proporcjonalne do okresu czasu, którego dotyczy.
Z każdym wekslem związane są trzy wartości:
• wartość nominalna weksla Fn
• wartość aktualna weksla Fa
• odsetki dyskontowe D = DH
WNIOSEK 1.27. Wartość aktualna kapitału w przypadku dyskonta handlowego wyraża się wzorem
Fa = Fn − DH = Fn (1 − nd),
gdzie Fa wartość aktualna (początkowa), Fn wartość nominalna, a DH jest dyskontem handlowym
(odsetki dyskontowe). W szczególności, dla dni
³
n ´
Fa = F n 1 − d
.
360
Przykład 1.11. Pan X otrzymał w banku A 950 jp za weksel z terminem wypupu za 3 miesiące.
Na jaką kwotę wystawiony był weksel, jeśli stopa dyskontowa w tym banku wynosiła 20%?
Weksel zdyskontowano zgodnie z zasadami dyskonta handlowego, tj. zastosowanao wzór
µ
¶
1
950 = Fn 1 − · 0, 2 = 0, 95 · Fn ,
4
czyli Fn = 1000.
Przykład 1.12. Firma B dnia 31 stycznia 200X roku potrzebuje gotówwki. Jeśli wystawiając
weksel zobowiązuje się do zwrotu pewnej kwoty w dniu 1 maja roku 200X to otrzyma od banku
9525 jp, jeśli termin wykupu weksla będzie póżniejszy o 36 dni, otrzyma 190 jp mniej. Jaką roczną
stopę dyskontową stosuje bank oraz jaka jest wartość nominalna rozważanych weksli? Zakładamy,
że rok liczy 360 dni.
Rozważamy dwa weksle o tej samej wartości nominalnej F oraz dyskontowane przy tej samej
stopie dyskontowej d. Ich wartość aktualna wynosi odpowiednio 9525 jp i 9335 jp. Za pierwszy
weksel firma B ma zapłacić po 90 dniach, a za drugi po 126 dniach
Stąd otrzymujemy następujący układ równań
9525 = F (1 − d · 90/360),
9335 = F (1 − d · 126/360)
i dalej F = 10000 jp i d = 19%.
LEMAT 1.28. Dla równych stóp procentowej i i dyskontowej d dyskonto proste handlowe jest
zawsze większe od dyskonta prostego rzeczywistego, obliczonego dla tego samego kapitału końcowego
i tego samego czasu dyskontowania.
35
Dowód. Mamy
DH (t) = Dh (0) − Dh (t) = F − F (1 − td) = F dt
oraz
DM (t) = D(0) − D(t) = F − F
1
F it
=
.
1 + ti
1 + it
Ponieważ i = d to
DH (t)
= 1 + dt > 1.
DM (t)
UWAGA 1.22. Dyskontowanie handlowe (odejmowanie od wartości nominalnej dyskonta handlowego) nie jest działaniem odwrotnym do oprocentowania prostego przy równości stopy procentowej
i stopy dyskontowej.
Operacja dyskontowania prostego handlowego została wprowadzona z uwagi na prostotę obliczeń.
Operacja ta nie jest jednak działaniem odwrotnym do operacji oprocentowania prostego. Stosowanie
zatem do oprocentowania kapitału procentu prostego, a do dyskontowania kapitału dyskonta prostego handlowego zaburza zasadę wzajemnej odwrotności operacji oprocentowania i dyskontowania
kapitału.
Operacją odwrotną do operacji oprocentowania prostego jest operacja dyskonta prostego matematycznego. Z tego powodu w USA od 1968 roku na mocy uchwały Kongresu, zw. ”Truth in
Lending Act” stosuje się jedynie operację dyskonta prostego, rzeczywistego.
Polskie banki do oprocentowania kapitału w krótkich okresach czasu stosują oprocentowanie
proste, a do dyskontowania operację dyskonta prostego handlowego.
DEFINICJA 1.32. Stopę procentową i i stopę dyskontową d nazywamy stopami równoważnymi
w okresie czasu t, gdy wartość początkowa uzyskana przy pomocy dyskonta handlowego jest równa
wartości początkowej uzyskanej przez dyskontowanie proste matematyczne.
STWIERDZENIE 18. Niech t oznacza liczbę okresów stopy procentowej i i stopy dyskontowej d.
Wtedy stopy i i d są stopami równoważnymi w okresie czasu t iff
i=
d
.
1 − dt
Dowód. Załóżmy, że stopy i i d są równoważne. Wtedy dyskonto handlowe za n okresów jest równe
it
odsetkom prostym za ten okres, tj. DH = DM , a więc F dt = F 1+it
, czyli
i=
Jeżeli i =
d
to d = i − dit, czyli d =
1 − dt
d
.
1 − dt
i
1+it ,
a więc DH = DM .
UWAGA 1.23. Zauważmy, że równoważność stopy procentowej i stopy dyskontowej w każdym przypadku zależy od okresu czasu t. Stopy równoważne dla określonego okresu czasu nie są równoważne
dla żadnego innego okresu czasu.
Termin dyskontowanie używany jest w trzech różnych kontekstach:
• w związku z wartością obecną: czynnik dyskontowania, funkcja dyskontowania, dyskontowanie,
wartość dyskontowana;
• w związku z wypłatą odsetek na początku okresu: efektywna stopa dyskontowa, funkcja dyskontowania, dyskonto złożone, dyskonto proste
• w związku z obligacjami (wekslami).
36
1.10
Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) z góry
W modelu kapitalizacji złożonej z góry oprocentowaniu podlega zarówno kapitał początkowy F 0 ,
jak i nagromadzone do tej pory odsetki. Ponadto zakładamy w tym podrozdziale, że odsetki są
dopisywane do kapitału na początku okresów kapitalizacji.
Oprocentowanie z góry stosuje się rzadko np. w podatku akcyzowym, kredycie hipotecznym.
Załóżmy, że inwestując pewną kwotę F0 chcemy otrzymać natychmiast (z góry) pewien procent
kwoty F0 , powiedzmy, że F0 i oraz samą kwotę F0 po upływie jednego roku.
Prowadzi to do następującej definicji
DEFINICJA 1.33. Stopą procentową kapitalizacji z góry i nazywamy stosunek procentu (odsetek)
’wypłacanego’ na początku okresu do wartości kapitału zainwestowanego na początku okresu.
LEMAT 1.29. Wartość przyszła F V w kapitalizacji zgodnej z góry jest równa
F V = P V (1 − i)−1
(1.45)
Dowód. Inwestujemy kwotę P V i otrzymujemy natychmiast (z góry) procent iP V kwoty P V oraz
samą kwotę P V po upływie jednego roku. Otrzymany góry zysk P V i inwestujemy dodatkowo na
tych samych zasadach, otrzymując tym razem z góry P V i2 i P V i z powrotem po upływie jednego
okresu. Tak samo możemy postąpić z kwotą P V i2 , itd. Rozumując tak w nieskończoność po upływie
1
P V , a więc
jednego roku uzyskamy następujący kapitał: F V = P V + iP V + i2 P V + . . . =
1−i
1
F V = 1−i P V .
WNIOSEK 1.30. Stopa procentowa kapitalizacji z góry pokrywa się ze stopą dyskontową.
Dowód. Mamy
i=
FV − PV
,
FV
czyli i jest stopą dyskontową.
W dalszym ciągu utożsamiamy stopę procentową z góry ze stopą dyskontową.
STWIERDZENIE 19. Wartość przyszła Fn kapitału początkowego F0 w kapitalizacji złożonej z
góry zgodnej jest równa
µ
¶n
1
, n = 0, 1, 2, . . .
(1.46)
Fn = F 0
1−d
gdzie d jest stopą dyskontową.
Dowód. Powtarzając podobne rozumowanie jak w przypadku (1.45) otrzymujemy równanie
Fn+1 =
1
Fn ,
1−d
n = 0, 1, . . . ,
czyli ciąg (Fn ) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie F0 i ilorazie
jemy tezę.
(1.47)
1
. Stąd otrzymu1−d
DEFINICJA 1.34. Liczbę (1 − d)−1 nazywa się współczynnikiem akumulacji lub czynnikiem wartości przyszłej w modelu kapitalizacji złożonej z góry.
Wartość przyszłą Fn można zaktualizować w modelu kapitalizacji złożonej z góry na dowolny
moment czasowy.
37
STWIERDZENIE 20. Wartość teraźniejszą F0 kapitału Fn jest równa
F0 =
Fn
,
(1 − d)n
(1.48)
n = 0, 1, 2, . . .
Natomiast aktualizacja na moment m wartości przyszłej Fn jest równa
Fm = Fn (1 − d)n−m .
(1.49)
Proof. Oczywisty.
Przykład 1.13. Ile wynosi roczna stopa procentowa. jeśli przy rocznej kapitalizacji złożonej z góry
z kapitału 5 jp uzyskano po jednym roku 8 jp?
W tym przykładzie F0 = 5, F1 = 8. Ponieważ
F1 = F0 (1 − d)−1 ,
więc 8 = 5(1 − d)−1 , a więc d = 0, 375.
Przykład 1.14. Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeśli przy kapitalizacji złożonej z góry odsetki
z drugi rok od kwoty początkowej F0 = 20 jp wynoszą 2, 2 jp?
Ponieważ F2 − F1 to
2, 2 = 20(1 − d)−2 − 20(1 − d)−1 ,
czyli,
d = 0, 09.
DEFINICJA 1.35. Stopa procentowa i i stopa dyskontowa d nazywają się równoważnymi w czasie
t, gdy dla dowolnej, ustalonej wartości początkowej kapitału modele kapitalizacji złożonej z dołu
określony przez i i model kapitalizacji złożonej z góry określony przez d dają tą samą wartość
przyszłą w momencie t.
LEMAT 1.31. Niech i będzie stopą procentową, a d stopą dyskontową. Wtedy następujące warunki
są równoważne:
(i) stopy i oraz d są równoważne w momentach n;
(ii) i =
d
;
1−d
(iii) d =
i
;
1+i
(iv) 1 + i = (1 − d)−1 ;
(v) 1 − d = (1 + i)−1 = ν.
Dowód. Mamy
Fn = F0 (1 + i)n = F0
1
,
(1 − d)n
czyli
1+i=
1
i
, tzn. d =
.
1−d
1+i
Rozważmy sytuację, w której pożyczamy 1 przy efektywnej stopie dyskontowej d. Wtedy faktyczną kwotą pożyczki jest równa 1 − d, gdzie kwota dyskonta wynosi d. Stąd korzystając z definicji
stopy procentowej i jako stosunku kwoty odsetek do kwoty zaciągniętej pożyczki otrzymujemy wyrażenie:
i=
d
1−d
czyli
d=
i
1+i
38
WNIOSEK 1.32. Zachodzą następujące tożsamości: d = iν, d = 1 − ν, i − d = id.
UWAGA 1.24. Tożsamość i − d = id ma następującą interpretację.
Pożyczamy kwotę kwotę 1 i zwracamy kwotę 1 + i na koniec okresu lub pożyczamy kwotę 1 − d
i zwracamy kwotę 1 na koniec okresu. Zauważmy, że w obu przypadkach stopa procentowa jest
równa i. W pierwszym przypadku odsetki są równe i, a w drugim d. Ponieważ różnica między
podstawowymi kwotami pożyczanymi jest równa d, a różnica między odsetkami jest równa i − d to
zachodzi tożsamość i − d = id, gdyż odsetki od kwoty d przy stopie procentowej i są równe id.
Rozważymy teraz sytuację w której odsetki płacone są częściej niż raz podczas danego okresu
bazowego.
DEFINICJA 1.36. Stopę dyskontową d nazywamy
(i) efektywną stopę dyskontową, gdy jej okresy: bazowy i konwersji pokrywają się.
(ii) nominalną stopą dyskontową, gdy jej okres bazowy jest różny od okresu konwersji.
UWAGA 1.25. Przez d(m) będziemy oznaczać nominalną stopę dyskontową, której okres konwesji
stanowi m-tą część okresu bazowego, taką że odsetki w wysokości d(m) /m płacone są m-razy na
początku każdego z m równych podokresów na które dzielony jest okres bazowy.
Rachunek procentowy w przypadku kapitalizacji niezgodnej jest analogiczny do rachunku procentowego dla kapitalizacji zgodnej z tym, że zamiast nominalnej stopy procentowej należy zastosować
STWIERDZENIE 21. Przyszła wartość Fk/m kapitału F0 w kapitalizacji złożonej z góry niezgodnej po k okresach kapitalizacji wynosi
Fk/m = F0
µ
d(m)
1−
m
¶−k
.
(1.50)
gdzie k = 0, 1, . . . oraz m liczba podokresów.
Na pytanie, jak w modelu kapitalizacji złożonej z góry, niezgodnej wartość kapitału zależy od
okresu kapitalizacji, czyli częstości dopisywania odsetek odpowiada poniższe stwierdzenie.
STWIERDZENIE 22. Dla każdej ustalonej wielokrotności n okresu stopy procentowej przyszła
wartość kapitału w modelu kapitalizacji złożonej z góry jest malejącą funkcją częstości kapitalizaµ
¶−mn
d
cji odsetek. Dokładniej, przy ustalonym n funkcja m 7→ Fmn/m = F0 1 −
jest funkcją
m
malejącą względem m.
¶−x
µ
d
, d > 0, jest malejąca.
Dowód. Funkcja [1, +∞) 3 x 7→ 1 −
x
WNIOSEK 1.33. Przy ustalonym n ∈ N, Fmn/m ≤ Fn dla m = 1, 2, . . . .
DEFINICJA 1.37. Dwie stopy dyskontowe d1 oraz d2 nazywają się równoważnymi w czasie t,
gdy dla dowolnej, ustalonej wartości początkowej kapitału oba modele kapitalizacji złożonej z góry
określone przez te stopy dyskontowe dają tą sama wartość przyszłą w momencie t.
STWIERDZENIE 23. Niech d(m) będzie nominalną stopę dyskontową, której okres konwersji
stanowi m-tą część okresu bazowego. Wtedy istnieje równoważna jej w momentach n efektywna
stopa dyskontowa d0 , która jest zadana wzorem
µ
¶m
d(m)
0
d =1− 1−
.
(1.51)
m
39
UWAGA 1.26. Stopę dyskontową d0 będziemy oznaczać jako deff .
³
Dowód. Stopa d0 jest równoważna stopie dm dla każdego n iff F0 (1 − d0 )−n = F0 1 −
więc
¶m
µ
d(m)
.
(1 − d0 ) = 1 −
m
d(m)
m
´−mn
,a
(1.52)
Mamy również stwierdzenie odwrotne.
STWIERDZENIE 24. Niech d będzie efektywną stopą dyskontową. Wtedy dla każdego m, istnieje nominalna stopa dyskontowa d(m) , której okres konwersji stanowi m-tą część okresu stopy
dyskontowej d i która jest równoważna w momentach n stopie dyskontowej d. Jest ona określona
wzorem
d(m) = m[1 − (1 − d)1/m ] = m(1 − ν −1/m )
(1.53)
Stopy efektywne pozwalają na równoważne zastępowanie (bez zmiany efektu oprocentowania)
kapitalizacji niezgodnych kapitalizacjami zgodnymi i odwrotnie.
LEMAT 1.34. Niech d(m) będzie nominalną stopą dyskontową, a i(m) równoważną jej w podokresach nominalną stopą procentową, tj.
1+
1
i(m)
=
.
(m)
m
1 − dm
Wtedy efektywna stopa procentowa i odpowiadająca i(m) oraz efektywna stopa dyskontowa d odpo1
wiadająca d(m) są równoważne, tzn. 1 + i = 1−d
. W szczególności,
1+i= ³
Dowód.
1.10.1
1
1−
d(m)
m
´m .
Klasyczne zagadnienia procentu złożonego (z góry)
Kapitalizacja zgodna
Końcowa wartość kapitału Fn jest n-tym wyrazem ciągu geometrycznego o wyrazie począt1
, tj.
kowym F0 i ilorazie
1−d
Fn = F0 (1 − d)−n
F0 = Fn (1 − d)n .
• Obliczanie stopy dyskontowej d
d=1−
µ
F0
Fn
¶1/n
.
40
n=
ln F0 − ln Fn
.
ln(1 − d)
n
X
i=1
Ii = Fn − F0 = F0 ((1 − d)−n − 1).
Kapitalizacja niezgodna
Końcowa wartość kapitału Fk (po k okresach konwersji) jest k-tym wyrazem ciągu geome¶−k
µ
d(m)
, tj.
trycznego o wyrazie początkowym F0 i ilorazie 1 −
m
d(m)
1−
m
¶−k
d(m)
1−
m
¶k
Fk = F 0
µ
F0 = F k
µ
.
• Obliczanie nominalnej stopy dyskontowej d(m)
Ã
µ ¶1/k !
F0
(m)
d
=m 1−
.
Fk
k=
ln F0 − ln Fk
µ
¶.
d(m)
ln 1 −
m
• Wartość odsetek nagromadzonych w ciągu k okresów konwersji
Ãµ
!
¶−k
k
X
d(m)
−1 .
Ii = Fk − F0 = F0
1−
m
i=1
1.10.2
Funkcja oprocentowania i dyskontowania złożonego z góry
Powyższe rozważania prowadzą do następujacej definicji.
DEFINICJA 1.38. Funkcję oprocentowania A nazywamy funkcją oprocentowania złożonwego z
góry (zgodnego) kapitału P > 0, gdy wyraża się wzorem:
(i) A(t) = P (1 − d)−[t] przy okresowej kapiotalizacji odsetek;
(ii) A(t) = P (1 − d)−t przy ciągłej kapitalizacji odsetek,
gdzie d nazywa się stopą dyskontową oprocentowania złożonego z góry.
41
LEMAT 1.35. Jeżeli A jest funkcją oprocentowania złożonego z góry o stopie dyskontowej d, a B
funkcją oprocentowania złożonego z dołu o stopie procentowej i równoważnej stopie dyskontowej d
to A = B.
Dowód. Mamy
(1 − d)−t =
µ
1
1−d
¶t
=
µ
1+
d
1−d
¶t
.
LEMAT 1.36. Funkcja dyskontowania D kapitału F > 0 odpowiadająca oprocentowaniu złożonemu z góry (zgodnemu) jest postaci
(i) D(t) = F (1 − d)[t] przy okresowej kapitalizacji odsetek;
(ii) D(t) = F (1 − d)t przy ciągłej kapitalizacji odsetek.
Dowód.
złożonego, z góry (niezgodnego), gdy jest zadana wzorem
µ
¶−[mt]
d(m)
(i) A(t) = K 1 −
przy okresowej kapitalizacji odsetek;
m
d(m)
(ii) A(t) = K 1 −
m
µ
¶−mt
przy ciągłej kapitalizacji odsetek,
gdzie d(m) > 0 nazywa się nominalną stopą (dyskontową) oprocentowania złożonego z góry, m jest
liczbą kapitalizacji w jednym okresie bazowym (liczbą podokresów).
WNIOSEK 1.37. W wersji ciągłej funkcja oprocentowania złożonego z góry niezgodnego o nomi(m)
nalnej stopie dyskontowej d³
pokrywa
´m się z funkcją oprocentowania złożonego zgodnego z góry o
d(m)
stopie dyskontowej d = 1 − 1 + m
.
LEMAT 1.38. Funkcja dyskontowania D kapitału F > 0 odpowiadającą oprocentowaniu złożonemu z góry niezgodnemu jest postaci
³
´[mt]
(m)
przy okresowej kapitaliazcji odsetek;
(i) D(t) = F 1 − d m
³
(ii) D(t) = F 1 −
Dowód.
1.10.3
d(m)
m
´mt
przy ciągłej kapitalizacji odsetek.
Kapitalizacja złożona (oprocentowanie złożone) z góry przy
zmiennej stopie dyskontowej
STWIERDZENIE 25. Zakładamy, że przez n1 okresów obowiązywała stopa dyskontowa d1 , przez
następnych d2 okresów obowiązywała stopa dyskontowa d2 itd. oraz n = n1 +. . .+np . Wtedy wartość
kapitału F0 po n okresach jest równa
Fn = F0 (1 − d1 )−n1 (1 − d2 )−n2 · . . . · (1 − dp )−np .
(1.54)
42
Dowód. Dla modelu kapitalizacji złożonej z góry końcowa wartość kapitału po danym okresie staje
się wartością początkową dla okresu następnego. Dzięki tej własności można łatwo ustalić przyszłą
wartość kapitału F0 dla tego modelu. Zatem
Fn = F0 (1 − d1 )−n1 (1 − d2 )−n2 · . . . · (1 − dp )−np ;
pojęcia przeciętnej stopy dyskontowej w okresie trwania lokaty.
DEFINICJA 1.40. Przeciętną stopą dyskontową nazywamy taką stałą stopę procentową d prz dla
się stopie dyskontowej.
STWIERDZENIE 26. Przeciętna stopa dyskontowa dla modelu kapitalizacji złożonej z góry zadana jest wzorem
dprz = 1 − ((1 − d1 )n1 (1 − d2 )n2 · . . . · (1 − dp )np )1/n .
(1.55)
Dowód. Mamy
F0 (1 − dprz )−n = F0 (1 − d1 )−n1 (1 − d2 )−n2 · . . . · (1 − dp )−np .
1.11
Natężenie oprocentowania i dyskontowania
Rozważamy funkcję oprocentowania kapitału A. Jej stopę zmiany w chwili t (nachylenie wykresu
funkcji A) opisuje pochodna tej funkcji w chwili t. Ponieważ pochodna jako miara oprocentowania
zależy od początkowej wielkości zainwestowanego kapitału, to stosujemy inną miarę oprocentowania.
DEFINICJA 1.41. Natężeniem oprocentowania (ang. force of interest) funkcji oprocentowania
kapitału A w chwili t nazywamy wielkość
δt = lim
h→0
1
A(t + h) − A(t)
· lim .
h→0
A(t)
h
(1.56)
UWAGA 1.27. Zauważmy, że
it+h,t
,
h→0
h
δt = lim
gdzie
it+h,t =
A(t + h) − A(t)
,
A(t)
czyli intensowność oprocentowania jest chwilową stopą procentową, tj. w nieskończenie małym (infinitezymalnym) przedziale czasu.
WNIOSEK 1.39. Funkcja oprocentowania A ma w punkcie t określone natężenie oprocentowania
δt iff A jest różniczkowalna w chwili t. Ponadto,
A0 (t)
α0 (t)
=
,
A(t)
α(t)
d
d
δt =
log A(t) =
log α(t).
dt
dt
δt =
(1.57)
(1.58)
WNIOSEK 1.40. Natężenie oprocentowania δ funkcji oprocentowania A jest ciągła iff A 0 jest
ciągła.
43
LEMAT 1.41. Niech natężenie oprocentowania δt odpowiadające funkcji oprocentowania A bedzie
całkowalne w sensie Riemanna. Wtedy
¾
½Z t
δs ds .
(1.59)
α(t) = exp
0
Dowód. Całkując wzór (1.58) otrzymujemy:
Z
t
δr dr =
0
Z
t
d
t
log α(r)dr = [log α(r)]0 = log α(t).
dt
0
Analogicznie można zdefiniować natężenie dyskontowania.
DEFINICJA 1.42. Natężeniem dyskontowania (ang. force of discount) funkcji dyskontowania
kapitału D w chwili t nazywamy wielkość
δt0 = lim
h→0
1
D(t) − D(t + h)
· lim ,
h→0 h
D(t)
K > 0.
(1.60)
UWAGA 1.28. Definicja tak jest analogiczna do definicji natężenie oprocentowania od której różni
się jedynie znakiem. Wynika to z faktu, że funkcja dyskontowania jest nierosnąca.
UWAGA 1.29. Zauważmy, że
dt+h,t
,
h→0
h
δt0 = lim
gdzie
dt+h,t =
D(t) − D(t + h)
,
D(t)
czyli intensowność dyskontowania jest chwilową stopą dyskontową, tj. w nieskończenie małym (infinitezymalnym) przedziale czasu.
WNIOSEK 1.42. Funkcja dyskontowania D ma w punkcie t określone natężenie dyskontowania
δt iff D jest różniczkowalna w chwili t. Ponadto,
(d(t))0
D0 (t)
=−
,
D(t)
d(t)
d
d
δt0 = − log D(K, t) = − log d(t).
dt
dt
δt0 = −
(1.61)
(1.62)
WNIOSEK 1.43. Natężenie dyskontowania δ 0 funkcji dyskontowania D jest ciągła iff D 0 jest
ciągła.
LEMAT 1.44. Niech natężenie dyskontowania δt0 odpowiadające funkcji dyskontowania D bedzie
całkowalne w sensie Riemanna. Wtedy
½ Z t
¾
0
d(t) = exp −
δs ds .
(1.63)
0
Dowód. Całkując wzór (1.62) otrzymujemy:
Z
t
0
δr0 dr = −
Z
t
0
d
t
log d(r)dr = − [log d(r)]0 = − log d(t).
dt
Następny lemat pokazuje, że natężenie oprocentowania i dyskontowania pokrywają się.
44
LEMAT 1.45. Dla ustalonej funkcji A mamy
δt = δt0 ,
(1.64)
gdzie δ 0 jest natężeniem dyskonta funkcji dyskontowania odpowiadającej funkcji oprocentowania kapitału jednostkowego α, gdzie A = Kα, K > 0.
Dowód. Mamy
δt0 = −
(1/α)0
α0 (t)
=
α(t) = δt .
1/α
(α(t))2
LEMAT 1.46. Natężenie oprocentowania δt jest stałe δt = δ iff α(t) = (1 + i)t . W tym przypadku,
δ = log(1 + i).
Dowód. Mamy
α(t) = etδ .
Przyjmując i = eδ − 1 otrzymujemy eδ = 1 + i.
LEMAT 1.47. Natężenie dyskontowania δt0 jest stałe δt0 = δ iff d(t) = (1 − d)t . W tym przypadku,
δ = − log(1 − d).
Dowód. Mamy
d(t) = e−tδ .
Przyjmując d = 1 − e−δ otrzymujemy e−δ = 1 − d.
WNIOSEK 1.48. Jeżeli natężenie oprocentowania δt ≡ δ to
i = eδ − 1 =
δ = log(1 + i) =
∞
X
(−1)k+1
k=1
ik
,
k
∞
X
δk
k=1
k!
,
0 < i < 1.
LEMAT 1.49. Rozważając oprocentowanie złożone otrzymujemy następujący ciąg równości
¶m
¶−p
µ
µ
d(p)
i(m)
−1
−1
= 1 + i = ν = (1 − d) = 1 −
= eδ .
(1.65)
1+
m
p
Obecnie przedstawimy związek natężenia oprocentowania złożonego δ ze zwiększaniem liczby
podokresów konwersji. Mamy
TWIERDZENIE 1.50. Niech (i(m) ) będzie ciągiem nominalnych stop procentowych równoważnych tej samej efektywnej stopie procentowej i o natężeniu stałym δ. Wtedy
lim i(m) = ln(1 + i) = δ.
m→∞
³
Dowód. Ponieważ 1 +
i(m)
m
´m
= 1 + i = eδ to i(m) = m(eδ/m − 1). Stąd
¯
eδ/m − 1
dex ¯¯
=δ
= δ.
m→∞
δ/m
dx ¯x=0
lim i(m) = δ lim
m→∞
(1.66)
45
UWAGA 1.30. Powyższe twierdzenie można interpretować następująco: ponieważ i (m) jest nominalną stopą procentową o konwersji m-krotnej w ciągu okresu bazowego to δ jest nominalną stopą
procentową o ciągłej konwersji.
TWIERDZENIE 1.51. Niech (d(m) ) ciągiem nominalnych stóp dyskontowych równoważnych tej
samej efektywnej stopie dyskontowej d o stałym natężeniu δ 0 . Wtedy
lim d(m) = δ 0 = δ.
(1.67)
m→∞
³
Dowód. Ponieważ 1 −
d(m)
m
lim d
m→∞
´m
(m)
0
0
= 1 − d = e−δ to d(m) = m(1 − e−δ /m ). Stąd
¯
0
−x ¯
1 − e−δ /m
0 de
¯
= δ0.
= −δ lim
= −δ
m→∞
−δ 0 /m
dx ¯x=0
0
Obecnie będziemy rozważać natężenie oprocentowania prostego.
LEMAT 1.52. Dla oprocentowania prostego mamy
δt =
i
1 + it
(1.68)
LEMAT 1.53. Dla dyskontowania prostego (handlowego) mamy
δt0 =
1.12
d
1 − dt
dla
0 ≤ t < 1/d.
(1.69)
Oprocentowanie zmienne
Można rozważać dwa rodzaje oprocentowania zmiennego:
1. Oprocentowanie o ciągle zmieniającym natężeniu oprocentowania. Jeżeli natężenie oprocentowania jest funkcją całkowalną to
¾
½Z t
δt dt .
(1.70)
α(t) = exp
0
W przeciwnym przypadku stosujemy metody przybliżone.
2. Oprocentowanie o zmieniającej się z okresu na okres efektywnej stopie procentowej. Ten typ
zmienności jest najczęściej spotykanym w praktyce.
Omówimy obecnie drugi przypadek.
1.13
Równoważność modeli oprocentowania
Każdy bank określa konkretne warunki oprocentowania: model kapitalizacji, wysokość i okres stopy
procentowej, okres kapitalizacji. Dla porównania atrakcyjności tych ofert wprowadzimy relację równoważności warunków oprocentowania oraz relację preferencji warunków oprocentowania.
DEFINICJA 1.43. Mówimy, że warunki oprocentowania określone w banku A są równoważne
warunkom (preferowane nad warunki ) określone przez bank B w odniesieniu do okresu [0, t], jeśli
przyszła wartość po czasie t kapitału w banku A jest równa (odp. większa) od wartości tego samego
kapitału w banku B.
46
DEFINICJA 1.44. Mówimy, że warunki oprocentowania określone w banku A są równoważne
warunkom (preferowane nad warunki ) określone przez bank B, jeśli w dowolnym przedziale czasu
przyszła wartość kapitału w banku A jest równa (odp. większa) od wartości tego samego kapitału
w banku B.
STWIERDZENIE 27. Załóżmy, że w banku A obowiązuje stopa procentowa iA oraz odsetki dopisywane są mA razy w roku, natomiast w banku B obowiązuje stopa procentowa iB oraz odsetki
dopisywane są mIB razy w roku. Rozważmy model kapitalizacji prostej z dołu. Wtedy równoważność
(odp. preferencja) warunków oprocentowania w banku A w stosunku do warunków oprocentowania
w banku B w odniesieniu do n okresów stopy procentowej jest równoważna zachodzeniu następującej
równości (odp. nierówności)
iA = iB .
(<)
(1.71)
Dowód. Równoważność (odp. preferencja) warunków oprocentowania w banku A w stosunku do
warunków oprocentowania w banku B w odniesieniu do n okresów stopy procentowej oznacza zachodzenia następującej równości (odp. nierówności)
µ
µ
¶
¶
iA
iB
F0 1 + nmA
= F0 1 + nmB
,
mA (<)
mB
czyli zachodzenia (1.71)
WNIOSEK 1.54. W modelu kapitalizacji prostej z dołu warunki równoważne (odp. preferowane)
w odniesieniu do jakiegoś przedziału czasu są równoważne (odp. preferowane) w odniesieniu do
każdego przedziału czasu, czyli są równoważne (odp. preferowane).
Dowód. Wzór (1.71) nie zależy od n.
dopisywane są mIB razy w roku. Rozważmy kapitalizację złożoną. Wtedy równoważność (odp. preferencja) warunków oprocentowania w banku A w stosunku do warunków oprocentowania w banku
B w odniesieniu do n lat jest równoważna zachodzeniu następującej równości (odp. nierówności)
ieff (A) = ieff (B).
(<)
(1.72)
Dowód. Równoważność (odp. preferencja) warunków oprocentowania w banku A w stosunku do
warunków oprocentowania w banku B w odniesieniu do n lat oznacza zachodzenia następującej
równości (odp. nierówności)
µ
µ
¶±nmA
¶±nmB
iA
iB
F0 1 ±
= F0 1 ±
,
mA
mB
(<)
przy czym znak + oznacza kapitalizację z dołu, a znak − dotyczy kapitalizacji z góry. Powyższy
wzór jest równoważny wzorowi (1.72).
WNIOSEK 1.55. Dla modelu kapitalizacji złożonej warunki równoważne (preferowane) w odniesieniu do jakiegoś przedziału czasu są równoważne (odp. preferowane) w odniesieniu do każdego
przedziału czasu, czyli są równoważne (odp. preferowane).
Dowód. Wzór (1.72) nie zależy od n.
Można również porównywać warunki oprocentowania w dwóch bankach również wtedy, gdy
obowiązują w nich różne modele kapitalizacji.
47
dopisywane są mB razy w roku. Niech bank A stosuje kapitalizację prostą, a bank B kapitalizację
złożoną. Wtedy równoważność (odp. preferencja) warunków oprocentowania w banku A w stosunku
do warunków oprocentowania w banku B w odniesieniu do n lat jest równoważna zachodzeniu następującej równości (odp. nierówności)
1 + niA =
(<)
µ
iB
1+
mB
¶nmB
.
(1.73)
Dowód. Równoważność (preferencja) warunków oprocentowania w banku A w stosunku do warunków oprocentowania w banku B w odniesieniu do n lat oznacza zachodzenia następującej równości
(odp. nierówności)
µ
µ
¶
¶nmB
iA
iB
F0 1 + nmA
= F0 1 +
,
mA (<)
mB
czyli równości (1.73).
WNIOSEK 1.56. Przy rozważaniu modeli kapitalizacji prostej i złożonej warunki równoważne
(odp. preferowane) w odniesieniu do jakiegoś przedziału czasu nie muszą być równoważne (odp.
