Metoda Róznic Skonczonych (MRS) - L5.pk.edu.pl

Metoda Róznic Skonczonych (MRS) - L5.pk.edu.pl

Metoda Różnic Skończonych (MRS)
METODY OBLICZENIOWE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
(1)
Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
F ( x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n ) = 0,
y (k) ≡
dk y(x)
, k = 1, 1, 2, . . . , n,
d xk
w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej
niezależnej y(x) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne
y (k) (x), 0 < k ¬ n nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym
rzędu n.
Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań:
F1 ( x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n ) = 0,
F2 ( x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n ) = 0,
···························
Fn ( x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n ) = 0.
(2)
Metody rozwiązywania zagadnienia brzegowego
Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska
i procesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności
występują tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
problem początkowy,
problem brzegowy.
Zajmiemy się poszukiwaniem takich funkcji y(x),
które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego,
funkcji określonych na przedziale (a, b)
i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a
inne – punktu b.
W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować:
Metodę Różnic Skończonych, nazywaną także metodą różnicową
Metodę Elementów Skończonych
(3)
Metoda Różnic Skończonych
Algorytm metody
Zastąpienie obszaru zbiorem węzłów różnicowych
zamiana postaci rozwiązania : z funkcji ciągłej na skończny zbiór
wartości funkcji w węzłach
Zastąpienie pochodnych w równaniach problemu wzorami
różnicowymi
Rozpisanie równania różnicowego dla wszystkich punktów
węzłowych, w których poszukujemy różnych od zera wartości funkcji
Przedstawienie warunków brzegowych w reprezentacji różnicowej
Zapisanie algebraicznego układu równań i jego rozwiązanie czyli
wyznaczenie węzłowych wartości funkcji pierwotnej występującej w
równaniu różniczkowym np. funkcji ugięcia
Wyznaczenie wartości funkcji wtórnych np. funkcji momentu.
(4)
Centralne wzory różnicowe
dla zagadnienia jednowymiarowego
1
2
3
4
5
6
i-2
i-1
i
i+1
i+2
i-2
i-1
i
i+1
i+2
fI
1
2h
-1
0
1
f II
1
h2
1
-2
1
f III
1
2h3
-1
2
0
-2
1
f IV
1
h4
1
-4
6
-4
1
7
(5)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu
Przykład:
Rozwiązać problem brzegowy:
y 00 (x) = x, x ∈ [a, b]
y(a) = 2, y 0 (b) = 1, gdzie a = 0.0, b = 2.0;
Rozwiązanie:
Przedział [0, 2] dzielimy na n = 4 części, h = 0.5.
h
a=0
i= 0
1
b=2
2
3
4
x
5
Tworzymy układ równań różnicowych dla i = 1, 2, 3, 4:
1 · yi−1 − 2 · yi + 1 · yi+1
= xi −→ yi−1 − 2 · yi + yi+1 = h2 xi
h2
Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową:
1 · y0 = 2,
−1 · y3 + 1 · y5
= 1 −→ −1 · y3 + 1 · y5 = 2h.
2h
(6)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu
Tworzymy układ równań różnicowych dla i = 1, 2, 3, 4:
yi−1 − 2 · yi + yi+1 = h2 xi
Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową:
1 · y0 = 2,
−1 · y3 + 1 · y5 = 2h.
Otrzymujemy układ równań MRS:
i = 0 1 y0 = 2
i = 1 1 · y0 − 2 · y1 + 1 · y2 = 0.125
i=2
i=3
i=4
i=4
1 · y1 − 2 · y2 + 1 · y3 = 0.250
1 · y2 − 2 · y3 + 1 · y4 = 0.375
1 · y3 − 2 · y4 + 1 · y5 = 0.500
− 1 y3 + 1 · y5 = 1
(7)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Postać układu równań różnicowych
Zapis układu równań w postaci macierzowej A y = B:
x
i= 0
1
0
wb. i=0
i=
1
2
1
2
3
2
3
5
4
4
5
1
1
-2
1
1
-2
1
y0
2
y1
0.125
y2
0.250
=
3
1
4
wb. i=4
-2
1
1
-2
-1
A
.
y3
0.375
1
y4
0.5
1
y5
1
y =
B
(8)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Wyniki
Rozwiązanie analityczne:
y(x) = 16 x3 − x + 2
2
1.8
nr
0
1
2
3
5
x
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
MRS4
2.0000
1.5000
1.2500
1.0000
1.2500
Rozwiązanie
analityczne
2.0000
1.5208
1.1667
1.0625
1.3333
1.6
1.4
Analityczne
1.2
1
M RS4
M RS8
0.8
0
0.5
1
1.5
2
(9)
Problem zginania belki
Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu
Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie
np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego
czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej.
py (x)
d4 v(x)
=
.
dx4
EJ
Poszukiwaną ”pierwotną” funkcją jest funkcja ugięcia belki v(x).