preferowane) w odniesieniu do innego przedziału czasu.
Dowód. Wzór (1.73) zależy od n.
Przykład 1.15. W banku A obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie
procentowej 22%, a w banku B kapitalizacja kwartalna złożona z dołu przy stopie procentowej i.
Dla jakiego i warunki oprocentowania w bankach A i B będą równoważne?
Konieczna jest równość efektywnych stóp procentowych, tzn.
µ
√
czyli r = 4( 1, 11 − 1) ≈ 0, 2143.
1.14
0, 22
1+
2
¶2
−1=
µ
i
1+
4
¶4
− 1,
Kapitalizacja mieszana
Kapitalizację mieszaną nazywamy taką kapitalizację, dla której w czasie oprocentowania lokaty
zmienia się model kapitalizacji. Wraz ze zmianą modelu kapitalizacji może zmienić się także stopa
procentowa.
Przedstawiany model kapitalizacji mieszanej może mieć zastosowanie do sytuacji opisanej w
dalszym ciągu rozważań.
Wpłacając do banku pewną kwotę jako lokatę, deklaruje się czas trwania lokaty, który jest z
reguły wielokrotnością okresu kapitalizacji. Przypuśćmy, że właściciel lokaty nie wycofał kapitału
po okresie deklarowanym i przekroczył go o niepełny okres kapitalizacji m. W jaki sposób będą
naliczane odsetki za przekroczony czas?
Można przyjąć różne rozwiązania. oto niektóre z nich:
a) bank nie dolicza odsetek za przekroczony czas;
b) bank dolicza odsetki proste od kapitału początkowego według niższej stopy procentowej;
c) bank dolicza odsetki proste od końcowej wartości kapitału według niższej stopy procentowej;
48
d) bank dolicza odsetki proste od końcowej wartości kapitału, ale według innej stopy procentowej
oprocentowany jest kapitał początkowy, a według innej — zgromadzone odsetki;
e) bank dolicza część odsetek przypadających na jeden okres kapitalizacji proporcjonalną do liczby
przekroczonych dni;
f ) bank oblicza odsetki złożone za cały czas trwania lokaty z wykorzystaniem wzoru
Ft = F0 (1 + i)1/m ,
gdzie m okres przekroczenia.
Uogólniając powyższy przykład, przyjmujemy, że okres oprocentowania [0, t] nie jest całkowitą
wielokrotnością okresu kapitalizacji. Wówczas należy go przedstawić jako sumę dwóch przedziałów:
całkowitej wielokrotności okresu kapitalizacji i reszty będącej podokresem okresu kapitalizacji. W
poszczególnych przedziałach mogą obowiązywać inne modele kapitalizacji i inne stopy procentowe.
Załóżmy, że w przedziale czasu obejmującego n1 lat obowiązuje kapitalizacja złożona z dołu przy
rocznej stopie procentowej i1 , natomiast w pozostałym przedziale obejmującym n2 dni (n2 < 360)
obowiązuje kapitalizacja prosta z dołu przy rocznej stopie procentowej i2 .
Przyszła wartość kapitału F0 jest równa:
• Dla wariantu a):
Ft = F0 (1 + i1 )n1 .
(1.74)
• Dla wariantu b) po czasie t:
Ft = F0 (1 + i1 )
n1
µ
¶
i2
i2
n1
+ F0 n2 ·
= F0 (1 + i1 ) + n2 ·
.
360
360
(1.75)
• Dla wariantu c)
µ
i2
Ft = F0 (1 + i1 ) . 1 + n2 ·
360
n1
¶
.
(1.76)
• Dla wariantu d)
Ft
=
=
i2
i3
F0 (1 + i1 )n1 + F0 n2 ·
+ F0 [(1 + i1 )n1 − 1]n2 ·
360
360
µ
¶
i3
i2 − i 3
n1
1 + n2 ·
.
+ F0 n2 ·
F0 (1 + i1 )
360
360
(1.77)
• Dla wariantu e)
Ft = F0 (1 + i1 )
n1
µ
¶
i1
i1
n1
+ F0 n2 ·
= F0 (1 + i1 ) + n2 ·
,
360
360
i1
lub
360
µ
¶
i1
i1
· n2 ·
= F0 (1 + i1 )n1 1 + n2 ·
,
360
360
(1.78)
gdy dopisywane są odsetki od kapitału początkowego w wysokości F 0 n2 ·
Ft = F0 (1 + i1 )n1 + F0 (1 + i1 )n1
gdy dopisywane są odsetki od kapitału końcowego w w wysokości F0 (1 + i1 )n1 · n2 ·
(1.79)
i1
.
360
49
• Dla wariantu f)
Ft = F0 (1 + i1 )t/360 ,
(1.80)
gdzie t = 360n1 + n2 jest czasem trwania lokaty wyrażonym przez liczbę dni.
Jeżli kapitalizacja nie jest zgodna, to przyszłą wartość opisują wzory analogiczne do przedstawionych wyżej w tym, że i1 oznacza stopę procentową względną dostosowaną do okresu kapitalizacji,
a n1 — liczbę pełnych okresów kapitalizacji zawartych w przedziale [0, t].
Przykład 1.16. W dniu 14 czerwca wpłacono na dwa lata kwotę 100 jp. Bank stosuje kapitalizację
złożoną roczną przy rocznej stopie procentowej 18%. Wyznaczyć wartość konta po 2 latach i 20
dniach, przyjmując różne warianty oprocentowania w czasie przewyższającym 2 lata. Dla wariantu
a)
Ft = 100(1 = 0, 18)2 = 139, 24
b) jeżeli za czas przekroczny zostaną dopisane odsetki proste od wartości początkowej wg rocznej
stopy procentowej np. 10%, to
µ
¶
0, 1
2
Ft = 100 (1 = 0, 18) + 20 ·
≈ 139, 7956;
360
c) jeżeli za czas przekroczny zostaną dopisane odsetki proste od wartości końcowej wg rocznej stopy
procentowej np. 10%, to
¶
µ
0, 1
2
≈ 140, 0136;
Ft = 100(1 = 0, 18) 1 + 20 ·
360
d) jeżeli za czas przekroczny zostaną odsetki od wartości początkowej będą naliczane wg rocznej
stopy procentowej 18%, a odsetki od odsetek wg rocznej stopy procentowej np. 10%, to
µ
¶
0, 1
0, 1 − 0, 18
≈ 140, 1879;
Ft = 100(1 = 0, 18)2 1 + 20 ·
+ 100 · 20 ·
360
360
e) za czas przekroczony zostaje doliczona część odsetek od wartości końcowj, proporcjonalna do
liczby dni, wg rocznej stopy procentowej 18%
µ
¶
0, 18
2
Ft = 100(1 = 0, 18) 1 + 20 ·
≈ 140, 6324;
360
f ) ponieważ t = 2cdot360 = 20 = 740 to
Ft = 100(1 = 0, 18)740/360 ≈ 140, 5263.
1.15
Stopa inflacji
Dotychczasowe rozważania przedstawiają zmianę wartości pieniądza w czasie w ujęciu nominalnym,
tzn. w cenach towarów i usług z ubiegłego okresu, co spowodowane jest nieuwzględnieniem inflacji.
W związku ze wzrostem cen towarów i usług realny (rzeczywisty) wzrost wartości wartości pieniądza
jest mniejszy.
DEFINICJA 1.45. Realne tempo pomnażania wartości pieniądza w czasie nazywamy realną (rzeczywistą) stopą procentową i oznaczamy symbolem ire .
50
Inflacja jest zjawiskiem występującym w większości krajów, jakkolwiek z różnym natężeniem.
Jest to trwały wzrost przeciętnego lub ogólnego poziomu cen przy braku równoważnego wzrostu
jakości towarów i usług w analizowanym pkresie czasu. Mówimy tutaj o wzroście przeciętnego lub
ogólnego poziomu cen, bo jeżeli ceny pewnych towarów rosną, a innych maleją, to taka rekompensata
może nie prowadzić do wzrostu inflacji.
Miarą inflacji jest indeks cen konsumpcyjnych, który równa się stosunkowi cen dóbr należących do “reprezentacyjnego koszyka” w danym okresie czasu i cen tych dóbr w okresie bazowym,
najczęściej w roku ubiegłym.
Stopę inflacji oznaczamy symbolem iinf .
STWIERDZENIE 30. Załóżmy, że okresy stopy procentowej i oraz stopy inflacji iinf są równe.
Wtedy realna stopa procentowa jest zadana wzorem
ire =
i − iinf
.
1 + iinf
(1.81)
Dowód. Nominalny wzrost wartości kapitału F0 po jednym okresie wyraża formuła
F1nom = F0 (1 + i).
Taka jest przyszła wartość kapitału F0 wyrażana w starych cenach (z ubiełego okresu). Rzeczywisty
wzrost wartości kapitału F0 , porównany ze wzrostem cen, czyli wyrażony w cenach bieżących, jest
mniejszy i wyraża go formuła
F1re = F0 ·
1+i
.
1 + iinf
Stopę rzeczywistego pomnożenia wartości kapitału F0 w tym czasie, czyli realną stopę procentową,
określa równanie
F0 (1 + ire ) = F0 ·
1+i
,
1 + iinf
stąd
ire =
i − iinf
.
1 + iinf
UWAGA 1.31. Ze wzoru (1.81) wynika, że w celu wyznaczenia realnej stopy procentowej nie wystarcza odjąć od i stopy inflacji iinf , ale trzeba jeszcze tę różnicę podzielić przez 1 + iinf . Ponadto
realna stopa procentowa jest dodatnia (realna wartość kapitału rośnie) iff i > i inf .
WNIOSEK 1.57. Rzeczywista przyszła wartość kapitału F1 re zadana jest wzorem
F1re = F0 ·
1+i
.
1 + iinf
(1.82)
WNIOSEK 1.58. Jeżeli iinf > i to realna wartość kapitału maleje.
UWAGA 1.32. Jak wynika z powyższych rozważań, stopa oprocentowania i nie określa rzeczywistego (realnego) pomnożenia kapitału. Ze wzoru (1.82) zapisanego w postaci
F1re =
F0
(1 + i)
1 + iinf
wynika, że stopa procentowa i będzie oznaczać rzeczywiste pomnożenie kapitału, jeśli dokonamy
indeksacji (waloryzacji) kwoty F0 o wskaźnik inflacji, czyli zamiast F0 przyjmiemy F0 /(1 + iinf ).
Metoda indeksacji jest prostą metodą uwzględniania inflacji w matematyce finansowej.
51
STWIERDZENIE 31. W przypadku kapitalizacji niezgodnej, przy m-krotnym dopisywaniu odsetek w okresie stopy procentowej i(m) , realną (rzeczywistą) stopę efektywną określa wzór
ieff − iinf
.
1 + iinf
ire,eff =
(1.83)
Dowód. Mamy
F0 (1 + ire,eff ) = F0
µ
i(m)
m
1 + iinf
1+
¶m
,
czyli
ire,eff =
µ
i(m)
1+
m
1 + iinf
¶m
−1=
ieff − iinf
.
1 + iinf
W powyższych rozważaniach uwzględniono wpływ inflacji przypadającej na jeden okres stopy
procentowej.
STWIERDZENIE 32. Załóżmy, że przez n1 pierwszych okresów inflacja wynosiła iinf,1 , przez
następnych n2 okresów wynosiła iinf,2 itd. oraz n = n1 + n2 + . . . + nk . Wtedy inflacja iinf za n
okresów wynosi
iinf = (1 + iinf,1 )n1 (1 + iinf,2 )n2 . . . (1 + iinf,k )nk − 1
(1.84)
Dowód. Na przestrzeni n okresów poziom cen wzrósł o czynnik
(1 + iinf,1 )n1 (1 + iinf,2 )n2 . . . (1 + iinf,k )nk .
WNIOSEK 1.59. Zakładamy, że kapitał F0 pomnażał swoją wartość przez n okresów stopy procentowej i, zgodnie z modelem kapitalizacji złożonej z dołu zgodnej. Stopa inflacji na przestrzeni
tych n okresów mogła zmieniała swoją wartość następująco: przez n1 pierwszych okresów wynosiła
iinf,1 , przez następnych n2 okresów wynosiła iinf,2 itd. Wtedy
Fnre = F0
(1 + iinf,1
)n1 (1
(1 + i)n
,
+ iinf,2 )n2 . . . (1 + iinf,k )nk
(1.85)
gdzie n = n1 + n2 + . . . + nk .
W tym przypadku można mówić o przeciętnej stopie inflacji.
DEFINICJA 1.46. Przeciętną stopą inflacji iinf,prz nazywamy taką stała stopą inflacji, przy której
realna wartość przyszła jest taka sama jak realna wartość przyszła przy zmieniającej się stopie
inflacji.
STWIERDZENIE 33. Przeciętną stopę inflacji określa wzór
q
iinf,prz = n (1 + iinf,1 )n1 (1 + iinf,2 )n2 . . . (1 + iinf,k )nk − 1.
(1.86)
52
Dowód. Mamy
F0
(1 + i)n
(1 + i)n
= F0
,
n
n
(1 + iinf,prz )
(1 + iinf,1 ) 1 (1 + iinf,2 )n2 . . . (1 + iinf,k )nk
STWIERDZENIE 34. Niech stopa procentowa przez n1 pierwszych okresów bazowych wynosi i1 ,
przez następnych n2 okresów bazowych wynosi i2 , itd. Załóżmy również, że ulegała zmianie stopa
inflacji i wynosiła iinf,1 przez pierwszych n1 okresów, iinf,2 przez następnych n2 okresy, itd. Niech
n = n1 + n2 + . . . + nk . Wtedy realna stopa procentowa za n okresów bazowych jest równa
ire =
(1 + i1 )n1 (1 + i2 )n2 . . . (1 + ik )nk
− 1.
(1 + iinf,1 )n1 (1 + iinf,2 )n2 . . . (1 + iinf,k )nk
(1.87)
Proof. Zauważmy, że realna stopa procentowa w każdym z odpowiednich n j okresów bazowych jest
1 + ij
(j)
równa ire =
− 1. Stąd musi być spełnione równanie
1 + iinf,j
nk
n1
. . . (1 + i(k)
F0 (1 + ire ) = F0 (1 + i(1)
re ) ,
re )
z którego natychmiast wynika wzór (1.87).
Przykład 1.17. W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno wartości: 5%, stopę inflacji oraz przeciętną kwartalną stopę inflacji.
Na podstawie wzoru (1.84) wyznaczamy roczną stopę inflacji:
i = (1 + 0, 05)(1 + 0, 07)(1 + 0, 04)(1 + 0, 06) − 1 ≈ 0, 2385 = 23, 85%.
Przzeciętną kwartalną stopę inflacji wyznaczamy ze wzoru (1.86):
p
iprz = 4 1, 2385 − 1 ≈ 0, 0549 = 5, 49%.
Przykład 1.18. Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 18%, a roczn stopa inflacji 15%. Ile wynosi
realna stopa procentowa?
Na podstawie wzoru (1.81) mamy
ire =
0, 18 − 0, 15
≈ 0, 0261 = 2, 61%.
1 + 0, 15
Przykład 1.19. Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 700 jp miesięcznie i była
indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji w poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji była równa odpowiednio: 5%, 7%,
a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku,
b) roczną stopę inflacji,
c) przeciętną kwartalną stopę inflacji,
d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku.
Miesięczna płaca pracownika w poszczególnych kwartałach analizowanego roku:
I kwartał: 700 jp;
II kwartał: wzrost o 0, 8 · 5% = 4%, wartość 700(1 + 0, 04) = 728 jp,
III kwartał: wzrost o 0, 8 · 7% = 5, 6%, wartość 728(1 + 0, 056) = 768, 768 jp,
53
IV kwartał: wzrost o 0, 8 · 6% = 4, 8%, wartość 768, 768(1 + 0, 4) = 805, 668864 jp,
I kwartał następnego roku: wzrost o 0, 8 · 4% = 3, 2%, wartość 805, 668864(1 + 0, 032) = 831, 45027
jp.
W ciągu roku w ujęciu nominalnym stopa wzrostu płacy pracownika wynosiła:
i=
831, 45027 − 700
= 0, 1878 ≈ 18, 78%.
700
Roczna stopa inflacji była równa:
iinf = (1 + 0, 05)(1 + 0, 07)(1 + 0, 06)(1 + 0, 04) − 1 ≈ 0, 2385 = 23, 85%.
Przeciętna kwartalna stopa inflacji wynosiła:
p
iinf,prz = 4 1, 2385 − 1 = 0, 0549 = 5, 49%.
Realna stopa wzrostu płacy pracownika w ciągu roku była równa:
ire =
0, 1878 − 0, 2385
= −0, 0409 = −4, 09%.
1 + 0, 2385
Zatem realna wartość pracy zmniejszyła się w ciągu roku o −4, 09%.
1.16
Podsumowanie
W poniższej tabeli zebrane są związki między równoważnymi stopami procentowymi i dyskontowymi.
Stopa procentowa
Zakumulowana wartość początkowej
Wartość obecna przyszłej
lub dyskontowa
kwoty 1 w momencie t, tj. α(t)
w momencie t, kwoty 1, tj. 1/α(t)
Kapitalizacja złożona
i
i(m)
d
d(m)
δ
³
³
(1 + i)t
´mt
(m)
1 + im
(1 − d)−t
´−mt
(m)
1 − dm
eδt
ν = (1 + i)−t
³
´−mt
(m)
1 + im
³
(1 − d)t
´mt
(m)
1 − dm
e−δt
Kapitalizacja prosta
i
1 + it
(1 + it)−1
Dyskonto proste, handlowe
d
1.17
(1 − dt)−1
1 − dt
Dodatek. Kapitalizacja ciągła
Zauważmy, że przy stałej stopie nominalnej i efektywna stopa procentowa rośnie wraz ze wzrostem
liczby kapitalizacji m w okresie stopy procentowej i w granicy otrzymujemy
µ
¶m
i
lim 1 +
− 1 = eδ − 1.
m→∞
m
54
Niezbyt ściśle mówiąc, oznacza to, że przy nieskończenie małych okresach kapitalizacji efektywna
stopa procentowa związana z nominalną stopą procentową r (m) = δ wynosiłaby
ieff = er − 1.
(1.88)
W praktyce nieskończenie małe okresy kapitalizacji nie występują, tym nie mniej wzór jest podstawą
tzw. kapitalizacji ciągłej, która jest granicznym przypadkiem kapitalizacji złożonej w podokresach,
gdy liczba podokresów (częstość dopisywania odsetek) zmierza do nieskończoności.
DEFINICJA 1.47. W modelu kapitalizacji ciągłej wartość przyszła kapitału F t w dowolnym momencie czasu t przy stopie procentowej i zadana jest wzorem
Ft = F0 etr ,
(1.89)
gdzie F0 początkowa wartość kapitału.
WNIOSEK 1.60. Początkowa wartość kapitału w modelu kapitalizacji ciągłej wyraża się wzorem
F0 = Ft e−tr .
WNIOSEK 1.61. Odsetki It wytworzone przez kapitał F0 w przedziale czasu [0, t] są równe
It = F0 (ert − 1).
Dowód. Mamy It = Ft − F0 = F0 ert − F0 .
Przykład 1.20. Wyznaczyć przyszłą wartość 1 jp po 4 latach w modelu kapitalizacji ciągłej, jeśli
roczna stopa procentowa wynosi 12%.
Mamy
Fn = 1 · e4·0,12 ≈ 1, 6161 jp.
1.17.1
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej
Zakładamy, że kapitalizację zgodną oraz że obowiązuje model kapitalizacji ciągłej.
następnych n2 okresów obowiązywała stopa procentowa i2 itd. oraz n = n1 + . . . + np . Wtedy wartość
kapitału F0 po n okresach jest równa
Fn = F0 en1 i1 en2 i2 · . . . · enp ip = F0 e(n1 i1 +n2 i2 +...+np ip ) ;
(1.90)
Dowód. Dla modelu kapitalizacji ciągłej końcowa wartość kapitału po danym okresie staje się wartością początkową dla okresu następnego. Dzięki tej własności można łatwo ustalić przyszłą wartość
kapitału F0 dla tego modelu. Zatem dla modelu kapitalizacji ciągłej:
Fn = F0 en1 i1 en2 i2 · . . . · enp ip = F0 e(n1 i1 +n2 i2 +...+np ip ) ;
pojęcia przeciętnej stopy procentowej w okresie trwania lokaty.
DEFINICJA 1.48. Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stałą stopę procentową i prz dla
55
STWIERDZENIE 36. Przeciętna stopa procentowa w modelu kapitalizacji ciągłej zadana jest
wzorem
iprz =
1
(n1 i1 + n2 i2 + . . . + np ip ).
n
Dowód. Mamy
F0 eniprz = F0 e(n1 i1 +n2 i2 +...+np ip ) .
(1.91)
56
Rozdział 2
Strumienie przepływów
pieniężnych
Tradycyjnie, inwestycje określa się jako bieżące zaangażowanie zasobów podejmowane w celu póżniejszego osiągnięcia zysków. Jeżeli zasoby i zyski przyjmują postać pieniędzy, to inwestycja jest
bieżącym zaangażowaniem środków pieniężnych w celu uzyskania większej ilości (czasami to się
nie spełnia) środków pieniężnych w póżniejszym terminie. W niektórych przypadkach, np. lokata
bankowa, wartość przyszła jest znana. Jednak w większości przypadków nie jest znana.
Na inwestycje można spojrzeć również z innej perspektywy – można ją utożsamić z ciągiem
wydatków i wpływów w ciągu określonego okresu czasu. Z tego punktu widzenia celem inwestycji
jest otrzymanie najbardziej pożądanego rozkładu przepływów w czasie.
W przypadku gdy płatności (wydatki i wpływy) są określone w jednostkach pieniężnych, to
każda dowolna płatność w dowolnym momencie czasu nazywa się przepływem pieniężnym (ang. cash
flow ), a skończony ciąg takich płatności w różnych momentach czasu – strumieniem przepływów
pieniężnych (ang. cash flow stream).
2.1
Wartość aktualna przepływów pieniężnych (kapitału)
W matematyce finansowej działamy właściwie na parach uporządkowanych (F, t), gdzie t jest momentem czasu w którym jest dana płatność (kapitał) w wysokości F .
DEFINICJA 2.1. Przepływem pieniężnym nazywamy parę uporzędkowaną (F, t), gdzie F ∈ R
oraz t ≥ 0. Najczęściej przepływ pieniężny będziemy oznaczać jako Ft .
UWAGA 2.1. Jeżeli Ft > 0 to Ftj interpretujemy jako wpływ (wpłatę) kwoty (kapitału) Ft w chwili
t. Natomiast, jeżeli Ft < 0 to Ft interpretujemy jako wypływ (wypłatę) kwoty (kapitału) Ft w chwili
t.
Z powyższych rozważań wynika, że zarówno w matematyce finansowej, jak i w praktyce finansowej nie należy dodawać nominalnych wartości kapitału (przepływów pieniężnych) z różnych momentów czasu. Aby porównywać wartość dwóch przepływów pieniężnych z różnych momentów czasu
należy najpierw określić ich wartość w tym samym momencie czasu. Prowadzi to do następujacej
definicji.
DEFINICJA 2.2. Aktualna wartość Fta w chwili ta kapitału, który w chwili t ma wartość Ft
wynosi
(
Ft α(ta − t) gdy ta ≥ t
(2.1)
F ta =
Ft d(t − ta ) gdy ta < t,
57
58
gdzie t jest datą kapitału, α – funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego, a d odpowiadającą
jej funkcją dyskontowania kapitału jednostkowego, tj. d = 1/α.
Obliczanie aktualnej wartości kapitału nazywamy aktualizacją, natomiast moment czasu na który
aktualizujemy wartość kapitału, nazywamy momentem lub datą aktualizacji.
UWAGA 2.2. Ze wzoru (2.1) wynika, że w zależności od tego, czy data aktualizacji następuje po
dacie kapitału, czy przed datą, to do obliczania wartości aktualnej kapitału posługujemy się funkcją
oprocentowania kapitału, albo funkcją dyskontowania kapitału.
Aktualną na moment t = 0 wartość kapitału nazywamy początkową, aktualną, obecną lub bieżącą
wartością kapitału (ang. present value, w skrócie PV).
TWIERDZENIE 2.1. Aktualną wartość Fta w momencie ta kapitału, który w chwili t ma wartość
Ft , jest równa
(i) w przypadku oprocentowania prostego
(
Ft (1 + i(ta − t))
F ta =
Ft (1 + i(t − ta ))−1
gdy ta ≥ t
gdy ta < t,
(2.2)
gdzie i jest bazową stopą procentową;
(ii) w przypadku oprocentowania złożonego, zgodnego z dołu
Fta = Ft (1 + i)ta −t ,
(2.3)
(iii) w przypadku oprocentowania złożonego, zgodnego z góry
Fta = Ft (1 − d)−(ta −t) ,
(2.4)
gdzie d jest bazową stopą dyskontową;
(iv) w przypadku kapitalizacji ciągłej (δt = δ)
Fta = Ft eδ(ta −t)
(2.5)
Dowód. Oczywisty.
Operacje oprocentowania i dyskontowania kapitału pozwalają na wprowadzenie pojęcia aktualnej
wartości kapitału. Z kolei to pojęcie pozwala określić zasadę równoważności kapitału.
DEFINICJA 2.3. Dwa kapitały Ft1 z datą t1 oraz Ft2 z datą t2 nazywają się równoważnymi w
chwili t, jeżeli wartości zaktualizowane tych kapitałów na moment t są równe.
Bardzo ważną własności funkcji oprocentowania (oraz dyskontowania) kapitału jest przechodniość relacji równoważności kapitału względem czasu, co oznacza, że jeżeli dwa kapitały o różnych
datach są równoważne w pewnym momentcie czasu t to są równoważne w każdym innym momencie
czasu.
LEMAT 2.2. Niech α będzie ustaloną funkcją oprocentowania kapitału jednostkowego. Wtedy dwa
kapitały Ft1 z datą t1 oraz Ft2 z datą t2 są równoważne dla każdego t ≥ 0 iff α spełnia następujące
zależności
α(u + v) = α(u)α(v),
α(u)α(v − u) = α(v),
gdzie v = |t2 − t1 |.
u ≥ 0;
0 ≤ u ≤ v,
(2.6)
59
Dowód. Załóżmy, że t1 < t2 . Stąd otrzymuyjemy
F t2
F t1
=
α(t1 ) − s
α(t2 − s)
F t2
Ft1 α(s − t1 ) =
α(t2 − s)
Ft1 α(s − t1 ) = Ft2 α(s − t2 )
dla 0 ≤ s ≤ t1 ,
dla t1 ≤ s ≤ t2 ,
dla s ≥ t2 .
Podstawiając s = t1 otrzymujemy
Ft2 = Ft1 α(t2 − t1 ).
Stąd
α(t2 − s) = α(t2 − t1 )α(t1 − s) dla 0 ≤ s ≤ t1 ,
α(s − t1 )α(t2 − s) = α(t2 − t1 ) dla t1 ≤ s ≤ t2 ,
α(s − t1 ) = α(t2 − t1 )α(s − t2 ) dla s ≥ t2 .
Z trzeciego i drugiego warunku wynika teza lematu.
TWIERDZENIE 2.3. Dla funkcji oprocentowania kapitału α relacja równoważności kapitału jest
przechodnia wzgledem czasu iff α jest funkcją oprocentowania złożonego.
Dowód. Warunek α(u + v) = α(u)α(v) dla u, v ≥ 0 spełnia jedynie funkcja oprocentowania złożonego.
WNIOSEK 2.4. Dla oprocentowania złożonego dwa kapitały z różnymi datami są równoważne iff
wartości aktualne tych kapitałów w pewnym momencie są sobie równe.
WNIOSEK 2.5. Dla oprocentowania prostego relacja równoważności kapitałów nie jest relacją
przechodnią względem czasu.
2.2
Strumienie przepływów pieniężnych
Formalnie strumień płatności pieniężnych definiujemy następująco:
DEFINICJA 2.4. Strumieniem przepływów pieniężnych nazywamy skończoną serię F t1 , . . . , Ftn ,
gdzie Ftj ∈ R oraz (tj )nj=1 jest ciągiem nieujemnym, rosnącym.
UWAGA 2.3. Jeżeli Ftj > 0 to Ftj interpretujemy jako wpływ (wpłatę) kwoty Ftj w chwili tj .
Natomiast, jeżeli Ftj < 0 to Ftj interpretujemy jako wypływ (wypłatę) kwoty Ftj w chwili tj .
DEFINICJA 2.5. Wartością aktualną strumienia przepływów pieniężnych w momencie t a nazywamy sumę wartości aktualnych wszystkich elementów tej serii (przepływów pieniężnych) w chwili
ta .
TWIERDZENIE 2.6. Wartość aktualna K (ta ) w chwili ta strumienia przepływów pieniężnych
Ft1 , . . . , Ftn , jest równa
X
X
(2.7)
Ftj d(tj − ta ).
Ftj α(ta − tj ) +
K (ta ) =
tj ≤ta
ta <tj
Dowód. Wynika natychmiast z definicji wartości aktualnej strumienia przepływów pieniężnych oraz
definicji wartosci aktualnej przepływów pieniążnych.
60
WNIOSEK 2.7. Wartość aktualna K (a) w chwili ta , strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , . . . ,
Ftn jest równa
K (ta ) =
X
tj ≤ta
Ftj (1 + i(ta − tj )) +
X
ta <tj
Ftj (1 + i(tj − ta ))−1 .
(2.8)
K
(ta )
=
n
X
Ftj (1 + i)ta −tj ,
(2.9)
j=1
K (ta ) =
n
X
j=1
Ftj (1 − d)−(ta −tj ) ,
(2.10)
WNIOSEK 2.8. Między wartościami aktualnymi w chwilach ta i ta0 stumienia przepływów pieniężnych Ft1 , . . . , Ftn , gdy stosowane jest oprocentowanie złożone, zachodzi związek
K (ta ) = ν ta0 −ta K (ta0 ) .
(2.11)
W matematyce finansowej oraz praktyce wyróżnionymi momentami aktualizacji strumieni przepływów pieniężnych są momenty początkowy t = 0 oraz końcowy t = tn – data ostatniego przepływu
pieniężnego (kapitału). Czasami, gdy rozważa sie oprocentowanie złożone z góry oraz przepływy pieniężne w n okresach: 1, . . . , n, to pomimo, że ostatni przepływ następił w chwili n − 1 za moment
końcowy przyjmuje się t = n, a nie t = n − 1.
DEFINICJA 2.6. Początkową (obecną) wartością strumienia przepływów pieniężnych (ang. present value) nazywamy aktualną wartość tego strumienia w momencie t a = 0.
WNIOSEK 2.9. Wartość początkowa K (0) strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , . . . , Ftn jest
równa
K (0) =
n
X
Ftj d(tj ).
(2.12)
j=1
WNIOSEK 2.10. Wartość początkowa K (0) strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , . . . , Ftn jest
równa
K (0) =
n
X
j=1
Ftj (1 + itj )−1 .
(2.13)
61
K (0) =
n
X
Ftj (1 + i)−tj ,
(2.14)
j=1
K (0) = Ftj (1 − d)tj ,
(2.15)
DEFINICJA 2.7. Końcową wartością (ang. future value) strumienia przepływów pieniężnych F t1 ,
. . . , Ftn , którą oznaczamy jako K (tn ) , nazywamy aktualną wartość tego strumienia w momencie
t = tn — dacie ostatniego przepływu pieniężnego rozpatrywanego strumienia.
WNIOSEK 2.11. Wartość końcowa strumienia przepływów pieniężnych F t1 , . . . , Ftn jest równa
K (tn ) =
n
X
j=1
Ftj α(tn − tj )
(2.16)
WNIOSEK 2.12. Wartość końcowa K (tn ) strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , . . . , Ftn jest
równa
K (tn ) =
n
X
j=1
Ftj (1 + i(tn − tj )).
(2.17)
K (tn ) =
n
X
Ftj (1 + i)tn −tj ,
(2.18)
j=1
K (tn ) =
n
X
j=1
Ftj (1 − d)−(tn −tj ) ,
(2.19)
UWAGA 2.4. Wartości aktualna, początkowa i końcowa strumienia przepływów pieniężnych zależy
od przyjętego sposobu oprocentowania i dyskontowania kapitału.
Wprowadzone pojęcie wartości aktualnej strumienia przepływów pieniężnych pozwala na sformułowanie zasady równoważności strumieni przepływów pieniężnych, która umozliwia ich porównywanie.
DEFINICJA 2.8. Dwa strumienie przepływów pieniężnych nazywają się równoważnymi w chwili
t. gdy ich wartości aktualne są w tym momencie równe.
62
WNIOSEK 2.13. Dla oprocentowania prostego relacja równoważności strumieni przepływów pieniężnych nie jest relacją przechodnią względem czasu.
WNIOSEK 2.14. Dla oprocentowania złożonego relacja równoważności stumieni przepływów pieniężnych jest relacją przechodnią względem czasu.
DEFINICJA 2.9. Średnim okresem trwania strumienia przepływów pieniężnych F t1 , . . . , Ftn nazywamy taki moment czasu t̂ dla którego zachodzi równość wartości początkowej rozważanego strumienia oraz zaktualizowanej na moment początkowy t = 0 sumy nomimałów elementów tego strumienia z datą t̂, tj. zachodzi równość


n
n
X
X

Ftj  d(t̂) =
(2.20)
Ftj d(tj ).
j=1
Oznaczmy K =
Pn
j=1
j=1
F tj .
WNIOSEK 2.15. Moment t̂ jest średnim okresem trwania strumienia przwepływów pieniężnych
Ft1 , . . . , Ftn , gdy spełnia następujące równanie:
(i) dla oprocentowania prostego:
1
t̂ =
i
µ
¶
K
−1 ;
K (0)
(ii) dla oprocentowania złożonego zgodnego z dołu
´
³P
n
tj
ln K − ln
j=1 Ftj ν
ln K − ln K (0)
t̂ =
=
,
ln(1 + i)
ln ν
ν = (1 + i)−1 .
Dowód. (i) Mamy K(1 + it̂)−1 = K (0) .
Pn
(ii) Mamy K(1 + i)−t̂ = K (0) oraz Kν t̂ = j=1 Ftj ν tj .
DEFINICJA 2.10. Wartość t określoną wzorem
t=
n
X
F tj
j=1
K
tj
nazywa się średnią arytmetyczną ważoną momentów przepływów pieniężnych strumienia przepływów pieniężnych.
LEMAT 2.16. Rozważamy oprocentowanie złożone takie, że czynnik dyskontujący ν spełnia ogranicznia 0 < ν < 1. Wtedy zachodzi nierówność t̂ < t.
Dowód. Mamy
ν t̂ =
oraz
νt = ν
Pn
j=1
Ft
j
K
n
1 X
F t ν tj
K j=1 j
tj

=
n
Y
(ν tj )
j=1
(2.21)
1/K
F tj 
(2.22)
Ponieważ ciąg (ν tj ) nie jest stały, to średnia arytmetyczna ważona (2.21) jest większa od średniej
geometrycznej (2.22). Stąd ν t̂ > ν t , czyli t̂ < t.
UWAGA 2.5. Średnią arytmetyczną ważoną momentów przepływów pieniężnych strumienia przepływów pieniężnych można przyjąć za przybliżoną z nadmiarem wartość średniego trwania tego
strumienia.
Rozdział 3
Renty pewne proste
3.1
Wiadomości wstępne
W tym rozdziale i będzie oznaczać bazową stopę procentową, a d bazową stopę dyskontową rówi
d
noważną stopie procentowej i, tj. zachodzi d =
oraz i =
. Przez ν będziemy oznaczać
1+i
1−d
1
czynnik dyskonta, tj. ν =
= 1 − d. W dalszym ciągu będziemy wykorzystywać również nastę1+i
d
pujące zależności między i, d oraz ν: d = iν oraz i = .
ν
Renty są szczególnym przypadkiem strumieni przepływów pieniężnych. W zagadnieniach poświęconych rentom będziemy stosować oznaczenia zgodne z zaleceniami Międzynarodowego Towarzystwa
Aktuarialnego. W tym rozdziale będziemy rozważać oprocentowanie złożoną z dołu lub z góry, chyba
że wyraźnie założymy inaczej.
DEFINICJA 3.1. Rentą (ang. annuity), nazywamy strumień przepływów pieniężnych dokonywanych w równych odstępach czasu.
Okresem renty nazywamy stały okres między kolejnymi przepływami pieniężnymi.
Renty są dość powszechne w naszym życiu. Czynsz za mieszkanie, spłaty rat kredytu, czy odsetki
od zainwestowanych pieniędzy są to przykłady rent.
Rozróżniamy renty pewne (ang. annuity-certain), w których płatności są pewne i dokonywane
przez pewien skończony z góry ustalony okres czasu oraz renty warunkowe (contingent annuity),
w których płatności nie są pewne np.: renty życiowe, które są wypłacane tylko wówczas gdy dana
osoba żyje.
DEFINICJA 3.2. Rentę pewną nazywamy
(i) rentą pewną prostą, gdy okres bazowy stopy procentowej, okres konwersji i okres renty są sobie
równą.
(ii) rentą pewną, uogólnioną, w przeciwnym przypadku.
DEFINICJA 3.3. Renta nazywa się
(i) stałą, gdy wszystkie raty renty są sobie równe;
(ii) o zmiennych płatnościach, gdy nie jest rentą stałą;
(iii) jednostkową, gdy wszystkie raty renty są równe jednej jednostce pieniężnej.
63
64
W tym rozdziale będziemy badać wartość aktualną rent pewnych, prostych W szczególności,
wartość obecną renty, a również wartość końcową. Do wartości końcowej renty prowadzą następujące
rozważania: zakładamy, że pewna renta nie jest odbierana przez n okresów, tylko jej raty są ponownie
inwestowane (akumulowane).
DEFINICJA 3.4. Rentę pewną prostą nazywamy
(i) pewną, prostą z dołu, gdy j-ta rata renty jest płacona na koniec j-tego okresu;
(ii) pewną, prostą z góry, gdy j-ta rata renty jest płacona na początku j-tego okresu.
UWAGA 3.1. W przypadku n-okresowych rent z góry, wartość końcową (P V ) renty liczymy w
chwili n, a nie n − 1.
Wartość obecną n-okresowej renty pewnej prostej z dołu (odp. z góry) będziemy oznaczać jako
P V lub P Vn (odp. P V 0 lub P Vn0 ), a wartość przyszłą n-okresowej renty pewnej prostej z dołu (odp.
z góry) będziemy oznaczać jako F V lub F Vn (odp. F V 0 lub F Vn0 ).
WNIOSEK 3.1. 1. n-okresowa renta pewną prosta z dołu o płatnościach: i 1 , . . . , in jest równoważna n-kresowej rencie pewnej prostej z góry o płatnościach νi1 , . . . , νin .
2. n-okresowa renta pewną prosta z góry o płatnościach: i1 , . . . , in jest równoważna n-kresowej
rencie pewnej prostej z dołu o płatnościach ν −1 i1 , . . . , ν −1 in .
Dowód. Dla każdego j przepływ z dołu (odp. z góry) ij jest równoważny przepływowi z góry νij
(odp. z dołu ν −1 ij ).
TWIERDZENIE 3.2. Rozważamy n-okresowe renty pewne proste z dołu i z góry o tych samych
płatnościach i1 , . . . , in . Wtedy
(i) P V 0 = P V ν −1 oraz F V 0 = F V ν −1 ;
(ii) P V = ν n F V oraz P V 0 = ν n F V ;
(iii) wartość aktualna w chwili k ≥ 0 jest równa
• ν −k P V = ν n−k F V renta z dołu;
• ν −k P V 0 = ν n−k F V 0 renta z góry.
Dowód. Wynika z wniosków 3.1 oraz 2.8.
TWIERDZENIE 3.3. Rozważamy n-okresowej rentę pewną prostą o płatnościach: i 1 , . . . , in .
Wtedy
(i) wartość początkowa tej renty (suma rat zdyskontowanych na moment t = 0) jest równa
PV =
n
X
ij ν j
renta z dołu;
(3.1)
j=1
PV 0 =
n
X
ij ν j−1 =
n−1
X
ij+1 ν j
renta z góry
(3.2)
j=0
j=1
(ii) wartość końcowa (przyszła) tej renty (suma rat zdyskontowanych na moment t = n) jest równa
FV =
n
X
ij ν j−n
renta z dołu;
(3.3)
j=1
FV 0 =
n
X
j=1
ij ν j−(n+1) =
n−1
X
j=0
ij+1 ν j−n
renta z góry;
(3.4)
65
Dowód. (i) Dla renty z dołu wynika natychmiast z wniosku 2.10(ii), a dla renty z góry z twierdzenia
3.2 oraz wyniku dla renty z dołu.
(ii) Na mocy twierdzenia 3.2, wartość końcowa jest równa wartości obecnej pomnożonej przez
czynnik ν −n .
W dalszym ciągu będziemy rozważać renty o płatnościach pozwalających otrzymać wzory na
wartość obecną i przyszłą w postaci zwartej.
3.2
Renty pewne, proste, o płatnościach tworzących ciąg
arytmetyczny
Rozważamy renty n-okresową, której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q.
Zakładamy, że P > 0. Natomiast Q może być dowolnego znaku, jedynie trzeba założyć, że wszystkie
płatności są dodatnie, tj. P + (n − 1)Q > 0.
TWIERDZENIE 3.4. Rozważamy n-okresową rentę pewną, prostą, której pierwsza płatność jest
równa P , a kolejne wzrastają o Q. Wtedy
(i) wartość obecna tej renty jest równa
¶
µ
1 − νn
nν n
1 − νn
renta z dołu;
PV = P
+Q
−
i
i2
i
¶
µ
n
1 − νn
nν n
0
−1 1 − ν
−1
PV = Pν
+ Qν
−
i
i2
i
µ
¶
n
n
n
1−ν
nν
1−ν
+Q ν
−
renta z góry.
=P
d
d2
d
(ii) Wartość końcowa F V rozważanej renty jest równa
µ −n
¶
ν −n − 1
ν −1 n
+Q
−
FV = P
renta z dołu;
i
i2
i
µ −n
¶
−n
ν −1 n
−1
−1
0
−1 ν
+ Qν
−
FV = Pν
i
i2
i
¶
µ
−n
−n
ν −1
ν −1 n
=P
renta z góry.
+Q ν
−
d
d2
d
Pn
Dowód. (i) Na mocy twierdzenia 3.3, P V = k=1 (P + (k − 1)Q)ν k . Ponieważ
(1 + i)P V =
n
X
k=1
to
iP V = (1 + i)P V − P V =
=P+
n−1
X
k=1
(P + (k − 1)Q)ν
n−1
X
k=0
(P + kQ)ν k −
= P (1 − ν n ) + Q
n
= P (1 − ν ) + Q
n−1
X
k=1
µ
(P + kQ)ν k −
n−1
X
k=1
k−1
=
n−1
X
(P + kQ)ν k
k=0
n
X
k=1
(P + (k − 1)Q)ν k
(P + (k − 1)Q)ν k − (P + (n − 1)Q)ν n
ν k + Qν n − Qnν n = P (1 − ν n ) + Qν
¶
1 − νn
n
− nν
.
i
1 − νn
− Qnν n
1−ν
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
66
Między wartością obecną renty z góry i z dołu zachodzi związek P V 0 = ν −1 P V .
(ii) Wynika z (i) oraz twierdzenia 3.3(ii) (wartość końcowa jest równa wartości obecnej pomnożonej przez czynnik ν −n ).
3.3
Renty pewne proste stałe
DEFINICJA 3.5. Rentę pewną prostą, jednostkową nazywamy
(i) pewną z dołu (ang. annuity), gdy j-ta rata renty płacona jest na końcu j-tego okresu;
(ii) pewną z góry (ang. annuity-due), gdy j-ta rata renty jest płacona na początku j-tego okresu.
Wprowadzamy następujące oznaczenia
Wartość obecna
Wartość przyszła
Renta pewna z dołu
an|i lub an|
sn|i lub sn|
Renta pewna z góry
än|d lub än|
s̈n|d lub s̈n|
W oznaczeniach wartości obecnej i przyszłej pomijamy stopę procentową i dyskontową, gdy nie
prowadzi do do dwuznaczności.
WNIOSEK 3.5. Dla n-okresowej rentę pewnej, prostej, jednostkowej zachodzą następujące równości:
(i) sn| = an| ν −n oraz s̈n| = än| ν −n ;
(ii) än| = an| ν −1 oraz s̈n| = sn| ν −1 .
(iii) jej wartość aktualna w momencie k ≥ 0 jest równa
an| ν −k = sn| ν n−k
än| ν
−k
= s̈n| ν
n−k
renta z dołu;
(3.9)
renta z góry.
(3.10)
Dowód. Wynika z twierdzenia 3.2.
TWIERDZENIE 3.6. Rozważamy n-okresową rentę pewną, prostą, jednostkową. Wtedy
(i) jej wartość początkową jest równa
1 − νn
, renta z dołu;
i
1 − νn
1 − νn
=
= (1 + i)
i
d
(3.11)
an| =
än|
renta z góry
(3.12)
(ii) jej wartość końcową jest równa
ν −n − 1
renta z dołu;
i
−n
ν −n − 1
ν −1
=
= (1 + i)
i
d
(3.13)
sn| =
s̈n|
renta z góry;
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 3.4, gdy podstawimy P = 1 oraz Q = 0.
WNIOSEK 3.7. Rozważamy rentę n-okresową, pewną, prostą, jednostkową. Wtedy
(3.14)
67
(i) jej wartość aktualna w momencie n + m, gdzie m > 0 jest równa
sn| ν −m = sn+m| − sm|
s̈n| ν −m = s̈n+m| − s̈m|
renta z dołu;
(3.15)
renta z góry.
(3.16)
(ii) jej wartość aktualna w momencie 1 ≤ m < n jest równa
an| ν −m = sn| ν n−m = sm| + an−m|
än| ν
−m
= s̈n| ν
n−m
= s̈m| + än−m|
renta z dołu;
(3.17)
renta z góry.
(3.18)
Dowód. Mamy
ν −n−m − 1
i
ν −n−m − 1
=
d
ν −m − 1
+
=
i
ν −m − 1
+
=
d
sn+m| − sm| =
s̈n+m| − s̈m|
sm| + an−m|
s̈m| + än−m|
ν −m − 1
ν −n−m − ν −m
ν −n − 1
=
= ν −m
;
i
i
i
ν −m − 1
ν −n − 1
−
= ν −m
;
d
d
1 − ν n−m
ν −m − ν n−m
ν −n − 1
=
= ν n−m
;
i
i
i
1 − ν n−m
ν −m − ν n−m
ν −n − 1
=
= ν n−m
.
d
d
d
−
TWIERDZENIE 3.8. Zachodzą następujące związki między wartościami obecnymi i końcowymi
rent z dołu i z góry:
(i) 1 = ian| + ν n = ν −n − isn| oraz 1 = dän| + ν n = ν −n − ds̈n| ;
(ii)
1
1
1
1
=
+ i oraz
=
+ d;
an|
sn|
än|
s̈n|
(iii) än| = 1 + an−1| oraz sn| = s̈n−1| + 1
Dowód. (i) Wynika natychmiast z twierdzenia 3.6.
i
1
i + iν −n − i
i
1
+ i = −n
.
(ii) Mamy
+i=
=
=
−n
n
sn|
ν −1
ν −1
1−ν
an|
1 + i − ν n−1
1 − ν n−1
1 − νn
=
=1+
oraz
(iii) Mamy än| = (1 + i)
i
i
i
−n
−n+1
−n
ν −1
ν
−1+1−ν
ν −1
sn| =
=ν
=
= s̈n−1| + 1.
i
d
d
UWAGA 3.2. Wartość obecna n-okresowej renty z góry än| jest sumą pierwszej płatności 1 oraz
wartości obecnej n − 1-okresowej renty z dołu an−1| .
3.4
Renty pewne proste z odroczonymi płatnościami
DEFINICJA 3.6. Renta pewna n-okresowa, których pierwsza rata wypłacana jest po m okresach,
m > 0, nazywa się rentą z odroczonymi płatnościami.
UWAGA 3.3. Pierwsza płatność renty z odroczonymi o m okresów płatnościami następuje w chwili
m + 1 w przypadku renty z dołu oraz chwili m w przypadku renty z góry.
68
WNIOSEK 3.9. n-okresowa renta pewna, prosta z dołu (odp. z góry) z odroczonymi o m okresów
płatnościami, które są równe: i1 , . . . , in jest równoważna rencie pewnej prostej z dołu (odp. z góry)
z płatnościami równymi: i1 ν m , . . . , in ν m .
UWAGA 3.4. n-okresową rentę pewną, prostą z dołu (odp. z góry) z odroczonymi o m okresów
płatnościami można interpretować jako n + m -okresową rentę pewną, prostą z dołu (odp. z góry)
której pierwsze m płatności są równe 0.
TWIERDZENIE 3.10. Wartość początkowa renty pewnej, prostej z odroczonymi o m okresów
płatnościami równymi i1 , . . . , in jest równa:
P V = νm
n
X
ij ν j
renta z dołu;
(3.19)
j=1
P V 0 = νm
n−1
X
ij+1 ν j
renta z góry.
(3.20)
j=0
(3.21)
Dowód. Wynika z wniosku 3.9 oraz twierdzenia 3.3.
DEFINICJA 3.7. Renta pewna, prosta, jednostkowa z odroczonymi płatnościami nazywa się
rentą z odroczonymi płatnościami.
TWIERDZENIE 3.11. Wartość obecna n-okresowej renty z odroczonym o m okresów płatnościami. jest równa
an| ν m = am+n| − am|
än| ν
m
= äm+n| − äm|
renta z dołu;
(3.22)
renta z góry
(3.23)
Dowód. Na mocy twierdzenia 3.10, wartość początkowa n-okresowej renty z dołu, o odroczonych o
m okresów ratach jest równa ν m an| , a renty z góry z odroczonymi płatnościami o m okresów jest
równa ν m än| . Dalej
1 − ν m+n
1 − νm
1 − νn
−
= νm
;
i
i
i
1 − νm
1 − νn
1 − ν n+m
−
= νm
.
=
d
d
d
am+n| − am| =
äm+n| − äm|
3.5
Renty pewne, proste, o płatnościach tworzących ciąg
arytmetyczny (cd)
Zastosujemy uzyskane wyniki dotyczące rent stałych do opisu wartości obecnych i przyszłych nokresowych rent pewnych prostych, których płatności tworzą ciąg arytmetyczny.
TWIERDZENIE 3.12. Rozważamy n-okresową rentę pewną, prostą, której pierwsza płatność jest
równa P , a kolejne wzrastają o Q. Wtedy
(i) jej wartość obecna jest równa
P V = P an| + Q
an| − nν n
P V 0 = P än| + Q
i
νän| − nν
d
renta z dołu;
n
= P än| + Q
(3.24)
an| − nν
d
n
renta z góry.
(3.25)
69
(ii) jej wartość końcowa jest równa
F V = P sn| + Q
F V 0 = P s̈n| + Q
sn| − n
i
s̈n| ν − n
d
renta z dołu;
= P s̈n| + Q
(3.26)
sn| − n
renta z góry.
d
(3.27)
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 3.4.
Obecnie rozważymy dwa szczególne przypadki rozważanej renty: rentę rosnącą dla której P =
Q = 1 oraz rentę malejącą dla której P = n oraz Q = −1.
Wprowadzamy następujące oznaczenia dla renty pewnej, prostej o płatnościach tworzących rosnący ciąg arytmetyczny postaci {1, 2, . . . , n}.
Wartość obecna
Wartość przyszła
Renta z dołu
(Ia)n|i lub (Ia)n|
(Is)n|i lub (Is)n|
Renta z góry
(Iä)n|d lub (Iä)n|
(I s̈)n|d lub (I s̈)n|
WNIOSEK 3.13. Rozważamy n-okresową rentę pewną o płatnościach tworzących rosnący ciąg
arytmetyczny postaci {1, 2, . . . , n}. Wtedy
(Ia)n| =
(Iä)n| =
än| − nν n
i
än| − nν n
d
renta z dołu;
(3.28)
renta z góry;
(3.29)
(ii) jej wartość przyszła jest równa
(Is)n| =
(I s̈)n| =
s̈n| − n
i
s̈n| − n
d
=
=
sn+1| − (n + 1)
i
sn+1| − (n + 1)
d
renta z dołu;
(3.30)
renta z góry.
(3.31)
Dowód. Korzystając z twierdzenia 3.8 otrzymujemy
(Ia)n| = an| +
an| − nν n
i
(Iä)n| = ν −1 (Ia)n| =
(Is)n| = ν −n (Ia)n| =
(I s̈)n| = ν −n (Iä)n| =
=
1 − ν n + an| − nν n
än| − nν n
νi
s̈n| − n
i
s̈n| − n
d
=
=
i
=
=
än| − nν n
d
sn+1| − (n + 1)
i
sn+1| − (n + 1)
d
;
.
än+1| − (n + 1)ν n
i
=
än| − nν n
i
;
70
TWIERDZENIE 3.14. n-okresowa rentę pewna prosta z dołu o płatnościach tworzących rosnący
ciąg arytmetyczny postaci {1, 2, . . . , n} jest sumą ciągu n rent z dołu n − k-okresowych, pewnych
prostych, jednostkowych z odroczonymi, odpowiednio, o k okresów płatnościami dla k = 0, 1 . . . , n −
1, tj. wartość obecna tej renty jest równa
(Ia)n| =
n−1
X
ν k an−k| .
(3.32)
k=0
Proof. dowód Mamy
n−1
X
k=0
ν k an−k| =
n−1
X
νk
n−1
än| − nν n
1 X k nν n
1 − ν n−k
=
=
= (Ia)n| .
ν −
i
i
i
i
k=0
k=0
Wprowadzamy następujące oznaczenia dla renty pewnej, prostej o płatnościach tworzących malejący ciąg arytmetyczny postaci {n, n − 1, . . . , 1}.
Wartość obecna
Wartość przyszła
Renta z dołu
(Da)n|i lub (Da)n|
(Ds)n|i lub (Ds)n|
Renta z góry
(Dä)n|d lub (Dä)n|
(Ds̈)n|d lub (Ds̈)n|
WNIOSEK 3.15. Rozważamy n-okresową rentę pewną o płatnościach tworzących malejący ciąg
arytmetyczny postaci {n, n − 1, . . . , 1}. Wtedy
(Da)n| =
n − an|
(Dä)n| =
d
i
n − an|
renta z dołu;
(3.33)
renta z góry;
(3.34)
(ii) wartość przyszła tej renty jest równa
(Ds)n| =
(Ds̈)n| =
nν −n − sn|
i
nν −n − sn|
d
renta z dołu;
(3.35)
renta z góry.
(3.36)
Dowód. Mamy
(Da)n| = nan| −
−1
an| + nν n
i
=
n − nν n − an| + nν n
n − an|
i
n − an|
(Ds)n| = ν −n (Da)n| =
=
νi
ν −n n − sn|
(Ds̈)n| = ν −n (Dä)n| =
d
(Dä)n| = ν
(Da)n| =
i
ν −n n − sn|
d
.
=
n − an|
i
71
3.6
Renty pewne proste o płatnościach tworzących ciąg geometryczny
Rozważamy rentę n-okresową, której płatności tworzą ciąg geometryczny {1, 1 + k, . . . , (1 + k) n−1 }.
Jeżeli k = −1 to wszystkie płatności poza pierwszą są równe 0. Jeżli k < −1 to płatności naprzemian
są dodatnie i ujemne. W dalszym ciągu będziemy zakładać, że
(3.37)
−1 < k.
TWIERDZENIE 3.16. Rozważamy rentę n-okresową z dołu, której płatności tworzą ciąg geometryczny {1, 1 + k, . . . , (1 + k)n−1 }. Wtedy
1−
³
1+k
1+i
i−k
´n
gdy i 6= k;
nν
gdy i = k
1 − ((1 + k)(1 − d))n
d + dk − k
n
d
;
1−d
d
gdy k =
.
1−d
gdy k 6=
renta z dołu;
(3.38)
renta z góry
(3.39)
renta z dołu;
(3.40)
renta z góry
(3.41)
(1 + i)n − (1 + k)n
i−k
n(1 + i)n−1
(1 − d)−n − (1 + k)n
d + dk − k
n(1 − d)−n
gdy i 6= k;
gdy i = k.
d
;
1−d
d
gdy k =
.
1−d
gdy k 6=
Dowód. (i) Wartość obecna P V rozważanej renty jest równa:
P V = ν + ν 2 (1 + k) + . . . + ν n (1 + k)n−1 = ν
n−1
Xµ
j=0
Jeżeli i 6= k to
PV = ν
1−
³
1−
1+k
1+i
´n
1+k
1+i
=
n
1 − ( 1+k
1+i )
i−k
Jeżeli i = k to
PV 0 = ν
n−1
X
j=0
1 = νn.
.
1+k
1+i
¶j
.
72
Wartość obecna P V 0 rozważanej renty jest równa:
P V 0 = 1 + ν(1 + k) + . . . + ν n−1 (1 + k)n−1 =
n−1
X
j=0
Jeżeli k 6=
d
1−d
to
PV =
Jeżeli k =
d
1−d
((1 + k)(1 − d))j .
1 − (1 + k)n (1 − d)n
1 − ((1 + i)(1 − d))n
=
.
1 − (1 + k)(1 − d)
d + dk − k
to ν(1 + k) = 1, a więc
0
PV =
n−1
X
1 = n.
j=0
(ii) F V = ν −n P V oraz F V 0 = ν −n P V 0 .
3.7
Niestandardowe terminy i stopy procentowe
W dotychczasowych rozważanaiach zakładaliśmy, że n jest liczbą naturalną oraz i > 0. Obecnie
będziemy rozważać przypadki, gdy te założenia nie są spełnione. Uzyskane w tym podrozdziale
wyniki maja bardziej teoretyczne niż praktyczne znaczenie.
Rozważmy początkowo symbol an+k| dla n ∈ N oraz 0 < k < 1. Wzoru an| = ν +ν 2 +. . .+ν n nie
1 − νn
można uogólnić na ten przypadek, natomiast wzór an| =
pozwala na następujące uogólnienie:
i
1 − ν n+k
1 − ν n + ν n − ν n+k
=
i
i
k
(1
+
i)
−
1
= an| + ν n+k
.
i
an+k| =
(3.42)
Przy tej interpretacji symbolu an+k| jest on sumą wartości obecnej an| n-okresowej renty zgodnej z
(1 + i)k − 1
dołu oraz wartości obecnej końcowej wypłaty w chwili n + k równej
.
i
Nieregularność wielkości końcowej płatności jest raczej nieoczekiwana. Bardziej naturalne jest
przyjęcie, że ostatnią płatnością powinna być k, tj. płatność powinna być proporcjonalna do długości
(1 + i)k − 1
.
niepełnego okresu. Zauważmy, że k jest z dużą dokładnością aproksymowane przez
i
LEMAT 3.17. Mamy
∞ µ ¶
X
(1 + i)k − 1
k j−1
=k+
i .
i
j
j=2
Dowód. Zostawiamy go czytelnikom jako ćwiczenie.
Istnieją również inne sensowne interpretacje symbolu an+k| . Na przykład, ostatnią nieregularną
płatność przenosimy na moment n + 1.
Jak wynika z powyższych rozważań symbolu an+k| dla 0 < k < 1 nie można interpretować
jednoznacznie. Interpretacja istotnie zależny od przyjętych wcześniej założeń o rozważanej rencie.
Konieczność interpretacji symboli związanych z rentami na dowolnych terminów występuje w
praktyce, np. w rentach życiowych.
73
Można również badać symbole rentowe dla n ujemnych. Ma to jedynie znaczenie teoretyczne i
nie ma żadnego znaczenia praktycznego.
Rozważmy teraz przypadek, gdy i ≤ 0. Przypadek i = 0 jest ważny w praktyce. W tym przypadku wartość obecne i wartość przyszła pokrywają się i są równe sumie wpłat. Mamy
an| = sn| = n.
(3.43)
W przypadku i < 0, pojawiają się pewne interesujące rezultaty. Wartość obecna staje się wartością końcową i na odwrót. Ma to intuicyjną wartość. Jednakże znaczenie tych rezultatów jest
bardziej teoretyczne niż praktyczne.
3.8
Klasyczne zagadnienia związane z rentami
n-okresowa renta pewna z dołu o płatnościach równych p > 0
• Wartość początkowa renty
1 − νn
i
(3.44)
(1 + i)n − 1
i
(3.45)
ln(1 − iP V /p)
,
ln ν
(3.46)
pan| = p
• Końcowa wartość renty
pss| = p
• Oblicznie czasu trwania renty
Renta z dołu o płatnościach równych p > 0
n=
gdzie P V jest wartością obecną renty.
Równanie (3.46), nie ma ogólnie rozwiązań całkowitych. W praktyce problem niepełnej liczby
płatności można rozwiązać na różne sposoby. Należą do nich:
a) powiększenie odpowiednio jednej, z zasady ostatniej, płatności;
b) utworzenie dodatkowej niepełnej raty;
c) niepełną liczbę płatności zaokrąglić w górę do najbliższej liczby naturalnej i wyznaczyć
nowe równe płatności.
Niech P V będzie przewidywaną wartością obecną renty, i stopą procentową, p wysokością
przewidywanych płatności. Zakładamy, że liczba t otrzymana ze wzoru (3.46) nie jest całkowita
oraz n = [t].
Wtedy równanie wartości aktualnej na koniec n-tego okresu jest postaci
psn| + x1 = P V (1 + i)n .
(3.47)
Natomiast równanie wartości aktualnej na koniec n + 1 okresu jest postaci
psn| (1 + i) + x2 = P V (1 + i)n+1 .
(3.48)
x2 = x1 (1 + i).
(3.49)
Stąd
74
• Obliczanie efektywnej stopy procentowej renty
1 − νn
Można ją obliczyć ze wzoru P V = p
, gdzie P V jest obecną wartością renty. Sproi
wadza się to do znalezienia pierwiastka wielomianu stopnia n. Znajduje się go korzystając z
kalkulatorów finansowych lub programów komputerowych (profesjonalnych lub np. arkuszy
kalkulacyjnych).
Analogiczne obliczenia stosuje się do rent z góry.
3.9
Oprocentowanie zmienne
Zakładmy, że w okresie k, tj. w przedziale od k − 1 do k stopa procentowa jest równa i k i rozważamy
rentę n-okresową z dołu.
Najpierw obliczymy jej wartość początkową. Trzeba rozróżnić dwa przypadki.
1. Stopa procentowa ik jest stosowana w okresie k do wszyskich płatności, które występują w
okresie k i późniejszych. W tym przypadku wartość początkowa renty jest równa
an| = (1 + i1 )−1 + (1 + i1 )−1 (1 + i2 )−1 + . . . + (1 + i1 )−1 (1 + i2 )−1 · · · (1 + in )−1
=
j
n Y
X
(3.50)
(1 + im )−1 .
j=1 m=1
2. Stopa procentowa ik jest stosowana wyłącznie do k-tej raty. W tym przypadku wartość początkowa renty wyraża się wzorem
an| = (1 + i1 )
−1
+ (1 + i2 )
−2
+ . . . + (1 + in )
−n
=
n
X
(1 + ij )−j .
(3.51)
j=1
Podobnie można obliczać wartość końcową renty. Aby uwzględnić wszystkie stopy procentowe
będziemy rozważać rentę n-okresową z góry. Również w tym przypadku mamy dwa przypadki:
1. Stopa procentowa ik jest stosowana do oblicznia wartości końcowej k-tej raty i późniejszych,
tj.
s̈n| = (1 + in ) + (1 + in )(1 + in−1 ) + . . . + (1 + in )(1 + in−1 ) · · · (1 + i1 )
=
j
n Y
X
(3.52)
(1 + in−m+1 ).
j=1 m=1
2. Stopa procentowa ik jest stosowana wyłącznie do k-tej raty. W tym przypadku wartość końcowa renty wyraża się wzorem
s̈n| = (1 + in ) + (1 + in−1 )2 + . . . + (1 + ii )n =
n
X
(1 + in−j+1 )j .
(3.53)
j=1
Przedstawione wyżej przypadki występują w praktyce.
3.10
Renty związane z innymi sposobami oprocentowania
Oszacowanie wartości rent nie podlegających procentowi złożonemu jest pełne pułapek i wymaga
ostrożnej analizy i interpretacji otrzymalnych rezultatów. W tym przypadku szereg wzorów prawdziwych dla rent opartych na oprocentowaniu, prowadzi do zupełnie różnych rezultatów. Dlatego,
najlepiej nie stosować rent, które nie są oparte na oprocentowaniu złożonym, bez istotnej potrzeby.
75
Niestety nie zawsze można uniknąć takich rent. Na przykład, czasami w wyrokach spraw dotyczących ustalenia wielkości doznanego w wypadkach uszczerbku na zdrowiu lub nagłej śmierci, sądy
wymagają użycia oprocentowania prostego do obliczenia wartości renty.
“Poprawne” procedury do obliczenia takich wartości są nie tylko niejednoznaczne, ale prowadzą
do istotnych błędów jeżeli w tych rezultatach nie jest uwzględniony wpływ czasu.
Probem wartości rent nie podlegających oprocentowaniu złożonemu pojawia się w różnej postaci w literaturze. Dlatego zapoznamy się z niektórymi rezultatami, uwzględniając występujące
niejednoznaczności.
Najsensowniejsze wydaje się zastosowanie jako podstawy rozważań, do obliczania wartości renty,
funkcji oprocentowania kapitału. Ponieważ wartością aktualną w chwili t a strumienia przepływów
pieniężnych jest suma wartości aktualnych w chwili ta poszczególnych przepływów to prowadzi to
do następujacych definicji.
DEFINICJA 3.8. Wartością początkową jednostkowej, n-okresowej renty z dołu opartej na funkcji oprocentowania α nazywamy wielkość
an| =
n
X
1
.
α(j)
j=1
(3.54)
DEFINICJA 3.9. Wartością końcową jednostkowej, n-okresowej renty z dołu opartej na funkcji
oprocentowania α nazywamy wielkość
sn| =
n−1
X
(3.55)
α(j).
j=0
Ponieważ z przypadku funkcji oprocentowania kapitału różnych od oprocentowania złożonego
równoważność strumieni przepływów pieniężmnych w jednej chwili nie pociąga za sobą ich równoważność w innej chwili to ogólnie wzory
sn| = α(n)an| ,
an| =
1
s
α(n) n|
nie są prawdziwe, tj. wzory
n−1
1 X
α(j)
α(n) j=0
oraz
n
X
α(n)
j=1
α(j)
,
(3.56)
prowadzą, odpowiednio, do innych (istotnie różnych o podanych wyżej) definicji wartości początkowej an| oraz wartości końcowej sn| .
Różnicę między rentą opartą na oprocentowaniu złożonym i rentą opartą na oprocentowaniu
prostym zilustrujemy następującym przykładem.
Przykład 3.1. Jednostkowa renta n-okresowa (n > 1) tworzona jest następująco: kwotę pieniężną
w wysokości K deponujemy w funduszu, który stosuje oprocentowanie o stopie procentowej i, natomiast odsetki natychmiast przenoszone są do funduszu drugiego, który nie stosuje żadnego oprocentowania. Rata renty w wysokości 1 jp wypłacana jest na koniec każdego okresu. Po n okresach
wycofamy wszystkie pieniądze z inwestycji. Dalej, fundusz oprocentowujący kapitał będziemy nazywać funduszem 1, natomiast fundusz w którym kapitał nie jest oprocentowany funduszem 2.
Naturalnym pytaniem jest następujące pytanie. Ile jest równie K?
Odpowiedż na to pytanie będzie zależne od sposobu wypłacania rat renty. Dokładniej, jaką część
1 jp będziemy wypłacana z funduszu 1, a jaka z funduszu 2?
Rozważmy najpierw przypadek, gdy najpierw wypłacane są pieniądze z funduszu 2, a pieniądze
z funduszu 1 są wypłacane jedynie wtedy, gdy w funduszu 2 nie ma pieniędzy.
76
Pod koniec pierwszego okresu odsetki (procent) w wysokości iK są przeniesione z funduszu 1 do
funduszu 2. Ratę w wysokości 1 jp wypłacamy następująco: kwotę iK z funduszu 2 (zakładamy, że
iK < 1) oraz kwotę w wysokości 1 − iK z funduszu 1. Na funduszu 1 zostaje kwota pieniężna w
wysokości K − (1 − iK) = (1 + i)K − 1. Zauważmy, że (1 + i)K − 1 < K.
Pod koniec drugiego okresu odsetki (procent) w wysokości i((1 + i)K − 1) są przeniesione z
funduszu 1 do funduszu 2. Ratę w wysokości 1 jp wypłacmy następująco: kwotę i((1 + i)K − 1) z
funduszu 2 oraz kwotę w wysokości 1 − i((1 + i)K − 1) z funduszu 1. Na funduszu 1 zostaje kwota
pieniężna w wysokości (1 + i)K − 1 − (1 − i((1 + i)K − 1)) = (1 + i)2 K − (1 + (1 + i)).
Pm−2
Na koniec m-tego 1 < m ≤ n okresu procent w wysokości i((1 + i)m−1 K − j=0 (1 + i)j )
jest przeniesionyPz funduszu 1 do funduszu 2. Ratę w wysokości 1 wycofujemy
Pm−2 następuąco: kwotę
m−2
i((1+i)m−1 K − j=0 (1+i)j ) z funduszu 2 oraz kwotę 1−i((1+i)m−1 K − j=0 (1+i)j ) z funduszu
Pm−2
Pm−2
1. Na funduszu 1 zostaje kwota (1+i)m−1 K − j=0 (1+i)j −(1−i((1+i)m−1 K − j=0 (1+i)j )) =
P
m−1
(1 + i)m K − j=0 (1 + i)j .
Stąd
(1 + i)n K −
n−1
X
(1 + i)j = 0,
czyli
K=
j=0
1 − νn
.
i
Pokazaliśmy, że K = an| .
Obecnie rozważamy przypadek, gdy rata wypłacana jest najpierw z funduszu 1, a z funduszu 2
dopiero wtedy, gdy na funduszu 1 nie ma pieniędzy.
Oznaczmy k = [K]. Pod koniec pierwszego okresu procent w wysokości iK przeniesiony jest do
funduszu 2, a funduszu 1 wypłacana jest rata w wysokości 1, czyli zostaje kwota K − 1. Pod koniec
m-tego okresu (m = 2, . . . , k) na funduszu 1 zostaje kwota K − m, a na funduszu 2 zgromadzona
Pm−1
m(m − 1)
.
jest kwota iK + i(K − 1) + . . . + i(K − (m − 1)) = imK − i j=1 j = imK − i
2
Pod koniec k-tego okresu na funduszu 1 pozostaje kwota 0 ≤ K − k < 1, a na funduszu 2,
k(k − 1)
. Pod koniec k + 1 okresu procent w wysokości i(K − k) jest przeniesiony
kwota ikK − i
2
do funduszu 2. Na k + 1 ratę składa się kwota K − k z funduszu 1 oraz kwota 1 − (K − k) z
funduszu 2. Na funduszu 1 nie ma pieniędzy, natomiast fundusz 2 zawiera kwotę w wysokości
ikK − i k(k−1)
+ (i(K − k) − (1 − K + k)) oraz
2
ikK − i
k(k − 1)
+ (i(K − k) − (1 − K + k)) = n − (k + 1),
2
gdyż pozostało do zapłacenia n − (k + 1) rat w wysokości 1. Stąd
k
K(1 + i(k + 1)) = n + i
k(k − 1)
k(k + 1) X
+ ik = n + i
=
(1 + ik) + (n − (k + 1)).
2
2
j=0
Jeżeli założymy, że n = k + 1 to otrzymamy równość K(1 + in) = n + i
czyli
an| =
n−1
X
j=0
a(j)
,
a(n)
gdzie
Pn−1
n(n − 1)
= j=0 (1 + ji),
2
a(t) = 1 + it.
W ten sposób otrzymaliśmy wartość początkową renty n-okresowej gdy stosujemy oprocentowanie
proste.
Rozdział 4
Renty wieczne proste
4.1
W tym rozdziale, podobnie jak w poprzednim, i będzie oznaczać bazową stopę procentową, a d
d
i
oraz i =
.
bazową stopę dyskontową równoważną stopie procentowej i, tj. zachodzi d =
1+i
1−d
1
= 1 − d. W dalszym ciągu będziemy
Przez ν będziemy oznaczać czynnik dyskonta, tj. ν =
1+i
d
wykorzystywać również następujące zależności między i, d oraz ν: d = iν oraz i = .
ν
DEFINICJA 4.1. Rentą wieczną (bezterminową, wieczystą) (ang. perpetuity) nazywamy rentę
składającą się z nieskończonej liczby płatności.
DEFINICJA 4.2. Renta wieczna nazywa się
(i) rentą wieczną z dołu (ang. immediate perpetuity), gdy płatności następują pod koniec każdego
okresu.
(ii) rentą wieczną z góry (ang. perpetuity-due), gdy płatności następują na początku każdego okresu.
DEFINICJA 4.3. Rentę wieczną nazywamy
(i) rentą wieczną prostą, gdy okres bazowy stopy procentowej, okres konwersji i okres renty są sobie
równą.
(ii) rentą wieczną uogólnioną, w przeciwnym przypadku.
W tym rozdziale będziemy rozważać następujące zagadnienie: ile należy zainwestować (wpłacić) aby, przy założeniu efektywnej rocznej stopy procentowej i, móc otrzymywać określoną rentę
wieczną? Inaczej: ile warta jest obecnie taka renta?
DEFINICJA 4.4. Wartością aktualną w chwili k ≥ 0 renty wiecznej, prostej o płatnościach
i1 , i2 , . . . nazywamy sumę szeregu zdyskontowanych na moment k ≥ 0 płatności i 1 , i2 , . . . , tj.
∞
X
j=1
∞
X
ij ν j−k
renta z dołu;
ij ν j−1−k
renta z góry.
(4.1)
(4.2)
j=1
DEFINICJA 4.5. Wartością obecną renty wiecznej prostej o płatnościach i1 , i2 , . . . nazywamy
jej wartość aktualną w chwili k = 0.
77
78
0
wartość obecną
Oznaczmy przez P V∞ wartość obecną renty wiecznej prostej z dołu, a przez P V∞
renty wiecznej prostej z z góry.
WNIOSEK 4.1. Wartość obecna renty wiecznej, prostej o płatnościach i 1 , i2 , . . . jest równa
P V∞ =
0
P V∞
=
∞
X
ij ν j
renta z dołu;
(4.3)
ij ν j−1
renta z góry.
(4.4)
j=1
∞
X
j=1
WNIOSEK 4.2. Wartość aktualna w chwili k ≥ 0 renty wiecznej prostej z dołu jest równa
0
.
ν −k P V∞ , a renty z góry ν −k P V∞
DEFINICJA 4.6. Dwie renty wieczne proste nazywa ją się równoważnymi w chwili k ≥ 0, gdy
mają równe wartości aktualne w chwili k.
WNIOSEK 4.3. Jeżeli dwie renty wieczne proste są równoważne w chwili k ≥ 0, to są równoważne
w każdej innej chwili.
WNIOSEK 4.4. 1. Renta wieczna prosta z dołu o płatnościach: i1 , i2 . . . jest równoważna rencie
wiecznej prostej z góry o płatnościach νi1 , νi2 , . . . .
2. Renta wieczna prosta z góry o płatnościach: i1 , i2 , . . . jest równoważna rencie wiecznej prostej z
dołu o płatnościach ν −1 i1 , ν −1 i2 , . . . .
Dowód. (i) Dla każdego j przepływ z dołu ij jest równoważny przepływowi Z góry νij .
(ii) Dla każdego j przepływ z góry ij jest równoważny przepływowi Z dołu ν −1 ij .
WNIOSEK 4.5. Rozważamy renty wieczne proste z dołu i z góry o tych samych płatnościach
i1 , i2 , . . . . Wtedy
0
= P V∞ ν −1 .
P V∞
4.2
Renty wieczne proste o płatnościach tworzących ciąg
arytmetyczny
Rozważamy renty wieczną, której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q.
WNIOSEK 4.6. Jeżeli zakładamy, że wszystkie płatności powyższej renty wiecznej są dodatnie, to
Q ≥ 0.
Dowód. Zauważmy, że P > 0. Ponieważ dla każdego n, P + (n − 1)Q > 0, to Q ≥ 0.
TWIERDZENIE 4.7. Wartość obecna renty wiecznej, prostej której pierwsza płatność jest równa
P , a kolejne wzrastają o Q jest równa
P
Q
+ 2 renta z dołu;
i
i
Qν
P
+ 2 renta z góry
=
d
d
P V∞ =
(4.5)
0
P V∞
(4.6)
79
P∞
Dowód. Na mocy definicji wartości obecnej renty wiecznej prostej z dołu mamy P V ∞ = n=1 (P +
(n − 1)Q)ν n .
Niech P Vn oznacza wartość obecną n-okresowej renty pewnej z dołu, której pierwsza płatność
jest równa P , a kolejne wzrastają o Q. Oczywiście,
(4.7)
P V = lim P Vn
n→∞
oraz na mocy twierdzenia 3.4,
1 − νn
P Vn = P
+Q
i
µ
nν n
1 − νn
−
i2
i
¶
.
(4.8)
Ponieważ limn→∞ ν n = 0 oraz limn→∞ nν n = 0 to przechodząc z n → ∞ w (4.8) i korzystając z
(4.7), otrzymujemy (4.5).
0
Na mocy wniosku 4.5, P V∞
= P Vν∞ . Stąd na mocy równości d = iν mamy
0
=
P V∞
Q
P
Qν
P
+ 2 =
+ 2
iν
i ν
d
d
Wprowadzamy następujące oznaczenia dla wartości obecnej renty wiecznej, prostej o płatnościach tworzących rosnący ciąg arytmetyczny postaci {1, 2, . . . , n, . . . }.
Wartość obecna
Renta z dołu
(Ia)∞|i lub (Ia)∞|
Renta z góry
(Iä)∞|d lub (Iä)∞|
W oznaczeniach wartości obecnej pomijamy stopę procentową i dyskontową, gdy nie prowadzi do
do dwuznaczności.
WNIOSEK 4.8. Wartość obecna renty wiecznej, prostej której płatności tworzą rosnący ciąg arytmetyczny 1, 2, . . . , n, . . . jest równa
1
1+i
1
+ 2 = 2
renta z dołu;
i
i
i
1
ν
1
= + 2 = 2 renta z góry
d d
d
(Ia)∞| =
(Iä)∞|
(4.9)
(4.10)
Dowód. W twierdzeniu 4.7 przyjmujemy P = Q = 1.
4.3
Renty wieczne proste stałe
Wprowadzamy następujące oznaczenia dla wartości obecnej renty wiecznej prostej jednostkowej.
Wartość obecna
Renta z dołu
a∞| i lub a∞|
Renta z góry
ä∞|d lub ä∞|
W oznaczeniach wartości obecnej pomijamy stopę procentową i dyskontową, gdy nie prowadzi do
do dwuznaczności.
80
TWIERDZENIE 4.9. Wartość początkowa renty wiecznej, prostej, jednostkowej jest równa
1
i
1
=
d
a∞| =
renta z dołu;
(4.11)
ä∞|
renta z góry.
(4.12)
Dowód. W twierdzeniu 4.7 podstawiamy P = 1, Q = 0.
Dowód bezpośredni jest również prosty.
a∞| =
∞
X
j=1
4.4
νj =
1
ν
=
1−ν
i
oraz ä∞| =
∞
X
j=0
(1 − d)j =
1
1
= .
1 − (1 − d)
d
Renty wieczne proste z odroczonymi płatnościami
DEFINICJA 4.7. Renta wieczna prosta, której pierwsza rata wypłacana jest po m okresach,
m > 0, nazywa się rentą wieczną prostą z odroczonymi płatnościami.
WNIOSEK 4.10. Renta wieczna, prosta z dołu (odp. z góry) z odroczonymi o m okresów płatnościami: i1 , i2 , . . . jest równoważna rencie wiecznej, prostej z dołu (odp. z góry) z płatnościami
równymi i1 ν m , i2 ν m , . . . .
WNIOSEK 4.11. Wartość obecna renty wiecznej, prostej z odroczonymi o m okresów płatnościami
równymi i1 , i2 , . . . jest równa:
P V∞ ν m
renta z dołu;
(4.13)
0 m
P V∞
ν
renta z góry,
(4.14)
(4.15)
0
gdzie P V∞ (odp. P V∞
) jest wartością obecną renty wiecznej prostej z dołu (odp. z góry) o płatnościach i1 , i2 , . . . .
Dowód. Wynika z wniosku 4.10 oraz definicji wartości obecnej renty wiecznej.
DEFINICJA 4.8. Renta wieczna, prosta, jednostkowa z odroczonymi płatnościami nazywa się
rentą wieczną z odroczonymi płatnościami.
TWIERDZENIE 4.12. Wartość obecna renty wiecznej prostej z odroczonymi o m okresów płatnościami, której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q jest równa
P νm
Qν m
+ 2
renta z dołu;
i
i
Qν 1+m
P νm
+
renta z dołu
d
d2
(4.16)
(4.17)
Dowód. Wynika natychmiast z wniosku 4.11 i twierdzenia 4.7.
TWIERDZENIE 4.13. Wartość obecna renty pewnej prostej n-okresowej której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q (Q ≥ 0) jest równa
P Vn = P V∞ − ν n P V∞ − nQν n a∞|
0
0
− nQν n ä∞|
− ν n P V∞
P Vn0 = P V∞
renta z dołu;
(4.18)
renta z góry,
(4.19)
81
tzn. wartość obecna P Vn (odp. P Vn0 ) renty n-okresowej, z dołu (odp. z góry), której pierwsza
płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q (Q ≥ 0) jest równa wartości obecnej P V ∞ (odp.
0
) renty wiecznej z dołu (odp. z góry), której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają
P V∞
o Q minus suma wartości obecnych dwóch rent wiecznych z dołu (odp. z góry) o odroczonych o m
okresów płatnościach: pierwszej, której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q
0
) oraz renty stałej o płatnościach
(Q ≥ 0), czyli o wartości obecnej równej ν n P V∞ (odp. ν n P V∞
n
równych Qn, czyli o wartości obecnej równej Qnν a∞| (odp. Qnν n ä∞| ).
Dowód. Mamy
P Vn =
n
X
k=1
k
(P + (k − 1)Q)ν =
= P V∞ − ν n
∞
X
k=1
∞
X
k=1
k
(P + (k − 1)Q)ν −
∞
X
k=1+n
(P + (k − 1)Q)ν k
(P + (n + k − 1)Q)ν k = P V∞ − ν n P V∞ − nQν n
1
ν
= P V∞ − ν n P V∞ − nQν n .
= P V∞ − ν n P V∞ − nQν n
1−ν
i
∞
X
νk
k=1
Ponieważ P Vn0 = ν −1 P Vn , to
P Vn0 =
P V∞
1
1
P V∞
0
0
− νn
− nQν n = P V∞
− ν n P V∞
− nQν n .
ν
ν
iν
d
WNIOSEK 4.14. Wartość obecna renty pewnej prostej n-okresowej której płatności tworzą rosnący ciąg arytmetyczny {1, 2, . . . , n} jest równa
(Ia)n| = (Ia)∞| − ν n (Ia)∞| − nν n a∞|
n
n
(Iä)n| = (Iä)∞| − ν (Iä)∞| − nν ä∞|
renta z dołu;
(4.20)
renta z góry
(4.21)
tzn. wartość obecna (Ia)n| (odp. (Iä)n| ) renty n-okresowej, z dołu (odp. z góry), której płatności
tworzą ciąg {1, 2, . . . , n} jest równa wartości obecnej (Ia)∞| (odp. (Iä)∞| ) renty wiecznej z dołu
(odp. z góry), której płatności tworzą ciąg arytmetyczny rosnący {1, 2, . . . , n . . . } minus suma wartości obecnych dwóch rent wiecznych z dołu (odp. z góry) o płatnościach odroczonych o n okresów:
pierwszej, której płatności tworzą ciąg arytmetyczny rosnący {1, 2, . . . , n . . . }, czyli o wartości obecnej równej ν n (Ia)∞| (odp. ν n (Iä)∞| ) oraz renty stałej o płatnościach równych n, czyli o wartości
obecnej równej nν n a∞| (odp. nν n ä∞| ).
4.5
Renty wieczne proste o płatnościach tworzących ciąg
geometryczny
TWIERDZENIE 4.15. Rozważamy rentę wieczną, której płatności tworzą ciąg geometryczny
{1, 1 + k, . . . , (1 + k)n−1 , . . . }. Wtedy
(i) jeżeli ta renta jest z dołu oraz spełnione jest ograniczenie −1 < k < i, to jej wartość obecna jest
równa
1
.
(4.22)
i−k
(ii) jeżeli ta renta jest z góry oraz spełnione jest ograniczenie −1 < k <
jest równa
1
.
d + dk − k
d
1−d ,
to jej wartość obecna
(4.23)
82
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 3.16.
Rozdział 5
Renty pewne uogólnione
5.1
W tym rozdziale, podobnie jak w poprzednich, i będzie oznaczać bazową stopę procentową, a d
d
i
oraz i =
.
bazową stopę dyskontową równoważną stopie procentowej i, tj. zachodzi d =
1+i
1−d
1
= 1 − d. W dalszym ciągu będziemy
Przez ν będziemy oznaczać czynnik dyskonta, tj. ν =
1+i
d
wykorzystywać również następujące zależności między i, d oraz ν: d = iν oraz i = . Ponadto,
ν
przez i(m) będziemy oznaczać nominalną stopę procentową, kapitalizowaną m razy w ciągu każdego
okresu bazowego stopy i i jej równoważną. Natomiast przez d(m) będziemy oznaczać nominalną stopę
dyskontową kapitalizowaną m razy w ciągu każdego okresu bazowego stopy d i jej równoważną. Stopy
i(m)
1
i(m) i d(m) są równoważne, a więc d(m) =
. Mamy
= 1 − d(m) /m = ν 1/m
1 + i(m) /m
1 + i(m) /m
oraz i(m) = d(m) ν 1/m .
Z rentą zwiazane są trzy okresy: okres stopy procentowej lub dyskontowej, okres konwersji oraz
okres renty.
W dalszym ciągu przyjmować, chyba, że jawnie założono inaczej, że: stosunek każdych dwóch
z trzech powyższych okresów jest, albo liczbą naturalną, albo odwrotnością liczby naturalnej.
Zawsze można zakładać, że okres stopy procentowej jest równy okresowi konwersji. Jeżeli okres
stopy procentowej jest różny od okresu konwersji, to aby uzgodnić te dwa okresy wprowadza się
współczynnik
m=
.
okres konwersji
Na mocy wcześniejszego założenia m jest liczbą naturalną lub odwrotnością liczby naturalnej. Oznacza to, że okres stopy procentowej jest wielokrotnością okresu konwersji lub okres konwersji jest
wielokrotnością okresu stopy procentowej.
Uzgodnienie okresów dokonuje się przez przejście na względną stopę procentową
i=
i
m
Okres względenj stopy procentowej i jest równy okresowi konwersji i dalej będziemy rozważać jedynie
stosunek okresu konwersji do okresu renty.
Również w dalszym ciągu będziemy zakładać, że okres stopy dyskontowej jest równy okresowi
konwersji.
83
84
Jeżeli okres renty jest równy okresowi konwersji to rentę nazywamy prostą. Rozważaliśmy je
wcześniej.
DEFINICJA 5.1. Rentę nazywamy uogólnioną, gdy okres konwersji jest różny od okresu renty.
Na mocy wcześniejszych założeń mogą zachodzić dwa przypadki:
1. okres renty jest wielokrotnością okresu konwersji;
2. okres konwersji jest wielokrotnością okresu renty.
Tym przypadkom poświęcimy najbliższe rozważania. Schemat postępowania w tych przypadkach
jest identyczny.Składa się on z dwóch kroków:
1. Wprowadzamy nową stopę procentową (odp. dyskontową) równoważną stopie wyjściowej, której okres konwersji (i okres bazowy) jest równy okresowi renty.
2. Wykorzystując nową stopę procentową (odp. dyskontową), znajdujemy wartości renty korzystając z technik stosowanych dla rent prostych.
UWAGA 5.1. Dla wartości rent, których okres jest całkowitą wielokrotnością okresu konwersji stopy
procentowej (odp. dyskontowej) nie ma specjalnych oznaczeń.
5.2
Renty o okresie będącym wielokrotnością okresu bazowego stopy procentowej
Niech i będzie stopa procentową o okresie równym okresowi konwersji, a d stopą dyskontową o
okresie równym okresowi konwersji.
W dalszych rozważaniach podstawową rolę bedzie odgrywał następujący lemat.
LEMAT 5.1. Rozważamy rentę pewną, uogólnioną, której jeden okres jest k-krotnością okresu konwersji stopy procentowej i (odp. dyskontowej d), trwającą n okresów konwersji, tj. rentę składającą
się z n/k rat: i1 , . . . , in/k . Wtedy
1. Jeżeli rozważana renta jest z dołu, to jest ona rentą pewną prostą względem równoważnej stopy
procentowej i0 , której okres konwersji (i okres bazowy) jest równy okresowi renty, tj. i 0 spełnia
równanie
1 + i0 = (1 + i)k ,
Ponadto,
czyli
i0 = (1 + i)k − 1.
1
= νk.
1 + i0
2. Jeżeli rozważana renta jest z góry, to jest ona rentą pewną prostą względem równoważnej stopy
dyskontowej d0 , której okres konwersji (i okres bazowy) jest równy okresowi renty, tj. d 0 spełnia
równanie
1 − d0 = (1 − d)k ,
czyli
d0 = 1 − (1 − d)k .
Ponadto, 1 − d0 = ν k .
Dowód. Oczywisty.
WNIOSEK 5.2. Rentę pewna, uogólniona, z góry, której jeden okres jest k-krotnością okresu konwersji dyskontowej d, trwającą n okresów konwersji, tj. renta składająca się z n/k rat: i 1 , . . . , in/k
jest równoważna rencie pewnej, uogólnionej, z dołu, której jeden okres jest k-krotnością okresu konwersji stopy procentowej i (równoważnej stopie dyskontowej d i o tym samym okresie konwersji),
trwającą n okresów konwersji, tj. rencie składającej się z n/k rat: i 1 ν −k , . . . , in/k ν −k .
85
Dowód. Dla każdego j = 1, . . . , n/k, przepływ góry ij jest równoważny przepływowi z dołu ij ν −k .
WNIOSEK 5.3. (i) P V 0 = P V ν −k ,
(ii) P V = F V ν n ,
F V 0 = F V ν −k ;
P V 0 = F V 0νn;
(iii) wartość aktualna w chwili m ≥ 0 jest równa
• ν −m P V = ν n−m F V renta z dołu;
• ν −m P V 0 = ν n−m F V 0 renta z góry.
Dowód. Wynika z wniosku 5.2.
TWIERDZENIE 5.4. Rozważamy rentę jednostkową, której okres jest k-wielokrotnością okresu
konwwersji, trwającą n okresów konwersji, tj. rentę n/k-okresową. Wtedy
(i) jej wartość początkowa jest równa
an|
renta z dołu,
sk|
än|
äk|
an|
=
ak|
(5.1)
renta z góry
(5.2)
gdzie an| (odp. än| ) oznacza wartość początkową n-okresowej renty pewnej z dołu )odp. z góry,
a sk| oznacza wartość końcową k-okresowej renty pewnej w dołu.
sn|
sk|
renta z dołu
,
s̈n|
äk|
=
sn|
ak|
,
(5.3)
renta z góry,
(5.4)
gdzie sn| (odp. sk| ) oznacza wartość końcową n-okresowej (odp. k-okresowej) renty pewnej z
dołu, s̈n| oznacza wartość końcową n-okresowej renty pewnej z góry, a äk| wartość początkową
k-okresowej renty pewnej z góry, jednostkowej.
Dowód. Niech i0 (odp. d0 ) oznacza stopę procentową (odp. stopę dyskontową) z lematu 5.1, względem
której rozważana renta z dołu (odp. z góry) jest n/k-okresową rentą jednostkową z dołu (góry). Stąd
jej wartość początkowa jest równa an/k|i0 (odp. än/k|d0 ) a jej wartość końcowa jest równa sn/k|i0 (odp.
s̈n/k|d0 ). Ale na mocy twierdzenia 3.6
an/k|i0 =
än/k|d0 =
sn/k|i0 =
s̈n/k|d0 =
an|
1 − νn
1 − (1 + i0 )−n/k
=
=
;
i0
(1 + i)k − 1
sk|
an|
sk|
an|
sk|
än|
äk|
ν −k =
νn =
νn =
an|
ν k sk|
sn|
sk|
s̈n|
äk|
=
an|
ak|
,
=
sn|
ak|
.
=
än|
äk|
,
86
TWIERDZENIE 5.5. Rozważamy rentę jednostkową, której okres jest k-wielokrotnością okresu
konwwersji, trwającą n okresów konwersji, tj rentę n/k-okresową. Wtedy
(i) jej wartość aktualna w momencie m ≥ 0 jest równa
an|
sk|
än|
äk|
ν −m =
ν −m =
sn|
sk|
s̈n|
äk|
ν n−m ,
renta z dołu,
(5.5)
ν n−m ,
renta z góry
(5.6)
(ii) jej wartość aktualna w momencie n + m, gdzie m > 0, jest równa
sn|
sk|
s̈n|
äk|
ν −m =
sn+m| − sm|
,
renta z dołu,
(5.7)
ν −m =
s̈n+m| − s̈m|
,
renta z góry
(5.8)
sk|
äk|
(iii) jej wartość aktualna w momencie 1 ≤ m < n jest równa
an|
sk|
än|
äk|
ν −m =
ν −m =
sn|
sk|
s̈n|
äk|
ν n−m =
ν n−m =
sm| + an−m|
sk|
s̈m| + än−m|
äk|
,
renta z dołu,
(5.9)
,
renta z góry
(5.10)
Dowód. (i) Ponieważ wartość początkowa rozważanej renty z dołu (z góry) na mocy twierdzenia
5.4(i) jest równa
równa
an| −m
sk| ν
=
an|
än|
sk| (odp. äk| ), to jej wartość
sn| n−m
ä
(odp. än| (1 − d)−m
sk| ν
k|
aktualna w momencie m > 0 mocy wniosku 5.3 jest
=
sn|
sk| (1
+ i)m−n ).
(ii) Na mocy (i) wartość aktualna tej renty z dołu (odp. z góry) jest równa
(odp.
s̈n|
äk| (1
an| −m
sk| ν
=
sn| n−m
sk| ν
− d)−m ). Natomiast z wniosku 3.7 wynika
sn| ν −m = sn+m| − sm| ;
s̈n| ν −m = s̈n+m| − s̈m| .
(iii) Na mocy (i) wartość aktualna tej renty z dołu (odp. z góry) jest równa
än| −m
).
äk| ν
an| −m
sk| ν
(odp.
Natomiast z wniosku 3.7 wynika
an| ν −m = sn| ν n−m = sm| + an−m| ;
än| ν −m = s̈n| ν n−m = s̈m| + än−m| .
Niech i będzie stopa procentową o okresie równym okresowi konwersji, a d stopę dyskontową o
DEFINICJA 5.2. Renta pewna, której jeden okres jest k-krotnością okresu konwersji. oraz trwającą n okresów konwersji, tj. renta składającą się z n/k rat, której pierwsza płatność następuje po
m, m > 0, okresach konwersji nazywa się rentą z odroczonymi płatnościami.
87
UWAGA 5.2. Pierwsza płatność renty z odroczonymi o m okresów płatnościami następuje w chwili
m + 1 w przypadku renty z dołu oraz chwili m w przypadku renty z góry.
TWIERDZENIE 5.6. Wartość początkowa renty jednostkowej której jeden okres jest k-krotnością
okresu konwersji, trwającej n okresów konwersji oraz której pierwsza płatność odroczona jest o m
okresów konwersji, wyraża się wzorem
an|
sk|
än|
äk|
νm =
νm =
sn|
sk|
s̈n|
äk|
ν n+m =
am+n| − am|
,
renta z dołu,
(5.11)
ν n+m =
äm+n| − äm|
,
renta z góry
(5.12)
sk|
äk|
Dowód. Renta pewna jednostkowa z dołu (odp. z góry), której jeden okres jest k-krotnością okresu
konwersji, trwająca n okresów konwersji oraz której pierwsza płatność odroczona jest o m okresów
konwersji jest równoważna rencie pewnej z dołu (odp. z góry) o ratach równych ν m , której jeden
okres jest k-krotnością okresu konwersji, trwająca n okresów konwersji. Dlatego pierwsza równość
dla renty z dołu (odp. z góry) wynika z wniosku 5.3 i twierdzenia 5.4. Ponieważ na mocy twierdzenia
3.11 mamy
an| ν m = am+n| − am| ;
än| ν m = äm+n| − äm| ,
to wynikają stąd drugie równości w tezie.
5.2.1
Renty o płatnościach tworzących ciąg arytmetyczny
Zakładamy, że jeden okres renty jest k-krotnością okresu konwersji. Renta trwa n okresów konwersji,
tj. renta jest n/k-okresowa. Zakładamy, że pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o
Q. Niech i będzie stopa procentową o okresie równym okresowi konwersji, a d stopa dyskontową o
Zauważmy, że P > 0. Natomiast Q może być dowolnego znaku, jedynie trzeba założyć, że
wszystkie płatności są dodatnie, tj.
P + (n/k − 1)Q > 0.
TWIERDZENIE 5.7. Rozważamy rentę pewną, której okres jest k-wielokrotnością okresu konwwersji, trwającą n okresów konwersji, tj. rentę o n/k płatnościach. Zakładamy, że pierwsza płatność
jest równa P , a kolejne wzrastają o Q. Wtedy
Ã
!
an|
an|
1
n n
P
, renta z dołu;
+Q
− ν
sk|
isk| sk|
k
Ã
!
Ã
!
an|
än|
än|
an|
1
n n
1
n n
=P
P
+Q
− ν
+Q
− ν
ak|
iak| sk|
k
äk|
däk| s̈k|
k
Ã
!
sn|
sn|
1
n
P
+Q
−
, renta z dołu;
sk|
isk| sk|
k
Ã
!
Ã
!
sn|
s̈n|
sn|
s̈n|
1
n
1
n
P
+Q
−
=P
+Q
−
,
ak|
iak| sk|
k
äk|
däk| s̈k|
k
(5.13)
renta z góry.
(5.14)
(5.15)
renta z góry.
(5.16)
88
Dowód. (i) Niech i0 oznacza stopę procentową równoważna stopie procentowej i, określonej w lemacie 5.1, której okres konwersji (i okres bazowy) jest równy okresowi renty. Oczywiście, i 0 spełnia
równanie
1 + i0 = (1 + i)k ,
czyli
i0 = (1 + i)k − 1
1
= ν k . Względem stopy procentowej i0 rozważana renta z dołu jest rentą prostą, z dołu,
1 + i0
n/k-okresową, której pierwsza płatność jest równa P , a następne wzrastają o Q. Dlatego jej wartość
obecna na mocy twierdzenia 3.4 jest równa
µ
µ
¶¶
1
1 − νn
n n
n
P V = 0 P (1 − ν ) + Q
− ν
i
i0
k
µ
µ
¶¶
1
1 − νn
n n
n
P (1 − ν ) + Q
=
− ν
(1 + i)k − 1
(1 + i)k − 1 k
Ã
!
!
Ã
an|
an|
an|
an|
1
n n
1
n n
=P
+Q
− ν
+Q
− ν
=P
sk|
(1 + i)k − 1 sk|
k
sk|
isk| sk|
k
Stąd
Między wartością obecną renty z góry i z dołu zachodzi związek P V 0 = P V ν −k . Ponadto, ν =
oraz än| /äk| = an| /ak| .
(ii) Wartość końcowa jest równa wartości obecnej pomnożonej przez czynnik ν −n .
d
i
Obecnie rozważymy dwa szczególne przypadki rozważanej renty: rentę rosnącą dla której P =
Q = 1 oraz rentę malejącą dla której P = n/k oraz Q = 1.
WNIOSEK 5.8. Rozważamy rentę pewną, której okres jest k-wielokrotnością okresu konwwersji,
trwającą n okresów konwersji, tj. rentę o n/k płatnościach i której płatności tworzą rosnący ciąg
arytmetyczny postaci {1, 2, . . . , n/k}. Wtedy
(i) wartość obecna tej renty wyraża się wzorem
Ã
!
an|
1
n n
, renta z dołu;
− ν
isk| ak|
k
Ã
!
än|
1
n+k n
ν
1+
−
, renta z góry;
däk|
s̈k|
k
(ii) wartość przyszła tej renty wyraża się wzorem
Ã
!
sn|
1
n
, renta z dołu;
−
isk| ak|
k
Ã
!
s̈n|
1
n+k
−n
(1 − d) +
−
,
däk|
s̈k|
k
(5.17)
(5.18)
(5.19)
renta z góry
Dowód. (i) W tym przypadku wartość obecna renty z dołu jest równa
Ã
Ã
!
!
an|
an|
an|
1
n n
1
1 n n
+
− ν
1+
−
· ν
=
sk|
isk| sk|
k
sk|
isk|
isk| k
Ã
!
Ã
!
an|
an|
n n
1
n n
1
k
(1 + i) − ν
=
− ν
=
isk| sk|
k
isk| ak|
k
(5.20)
89
Natomiast wartość obecna renty z góry jest równa
Ã
Ã
!
!
än|
än|
än|
1
1
n n
n n
n
1−ν +
=
+
− ν
− ν
äk|
däk| s̈k|
k
däk|
s̈k|
k
!
Ã
än|
1
n+k n
.
=
ν
1+
−
däk|
s̈k|
k
WNIOSEK 5.9. Rozważamy rentę pewną, której okres jest k-wieloktotnością okresu konwwersji,
trwającą n okresów konwersji, tj. rentę o n/k płatnościach i której płatności tworzą malejący ciąg
arytmetyczny postaci {n/k, n/k − 1, . . . , 1}. Wtedy
(i) wartość obecna tej renty wyraża się wzorem
Ã
!
n an|
1
−
renta z dołu;
isk| k
sk|
Ã
!
1
n än|
−
renta z góry;
däk| k
s̈k|
(ii) wartość przyszła tej renty wyraża się wzorem
Ã
!
1
n −n sn|
renta z dołu;
ν −
isk| k
sk|
Ã
!
1
n −n s̈n|
ν −
renta z góry.
däk| k
s̈k|
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
Dowód. (i) W tym przypadku renty z dołu wartość obecna jest równa
Ã
!
Ã
!
Ã
!
an|
an|
an|
n
n
n an|
1
n n
1
n
1
(1 − ν n ) −
−
=
−
− ν
+ νn =
.
k sk|
isk| sk|
k
isk| k
sk|
k
isk| k
sk|
Natomiast w przypadku renty z góry zachodzi
!
!
Ã
Ã
Ã
!
än|
än|
1
1
1
n n
n n
n än|
n
n än|
n
=
=
(1 − ν ) −
−
−
− ν
+ ν
.
k äk|
däk| s̈k|
k
däk| k
s̈k|
k
däk| k
s̈k|
5.2.2
Dodatek. Zastosowanie do rent pewnych prostych o zmiennych
płatnościach
Rozważamy rentę pewną n-okresową o zmiennych płatnościach, przy czym pierwsze q płatności są
równe P , kolejne q płatności są równe P + Q, następne q płatności są równe P + 2Q, . . . , ostatnie
q płatności wynoszą P + (n/q − 1)Q.
TWIERDZENIE 5.10. Rozważamy n okresową renty pewną, uogólnioną której pierwsze q płatności są równe P (zakładamy, że q dzieli n), kolejne q płatności są równe P +Q, następne q płatności
są równe P + 2Q, . . . , ostatnie q płatności wynoszą P + (n/q − 1)Q. Wtedy
90
1
P an| + Q
i
Ã
an|
1
P än| + Q
d
Ã
än|
sq|
s̈q|
n
− νn
q
!
renta z dołu;
(5.25)
n
− νn
q
!
renta z góry;
(5.26)
(ii) wartość przyszła tej renty jest równa
1
P sn| + Q
i
Ã
sn|
1
P s̈n| + Q
d
Ã
s̈n|
sq|
s̈q|
n
−
q
!
,
renta z dołu;
(5.27)
n
−
q
!
,
renta z góry.
(5.28)
Dowód. Wartość obecna renty z doły jest równa
PV = P
q
X
ν i + (P + Q)ν q
i=1
q
X
i=1
ν i + . . . + (P + (n/q − 1)Q)ν n/q−1
q
X
νi
i=1
1 − νq
1 − νq
1 − νq
+ (P + Q)ν q ν
+ . . . + (P + (n/q − 1)Q)ν n/q−1 ν
= Pν
1−ν
1−ν
1−ν
´
1 − νq ³
=ν
P + (P + Q)ν q + . . . + (P + (n/q − 1)Q)ν n/q−1
1−ν
Ã
!
!
Ã
an|
an|
1
n n
n n
1 an|
+Q
− ν
− ν
= aq| P
= P an| + Q
.
aq|
iaq| sq|
q
i sq|
q
Ponieważ P + (P + Q)ν q + . . . + (P + (n/q − 1)Q)ν n/q−1 jest wartością obecna renty n/q-okresowej
płatnej co q okresów konwersji, której pierwsza płatność jest równa P , a następne wzrastają o Q to
na mocy twierdzenia 5.7 mamy równość
P + (P + Q)ν q + . . . + (P + (n/q − 1)Q)ν n/q−1 =
Mamy P V 0 = P V ν −1 . Ponadto, ν =
(ii) Mamy związki F V = P V ν −n
5.3
an|
sq|
−
n n
ν .
q
d
oraz än| = an| ν −1 .
i
oraz F V 0 = P V 0 ν −n .
Renty pewne o m-krotnych płatnościach w okresie konwersji
W tym podrozdziale zajmiemy się ustaleniem obecnej oraz przyszłej wartości renty o wielokrotnych
płatnościach w ciągu jednego okresu konwersji stopy procentowej. Zakładamy, że płatności w wysokości 1/m dokonywane są m razy w ciągu jednego okresu konwersji przez n kolejnych okresów przy
ustalonej stopie procentowej i lub stopie dyskontowej d.
DEFINICJA 5.3. Rentę pewną, uogólnioną, której płatności w wysokości 1/m dokonywane są m
razy w ciągu jednego okresu konwersji przez n kolejnych okresów konwersji nazywamy
(i) rentą pewną m-krotną z dołu, gdy płatności dokonywane są na koniec każdego okresu, poczynając
od chwili 1/m;
91
(ii) rentą pewną m-krotną z góry, gdy płatności dokonywane są na początku każdego okresu, poczynając od chwili 0.
LEMAT 5.11. Rozważamy rentę pewną, uogólnioną, której płatności w wysokości 1/m dokonywane są m razy w ciągu jednego okresu konwersji przez n kolejnych okresów konwersji. Wtedy
1. Jeżeli rozważana renta jest rentą pewną m-krotną z dołu oraz i(m) jest nominalną stopą procentową o okresie konwersji równym 1/m okresu konwersji stopy procentowej i i która jest
równoważna stopie procentowej i, tj. i(m) spełnia równanie
¶m
µ
1
i(m)
= ν 1/m ,
= 1 + i, czyli
1+
(m)
m
1 + i /m
to względem stopy procentowej i(m) /m rozpatrywana renta jest rentą pewną prostą nm-okresową o stałych płatnościach 1/m.
2. Jeżeli rozważana renta jest rentą pewną m-krotną z góry oraz d(m) jest nominalną stopą dyskontową o okresie konwersji równym 1/m okresu konwersji stopy dyskontowej d i która jest
równoważna stopie procentowej d, tj. d(m) spełnia równanie
¶m
¶
µ
µ
d(m)
d(m)
= ν 1/m ,
1−
= 1 − d, czyli
1−
m
m
to względem stopy dyskontowej d(m) /m rozpatrywana renta jest rentą pewną prostą nm-okresową o stałych płatnościach 1/m.
Dowód. Oczywisty.
Wartość obecna
Wartość przyszła
(m)
a
n|
(m)
ä
n|
(m)
n|
(m)
s̈
n|
Renta pewna m-krotna z dołu
Renta pewna m-krotna z góry
WNIOSEK 5.12. (i) s
(ii) s̈
(m)
n|
= ν −1/m s
(m)
n|
=
(m)
n|
=a
(m) −n
ν ,
n|
i(m) (m)
s ,
d(m) n|
ä
(m)
n|
s̈
(m)
n|
= ä
s
(m) −n
ν ;
n|
= ν −1/m a
(m)
n|
=
i(m) (m)
a .
d(m) n|
Dowód. Wynika z twierdzenia 3.2.
(ii) Renta pewna, uogólniona z dołu, której płatności w wysokości ν −1/m /m dokonywane są
m razy w ciągu jednego okresu konwersji przez n kolejnych okresów konwersji jest równoważna
rencie pewnej, uogólnionej z góry, której płatności w wysokości 1/m dokonywane są m razy w ciągu
jednego okresu konwersji przez n kolejnych okresów konwersji.
TWIERDZENIE 5.13. Rozważamy rentę pewną, uogólnioną, której płatności w wysokości 1/m
dokonywane są m razy w ciągu jednego okresu konwersji przez n kolejnych okresów konwersji. Wtedy
a
(m)
n|
ä
(m)
n|
1 − vn
i
= (m) an| ,
(m)
i
i
d
1 − vn
= (m) = (m) än| ,
d
d
=
renta z dołu,
(5.29)
renta z góry;
(5.30)
92
s
(m)
n|
s̈
(m)
n|
i
ν −n − 1
= (m) sn| ,
(m)
i
i
ν −n − 1
d
=
= (m) s̈n| ,
d(m)
d
=
renta z dołu,
(5.31)
renta z góry.
(5.32)
Dowód. (i) Niech i(m) (odp. d(m) ) będzie nominalną stopą procentową (odp. dyskontową) wprowadzoną w lemacie 5.11. Wtedy rozważana renta z dołu (odp. z góry) jest względem stopy procentowej
i(m) /m (odp. stopy dyskontowej d(m) /m), mn-okresową rentą pewną prostą z dołu (odp. z góry)
(m)
(odp.
o stałych płatnościach równych 1/m. Stąd na mocy twierdzenia 3.6(i) wartość obecna a
n|
ä
(m)
)
n|
rozpatrywanej renty jest równa
a
(m)
n|
=
µ
¶
1 1 − νn
1 1 − νn
(m)
=
,
odp.
ä
.
n|
m i(m) /m
m d(m) /m
(ii) Wynika z wniosku 5.12.
WNIOSEK 5.14. Mamy
ä
(m)
n|
=
s̈
(m)
n|
=
i
a ;
(5.33)
s .
(5.34)
d(m) n|
i
d(m) n|
Dowód. Pierwsza równość wynika z (5.30) oraz (3.11), a druga z (5.32) oraz (3.13).
UWAGA 5.3. Wzory (5.33) oraz (5.34) można używać w obliczeniach numerycznych ä
(m)
s̈ ,
n|
jeżeli dostępne są stablicowane wartości i/d(m) =
publikowane.
(m)
s̈ .
1|
(m)
n|
oraz
Jednakże, powyższe wartości są rzadko
W obliczenich można stosować również alternatywne wzory, np. podane w poniższym wniosku.
WNIOSEK 5.15. Mamy
ä
(m)
n|
s̈
(m)
n|
=
µ
i
i(m)
µ
i
= (m)
i
¶
i
an| ;
m
¶
i
+
s .
m n|
(5.35)
+
(5.36)
Dowód. Ponieważ każda płatność z renty z góry jest dokonywana o jedną m-tą część okresu konwersji
wcześniej od odpowieniej płatności z renty z dołu to
(m)
ä
n|
=
µ
i(m)
1+
m
¶
(m)
a
n|
¶
¶
µ
µ
i
i(m)
i
i
an| .
= 1+
a = (m) +
m
m
i(m) n|
i
Drugą równość dowodzi się analogicznie.
Powyższe równości można zastosować do obliczeń numerycznych ä
są stablicowane wartości i/i
(m)
.
(m)
n|
oraz s̈
(m)
,
n|
gdy dostępne
93
5.4
Renty ciągłe
Szczególnym typem rent o płatnościach częstszych niż okres konwersji stopy procentowej są renty,
których częstość płatności jest nieskończona, tj. renty których płatności dokonywane są w sposób
ciągły. Renty tego typu nazywają się rentami ciągłymi (ang. continuos annuities). Pomimo, że
trudno znaleźć rzeczywiste przykłady rent ciągłych to ich rozważanie ma teoretyczne i znalityczne
znaczenie. Ponadto są stosowane do aproksymacji rent o płatnościach o dużej częstości.
DEFINICJA 5.4. Wartością obecną (odp. wartością przyszłą) renty ciągłej płatnej przez n okresów konwersji stopy procentowej, której całkowita wypłata w ciągu każdego okresu konwersji jest
równa 1, oznaczanej przez an| (odp. sn| ), nazywamy
an| =
Z
n
ν t dt
0
µ
odp. sn| =
Z
n
0
¶
(1 + i)t dt .
UWAGA 5.4. Wielkość ν t dt interpretujemy jako wartość obecną płatności w wysokości dt dokonanej w chwili t.
WNIOSEK 5.16. Mamy an| =
δ = ln(1 + i).
1 − e−nδ
enδ − 1
1 − νn
(1 + i)n − 1
=
oraz sn| =
=
, gdzie
δ
δ
δ
δ
Dowód. Ponieważ δ = − ln ν to
an|
sn|
¯t=n
1 − νn
ν t ¯¯
=
;
=
ν dt =
¯
ln ν t=0
δ
0
¯t=n
Z n
(1 + i)t ¯¯
(1 + i)n − 1
=
(1 + i)t dt =
.
=
¯
ln ν t=0
δ
0
WNIOSEK 5.17. (i) s1| =
(ii) an| =
i
a = s1| an| ;
δ n|
(iii) sn| =
i
s = s1| sn| .
δ n|
Z
n
t
i
.
δ
TWIERDZENIE 5.18. Rozważamy rentę ciągłą przy oprocentowaniu ciągłym o natężeniu stałym
δ. Wtedy
(i) jeżeli (i(m) ) jest ciągiem nominalnych stop procentowych równoważnych tej samej efektywnej
stopie procentowej i o natężeniu stałym δ to
(m)
m→∞ n|
an| = lim a
oraz
(m)
;
m→∞ n|
sn| = lim s
(ii) Jeżeli (d(m) ) ciągiem nominalnych stóp dyskontowych równoważnych tej samej efektywnej stopie
dyskontowej d o stałym natężeniu δ to
(m)
m→∞ n|
an| = lim ä
oraz
(m)
.
m→∞ n|
sn| = lim s̈
94
Dowód. (i) Ponieważ mocy twierdzenia 1.50, limm→∞ i(m) = δ, gdzie δ = − log ν, to
(m)
m→∞ n|
lim a
(m)
lim s
m→∞ n|
1 − νn
1 − νn
= an| ;
=
(m)
m→∞ i
δ
(1 + i)n − 1
(1 + i)n − 1
= lim
= sn| .
=
m→∞
δ
i(m)
= lim
(ii) Ponieważ mocy twierdzenia 1.51, limm→∞ d(m) = δ, gdzie δ = − log ν, to
(m)
m→∞ n|
lim ä
(m)
lim s̈
m→∞ n|
1 − νn
1 − νn
=
= an| ;
(m)
m→∞ d
δ
(1 − d)−n − 1
(1 − d)−n − 1
=
= lim
= sn| .
m→∞
δ
d(m)
= lim
Dla rent ciągłych wartość obecna i wartość przeszła na sens dla dowolnych t ≥ 0, a nie tylko dla
n ∈ N. Prowadzi to do następujących definicji.
DEFINICJA 5.5. Wartością obecną (odp. wartością przyszłą) renty ciągłej płatnej przez t ≥ 0
okresów konwersji stopy procentowej, której całkowita wypłata w ciągu każdego okresu konwersji
jest równa 1, oznaczanej przez at| (odp. st| ), nazywamy
at| =
Z
WNIOSEK 5.19. Mamy at| =
ln(1 + i).
WNIOSEK 5.20.
5.5
t
s
ν ds
0
µ
odp. st| =
Z
t
s
¶
(1 + i) ds .
0
1 − e−tδ
etδ − 1
1 − νt
(1 + i)t − 1
=
oraz st| =
=
, gdzie δ =
δ
δ
δ
δ
d
d
a = ν t = 1 − δat| oraz st| = ν −t = 1 + δst| .
dt t|
dt
Renty wieczne uogólnione
Można rozważać strumienie przepływów pieniężnych składające się z nieskończonej liczby przepływów. Co dziwniejsze takie strumienie występują w rzeczywistości.
DEFINICJA 5.6. Nieskończonym strumieniem przepływów pieniężnych nazywamy nieskończoną
serię Ft1 , Ft2 , . . . , gdzie Ftj ∈ R oraz (tj ) jest nieskończonym ściśle rosnącym ciągiem nieujemnych
liczb rzeczywistych.
DEFINICJA 5.7. Wartością aktualną strumienia przepływów pieniężnych w momencie t a nazywamy sumę szeregu wartości aktualnych wszystkich elementów tej serii (przepływów pieniężnych)
w chwili ta .
WNIOSEK 5.21. Wartość aktualna K (ta ) w chwili ta nieskończonego strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , Ft2 , , . . . jest równa
X
X
K (ta ) =
Ftj α(ta − tj ) +
(5.37)
Ftj d(tj − ta ).
tj ≤ta
ta <tj
Dowód. Wynika natychmiast z definicji wartości aktualnej strumienia przepływów pieniężnych oraz
definicji wartosci aktualnej przepływów pieniążnych.
WNIOSEK 5.22. Wartość aktualna K (a) w chwili ta , nieskończonego strumienia przepływów pieniężnych Ft1 ,Ftn , . . . , jest równa
95
(i) w przypadku oprocentowania złożonego, zgodnego z dołu
K (ta ) =
∞
X
Ftj (1 + i)ta −tj ,
(5.38)
j=1
K (ta ) =
∞
X
j=1
Ftj (1 − d)−(ta −tj ) ,
(5.39)
WNIOSEK 5.23. Między wartościami aktualnymi w chwilach ta i ta0 nieskończonego stumienia
przepływów pieniężnych Ft1 , . . . , Ftn , gdy stosowane jest oprocentowanie złożone, zachodzi związek
K (ta ) = ν ta0 −ta K (ta0 ) .
(5.40)
W przypadku nieskończopnego strumienia przepływów pieniężnych jedynym wyróżnionym momentem aktualizacji strumieni przepływów pieniężnych jest moment początkowy t = 0.
DEFINICJA 5.8. Początkową (obecną) wartością nieskończonego strumienia przepływów pieniężnych (ang. present value) nazywamy aktualną wartość tego strumienia w momencie t a = 0.
WNIOSEK 5.24. Wartość początkowa K (0) strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , Ft2 , . . . ,
jest równa
K (0) =
∞
X
Ftj d(tj ).
(5.41)
j=1
WNIOSEK 5.25. Wartość początkowa K (0) strumienia przepływów pieniężnych Ft1 , Ft2 , . . . ,
jest równa
(i) w przypadku oprocentowania złożonego, zgodnego z dołu
K (0) =
∞
X
Ftj (1 + i)−tj ,
(5.42)
j=1
K
(0)
=
∞
X
j=1
Ftj (1 − d)tj ,
(5.43)
UWAGA 5.5. Wartości aktualna (w szczególności, początkowa) nieskończonego strumienia przepływów pieniężnych zależy od przyjętego sposobu oprocentowania i dyskontowania kapitału.
Wprowadzone pojęcie wartości aktualnej nieskończonego strumienia przepływów pieniężnych pozwala na sformułowanie zasady równoważności strumieni przepływów pieniężnych, która umozliwia
ich porównywanie.
DEFINICJA 5.9. Dwa nieskończone strumienie przepływów pieniężnych nazywają się równoważnymi w chwili t. gdy ich wartości aktualne są w tym momencie równe.
WNIOSEK 5.26. Dla oprocentowania złożonego relacja równoważności stumieni przepływów pieniężnych jest relacją przechodnią względem czasu.
96
5.5.1
Renty wieczne o okresie będącym wielokrotnością okresu bazowego
stopy procentowej
Zakładamy, że jeden okres renty jest k-krotnością okresu konwersji. Rozważamy renty wieczną z
dołu, której pierwsza płatność jest równa P , a kolejne wzrastają o Q. Oznaczmy przez i (odp. przez
d) stopę procentową (odp. stopą dyskontową), której okres jest równy okresowi konwersji.
Zauważmy, że P > 0. Ponieważ dla każdego n
P + (n − 1)Q > 0,
to Q ≥ 0.
TWIERDZENIE 5.27. Wartość obecna A renty wiecznej, której pierwsza płatność jest równa P ,
a kolejne wzrastają o Q jest równa
Q
P
+
,
isk|
(isk| )2
renta z dołu;
(5.44)
renta z góry
(5.45)
Qν k
P
+
,
däk|
(däk| )2
Dowód. Niech i0 oznacza stopę procentową równoważna stopie procentowej i, której okres konwersji
(i okres bazowy) jest równy okresowi renty. Oczywiście, i0 spełnia równanie
1 + i0 = (1 + i)k ,
czyli
i0 = (1 + i)k − 1.
Dlatego stosując twierdzenia 4.7 do stopy procentowej i0 otrzymujemy
P
Q
P
Q
+ 02 =
+
.
i0
i
isk|
(isk| )2
0
Mamy P V∞
= P V∞ (1 + i)k . Stąd
0
P V∞
=
=
(1 + i)k
Q(1 + i)k
P (1 + i)k
(1 + i)k
+Q
+
=P
k
2
isk|
(isk| )
(1 + i) − 1
((1 + i) − 1)2
Q
P
P
Qν k
+
1 − νk =
+
.
k
k
1−ν
(1 + i) − 1
däk|
(däk| )2
WNIOSEK 5.28. Wartość obecna renty wiecznej, której płatności tworzą rosnący ciąg arytmetyczny {1, 2, . . . , n, . . . } jest równa
1
1
+
,
isk|
(isk| )2
renta z dołu;
1
νk
1
+
=
,
däk|
(däk| )2
(däk| )2
renta z góry.
(5.46)
(5.47)
Rozważamy rentę wieczną, jednostkową której okres jest k-krotnością okresu konwersji.
Ile należy zainwestować (wpłacić) aby, przy założeniu efektywnej rocznej stopy procentowej i,
móc otrzymywać taką rentę? Inaczej: jaka jest wartość obecnie takiej renta?
97
TWIERDZENIE 5.29. Wartość obecna (początkowa) renty wiecznej, jednostkową której okres
jest k-krotnością okresu konwersji jest równa
a∞|
1
=
,
isk|
sk|
renta z dołu;
ä∞|
a∞|
1
1
=
=
=
,
däk|
äk|
iak|
ak|
(5.48)
renta z góry.
1
νk
=
=
k
1−ν
(1 + i)k − 1
1
1
1
=
=
. oraz
=
1 − (1 − d)k
däk|
1 − νk
Dowód. Wartość obecna renty wiecznej z dołu jest równa
P∞
i
jk
, natomiast renty z góry
j=0 (1 − d)
i((1 + i)k − 1)
a∞|
1
1
1
1
=
=
=
=
.
k
k
däk|
1 − (1 − d)
1−ν
iak|
ak|
5.5.2
(5.49)
P∞
jk
=
j=1 ν
Renty wieczne o m-krotnych płatnościach w okresie konwersji
W tym podrozdziale rozważamy renty, który płatności następują m razy w roku (wiecznie) po 1/m
każda.
DEFINICJA 5.10. Nieskończoną rentę pewną, której płatności w wysykości 1/m następują m
razy w każdym okresie konwersji pod koniec (odp. na początku) każdej m-tej części okresu konwersji
nazywamy rentą bezterminową (wieczną) m-krotną z dołu, (odp. z góry).
Ile należy zainwestować (wpłacić) aby, przy założeniu efektywnej rocznej stopy procentowej i,
móc otrzymywać taką rentę? Inaczej: ile warta jest obecnie taka renta?
Wartość obecna
Renta wieczna m-krotna z dołu
Renta wieczna m-krotna z góry
(m)
∞|
(m)
ä
∞|
a
TWIERDZENIE 5.30. Obecna wartość renty wiecznej m-krotnej jest równa
Dowód. Mamy a
(m)
∞|
=
1
m
1
1
1
= (m) .
m 1 − (1 − d)1/m
d
P∞
a
(m)
∞|
ä
(m)
∞|
1
,
i(m)
1
= (m) ,
d
=
k/m
=
k=1 ν
1
m
renta z dołu;
(5.50)
renta z góry.
(5.51)
ν 1/m
1
(m)
= (m) . oraz ä
=
1/m
∞|
1−ν
i
1
m
P∞
k=0 (1
− d)d/m =
98
Rozdział 6
Rachunek ratalnej spłaty długów
6.1
Wprowadzenie
Długi, że względu na okres ich zwrotu, dzieli się na:
1. krótkoterminowe — okres zwrotu poniżej roku;
2. średnioterminowe — okres zwrotu od roku do 5 lat;
3. długoterminowe — okres zwrotu powyżej 5 lat.
Podstawowymi formami długów są pożyczki i kredyty. Między pojęciami pożyczki i kredytu
istnieje szereg różnic natury prawnej i ekonomicznej. Sa to m. in:
(i) stosunki prawne między pożyczkobiorcą i wierzycielem są regulowane przez przepisy prawa
cywilnego (artykuły 720-724 kodeksu cywilnego), a stosunki prawne między kredytobiorcą i
wierzycielem regulują przepisy prawa bankowego (artykuły 69-79 ustawy z dnia 29 sierpnia
1997 roku Prawo bankowe, Dz. U. Nr 140, poz. 939);
(ii) przedmiotem pożyczki mogą być środki pieniężne i inne przedmioty materialne, przedmiotem
kredytu są wyłącznie środki pieniężne w postaci bezgotówkowego pieniądza bankowego;
(iii) przy zaciąganiu pożyczki cel nie musi być określony, natomiast cel kredytu musi być ściśle
określony i może być kontrolowany w czasie trwania kredytu;
(iv) umowa pożyczki może mieć dowolną formę (pisemną, jeżeli dotyczy kwoty powyżej 500 zł),
natomiast umowa kredytowa musi mieć formę pisemną;
(v) od wykorzystywanego kredytu bank pobiera odsetki oraz prowizję, pożyczka może być natomiast nieodpłatna
Wyżej wymienione różnice, poza ostatnią, nie są istotne z punktu widzenia matematyki finansowej.
Każda umowa o długu powinna określać:
a) wysokość długu,
b) formę spłaty,
c) terminy spłat,
d) wysokość stopy procentowej
e) okres kapitalizacji,
99
100
f ) formę i wysokość odsetek (z ewentualnym uwzględnieniem marży)
g) formę spłaty prowizji bankowej (jeżeli występuje).
Spłatę długu nazywa się również umarzaniem długu. Spłata długu może mieć formę ratalną,
której podstawę tworzą raty zw. płatnościami, spłatami lub ratami łącznymi. Odstępy czasu w
jakich dokonuje się spłaty długu ratami nazywają się okresami spłat. Jeżeli wszystkie okresy spłat
są równe to ich wspólną wartość nazywamy okresem spłat.
Założenie. Jeżeli nie zostało wyraźnie założone inaczej to przeprowadzane dalej rozważania dotyczą
spłat długu dokonywanych ratami o takim samym (wspólnym) okresie spłat.
Rozróżniamy
(i) spłatę długu z góry – raty są wnoszone na początku okresów spłat;
(ii) spłatę długu z dołu – raty są wnoszone na końcu okresów spłat.
Ponieważ spłatę długu z góry można interpretować jako spłatę z dołu, ale długu pomniejszonego o
pierwszą ratę, dlatego ograniczymy swoje rozważania wyłącznie do spłaty długu z dołu.
Przy rozliczeniach związanych ze spłatą długu uwzględnia się trzy okresy:
1) stopy procentowej;
2) kapitalizacji;
3) spłat.
Spłaty nazywamy:
(i) spłatami zgodnymi, gdy okresy: stopy procentowej, kapitalizacji i spłat są równe;
(ii) spłatami niezgodnymi, gdy przynajmniej dwa okresy wśród okresów stopy procentowej, kapitalizacji i spłat są nierówne.
Podstawą rachunku spłaty długu stanowi następująca zasada:
Dług został spłacony wtedy i tylko wtedy, gdy w ustalonym momencie czasu
aktualna wartość długu jest równa sumie aktualnych wartości wszystkich
spłat umarzających ten dług.
Powyższa zasada wymaga przeprowadzenie aktualizacji kwot na wybrany moment czasu. Formalnie aktualizacji można dokonać w oparciu o różne modele kapitalizacji. W matematyce finansowej
z reguły przyjmuje się, że do rozliczeń długów krótkoterminowych stosuje się model kapitalizacji
prostej (przy czym do aktualizacji wstecz stosuje się dyskonto matematyczne proste lub dyskonto
handlowe), a do rozliczeń długów średnio- i długoterminowych stosuje się model kapitalizacji złożonej z dołu.
6.2
Spłata długu krótkoterminowego
Do rozliczeń długów krótkoterminowych stosowany jest model kapitalizacji prostej. W modelu tym
okres kapitalizacji nie odgrywa żadnej roli, natomiast ważne są okres stopy procentowej i okres
spłat.
Aby uzgodnić okres stopy procentowej z okresem spłat wprowadza się współczynnik
m=
.
okres spłat
101
W dalszym ciągu będziemy zakładać, że m jest liczbą naturalną lub odwrotnością liczby naturalnej. Oznacza to, że okres stopy procentowej jest wielokrotnością okresu spłat lub okres spłat jest
wielokrotnością okresu stopy procentowej.
i=
i
m
Okres względnej stopy procentowej i jest równy okresowi spłat, czyli przypadek ten sprowadziliśmy
do przypadku gdy okres spłat równy okresowi stopy procentowej. W dalszym ciągu często milcząco
będziemy zakładać, że okres spłat jest równy okresowi stopy procentowej.
W spłacie długu krótkoterminowego ważną rolę odgrywa ustalony momentu aktualizacji k (k =
0, 1, . . . N ). Przy aktualizacji na ustalony moment k stosowane jest:
albo
• dyskonto matematyczne proste,
albo
• dyskonto handlowe.
DEFINICJA 6.1. Niech stopa procentowa będzie równa i. Mówimy, że dług krótkoterminowy S
jest spłacony za pomocą spłat A1 , . . . , AN , których okres jest równy okresowi stopy procentowej i,
gdy w ustalony moment aktualizacji k (k = 0, 1, . . . , N ) zachodzi następująca równość:
(i) dla dyskonta matematycznego, prostego:
S(1 + ki) = A1 (1 + (k − 1)r) + . . . + Ak−1 (1 + r) + Ak +
AN
Ak+1
+ ... +
;
1+r
1 + (N − k)r
(6.1)
(ii) dla dyskonta handlowego:
S(1 + ki) = A1 (1 + (k − 1)r) + . . . + Ak−1 (1 + r) + Ak
+ Ak+1 (1 − r) + . . . + AN (1 − (N − k)r);
(6.2)
UWAGA 6.1. Dla modelu kapitalizacji prostej wybór momentu k oraz rodzaju dyskonta jest istotny.
Jeżeli równość (6.1) lub (6.2) zachodzi dla pewnego k to może nie zachodzić dla innych. Oznacza
to formalnie, że dług S przy tej samej stopie procentowej i i tych samych płatnościach A 1 , . . . ,
AN może być spłacony lub nie w zależności od wyboru momentu kapitalizacji k. Fakt ten rodzi
określone komplikacje w rozliczeniach związanych z długami krótkoterminowymi.
WNIOSEK 6.1. Długu S jest spłacony w ratach łącznych A1 , . . . , AN iff w ustalony moment k,
k = 0, 1, . . . , N , spełnione są odpowiednie równania:
(i) dla dyskonta matematycznego prostego:
S = A1
(1 + r)
1
(1 + (k − 1)r)
+ . . . + Ak−1
+ Ak
+
1 + ki
1 + ki
1 + ki
1
1
Ak+1
+ . . . + AN
;
(1 + r)(1 + ki)
(1 + (N − k)r)(1 + ki)
(6.3)
S = A1
1 + (k − 1)r
1+r
1
+ . . . + Ak−1
+ Ak
1 + ki
1 + ki
1 + ki
+ Ak+1
1 − (N − k)r
1−r
+ . . . + AN
.
1 + ki
1 + ki
(6.4)
102
WNIOSEK 6.2. Przy ustaleniu momentu aktualizacji na k = 0 dług S jest płacony, gdy spełnione
są następujące równania:
(i) dla dyskonta matematycznego prostego:
S=
A1
A2
AN
+
+ ... +
;
1 + r 1 + 2r
1 + Nr
(6.5)
S = A1 (1 − r) + A2 (1 − 2r) + . . . + AN (1 − N r);
(6.6)
Dowód. Odpowiednio do równań (6.1) i (6.2) wstawiamy k = 0.
WNIOSEK 6.3. Przy ustaleniu momentu aktualizacji na k = N dług S jest płacony, gdy spełnione
jest wspólne równanie dla dyskonta matematycznego prostego i dyskonta handlowego:
S(1 + N r) = A1 (1 + (N − 1)r) + A2 (1 + (N − 2)r) + . . . + AN .
(6.7)
Dowód. Odpowiednio do równań (6.1) i (6.2) wstawiamy k = N .
6.2.1
Ustalanie brakującej raty łącznej
Negocjacje między dłużnikiem i wierzycielem, których celem jest uzgodnienie wysokości rat łącznych
A1 , . . . , AN mogą dotyczyć wszystkich poza jedną. Wysokość brakującej raty łącznej wynika bowiem
z warunku spłacenia długu w N ratach.
STWIERDZENIE 37. Znajomość długu S, momentu aktualizacji K oraz N −1 z N rat łącznych
jednoznacznie określa pozostałą ratę. Dokładniej, rata An jest rozwiązaniem poniższych równań.
(i) dla dyskonta matematycznego prostego
S = A1
(1 + (k − 1)r)
(1 + (k − n)r)
1
+ . . . + An
+ . . . + Ak
+
1 + ki
1 + ki
1 + ki
1
1
+ . . . + AN
;
Ak+1
(1 + r)(1 + ki)
(1 + (N − k)r)(1 + ki)
(6.8)
(ii) dla dyskonta handlowego
S = A1
1 + (k − 1)r
1 + (k − n)r
1
+ . . . + An
+ . . . + Ak
1 + ki
1 + ki
1 + ki
1 − (N − k)r
1−r
+ . . . + AN
+ Ak+1
1 + ki
1 + ki
(6.9)
Dowód. Załóżmy, że brakującą ratą jest n-ta rata, tj. An , a k jest momentem aktualizacji. Zależność
(6.3) dla dyskonta matematycznego prostego zapisana w postaci
S = A1
(1 + (k − 1)r)
(1 + (k − n)r)
1
+ . . . + An
+ . . . + Ak
+
1 + ki
1 + ki
1 + ki
1
1
+ . . . + AN
;
Ak+1
(1 + r)(1 + ki)
(1 + (N − K)r)(1 + ki)
lub — odpowiednio — zależność (6.4) dla dyskonta handlowego:
S = A1
1 + (k − 1)r
1 + (k − n)r
1
+ . . . + An
= . . . + Ak
1 + ki
1 + ki
1 + ki
1−r
1 − (N − k)r
+ . . . + AN
1 + ki
1 + ki
jest równaniem o jednej niewiadomej An . Po jego rozwiązaniu znamy już wszystkie raty łączne.
+ Ak+1
103
Przykład 6.1. Uzgodniono, że dług 100 jp ma być spłacony w 3 ratach miesięcznych, przy czym
A2 = 50 jp, A3 = 20 jp. Wyznaczyć A1 , jeżeli rozliczeń dokonano przy aktualizacji na moment
k = 0 i dyskonto handlowe ze stopą miesięczną r = 0, 015.
Dla aktualizacji na moment 0 równanie określające ratę A1 ma postać
100 = A1 (1 − 0, 015) + 50(1 − 0, 03) + 20(1 − 0, 045),
stąd A1 = 32, 8934 jp.
Przykład 6.2. Dług 100 jp należy zapłacić w czterech ratach miesięcznych, przy czym wiadomo,
że A1 = 20 jp, A2 = 30 jp, A3 = 40 jp. Wyznaczyć A4 , jeżeli miesięczna stopa procentowa wynosi
1, 25% i kapitalizacja jest prosta. Wykonać obliczenia w dwóch wariantach dyskonta oraz:
a) przy aktualizacji na moment 0,
b) przy aktualizacji na koniec czwartego miesiąca.
W tym przykładzie r = 0, 0125.
Wariant a). Załóżmy, że do aktualizacji kwot przy k = 0 zastosowano dyskonto matematyczne
proste. Wysokość brakującej raty łącznej A4 można wyznaczyć ze wzoru (6.3):
S=
A1
A2
A3
A4
+
+
+
.
1 + r 1 + 2r 1 + 3r 1 + 4r
Zatem
100 =
30
40
A4
20
+
+
+
,
1 + 0, 0125 1 + 2 · 0, 0125 1 + 3 · 0, 0125 1 + 4 · 0, 0125
skąd A4 = 13, 0456 jp.
Załóżmy, że do aktualizacji na moment k = 0 zastosujemy dyskonto handlowe. Wysokość brakującej raty łącznej A4 wynika ze wzoru (6.4):
S = A1 (1 − r) + A2 (1 − 2r) + A3 (1 − 3r) + A4 (1 − 4r).
Zatem
100 = 20(1 − 0, 0125) + 30(1 − 0, 025) + 40(1 − 0, 0375) + A4 (1 − 0, 05),
stąd A4 = 13, 1579.
Wariant b). Aktualizujemy kwotę na koniec czwartego miesiąca, czyli przyjmujemy k = 4, przy
czym zastosujemy dyskonto matematyczne proste. Wysokość brakującej raty A 4 ustaloamy ze wzoru
(6.3):
S = A1
1 + 3r
1 + 2r
1+r
1
+ A2
+ A3
+ A4
.
1 + 4r
1 + 4r
1 + 4r
1 + 4r
Zatem
100 = 20 ·
1 + 0, 0375
1 + 0, 025
1 + 0, 0125
1
+ 30 ·
+ 40 ·
+ A4
,
1 + 0, 05
1 + 0, 05
1 + 0, 05
1 + 0, 05
skąd A4 = 13 jp.
Do dyskontowania na moment k = 4 zastosujemy dyskonto handlowe. W tym przypadku dyskonto handlowe nie różni się od dyskonta matematycznego i otrzymujemy takie same rezultaty jak
wyżej.
104
6.2.2
Spłata długu w równych ratach łącznych
Załóżmy, że negocjacje między dłużnikiem i wierzycielem zakończyły się ustaleniem, że dług zostanie
spłacony w równych ratach łącznych: zatem A1 = . . . = AN = A. Wysokość raty A wynika z
warunków spłaty długu, przede wszystkim od momentu aktualizacji k oraz rodzaju stosowanego
dyskonta. Uwzględnimy dwa przypadki spłaty długu, w zależności od rodzaju dyskonta.
Dyskonto matematyczne proste
STWIERDZENIE 38. W przypadku dyskonta matematycznego prostego i aktualizacji na moment
k, k = 0, 1, . . . , N , rata łączna jest równa
1 + ki
A=S
(1 + (k − 1)r) + . . . + (1 + r) + 1 +
1
1
+ ... +
1+r
1 + (N − k)r
.
(6.10)
Dowód. Przy zastosowaniu dyskonta matematycznego prostego równanie (6.3) opisujący fakt spłacenia długu przy zastosowanoiu aktualizacji na moment k jest postaci:
¸
·
1
1
+ ... +
.
S(1 + ki) = A (1 + (k − 1)r) + . . . + (1 + r) + 1 +
1+r
1 + (N − k)r
WNIOSEK 6.4. W przypadku aktualizacji na moment k =
rzyste), wysokość wspólnej raty łącznej jest zadana wzorem
1+
A = Sµ
1+
N +1
(ma to sens gdy N jest niepa2
N +1
i
2
¶
1
N −1
i + . . . + (1 + r) + 1 +
+ ... +
2
1+r
1
N −1
1+
i
2
.
(6.11)
Przykład 6.3. Dług 100 jp ma być spłacony w 3 miesięcznych ratach. Moment aktualizacji k = 2.
Wyznaczyć wysokość raty łącznej, wartość części kapitałowej i części odsetkowej oraz wartość długu
bieżącego, jeżeli miesięczna stopa procentowa wynosi 2%.
N +1
Zauważmy, że k =
. Stąd na mocy (6.11)
2
A = 100 ·
1 + 2 · 0, 02
(1 + 0, 02) + 1 +
1
0, 02
≈ 34, 6621 jp.
UWAGA 6.2. Jeżeli jako moment aktualizacji przyjmiemy k = N , to z wzoru (6.7) wynika, że
przypadek dyskonta matematycznego prostego pokrywa się z przypadkiem dyskonta handlowego.
Dlatego przypadek ten będziemy rozważać w części poświęconej dyskontu handlowemu.
Dyskonto handlowe
STWIERDZENIE 39. W przypadku dyskonta handlowego i aktualizacji na moment k, gdzie k =
0, 1, . . . , N , rata łączna jest równa
A=
S
·
N
1 + ki
¶.
N +1
i
1+ k−
2
µ
(6.12)
105
Dowód. Bezpośrednio z definicji wynika, że przy zastosowaniu dyskonta handlowego spłacenie długu
S w N ratach łącznych A przy aktualizacji na moment k opisuje równanie
S(1 + ki) = A(1 + (k − 1)r) + . . . + A(1 + (k − N )r),
czyli
S(1 + ki)
=
A((1 + (k − 1)r) + . . . + (1 + (k − N )r))
¶ ¶
µ
µ
N +1
r .
= AN + AN k − Ar(1 + . . . + N ) = AN 1 + k −
2
UWAGA 6.3. Wysokość raty A zależy od momentu aktualizacji k.
WNIOSEK 6.5. W przypadku aktualizacji na moment k =
rzyste), wysokość wspólnej raty łącznej jest zadana wzorem
µ
¶
S
N +1
A=
1+
i .
N
2
N +1
(ma to sens gdy N jest niepa2
(6.13)
Dowód. Wynika natychmiast z (6.12).
DEFINICJA 6.2. Jeżeli wysokość raty łącznej jest zadana wzorem 6.13 to raty noszą nazwę rat
stałego stosunku.
Przykład 6.4. Dług 100 jp należy spłacić w ratach stałego stosunku z wykorzystaniem dyskonta
handlowego. Znaleźć wysokość raty łączenj, jeśli miesięczna stopa procentowa wynosi 2%.
W tym przypadku raty łączne mają wartość
µ
¶
3+1
100
1+
A=
· 0, 02 ≈ 34, 6667 jp.
3
2
Gdy k = N to dyskonto handlowe pokrywa się z dyskontem matematycznym.
WNIOSEK 6.6. W przypadku aktualizacji na moment k = N wysokość wspólnej raty łącznej jest
zadana wzorem
A=
S
·
N
1 + Nr
.
N −1
1+
i
2
(6.14)
Dowód. Mamy
A=S
1 + Nr
=S
1 + (N − 1)r + . . . (1 + r) + 1
1 + Nr
S
1 + Nr
=
·
.
N −1
N (N − 1)
N
1+
i
i
N+
2
2
DEFINICJA 6.3. Jeżeli wysokość raty łącznej jest zadana wzorem 6.14 to raty te nazywają się
ratami kupieckimi.
Przykład 6.5. Dług 100 jp należy spłacić w 3 ratach kupieckich. Zakładając, że miesięczna stopa
procentowa wynosi 2% wyznaczyć wysokość raty łącznej.
Mamy
A=
100 1, 06
10600
100 1 + 3 · 0, 02
·
=
·
=
≈ 34, 6405 jp
3
1 + 0, 02
3 1, 02
306
106
6.2.3
Zasada amerykańska
Poznamy jeszcze inny sposób spłaty długu, zwany zasadą amerykańską. Polega ona na korygowaniu
zadłużenia po zapłaceniu każdej kolejnej raty.
Rozważmy następujący przykład.
Przykład 6.6. Zaciągnieto pożyczkę w wysokości 1000 jp, która ma być spłacona w trzech ratach
w ciągu roku. Pierwsza rata w wysokości 300 jp zostanie zapłacona po czterech miesiącach, druga
rata wysokości 400 jp zostanie zapłacona po 6 miesiącach, a trzecia zostanie zapłacona po upływie
roku od zaciągniecia pożyczki. Roczna stopa procentowa wynosi 24%, a kapitalizacja jest prosta.
Ile wyniesie czwarta rata, jeśli dług był rozliczany zgodnie z zasadą amerykańską?
W ciągu czterech pierwszych miesiący narosły odsetki w wysokości
I1 = 1000 · 4 · 0, 02 = 80.
Ponieważ pierwsza rata jest wyższa od odsetek, więc w całości spłaca ona odsetki, a jej pozostała
część umarza kapitał. Do spłacenia pozostaje zatem dług w wysokości
S1 = 1080 − 300 = 780.
Odsetki narosłe od tej kwoty w ciągu kolejnych 2 miesiecy wyniosły
I2 = 780 · 2 · 0, 02 = 31, 2.
Druga rata jest także wyższa od odsetek, więc w całości spłaca ona odsetki, a jej pozostała część
umarza kapitał. Do spłacenia pozostaje zatem dług w wysokości
S2 = 780 + 31, 2 − 400 = 411, 2.
Od tego kapitału w ciągu 6 miesięcy narosną odsetki w wysokości
I3 = 411, 2 · 6 · 0, 02 = 49, 34.
Po upływie tego okresu dłu musi być spłacony w całości. Tak więc przy zastosowaniu metody
amerykańskiej ostatnia rata wyniesie
A3 = 411, 2 + 49, 34 = 460, 54.
Wygodnie jest w tym przypadku plan spłaty długu przedstawić w tabeli
Okres n
Dług Sn−1
Odsetki In
Spłaty An
Raty długu Tn
Dług Sn
1
S
I1
A1
T1
S1
2
S1
I2
A2
T2
S2
...
6.3
...
...
...
...
...
N −1
SN −2
IN −1
AN −1
TN −1
SN −1
N
SN −1
IN
AN
TN
SN = 0
Σ
—
I
Z +S
S
—
Spłata długów średnioterminowych i długoterminowych
Do rozliczeń długów średnioterminowych i długoterminowych stosowany jest model kapitalizacji
złożonej z dołu.
107
Często forma spłaty długu ma formę ratalną, której postawę tworzą raty zw. płatnościami,
spłatami lub ratami łącznymi. Zakładamy, że spłaty długu dokonuje się w takich samych odstępach
czasu zwanych okresami spłat.
Poszczególne raty mogą być równej lub różnej wysokości, a ponadto spłaty mogą być dokonywane z dołu lub z góry. Ponieważ spłaty z góry, przy których pierwszą ratę spłacamy w momencie
zaciągania długu, można interpretować jako spłaty z dołu długu pomniejszonego o pierwszą ratę,
zatem w dalszym ciągu ograniczymy się do analizowania spłaty długu, z dołu, bez specjalnego
podkreślania tego faktu.
Użycie wyrażenia “zadane są raty” oznacza raty wynegocjonowane między dłużnikiem a wierzycielem.
Można podać wiele sposobów spłaty długu. Nie wszystkie one dają się zapisać w języku matematyki, również zasady, na których opiera się ich spłaty mogą być różne i niekoniecznie zgodne z
metodami wyprocowanymi przez matematykę finansową. Z tego też powodu ograniczymy się tylko
do typowych modeli spłaty długu, które spełniają pewne założenia.
Przy rozliczeniach związanych z długami średnioterminowymi i długoterminowymi należy brać
pod uwagę trzy okresy: stopy procentowej, kapitalizacji i spłat. Jeżeli wszystkie okresy są równe
to spłaty nazywamy zgodnymi. A jeżeli przynajmniej dwa okresy będą różne, to spłaty będziemy
nazywać niezgodnymi.
W dalszym ciągu będziemy zakładać, że: stosunek każdych dwóch z trzech powyższych
okresów jest, albo liczbą naturalną, albo odwrotnością liczby naturalnej.
Spośród trzech wymienionych okresów ustotne znaczenie ma porównanie okresu spłat z okresem
kapitalizacji. Obecnie pokażemy jak wszytkie przypadki sprowadzić do trzech poniższych: spłat:
(i) okres spłat równy okresowi kapitalizacji i równy okresowi kapitalizacji, czyli spłaty zgodne;
(ii) okres spłat większy od okresu kapitalizacji i okres stopy procentowej równy okresowi spłat;
(iii) okres spłat mniejszy od okresu kapitalizacji i okres stopy procentowej równy okresowi kapitalizacji.
I. Załóżmy, że okres spłat jest równy okresowi kapitalizacji. Jeżeli okres stopy procentowej jest
równy okresowi kapitalizacji to mamy do czynienia ze spłatami zgodnymi. W przeciwnym przypadku, aby uzgodnić wszystkie trzy okresy wprowadza się współczynnik
m=
.
okres kapitalizacji
Na mocy wcześniejszego założenia m jest liczbą naturalną lub odwrotnością liczby naturalnej. Oznacza to, że okres stopy procentowej jest wielokrotnością okresu kapitalizacji lub okres kapitalizacji
jest wielokrotnością okresu stopy procentowej.
i=
i
m
Okres względenj stopy procentowej i jest równy okresowi spłat i okresowi kapitalizacji, czyli przypadek ten sprowadziliśmy do spłat zgodnych. W dalszym ciągu często milcząco będziemy zakładać,
że spłaty zgodne obejmują również przypadek, gdy okres spłat jest równy okresowi kapitalizacji.
II. Załóżmy, że okres spłat jest większy od okresu kapitalizacji. Aby uzgodnić okres stopy procentowej z okresem spłat wprowadza się współczynnik
m=
.
okres spłat
Na mocy wcześniejszego założenia m jest liczbą naturalną lub odwrotnością liczby naturalnej. Oznacza to, że okres stopy procentowej jest wielokrotnością okresu spłat lub okres spłat jest wielokrotnością okresu stopy procentowej.
108
i=
i
m
Okres względnej stopy procentowej i jest równy okresowi spłat, czyli przypadek ten sprowadziliśmy
do przypadku gdy okres spłat jest większy od okresu kapitalizacji i równy okresowi stopy procentowej. W dalszym ciągu często milcząco będziemy zakładać, że gdy okres spłat jest wiekszy od okresu
kapitalizacji to okres stopy procentowej jest równy okresowi spłat.
III. Załóżmy, że okres kapitalizacji jest większy od okresu spłat. Aby uzgodnić okres stopy
procentowej z okresem kapitalizacji wprowadza się współczynnik
m=
.
okres kapitalizacji
Na mocy wcześniejszego założenia m jest liczbą naturalną lub odwrotnością liczby naturalnej. Oznacza to, że okres stopy procentowej jest wielokrotnością okresu kapitalizacji lub okres kapitalizacji
jest wielokrotnością okresu stopy procentowej.
i=
i
m
Okres względnej stopy procentowej i jest równy okresowi kapitalizacji, czyli przypadek ten sprowadziliśmy do przypadku gdy okres kapitalizacji jest większy od okresu spłat i równy okresowi stopy
procentowej. W dalszym ciągu często milcząco będziemy zakładać, że gdy okres kapitalizacji jest
wiekszy od okresu spłat to okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji. 0
6.3.1
Spłata długu zgodna. Wiadomości wstępne
Przyjmujemy założenie: wszystkie trzy okresy: stopy procentowej, kapitalizacji i spłat są równe.
Przypominamy, że do spłat zgodnych sprowadzają się wszystkie przypadki, gdy okres kapitalizacji
jest równy okresowi spłat.
Załóżmy, że stopa procentowa jest równa i (w szczególności, może to być względna stopa procentowa i) oraz przyjmijmy następujące oznaczenie czynnika pomnażającego kapitał:
q = 1 + r.
DEFINICJA 6.4. Mówimy, że dług średnioterminowy lub długoterminowy S jest spłacony za
pomocą spłat A1 , . . . , AN (przy ustalonym momencie aktualizacji k = 0, 1, . . . , N ) gdy zachodzi
następująca równość:
S(1 + r)k = A1 (1 + r)k−1 + . . . + Ak−1 (1 + r) + Ak +
AN
Ak+1
+ ... +
.0
1+r
(1 + r)N −k
(6.15)
UWAGA 6.4. Zauważmy, że definicja powyższa jest zgodna z dyrektywą Unii Europejskiej z 22
lutego 1990 roku.
WNIOSEK 6.7. Jeżeli dług średnioterminowy lub długoterminowy S jest spłacony za pomocą spłat
A1 , . . . , AN przy ustalonym momencie aktualizacji K (k = 0, 1, . . . , N ) to jest spłaty przy każdym
innym momencie aktualizacji.
UWAGA 6.5. Dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu wybór momentu aktualizacji k nie jest
istotny, co upraszcza analizę długów średnio- i długoterminowych.
109
WNIOSEK 6.8. Dług S jest spłacony przy pomocy rat łącznych A1 , . . . , AN , gdy zachodzi jedna
z równości:
Sq N
=
S
=
A1 q N −1 + A2 q N −2 + . . . + AN ;
A1
A2
AN
+ 2 ... + N ,
q
q
q
(6.16)
(6.17)
Dowód. Równość (6.15) piszemy dla k = N oraz k = 0.
WNIOSEK 6.9. S < A1 + . . . + AN .
Dowód. Wynika z (6.17).
DEFINICJA 6.5. Odsetkami (wartością nominalną odsetek ) I nazywamy różnicę między sumą
wszystkich płatności, a wartością początkową długu, tj.
I = (A1 + . . . + AN ) − S.
(6.18)
DEFINICJA 6.6. Załóżmy, że raty łączne A1 , . . . , AN umarzają dług średnioterminowy lub długoterminowy S. Wtedy
(i) różnicę między zaktualizowaną na moment n (n = 0, . . . , N ) wartością początkową długu S,
a sumą zaktualizowanych na moment n spłaconych pierwszych n rat łącznych A 1 , . . . , An
nazywamy długiem bieżącym w ujęciu rektospektywnym i oznaczamy S nr , dokładniej dla n =
0, 1, . . . , N , dług bieżący Snr wyraża się wzorem
Sn = Sq n − (A1 q n−1 + A2 q n−2 + . . . + An )
(6.19)
(ii) sumę zaktualizowanych na moment n pozostałych (niespłaconych) rat łącznych A n+1 , . . . , AN
nazywamy długiem bieżącym w ujęciu perspektywicznym i oznaczamy S np , dokładniej dla n =
0, 1, . . . , N , dług bieżący Snp wyraża się wzorem
Snp =
An+1
AN
+ . . . + N −n .
q
q
(6.20)
WNIOSEK 6.10. Snp = Snr .
Dowód. Ponieważ
Sq n = A1 q n−1 + . . . + An−1 q + An +
AN
An+1
+ . . . + N −n
q
q
to
Snr = Sq n − (A1 q n−1 + A2 q n−2 + . . . + An ) =
An+1
AN
+ . . . + N −n = Snp
q
q
Ponieważ Snr = Snp to będzie oznaczać je symbolem Sn .
WNIOSEK 6.11. Dług S został spłacony w momencie N iff dług bieżący w momencie N jest
równy zero, tzn.
SN = 0.
Dowód. Wynika z (6.15) i (6.19).
110
Wzór (6.19) ma chrakter zależności retrospektywnej, gdyż wyraża wielkość długu bieżącego przez
raty łączne już spłacone.
WNIOSEK 6.12.
Sn =
An+2
AN
An+1
+
+ . . . + N −n .
2
q
q
q
(6.21)
Dowód. Do (6.19) należy wstawić S z równania (6.17).
Wzór (6.21) ma charakter zależności prospektywnej, gdyż wyraża dług przez niespłacone spłaty.
DEFINICJA 6.7. n-ta ratą długu (n-tą ratą kapitałowa lub częścią długu spłacaną w n-tej spłacie) nazywamy różnicę między stanem zadłużenia na początku i na końcu n-tego okresu i oznaczmy
przez Tn , tzn.
Tn = Sn−1 − Sn ,
n = 1, . . . , N,
(6.22)
gdzie S0 = S.
WNIOSEK 6.13. Zachodzą następujące związki między długiem bieżącym, a ratami kapitałowymi:
(i) Sn = S − (T1 + . . . + Tn ) dla n = 0, 1, . . . , N ;
(ii) T1 + . . . + TN = S;
(iii) Sn = Tn+1 + . . . + TN dla n = 0, 1, . . . , N .
Dowód. (i) Mamy dla n = 0, 1, . . . , N ,
T1 + . . . + T n =
n
X
j=1
(Sj−1 − Sj ) = S0 − Sn = S − Sn .
DEFINICJA 6.8. n-ta ratą odsetek In (wartością odsetek spłacanych w n-tej spłacie) nazywamy
wyrażenie
In = Sn−1 i,
n = 1, . . . , N.
(6.23)
STWIERDZENIE 40. n-ta rata łączna jest równa sumie n-tej raty kapitałowej i n-tej raty odsetek, tj.
An = T n + I n ,
n = 1, . . . , N.
Dowód. Ponieważ
Sn
=
=
=
Sq n − (A1 q n−1 + A2 q n−2 + . . . + An )
Sq n−1 q − q(A1 q n−2 + A2 q n−3 + . . . + An−1 ) − An
q(Sq n−1 − (A1 q n−2 + A2 q n−3 + . . . + An−1 )) − An = qSn−1 − An
to
An = qSn−1 − Sn = (1 + r)Sn−1 − Sn = (Sn−1 − Sn ) + Sn−1 i = Tn + In .
(6.24)
111
UWAGA 6.6. W niektórych modelach spłat wzór (6.24) zawiera jeszcze trzeci składnik, jakim są
opłaty dodatkowe, np. prowizja lub marża bankowa.
WNIOSEK 6.14. . I = I1 + . . . + IN .
Dowód. Mamy
I = A1 + . . . + AN − S = A1 + . . . + AN − (T1 + . . . + TN ) = I1 + . . . + IN .
Ciągi (Tn ), (In ), (An ), (Sn ) i wielkość I wchodzą w skład tzw. planu spłaty długu. Plan spłaty
długu przedstawia się najczęściej w postaci następującej tabeli.
Czas n
Dług Sn−1
Odsetki In
Spłaty An
Raty długu Tn
Dług Sn
1
S
I1
A1
T1
S1
2
S1
I2
A2
T2
S2
...
...
...
...
...
...
N −1
SN −2
IN −1
AN −1
TN −1
SN −1
N
SN −1
IN
AN
TN
SN = 0
Σ
—
I
Z +S
S
—
UWAGA 6.7. Podstawowymi cechami przedstawionego modelu spłaty długu są:
(ii) rata łączna jest równa sumie raty kapitałowej i raty odsetek, nie występują natomiast opłaty
dodatkowe, czyli
An = T n + I n ;
(ii) odsetki wyznaczone są w zależności od długu bieżącego, czyli
In = Sn−1 i.
Modelami spłaty długu o powyższych cechach są modele spłaty długu o następujących założeniach:
• zadane są raty łączne (płatności) A1 , . . . , AN ;
• zadane są raty długu (raty kapitałowe) T1 , . . . , TN .
Ponadto, w schematach tych zarówno dług, jak i odsetki od długu zwracane są ratalnie.
6.3.2
Spłaty zgodne długu o zadanych ratach łącznych
Układanie planu spłaty długu
Zakładamy, że zostały ustalone, w ramach negocjacji między dłużnikiem, a wierzycielem, wysokości
rat łącznych A1 , . . . , AN , przy czym są to spłaty zgodne, tzn. takie, dla których okres stopy procentowej i jest równy okresowi kapitalizacji i jest równy okresowi spłat (przypominamy, że w naturalny
sposób do tego przypadku sprowadzają się wszystkie przypadki w których są równe: okres stopy
procentowej i okres kapitalizacji).
STWIERDZENIE 41. Załóżmy, że stopa procentowan jest równa i. Wtedy ustalenie wszystkich
N rat łącznych A1 , . . . , AN jednoznacznie określa wszystkie pozostałe składniki planu spłaty długu,
mianowicie
112
(i) S =
A1
AN
A2
+ 2 ... + N ;
q
q
q
(ii) Sn = Sq n − (A1 q n−1 + A2 q n−2 + . . . + An ) =
An+1
An+2
AN
+
+ . . . + N −n ;
q
q2
q
(iii) Tn = Sn−1 − Sn ;
(iv) In = rSn−1 = An − Tn ;
(v) Z = I1 + . . . + IN .
Dowód. (i) Wynika z wniosku 6.8.
(ii) Wynika definicji długu bieżącego (równanie (mfeq44)) oraz wniosku 6.12.
(iii) Jest to definicja długu bieżącego.
(iv) Wynika z definicji n-tej raty odsetek oraz ze stwierdzenia 40.
(v) Wynika z wniosku 6.14.
Przykład 6.7. Ułożyć plan spłaty długu 200 jo w 4 rocznych płatnościach o wysokościach A 1 = 100
jp, A2 = 90 jp, A3 = 70 jp, A4 = 28, 32 jp.
Roczną stopę procentową określa warunek spłaty długu w 4 ratach, czyli równanie
200q 4 = 100q 3 + 90q 2 + 70q + 28, 32.
Stąd q = 1, 2, czyli r = 0, 2 = 20%. Plan spłaty długu przedstawia tabela:
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
200
40
100
60
140
2
140
28
90
62
78
3
78
15,6
70
54,4
23,6
4
P
23,6
4,72
28,32
23,6
0
—
88,32
288,32
200
—
Przykład 6.8. Plan spłaty długu przewiduje 5 płatności rocznych o następujących wysokościach:
A1 = 20 jp, A2 = 29 jp, A3 = 37 jp, A4 = 34 jp, A5 = 11 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%.
Ułożyć plan spłaty długu.
Mamy q = 1, 1. Ponieważ
S(1, 1)5 = 20(1, 1)4 + 29(1, 1)3 + 37(1, 1)2 + 34 · 1, 1 + 11
to S = 100. Plan spłaty długu przedstawia tabela:
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
100
10
20
10
90
2
90
9
29
20
70
3
70
7
37
30
40
4
40
4
34
30
10
5
P
10
1
11
10
0
—
31
131
100
—
113
Ustalenie brakującej raty łącznej
Negocjacje między dłużnikiem i wierzycielem, których celem jest uzgodnienie wysokości rat łącznych
A1 , . . . , AN mogą dotyczyć wszystkich poza jedną. Wysokość brakującej raty łącznej wynika bowiem
z warunku spłacenia długu w N ratach.
STWIERDZENIE 42. Znajomość długu S oraz N-1 z N rat łącznych jednoznacznie określa pozostałą ratę, a więc i pozostałe elementy spłaty długu. Dokładniej, dla n = 1, . . . , N mamy
An = q n−N (Sq N − A1 q N −1 − A2 q N −2 − . . . − An−1 q N −n+1 + An+1 q N −n−1 − . . . − AN ). (6.25)
Dowód. Załóżmy, że brakującą ratą jest n-ta rata, tj. An . Z równania
Sq N = A1 q N −1 + A2 q N −2 + . . . + An q N −n + . . . + AN
wynika równanie (6.25). Po wyznaczeniu brakującej raty Ai , pozostałe elementy planu spłaty długu
oblicza się korzystając np. ze stwierdzenia 41.
Przykład 6.9. Dług 20 jp należy spłacić w 3 ratach rocznych. Dwie pierwsze raty łączne wynoszą
8 jp każda. Wyznaczyć wysokość trzeciej raty łącznej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12%.
Na podstawie wzoru (6.25) wyliczamy trzecią ratę:
A3 = 20(1, 12)3 − 8(1, 12)2 − 8 · 1, 12 = 9, 10336 jp.
Ratalna spłata długu przy jednorazowej spłacie odsetek
Przestawimy teraz szczególny sposób ustalania rat łącznych. Zakładamy, że spłaty są zgodne, tj
okresy stopy procentowej, kapitalizacji i spłaty są równe.
Przyszłą wartość długu S przy ustalonej stopie procentowej i w chwili N przedstawiamy w
postaci sumy
Sq N = S + Z (N ) ,
gdzie składnik Z (N ) , określa odsetki łączne od długu S w momencie N .
WNIOSEK 6.15. Niech i będzie stopą procentową. W chwili N odsetki łączne Z (N ) od długu
S(q N − 1)
=
S są równe S(q N − 1), a ich aktualizacja w dowolny moment i jest równa Z (i) =
q N −i
Sq i (1 − q −N ).
STWIERDZENIE 43. Niech wielkości R1 , . . . , RN spełniają równość
S = R1 q N −1 + R2 q N −2 + . . . + RN −1 q + RN .
Wtedy spłaty postaci
umarzają dług S.

 R
k
Ak =
 Ri + Sq i (1 − q −N )
dla k 6= i;
dla k = i,
Dowód. Mamy
A1 q N −1 + A2 q N −2 + . . . + AN −1 q + AN
= R1 q N −1 + . . . + Ri−1 q N −(i−1) + (Ri + Sq i (1 − q −N ))q N −i + Ri+1 q N −(i+1) + . . . + RN −1 q + RN
= S + S(q N − 1) = Sq N .
114
UWAGA 6.8. W przedstawionej metodzie określania rat łącznych A1 , . . . , AN odsetki łączne Z (N )
są dołączone do dowolnej raty łącznej, z uwzględnieniem zmiany wartości pieniądza w czasie. Natomiast dług S jest pokryty przez odpowiednio dobrane wielkości R1 , . . . , RN również z uwzględnieniem zmiany wartości pieniądza w czasie.
WNIOSEK 6.16. Jeżeli w powyższm schemacie spłaty długu R1 = . . . = RN = R to
R=S
q−1
.
qN − 1
Dowód. Mamy
S = Rq N −1 + Rq N −2 + . . . + Rq + R = R(q N −1 + q N −2 + . . . + q + 1) = R
qN − 1
.
q−1
UWAGA 6.9. W przedstawionej powyżej metodzie spłaty długu całe odsetki w chwili N od długu
S są po aktualizacji spłacane w jednej racie. Jednakże rozkład raty łącznej na ratę kapitałową i
ratę odsetkową pokazuje, że odsetki spłacamy w każdej racie. Pomimo tego metoda ta nosi nazwę
ratalnej spłaty długu przy jednorazowej spłacie odsetek.
Przykład 6.10. Dług 100 jp oprocentowany na 24% rocznie ma być spłacony w pięciu ratach
łącznych przy jednorazowej spłacie odsetek. Obliczyć wysokość odsetek Z (i) , gdy spłacane są w
a) piątej racie;
b) pierwszej racie.
Ile wynosi i, gdy że R1 = . . . = R5 = R?
Mamy Z (5) = S(q 5 − 1) = 100((1, 24)5 − 1) ≈ 193, 1625 jp oraz Z (1) = 193, 1625/(1, 24)4 ≈
81, 7026 jp.
Dalej
R = 100
0, 24
≈ 12, 4248 jp.
(1, 24)5 − 1
Raty łączne o równej wysokości
Zastosowanie rat łącznych o równych wysokościach należy do najczęstrzych sposobów spłaty długu.
STWIERDZENIE 44. Załóżmy, że dług S ma być spłacony w N ratach łącznych o równych
wysokościach A, tzn. A1 = . . . = AN = A. Wtedy dla n = 1, 2, . . . , N
(i) A = Sq N
q−1
,
qN − 1
(ii) Sn = S
qN − qn
,
qN − 1
(iii) In = S
q N − q n−1
i,
qN − 1
q n − q n−1
,
qN − 1
µ
¶
N q−1
(v) Z = S N q N
−1 .
q −1
(iv) Tn = S
115
Dowód. Stosujemy stwierdzenie 41.
(i) Dług jest spłacony, gdy
Sq N = Aq N −1 + Aq N −2 + . . . Aq + A = A(q N −1 + q N −2 + . . . q + 1) = A
czyli A = Sq N
(ii) Mamy
qN − 1
,
q−1
q−1
.
qN − 1
qn − 1
q−1
q n (q N − 1) − q N (q − 1)
qN − qn
q−1
=S
=
S
.
= Sq n − Sq N N
q −1
qN − 1
qN − 1
Sn = Sq n − A(q n−1 + q n−2 + . . . + q + 1) = Sq n − A
q N − q n−1
i.
qN − 1
n
q − q n−1
(iv) Z (ii) wynika, że Tn = Sn−1 − Sn = S N
.
q −1
q−1
(v) Na mocy (i) Z = N A − S = N Sq N N
− S.
q −1
(iii) Z (ii) wynika, że In = Sn−1 i = S
Przykład 6.11. Ułożyć w postaci tabeli plan spłaty długu w wysokości 50 jp w pięciu równych
płatnościach rocznych. Roczna stopa procentowa wynosi 10 % i kapitalizacja jest roczna.
W tym przykładzie
A = 50(1, 1)5
0, 1
≈ 13, 1899.
(1, 1)5 − 1
Plan spłaty długu jest następujący
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
50
5
13,1899
8,1899
41,8101
2
41,8101
4,181
13,1899
9,0089
32,8012
3
32,8012
3,2801
13,1899
9,9098
22,8914
4
22,8914
2,2891
13,1899
10,9008
11,9906
5
11,9906
1,1991
13,1899
11,9906
0
Σ
—
15,9495
65,9495
50
—
Przykład 6.12. Sprzęt gospodarstwa domowego zakupiono na raty. Według uzgodnień na koniec
każdego z dziesięciu kolejnych miesięcy należało spłacić kwotę 200 zł. Jaka była cena sprzętu, jeżeli
bank stosuje kapitalizację złożoną miesięczną przy rocznej stopie procentowej 12%.
Cenę traktujemy jako zaciągnięty dług S. Dług ten należy spłacić w dziesięciu równych płatnościach 200 zł miesięcznie. Miesięczna stopa procentowa wynosi 1%, czyli r = 0, 01 oraz q = 1, 01.
Cenę określa równanie S10 = 0, czyli
S(1, 01)10 − 200
stąd S ≈ 1894, 2609 zł.
(1, 01)10 − 1
= 0,
0, 01
116
Problem niepełnej raty łącznej
Przykład 6.13. Dług 100 jp spłacono rocznymi spłatami równymi 20 jp każda. Roczna stopa
procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna. W ciągu ilu lat dług zostanie spłacony?
Ilość rat można wyznaczyć z równania SN = 0. W tym przykładzie
100(1, 12)N − 20
(1, 12)N − 1
=0
0, 12
Stąd N ≈ 8, 09.
Uzyskany rezultat nie jest zadawalający, gdyż ilość rat, a więc liczba lat musi być liczbą naturalną.
Przedstawiony probem zw. problemem niepełnej liczby rat można rozwiązać na różne sposoby.
Oto niektóre z nich:
• utworzyć dodatkową, “niepełną” ratę,
• powiększyć odpowiednio jedną z rat,
• niepełną liczbę rat zaokrąglić do najbliższej liczby naturalnej i wyznaczyć nową wielkość raty.
Wracając do powyższego przykładu, zastosujemy zaproponowane wyżej warianty rozwiązania
problemu niepełnej raty.
SPOSÓB I. Tworzymy dziewiątą niepełną ratę. W tym wariancie spłaty będą równe A 1 = . . . =
A8 = 20 jp, A9 = 1, 7947 jp.
SPOSÓB II. Powiększamy odpowiednio osmą ratę. Mamy A1 = . . . = A7 = 20 oraz A8 =
20 + 1, 6024 = 21, 6024 jp.
Zauważmy, że zwiększyć można dowolną ratę lub kilka rat. Trzeba jedynie uwzględnić wpływ
czasu na wartość pieniądza. Tak więc końcówka 1, 6024 doliczana np. do pierwszej raty będzie miała
1, 6024
= 0, 7248. Zatem w tym przypadku A1 = 20 + 0, 7248 jp, a pozostałe raty 20 jp.
wartość:
(1, 12)7
SPOSÓB III. Liczbę rat zaokrąglamy do ośmu i wyznaczamy nowe równe raty:
A = 100(1, 12)8
6.3.3
0, 12
= 20, 1303,
(1, 12)8 − 1
i = 1, . . . , 8.
Spłata długu o zadanych ratach łącznych. Okres spłat większy od
okresu kapitalizacji
Na mocy założenia: okres spłat jest całkowitą m-krotnością okresu kapitalizacji.
Przykład 6.14. Spłaty roczne, a kapitalizacja kwartalna (stopa procentowa jest dowolna np. stopa
roczna).
Niech i oznacza dostosowaną do okresu spłat stopę procentową tzn. taką stopę procentową, której
okres jest równy okresowi spłat. Stopę taką uzyskuje się, wykorzystując względną stopę procentową.
Uzgodnienie spłat sprowadza się do wydłużenia okresu kapitalizacji i do okresu spłat z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania. Cel ten osiąga się korzystując z efektywnej stopy
procentowej :
µ
¶m
i
ieff = 1 +
− 1,
(6.26)
m
gdzie m jest liczbą określającą ile razy okres spłat (oraz okres stopy procentowej i) jest większy od
okresu kapitalizacji, czyli
m=
Prowadzi to do następującej definicji
okres spłat
.
okres kapitalizacji
117
DEFINICJA 6.9. Mówimy, że raty łączne w wysokości, odpowiednio, A1 , . . . , AN umarzają dług
S, gdy
N −1
N
= A1 qeff
+ . . . + AN ,
Sqeff
gdzie ieff zadana jest wzorem (6.26) oraz qeff = 1 + ieff .
UWAGA 6.10. Ponieważ stopa ieff rekompensuje efekt kapitalizacji w podokresach oraz okres stopy
procentowej ieff jest równy okresowi jej kapitalizacji oraz jest równy okresowi spłat to mamy do
czynienia z spłatami zgodnymi. Dlatego możemy stosować w tym przypadku wyniki dotyczące spłat
zgodnych.
Dla przykładu podajemy postać stwierdzeń 41 i 44 w tym przypadku.
STWIERDZENIE 45. Zakładamy, że okres stopy procentowej i jest równy okresowi spłat oraz, że
okres spłat jest całkowitą m-krotnością okresu kapitalizacji. Niech ieff będzie zadane wzorem (6.26)
oraz qeff = 1 + ieff . Wtedy ustalenie wszystkich N rat łącznych A1 , . . . , AN jednoznacznie określa
wszystkie pozostałe składniki planu spłaty długu, mianowicie
(i) S =
A1
AN
A2
+ 2 ... + N ;
qeff
qeff
qeff
n−1
n−2
n
(ii) Sn = Sqeff
− (A1 qeff
+ A2 qeff
+ . . . + An ) =
An+2
AN
An+1
+ 2 + . . . + N −n ;
qeff
qeff
qeff
(iv) In = ieff Sn−1 = An − Tn ;
(v) Z = I1 + . . . + IN .
Dowód. Wynika bezpośrednio ze stwierdzenia 41.
oraz qeff = 1 + ieff . Niech dług S ma być spłacony w N ratach łącznych o równych wysokościach A,
tzn. A1 = . . . = AN = A. Wtedy dla n = 1, 2, . . . , N
N
(i) A = Sqeff
qeff − 1
,
N −1
qeff
(ii) Sn = S
N
n
qeff
− qeff
(iii) In = S
n−1
N
qeff
− qeff
ieff ,
(iv) Tn = S
n−1
n
qeff
− qeff
,
(v) Z = S
N −1
qeff
,
N −1
qeff
Ã
N −1
qeff
N qeff
N qeff
N
qeff
!
−1
−1 .
−1
Dowód. Stosujemy stwierdzenie 44.
118
Przykład 6.15. Dług 80 jp należy spłacić w ciągu 5 lat ratami półrocznymi o równej wysokości.
Wyznaczyć wysokość rat łącznych, jeżeli bank stosuje kapitalizację złożoną miesięczną przy rocznej
stopie procentowej 9%.
Półroczna nominalna stopa procentowa wynosi 4, 5%. Półroczna stopa procentowa efektywna,
odpowiadająca kapitalizacji miesięcznej
µ
¶6
0, 045
− 1 ≈ 0, 04585.
ieff = 1 +
6
Zatem
A = 80(1, 04585)10
6.3.4
0, 04585
≈ 10, 1526 jp.
(1, 04585)10 − 1
Spłata długu o zadanych ratach łącznych. Okres spłat mniejszy od
okresu kapitalizacji
Na mocy założenia: okres kapitalizacji jest całkowitą m-krotnością okresu spłat, natomiast okres
stopy procentowej może być dowolny, tzn. okres stopy procentowej może być wielokrotnością okresu
kapitalizacji lub okres kapitalizacji może być wielokrotnością okresu stopy procentowej.
Przykład 6.16. Spłaty miesięczne przy kapitalizacji kwartalnej i rocznej stopie procentowej.
Rozważane spłaty należy zastąpić w równoważny sposób przez “umowne” spłaty zgodne. Pierwszym krokiem zmierzającym do uzgodnienia spłat jest wyznaczeniem stopy procentowej dostosowanej do okresu kapitalizacji, tzn. takiej stopy procentowej, której okres jest równy okresowi kapitalizacji. Stopę taką uzyskuje się, wykorzystując względną stopę procentową. Będziemy oznaczać ją
przez i.
Zakładamy, że spłat dokonywano przez N okresów kapitalizacji, czyli łączna ilość spłat jest
równa mN .
Dalszego uzgodnienia spłat można dokonać w oparciu o różne modele kapitalizacji.
Model kapitalizacji mieszanej Zastosowanie modelu kapitalizacji mieszanej polega na tym, że
w podokresach okresu kapitalizacji (czyli w okresach spłat) stosuje się oprocentowanie proste, a w
pełnych okresach kapitalizacji oprocentowanie złożone z dołu.
Uzgadnianie spłat przy zastosowaniu tej metody sprowadza się do zastąpienia m rat łącznych
A(n−1)m+1 , A(n−1)m+2 , . . . , A(n−1)m+m należących do n-tego, n = 1, . . . , N , okresu kapitalizacji
jedną równoważną w sensie kapitalizacji prostej, umowną ratą łączną K n dokonaną z dołu na koniec
n-tego okresu kapitalizacji.
STWIERDZENIE 47. Niech i będzie stopą procentową, której okres jest równy okresowi kapitalizacji oraz okres kapitalizacji jest m krotnością okresu spłat. Załóżmy, że w n-tym okresie kapitalizacji, n = 1, . . . , N , dokonano następujących m wpłat A(n−1)m+1 , A(n−1)m+2 , . . . , A(n−1)m+m .
Wtedy równoważna im w sensie kapitalizacji prostej, umowna rata łączna K n dokonana z dołu na
koniec n-tego okresu kapitalizacji jest postaci
¶
µ
¶
µ
i
i
+ A(n−1)m+2 1 + (m − 1)
+ . . . + Anm .
(6.27)
Kn = A(n−1)m+1 1 + (m − 1)
m
m
Dowód. Oczywisty.
WNIOSEK 6.17. Jeżeli wszystkie raty łączne A1 , . . . , AN m są jednakowej wysokości A to wszystkie raty umowne K1 , . . . , KN są jednakowej wysokości K zadanej wzorem
¶
µ
m−1
i .
(6.28)
K =A m+
2
119
Zastosowanie umownych rat łącznych K1 , . . . , KN powoduje uzgodnienie spłat.
DEFINICJA 6.10. Mówimy, że N m rat łącznych A1 , . . . , AN m umarza dług S gdy N umownych
rat łącznych K1 , . . . , KN zadanych wzorem (6.27) umarza dług S. tzn.
Sq N = K1 q N −1 + K2 q N −2 + . . . + KN −1 q + KN .
DEFINICJA 6.11. mN równych rat łącznych w wysokości A umarza dług S iff N umownych rat
łącznych w wysokości K zadanej wzorem (6.28) umarza dług S, tzn.
Sq N = K
qN − 1
.
q−1
W dalszym ciągu będziemy rozważać jedynie zagadnienie spłaty długu, gdy raty łączne są o
jednakowej wysokości A.
STWIERDZENIE 48. W przypadku kapitalizacji mieszalej rata łączna A wyraża się wzorem
A = Sq N
q−1
2
·
.
2m + (m − 1)r q N − 1
(6.29)
Dowód. Wynika ze wzoru
K = Sq N
q−1
,
qN − 1
oraz (6.28).
STWIERDZENIE 49. Przy ustalonej racie łącznej A pozostałe elementy planu spłaty długu S
odnoszące się do pełnych okresów kapitalizacji n, n = 1, . . . , N , wyrażają się wzorami:
¡
¢ qn −1
N
n
(i) Sn = S qqN−q
= Sq n − A m + m−1
2 i q−1 ;
−1
(ii) In = S q
N
−q n−1
i;
q N −1
n
n−1
(iii) Tn = S q q−q
N −1 ;
´
³
(iv) Z = S N q N qq−1
N −1 − 1 .
Dowód. Wynika ze stwierdzenia 44.
UWAGA 6.11. Należy zwrócić uwagę na fakt, że w planie spłaty długu występującym w fakcie 49,
N oznacza liczbę rat umownych K, a nie liczbę rat rzeczywistych, których liczba jest równa mN .
Ponadto, ten plan spłaty odnosi się do rat umownych K i okresu tych spłat. Dlatego nie jest to
plan szczegółowy dotyczący spłat rzeczywistych.
Model kapitalizacji złożonej z dołu W tym przypadku oprocentowanie rat będzie podlegało modelowi kapitalizacji złożonej z dołu. Uzgodnienie spłat polega na równoważnym (w sensie
równoważności warunków oprocentowania) skróceniu okresu kapitalizacji do okresu spłat. W tym
przypadku należy wykorzystać równoważną stopę procentową
ii = (1 + r)1/m − 1,
(6.30)
gdzie m jest liczbą naturalną określającą, ile razy okres kapitalizacji jest większy od okresu spłat.
120
DEFINICJA 6.12. Mówimy, że mN rat łącznych w wysokości, odpowiednio, A 1 , . . . , AmN umarza dług S, gdy
SqrmN = A1 qrN m−1 + A2 qrN m−2 + . . . + AmN
gdzie qr = 1 + ir oraz stopa procentowa ir jest zadana wzorem (refmfeq40).
WNIOSEK 6.18. N m równych rat łącznych w wysokości A umarz dług S iff
SqrmN = A
qrmN − 1
.
qr − 1
UWAGA 6.12. Ponieważ okres stopy procentowej ir jest równy okresowi jej kapitalizacji oraz jest
równy okresowi spłat to mamy do czynienia z spłatami zgodnymi. Dlatego możemy stosować w tym
przypadku wyniki dotyczące spłat zgodnych.
Dla przykładu podajemy postać stwierdzeń 41 i 44 w tym przypadku.
STWIERDZENIE 50. Zakładamy, że okres stopy procentowej i jest równy okresowi kapitalizacji
oraz, że okres kapitalizacji jest całkowitą m-krotnością okresu spłat. Niech i r będzie zadane wzorem
(6.30) oraz qr = 1 + ir . Wtedy ustalenie wszystkich N m rat łącznych A1 , . . . , AN m jednoznacznie
określa wszystkie pozostałe składniki planu spłaty długu, mianowicie
(i) S =
A1
A2
AN m
+ 2 . . . + Nm ;
qr
qr
qr
(ii) Sn = Sqrn − (A1 qrn−1 + A2 qrn−2 + . . . + An ) =
An+1
An+2
AmN
+
+ . . . + mN −n ;
qr
qr2
qr
(iv) In = ir Sn−1 = An − Tn ;
(v) Z = I1 + . . . + ImN .
Dowód. Wynika bezpośrednio ze stwierdzenia 41 zastępując N przez mN .
STWIERDZENIE 51. Zakładamy, że okres stopy procentowej i jest równy okresowi kapitalizacji
oraz, że okres kapitalizacji jest całkowitą m-krotnością okresu spłat. Niech i r będzie zadane wzorem
(6.30) oraz qr = 1 + ir . Niech dług S ma być spłacony w N ratach łącznych o jednakowej wysokości
A, tzn. A1 = . . . = AmN = A. Wtedy dla n = 1, 2, . . . , mN
(i) A = SqrmN
qr − 1
,
qrmN − 1
(ii) Sn = S
qrmN − qrn
,
qrmN − 1
(iii) In = S
qrmN − qrn−1
ir ,
qrmN − 1
qrn − qrn−1
,
qrmN − 1
µ
¶
qr − 1
(v) Z = S N qrmN mN
−1 .
qr − 1
(iv) Tn = S
Dowód. Stosujemy stwierdzenie 44 zastępując N przez mN .
121
Przykład 6.17. Dług 120 jp należy spłacić w równych ratach łącznych w ciągu 4 lat. Roczna stopa
procentowa wynosi 12%¿ wyznaczyć wysokość rat dla różnych planów spłaty długu.
PLAN 1: spłaty roczne, kapitalizacja roczna. Są to spłaty zgodne, zatem
A = Sq N
0, 12
q−1
= 120(1, 12)4
= 39, 5081 jp.
N
q −1
(1, 12)4 − 1
PLAN II: spłaty półroczne kapitalizacja półroczna. Są to spłaty niezgodne w których okres spłat
0, 12
jest równy okresowi kapitalizacji. W tym przypadku m = 2, r =
= 0, 06, q = 1, 06, N = 8.
2
Zatem
A = Sq N
0, 06
q−1
= 120(1, 06)8
= 19, 3244 jp.
(1, 06)8 − 1
qN − 1
PLAN III: spłaty roczne kapitalizacja półroczna. Są to spłaty niezgodne, rzadsze niż kapitalizacja. Kapitalizację półroczną zastępuje się w równoważny sposób przez kapitalizację roczną, wykorzystując stopę efektywną
µ
¶2
³
0, 12
r ´m
−1= 1+
− 1 = 0, 1236.
ieff = 1 +
m
2
Stąd qeff = 1, 1236 oraz
N
A = Sqeff
qeff − 1
0, 1236
= 39, 8081 jp.
= 120(1, 1236)4
N
(1, 1236)4 − 1
qeff − 1
PLAN IV: spłaty półroczne, kapitalizacja roczna.
a) model oprocentowania mieszanego:
A = Sq N
2
q−1
2
0, 12
·
= 120(1.12)4 ·
·
≈ 19.1787 jp.
2m + (m − 1)r q N − 1
4 + 0, 12 (1.12)4 − 1
b) model oprocentowania złożonego z dołu:
ir = (1 + r)1/m − 1 = (1 + 0, 12)1/2 − 1 = 0, 0583, qr = 1, 0583, m = 2, N = 4 oraz
A = SqrmN
6.3.5
qr − 1
0, 0583
= 120(1, 0583)8
≈ 19, 1943 jp.
qrmN − 1
(1, 0583)8 − 1
Spłaty zgodne długu o zadanych ratach kapitałowych
Zakładamy, że w ramach negocjacji między dłużnikiem i wierzycielem zostały ustalone raty kapitałowe T1 , . . . , TN umarzające dług S. Zakładamy ponadto, że są to raty zgodne, tzn. takie w których
okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji i okresowi spłat.
Przypominamy, że do spłat zgodnych sprowadzają się wszystkie przypadki, gdy okres spłat jest
równy okresowi kapitalizacji. Wykorzystuje się w tym celu względną stopę procentową i.
STWIERDZENIE 52. Załóżmy, że stopa procentowa jest równa i oraz, że ustaleno rat kapitałowych T1 , . . . , TN w N ratach łącznych umarzających dług. Wtedy pozostałe elementy spłaty długu
są jednoznacznie określone, dokładniej dla n = 1, . . . , N ,
(i) S = T1 + . . . + TN ;
(ii) Sn = Tn+1 + . . . + TN = S − (T1 + . . . + Tn );
(iii) In = Sn−1 i;
(iv) An = Tn + In ;
122
(v) Z = I1 + . . . + IN = (A1 + . . . + AN ) − S.
Dowód. (ii) Dług bieżący Sn , po spłaceniu n rat kapitałowych T1 , . . . , Tn jest równy sumie pozostałych rat lub różnicy między zaciągniętym długiem a sumą spłaconych rat kapitałowych, czyli
Sn = Tn+1 + . . . + TN = S − (T1 + . . . + Tn );
(iii) Odsetki In spłacane w n-tej racie łącznej są równe odsetkom od aktualnego stanu zadłużenia,
tzn.
In = Sn−1 i.
(iv) Płatności, czyli raty łączne, są równe sumie raty kapitałowej i raty odsetek, zatem
An = T n + I n ;
(v) Suma odsetek w danym planie spłaty długu jest równa różnicy między sumą rat łącznych, a
zaciągniętym długirm, tzn.
I = I1 + . . . + IN = (A1 + . . . + AN ) − S.
Przykład 6.18. Pożyczkę należy spłacić w 4 ratach rocznych w następujących ratach kapitałowych: T1 = 8 jp, T2 = 6 jp, T3 = 4 jp, T4 = 2 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 8% i kapitalizacja
jest złożona roczna z dołu. Przedstawić plan spłaty długu w tabeli.
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
20
1,6
9,6
8
12
2
12
0,96
6,96
6
6
3
6
0,48
4,48
4
2
4
2
0,16
2,16
2
0
Σ
—
3,2
23,2
20
—
Przykład 6.19. Plan spłaty długu przewiduje, że odsetki będą spłacane co miesiąc, a raty kapitałowe co kwartał w wysokościach 10 jp, 12 jp, 16 jp, 12 jp. Miesięczna stopa procentowa wynosi
1% i kapitalizacja jest złożona miesięczna. Ułożyć plan spłaty długu.
123
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
50
0,5
0,5
0
50
2
50
0,5
0,5
0
50
3
50
0,5
10,5
10
40
4
40
0,4
0,4
0
40
5
40
0,4
0,4
0
40
6
40
0,4
12,4
12
28
7
28
0,28
0,28
0
28
8
28
0,28
0,28
0
28
9
28
0,28
16,28
16
12
10
12
0,12
0,12
0
12
11
12
0,12
0,12
0
12
12
12
0,12
12,12
12
0
Σ
—
3,9
53,9
50
—
Ustalenie brakującej raty kapitałowej
Negocjacje związane z wysokością rat kapitałowych mogą dotyczyć tylko N − 1 rat, niekoniecznie
pierwszych, ponieważ wysokość brakującej raty wynika jednoznacznie z wysokości długu S oraz
ustalonych N − 1 rat kapitałóowych.
WNIOSEK 6.19. Znajomość długu S oraz N − 1 z N rat kapitałowych jednoznacznie określa
pozostałą ratę, a więc i pozostałe elementy spłaty długu. Dokładniej, dla n = 1, . . . , N mamy
Ti = S − (T1 + . . . + Ti−1 + Ti+1 + . . . + TN ).
(6.31)
Dowód. Jeżeli brakującą ratą jest rata Ti to jej wysokość wynika natychmiast z równości
T1 + . . . + TN = S.
Po wyznaczeniu brakującej raty kapitałowej plan spłaty długu wyznacza się jak wcześniej.
Przykład 6.20. Przy spłacie długu 20 jp ustalono, że T1 = 5 jp, T3 = 8 jp, T4 = 3 jp oraz N = 4.
Ułożyć plan spłaty długu, jeżeli spłat dokonywano co roku, roczna stopa procentowa wynosi 15% i
kapitalizacja jest złożona roczna z dołu.
Mamy T3 = 4 jp i dalej
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
20
3
8
5
15
2
15
2,25
6,25
4
11
3
11
1,65
9,65
8
3
4
3
0,45
3,45
3
0
Σ
—
7,35
27,35
20
—
124
Metoda sumy liczb
W metodzie sumy liczb raty kapitałowe tworzą rosnący ciąg arytmetyczny
T, 2T, . . . , N T
lub malejący ciąg arytmetyczny
N T, (N − 1)T, . . . , T
gdzie T oznacza odpowiednio pierwszą lub ostatnią ratę kapitałową.
STWIERDZENIE 53. W metodzie sumy liczb wysokość raty kapitałowej T wyraża się wzorem
T =
2S
.
(N + 1)N
Dowód. Ponieważ S = T1 + . . . + Tn = T + 2T + . . . + N T =
T =
(6.32)
T N (N + 1)
to
2
2S
.
(N + 1)N
STWIERDZENIE 54. Niech raty kapitałowe tworzą ciąg rosnący. Wtedy dla n = 1, 2, . . . , N ,
(i) Tn =
2S
(N +1)N n;
¶
(n + 1)n
;
(ii) Sn = S 1 −
(N + 1)N
µ
¶
(n − 1)n
(iii) In = Sr 1 −
;
(N + 1)N
µ
(iv) An =
S
[2n + [(N + 1)N + n(n − 1)]r].
(N + 1)N
Dowód. Mamy Tn = nT , Sn = S − (T1 + . . . + Tn ) oraz An = Tn + In .
STWIERDZENIE 55. Niech raty kapitałowe tworzą ciąg malejący. Wtedy dla n = 1, 2, . . . , N
2S
(N − n + 1);
(N + 1)N
µ
¶
(2N − n + 1)n
(ii) Sn = S 1 −
;
(N + 1)N
µ
¶
(N − n + 1)(n − 1)
(iii) In = Sr 1 −
;
(N + 1)N
(i) Tn =
(iv) An =
S
[2(N − n + 1) − [(N + 1)N − (N − n = 2)(n − 1)]r].
(N + 1)N
Dowód. Mamy Tn = (N − n + 1)T , Sn = S − (T1 + . . . + Tn ) oraz An = Tn + In .
125
Przykład 6.21. Metodą sumy liczb należy spłacić dług 120 jp w 5 ratach. Roczna stopa procentowa
wynosi 20% i kapitalizacja jest złożona roczna. Ułożyć plan spłaty długu.
Przyjmiemy, że raty kapitałowe mają tworzyć rosnący ciąg arytmetyczny. Zatem
T =
Stąd
2S
240
=
= 8.
(N + 1)N
6·5
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
120
24
32
8
112
2
112
22,4
38,4
16
96
3
96
19,2
43,2
24
72
4
72
14,4
46,4
32
40
5
40
8
48
40
0
Σ
—
88
208
120
—
Jednorazowa spłata długu przy ratalnej spłacie odsetek
Zakładamy, że dług S mamy spłacić według następujących reguł:
(i) odsetki mają być spłacane w N ratach i ustalane według długu bieżącego;
(ii) dług ma być spłacony jednorazowo w ostatniej racie.
Zakładamy, że rozważane spłaty są zgodne, tzn. okres stopy procentowej jest równy okresowi kapitalizacji i okresowi spłat. Zgodnie z założeniami, w tym sposobie spłaty długu mamy następujący
plan spłaty długu
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
S
rS
rS
0
S
2
..
.
S
..
.
rS
..
.
rS
..
.
0
..
.
S
..
.
N −1
S
rS
rS
0
S
N
S
rS
S + rS
S
0
Σ
—
SrN
S + SrN
S
—
Przykład 6.22. Dług 70 jp należy zwrócić w całości za pół roku, przy czym odsetki miesięczne
mają być wyznaczane według rocznej stopy procentowej 10%.
Mamy In = 70 · 0, 05 = 3, 5 jp dla n = 1, 2, . . . , 6 i dalej
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
70
3,5
3,5
0
70
2
70
3,5
3,5
0
70
3
70
3,5
3,5
0
70
4
70
3,5
3,5
0
70
5
70
3,5
3,5
0
70
6
70
3,5
73,5
70
0
Σ
—
21
91
70
—
126
Spłata długu poprzez fundusz umorzeniowy
Metoda ta jest pewnym uogólnieniem przedstawionej powyżej metody spłaty długu. W przypadku
spłaty długu poprzez fundusz umorzeniowy odsetki są spłacane ratalnie, a dług jednorazowo. Kapitał
potrzebny na jednorazową spłatę długu jest gromadzony w formie wkładów okresowych, tworząc
fundusz umorzeniowy. Gromadzenie funduszu umorzeniowego może się odbywać według innego
modelu niż spłata odsetek. W określonych warunkach spłata długu poprzez fundusz umorzeniowy
może być korzystna dal dłużnika. Fundusz umożeniowy tworzy się w celu zwrotu długu i nie jest
nastawiony na zysk.
Przykład 6.23. Rada Miejska wyemitowała obligacje o wartości nominalnej 500 jp. Dziesięcioprocentowe odsetki z obligacji są wypłacane co pół raku, a termin wykupu obligacji wynosi 6 lat.
W celu wykupu obligacji Rada Miasta gromadzi fundusz umożeniowy w postaci stałych wkładów
oszczędnościowych, wnoszonych na koniec każdego roku, oprocentowanych według rocznej stopy procentowej 20% i kapitalizacji złożonej rocznej. Jakiej wysokości mają być wkłady? Jaki jest roczny
koszt zadłużenia?
Należy zgromadzić 500 jp w 6 równych rocznych wkładach zgodnych, przy r = 0, 2 oraz q = 1, 2.
Zatem szukana wysokość wkładu
E=S
0, 2
q−1
= 500
≈ 50, 3259 jp.
qn − 1
(1, 2)6 − 1
Obciązenie długiem, wynikającym z emisji obligacji, składa się z wypłacanych odsetek od obligacji
i wkładów tworzonego funduszu umorzoniowego. Obciążenie pod koniec każdego roku jest równe
¶
µ
1
I = 50 2 + · 0, 2 + 50, 3529 = 155, 3579 jp.
2
Raty kapitałowe o równych wysokościach
STWIERDZENIE 56. Zakładamy, że dług S należy spłacić w N takich ratach, dla których T 1 =
. . . = TN = T . Wtedy dla n = 1, . . . , N
(i) T =
S
;
N
(ii) Sn =
S
(N − n);
N
(iii) In =
S
(N − n + 1)r;
N
(iv) An =
S
[1 + (N − n + 1)r];
N
(v) Z = Sr
N +1
.
2
Dowód. (i) Wysokość równych rat kapitałowych wynika z równości T1 + . . . + TN = N T = S.
(ii) Mamy Sn = S − nT .
(v) Mamy
I=
N
X
n=1
In =
N
N
N
X
rS X
N +1
S
rS X
(N − n + 1) =
n = Sr
(N − n + 1)r =
.
N
N
N
2
n=1
n=1
n=1
127
Przykład 6.24. Ułożyć tabelę planu spłaty długu w 4 ratach, jeżeli T1 = . . . = T4 = 25 jp oraz
A1 = 40 jp.
15
= 0, 15, gdyż wartość początkowa długu
Ponieważ I1 = A1 − T1 = 15, Stąd r = IS1 = 100
S = 4 · 25 = 100 jp. Dalej
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
100
15
40
25
75
2
75
11,25
36,25
25
50
3
50
7,5
32,5
25
25
4
25
3,75
28,75
25
0
Σ
—
37,5
137,5
100
—
Przykład 6.25. Dług 20 jp należy spłacić w 4 ratach kwartalnych w równych ratach kapitałowych.
Ułożyć plan spłaty długu w postaci tabeli, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja
jest złożona kwartalna.
Jest to przypadek spłat niezgodnych. Aby uzgodnić spłaty należy wyznaczyć kwartalną stopę
procentową, która w tym przykładzie jest równa
i=
0, 12
= 0, 03.
4
Stąd
6.3.6
n
Sn−1
In
An
Tn
Sn
1
20
0,6
5,6
5
15
2
15
0,45
5,45
5
10
3
10
0,3
5,3
5
5
4
5
0,15
5,15
5
0
Σ
—
1,5
21,5
20
—
Spłata długu o zadanych ratach kapitałowych. Okres spłat większy
od okresu kapitalizacji
Na mocy założenia: okres spłat jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji.
Przykład 6.26. Spłaty roczne, a kapitalizacja kwartalna (stopa procentowa jest dowolna np. stopa
roczna).
Niech i oznacza dostosowaną do okresu spłat stopę procentową tzn. taką stopę procentową, której
okres jest równy okresowi spłat. Stopę taką uzyskuje się, wykorzystując względną stopę procentową.
Uzgodnienie spłat sprowadza się do wydłużenia okresu kapitalizacji i do okresu spłat z zachowaniem równoważności warunków oprocentowania. Cel uzyskuje się wykorzystując efektywną stopę
procentową
µ
¶m
i
− 1,
(6.33)
ieff = 1 +
m
gdzie m jest liczbą określającą ile razy okres spłat (oraz okres stopy procentowej i) jest większy od
okresu kapitalizacji, czyli
m=
okres spłat
.
okres kapitalizacji
128
Ponieważ stopa ieff rekompensuje efekt kapitalizacji w podokresach, a okres stopy procentowej i eff
jest równy okresowi jej kapitalizacji oraz okresowi spłat to mamy do czynienia z spłatami zgodnymi.
Dlatego możemy stosować wszystkich rezultaty dotyczące spłat zgodnych.
oraz qeff = 1+ieff . Zakładamy ponadto, że ustaleno rat kapitałowych T1 , . . . , TN w N ratach łącznych
umarzających dług. Wtedy pozostałe elementy spłaty długu są jednoznacznie określone, dokładniej
dla n = 1, . . . , N ,
(i) S = T1 + . . . + TN ;
(ii) Sn = Tn+1 + . . . + TN = S − (T1 + . . . + Tn );
(iii) In = Sn−1 ieff ;
(iv) An = Tn + In ;
(v) Z = I1 + . . . + IN = (A1 + . . . + AN ) − S.
oraz qeff = 1 + ieff . Wtedy dla n = 1, . . . , N
(i) T =
S
;
N
(ii) Sn =
S
N (N
− n);
(iii) In =
S
N (N
− n + 1)ieff ;
(iv) An =
S
N [1
+ (N − n + 1)ieff ];
(v) Z = Sieff N2+1 .
Przykład 6.27. Dług 50 jp został spłacony w 5 ratach rocznych ze stałą ratą kapitałową. Bank
stosował kapitalizację złożoną miesięczną. Wyznaczyć roczną stopę procentową, jeżeli wiadomo, że
odsetki spłacane w trzeciej racie wyniosły 3 jp.
Ponieważ
I3 = 3 =
50
(5 − 3 + 1)ieff
5
to ieff = 0, 1 i dalej ze wzoru na stopę efektywną mamy
0, 1 =
czyli r ≈ 0, 0958 = 9, 58%.
µ
i
1=
12
¶12
− 1,
129
6.3.7
Spłata długu o zadanych ratach kapitałowych. Okres spłat mniejszy
od okresu kapitalizacji
Na mocy założenia: okres kapitalizacji jest m-krotnością okresu spłat, natomiast okres stopy procentowej może być dowolny.
Przykład 6.28. Spłaty miesięczne przy kapitalizacji kwartalnej i rocznej stopie procentowej.
Uzgodnianie spłat należy rozpocząć od dostosowania stopy procentowej do okresu kapitalizacji,
tzn. określeniu takiej stopy procentowej, której okres byłby równy okresowi kapitalizacji. Skorzystać
tu należy ze względnej stopy procentowej.
Dalszego uzgodnienia spłat można dokonać w oparciu o rózne modele kapitalizacji, przy czym
podstawą rozróżnienia jest sposób doliczania odsetek. Przedstawimy dwie metody wykorzystujące
różne modele kapitalizacji.
Niech i oznacza dostosowaną stopę procentową do okresu kapitalizacji. Zauważmy, że ponieważ
jest N okresów kapitalizacji i w każdym jest m okresów spłat to łącznie jest mN okresów spłat.
Model kapitalizacji mieszanej Uzgodnienie spłat sprowadza się do równoważnego zastąpienia
m rat kapitałowych t(n−1)m+1 , . . . , t(n−1)m+m w n-tym okresie kapitalizacji (n = 1, . . . , N ), spłacanych zgodnie z okresem spłat, a więc w podokresach kapitalizacji, przez umowne raty kapitałowe
Tn spłacane z dołu, zgodnie z okresem kapitalizacji, tzn.
Tn = t(n−1)m+1 + . . . + tnm
(6.34)
dla n = 1, . . . , N .
WNIOSEK 6.20. Jeżeli wszystkie raty kapitałowe t1 , . . . , tmN są równe t to wszystkie umowlne
raty kapitałowe T1 , . . . , TN są też równe oraz ich wspólna wartość T zadana jest wzorem
T =
Dowód. Ponieważ t =
S
N
(6.35)
S
S
to T = mt = .
mN
N
Ciąg długów bieżących (Sn )N
n=1 związany z umownymi spłatami kapitałowymi T 1 , . . . , TN jest
zadany wzorem
Sn = S − (T1 + . . . + Tn ).
Jeżeli wszystkie raty kapitałowe t1 , . . . , tmN są równe to
Sn =
N −n
S.
N
Natomiast n-tą, n = 1, . . . , N , ratę odsetek In tworzą naliczane w podokresach n-tego okresu
kapitalizacji odsetki proste od długu bieżącego, tzn.
In = Sn−1
i
i
i
+ (Sn−1 − t(n−1)m+1 ) + . . . + (Sn−1 − (t(n−1)m+1 + . . . + t(n−1)m+m−1 )) .
m
m
m
(6.36)
W tym podrozdziale będziemy zajmować się jedynie przypadkiem, gdy raty kapitałowe są równe.
Niech S0 = S oraz (Sn )N
n=1 będzie ciągiem długu bieżącego związanego z umownymi spłatami
N −n
kapitałowymi T , tzn. Sn =
S.
N
STWIERDZENIE 59. Niech wszystkie raty kapitałowe t1 , . . . , tmN będą równe t. Wtedy
130
(i) n-ta rata odsetkowa In , n = 1, . . . , N , zadana jest wzorem
¶
µ
m+1
S
;
In = i N − n +
N
2m
(ii) ciąg rat odsetkowych (In ) tworzy ciąg arytmetyczny o różnicy d = −
(6.37)
S
i.
N
Dowód. (i) Ponieważ w n-tym okresie kapitalizacji rata odsetkowa In zadana jest wzorem (6.36) to
m−1
i
i
i
rt X
+ (Sn−1 − t) + . . . + (Sn−1 − (m − 1)t) = Sn−1 i −
j=
m
m
m
m j=1
¶
¶
µ
µ
S
S
S
i m(m − 1)
S
m−1
m+1
= i N −n+
.
i(N − n + 1) −
· ·
= i (N − n + 1) −
N
Nm m
2
N
2m
N
2m
In = Sn−1
(ii) Mamy, In − In−1 = −
S
i.
N
STWIERDZENIE 60. Przy ustalonej racie kapitałowej t (liczbie równych rat kapitałowych) pozostałe elementy planu spłaty długu S odnoszące się do pełnych okresów kapitalizacji n, n = 1, . . . , N ,
wyrażają się wzorami:
S
(N − n);
N
·
¸
m+1
S
1 + (N − n) +
;
(ii) An =
N
2m
(i) Sn =
(iii) Z = S
i mN + 1
.
m
2
Dowód. (i) Sn = S − nT .
(ii) An = T + In .
(iii) Mamy
I = I1 + . . . + I N
µ
¶
m−1
N −1
Sr N (N − 1)
·
= Sr N −
− Sr
= N I1 −
N
2
2m
2
µ
¶
i mN + 1
1
N
= Sr
=S
+
.
2
2m
m
2
Model kapitalizacji złożonej z dołu W tym przypadku oprocentowanie rat będzie podlegało
modelowi kapitalizacji złożonej z dołu. Uzgodnienie spłat polega na równoważnym (w sensie równoważności warunków oprocentowania) skróceniu okresu kapitalizacji do okresu spłat. W tym celu
należy wykorzystać równoważną stopę procentową
ir = (1 + r)1/m − 1,
(6.38)
gdzie m jest liczbą naturalną określającą, ile razy okres kapitalizacji jest większy od okresu spłat.
Zastosowanie stopy równoważnej ir powoduje uzgodnienie spłat. Dlatego spłaty długu opisują
wzory analogiczne do wzorów dotyczących spłat zgodnych z tą różnicą, że i należy zastąpić przez
ir , a N przez N m.
131
STWIERDZENIE 61. Niech i będzie stopą procentową, której okres jest równy okresowi kapitalizacji oraz okres kapitalizacji jest m krotnością okresu spłat. Niech ir będzie zadane wzorem (6.38)
oraz qr = 1 + ieff . Wtedy dla n = 1, . . . , mN .
(i) T =
S
;
Nm
(ii) Sn = S − nT =
S
(mN − n);
mN
(iii) In =
S
(mN − n + 1)ir ;
mN
(iv) An =
S
[1 + (mN − n + 1)ir ];
mN
(v) Z = Sir mN2+1 .
Przykład 6.29. Dług 80 jp należy spłacić w ciągu 5 lat kwartaslnymi spłatami zawierającymi
równe raty długu (raty kapitałowe). Roczna stopa procentowa wynosi 18%. Obliczyć sumy odsetek
w zależności od różnych okresów kapitalizacji złożonej.
KAPITALIZACJA I: miesięczna. Są to spłaty niezgodne, dla których okres kapitalizacji jest
0, 18
= 0, 045, natomiast efektywna
mniejszy od okresu spłat. Kwartalna stopa procentowa r =
4
stopa kwartalna
ieff =
µ
1+
0, 045
3
¶3
− 1 ≈ 0, 0457.
Stąd
I = Sieff
20 + 1
N +1
= 80 · 0, 0457 ·
= 38, 388 jp.
2
2
KAPITALIZACJA II: kwartalna. Są to spłaty niezgodne, dla których okres kapitalizacji jest
0, 18
równy okresowi spłat. Kwartalna stopa procentowa r =
= 0, 045. Stąd
4
I = Si
N +1
20 + 1
= 80 · 0, 045 ·
= 37, 8 jp.
2
2
KAPITALIZACJA III: roczna. Są to spłaty niezgodne, dla których okres kapitalizacji jest wielokrotnością okresu spłat. Dla:
• modelu kapitalizacji złożonej z dołu mamy
ir = (1 + r)1/m − 1 = (1 + 0, 18)1/4 − 1 ≈ 0, 0422
oraz
I = Sir
20 + 1
mN + 1
= 80 · 0, 0422 ·
= 35, 448 jp;
2
2
• modelu kapitalizacji złożonej
I=S
i mN + 1
0, 18 20 + 1
= 80 ·
·
= 37, 8 jp.
m
2
4
2
132
6.3.8
Wpływ prowizji i opłat administracyjnych na wysokość oprocentowania
Opłaty administracyjne (prowizje) wpływają silnie na oprocentowanie kredytów krótkoterminowych.
Pokazuje to następujący przykład.
Przykład 6.30. Kredyt w wysokości 900 jp, oprocentowany w sposób prosty przy rocznej stopie
procentowej równej 24%, ma być spłacony w w 9 miesięcznych ratach w taki sposób, że wysokość
umarzonego kapitału w kolejnych ratach są sobie równe. Dodatkowo przy zwieraniu umowy należy
wpłacić opłatę administracyjną w wysokości 1% pożyczanej kwoty.
(i) Wyznaczyć plan spłaty długu.
(ii) Ile wynosi dla powyższego kredytu wysokość stopy procentowej liczonej zgodnie z zaleceniami
Unii Europejskiej?
(iii) Jaki jest wpływ opłaty administracyjnej na stopę procentową obliczoną w punkcie (ii)?
Zauważmy, że skoro wielkość kapitału umarzonego w każdej z dziewięciu rat mają być równem,
a w sumie trzeba spłacić cały pożyczony kapitał, więc każda rata musi umarzać część kapitału
w wysokości 100 jp, od pozostałej, nie umorzonej części, będą natomiast liczone odsetki. Ponieważ
roczna stopa procentowa wynosi 24%, wię stopa miesięczna jest równa 2%. Plan spłaty długu będzie
zatem postaci
Okres n
Dług Sn−1
Odsetki In
Spłaty An
Raty długu Tn
Dług Sn
1
900
18
118
100
800
2
800
16
116
100
700
3
700
14
114
100
600
4
600
12
112
100
500
5
500
10
110
100
400
6
400
8
108
100
300
7
300
6
106
100
200
8
200
4
104
100
100
9
100
2
102
100
0
Σ
90
990
900
(ii) Korzystając z funkcji IRR w Excelu otrzymujemy, że miesięczna stopa zwrotu wynosi i 12 =
2, 2%, czyli r = 29, 8%, tzn.
891
116
118
104
102
+
=
+ ... +
+
.
(1 + i12 )0
1 + i12
(1 + i12 )2
(1 + i12 )8
(1 + i12 )9
(iii) Gdyby nie pobrano opłaty administracyjnej to wówczas miesięczna stopa zwrotu wynosiłaby
i12 = 2%, czyli r = 26, 8%, tzn.
118
116
104
102
900
=
+
+ ... +
+
.
(1 + i12 )0
1 + i12
(1 + i12 )2
(1 + i12 )8
(1 + i12 )9
Wskazuje to na wielki wpływ prowizji i ołat administracyjneych na wysokość oprocentowania.
133
6.3.9
Spłata długu z uwzględnieniem inflacji
Przy spłacie kredytów długuterminowych należy uwzględniać inflację, zwłaszcza inflację o wysokim
procencie. Należy uwzględniać również fakt, że stopa inflacji może się zmieniać z roku na rok, a zatem
założenie jej stałości nie jest uzasadnione. W rozliczeniu zadłużenia inflację można uwzględniać na
różne sposoby, np.
a) stopy oprocentowania podwyższa się o przewidywaną stopę inflacji i wszystkie obliczenia wykonuje się przy podwyższonej stopie.
b) stopę inflacji wykorzystuje się do waloryzacji długu, a odsetki wyznacza się w oparciu o stopę
procentową (dyskontową).
Wymienione wyżej sposoby a) i b) dają różne wyniki. Wyborem odpowiedniego wariantu zajmuje
się dziedzina polityki stopy procentowej i może być trudnym do roztrzygnięcia problemem.
Przykład 6.31. Zaciągniety kredyt 200 jp należy spłacić w 4 równych płatnościach rocznych przy
rocznej stopie procentowej 12% i kapitalizacji złożonej rocznej. Proces spłaty kredytu zostaje zakłócony przez wysoką inflację, która w poszczególnych latach była równa 13%, 8%, 7% i 5%. Ułożyć
plan spłaty kredytu z uwzględnieniem inflacji.
Przedstawiona zostanie najpierw wersja a), w której stopa procentowa i zostaje podwyższona o
stopę inflacji iinf . Wyniki obliczeń przedstawione są w tabeli.
n
Sn−1
i + iinf
In
An
Tn
Sn
1
200
0,25
50
84,688
34,688
165,312
2
165,312
0,20
33,062
78,478
45,416
119,896
3
119,896
0,19
22,780
77,527
54,747
65,149
4
65,149
0,17
11,075
76,224
65,149
0
Σ
—
—
116,917
316,917
200
—
W wariancie b) dług waloryzuje się o stopę inflacji, a odsetki wyznacza się na podstawie stopy
procentowej.
n
Sn−1
iinf
Sn−1 (1 + iinf )
In
An
Tn
Sn
1
200
0,13
224
26,8
73,749
46,949
177,051
2
177,051
0,08
191,215
22,946
79,612
56,666
134,549
3
134,549
0,07
143,967
17,276
85,185
67,909
76,058
4
76,058
0,05
79,891
9,583
89,444
79,861
0
Σ
—
—
—
76,605
327,99
251,385
—
Mimo tych samych danych plany spłaty różnią się znacznie od siebie. W wersji a) ciąg płatności
jest malejący, czyli najwieksze obciążenie długiem występuje na początku spłat, co z wielu powodów
można uznać za fakt niekorzystny. Ponadto, w wersji a) zakłada się pomnażanie kapitału według
podwyższonej o inflację stopy procentowej, co w wielu przypadkach jest zadaniem nierealnym. W
wersji b) ciąg spłat jest rosnący, co może korelować z faktem wzrastających dochodów kredytobiorcy.
Ponadto wersja ta zakłada, że kapitał (np. zainwestowany) pomnaża się w umiarkowanym tempie
12%. Są to argumenty za uznaniem wersji b) za bardziej uzasadnioną. Niemniej probelm wyboru
wersji zależy od wzajemnych uzgodnień.
134
Spis Literatury
[1] Bijak, W., Podgórska, M. Zastosowanie matematyki w ekonomii, SGH, Warszawa 1992.
[2] Bijak, W., Podgórska, M., Utkin, J., Matematyka finansowa, Wydawnictwo “Bizant”, Warszawa 1994.
[3] Borowski, J., Golański, R. Kasprzyk, K. Melon, L. i Podgórska, M. Matematyka finansowa.
Przykłady, zadania, testy, rozwiązania, SGH, Warszawa 2002, wyd. III.
[4] Chrzan, P. Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu, GigaNet Sp. z o.o. Katowice 1998.
[5] Dobija. M. Smaga, E. Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996.
[6] Dobija. M. Smaga, E. Zastosowania matematyki finansowej, AE Kraków 1993.
[7] Dziworska, K. Elementy matematyki finansowej, mat. powielany, Sopot 1993.
[8] Dziworska K., Dziworski, A., Podstawy matematyki finansowej Wydawnictwo UG, Gdańsk
1995. wyd. II 1998.
[9] Kellison, S. G¿ The Theory of Interest, Homewood.
[10] Kolupa, M.: Metody matematyczne dla bankowców, Poltext, Warszawa 1995.
[11] Kozubski, J.: Elementy matematyki finansowej, Gdańsk 1995.
[12] Matłoka, M. Matematyka w finansach i bankowości, Wydawnictwo AE, Poznań 2000.
[13] Nowak, E. (red.): Matematyka i statystyka finansowa. Fundacja Rozwoju Rachunkowości w
Polsce, Warszawa 1994.
[14] Ostasiewicz, M, Ronka-Chmielowiec, W.: Elementy rachunku finansowo-ubezpieczeniowego,
Wydawnictwo AE, Wrocław 1993.
[15] Podgórska Maria, Klimkowska Joanna: Matematyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2005.
[16] Roszczynialski, W. matematyka finansowa, Oficyna Wydawnicza TEXT, Kraków 1999.
[17] Ronka-Chmielowiec Wanda, Kuziak Katarzyna, Podstawy matematyki finansowej, Wydawnictwo Akademii Ekoniomicznej, Wrocław
[18] Smaga, E.: Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999.
[19] Sobczak, M.: Matematyka finansowa, Agencja Wydawnicza “Placet”, Warszawa 1995.
[20] Szałański, M.: Podstawy matematyki finsansowej, Elipsa, Warszawa 1994.
135
136
[21] Szałański, M. Matematyka finansowa, Toruńska Szkoła Zarządzania, Toruń 2001.
[22] Szuwalski, B.: Arytmetyka bankierska, Nowy Tomyśl 1993.
[23] Taborek, J., Kuchmacz, J.: Elementy matematyki finansowej, Fundacja Rozwoju Rachunkowości w Polsce, Warszawa 1991.
[24] Wieczorek, D.: Wartość pieniądza w czasie. FENUS, Poznań 1993.

wstęp do matematyki finansowej

Transkrypt

Podobne dokumenty

Próbny sprawdzian nr 2 Grupa I 1. (300 pkt) Przez 20 lat na

Sylabus przedmiotu

Matematyka finansowa - zestaw 3 - 16

Stosowanie równoważnej stopy procentowej Przykład. Bank

Renta kapitałowa

Projekt Fabryka Młodej Przedsiębiorczości otwarty jest dla osób

Zestaw 2 – Kapitalizacja złożona z dołu zgodna 1) Obliczyć

Matematyka finansowa - zestaw 4 - 23 XI 2016 Renty Zadanie 1

mrmr ]) 1[( ]) 1[( mrmr ]) 1[( ]) 1

Ćwiczenia