Funkcjami ”wtórnymi” będą: moment zginający M (x) oraz siła
poprzeczna T (x):
M (x) = −EJ
d2 v(x)
,
dx2
T (x) = −EJ
d3 v(x)
.
dx3
Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki
brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych
oraz brzegowych obciążeń.
(10)
Model obliczeniowy belki
Tworzenie równań różnicowych
Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki
opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu
centralnego ilorazu różnicowego ma postać:
d4 v(x)
py (x)
=
dx4
EJ
=⇒
vi−2 − 4vi−1 + 6vi − 4vi+1 + vi+2
py
= i
h4
EJ
pyi
EJ
Daje układ równań, do którego należy dołączyć warunki brzegowe.
vi−2 − 4vi−1 + 6vi − 4vi+1 + vi+2 = bi ,
bi = h4 ·
(1)
(11)
Warunki brzegowe w zapisie różnicowym
1)
2)
i-1
i
i+1
i-1
3)
i
4)
i-1
i+1
1
2
Brzeg utwierdzony: v = 0 ,
w zapisie różnicowym: vi = 0 ,
i+2
dv
dx
vi = 0 ,
i+1
i-2
i+2
=0,
−vi−1 +vi+1
2h
Brzeg przegubowo podparty: v = 0 ,
w zapisie różnicowym:
i-1 i
i i+1
i-2
=0.
2
d v
M = −EJ dx
2 = 0 ,
i +vi+1
−EJ vi−1 −2v
=0.
h2
3
3
dv
d v
Brzeg pionowo przesuwny: dx
= 0 , T = −EJ dx
3 = 0,
w zapisie różnicowym:
−vi−1 +vi+1
−2vi+1 +vi+2
= 0 , −EJ −vi−2 +2vi−1
= 0.
2h
2h3
2
4
3
d v
d v
Brzeg swobodny: M = −EJ dx
T = −EJ dx
2 = 0 ,
3 = 0 ,
w zapisie różnicowym:
−2vi+1 +vi+2
i +vi+1
−EJ −vi−1 −2v
= 0, −EJ −vi−2 +2vi−1
= 0.
h2
2h3
(12)
Przykład belki wspornikowej
py
x
xL
x0
L
y, v
-1
0
1
2
3
4
5
6
Równanie różnicowe musi być rozpisane dla punktów i = 1, 2, 3, 4:
1 · vi−2 − 4 · vi−1 + 6 · vi − 4 · vi+1 + 1 · vi+2 = b gdzie
Warunki brzegowe:
dla x = 0 :
v=0
i=0:
1 · v0 = 0
dla x = L :
M =0
i = 4 : 1 · v3 − 2 · v4 + 1 · v5 = 0
b = (h4 py )/(EJ)
v0 = 0
−1 · v−1 + 1 · v1 = 0
T =0
−1 · v2 + 2 · v3 − 2 · v5 + 1 · v6 = 0
(13)
Przykład belki wspornikowej
Układ równań MRS
Otrzymujemy układ równań MRS:
1. 1 · v−1 − 4 · v0 + 6 · v1 − 4 · v2 + 1 · v3 = b
2. 1 · v0
− 4 · v 1 + 6 · v2 − 4 · v3 + 1 · v4 = b
3. 1 · v1
− 4 · v2 + 6 · v3 − 4 · v 4 + 1 · v5 = b
4. 1 · v2 − 4 · v3 + 6 · v4 − 4 · v5 + 1 · v6 = b
5.
1 · v0 = 0
6.
− 1 · v−1 + 1 · v1 = 0
7.
1 · v 3 − 2 · v4 + 1 · v5 = 0
8.
− 1 · v2 + 2 · v3 − 2 · v5 + 1 · v6 = 0
(14)
Przykład belki wspornikowej
Postać macierzowa układu równań
A · V=B
i=
i=
1
-1
0
1
2
5
6
4
5
6
0
1
2
3
1
-4
6
-4
1
1
-4
6
-4
1
1
-4
6
-4
1
1
-4
6
-4
3
4
wb
i=4
4
-1
2
wb
i=0
3
1
b
v0
b
v1
b
v2
v3
1
-1
v−1
1
1
-1
2
A
-2
1
-2
1
b
=
0
v4
0
v5
0
v6
0
V
B
(15)
Przykład belki wspornikowej
Analiza rozwiązania – funkcja ugięcia
Rozwiązanie układu – wartości funkcji ugięcia:
V = { 4.0b, 0.0b, 4.0b, 12.5b, 23.0b, 34.0b, 45.0b, 56.5b }
Ugięcie na końcu belki (x = L, dla i = 4) wynosi:
py L4
py L4
= 0.125 ·
,
8EJ
EJ
4
L
py h4
py
M RS
= 34.0 ·
·
=
v
(L) =v4 = 34.0 · b = 34.0 ·
EJ
EJ
4
p y L4
0.1333 ·
= 1.064 · v anal (L).
EJ
v anal (L) =
(16)
Przykład belki wspornikowej
Analiza rozwiązania – funkcja momentów zginających
Wartość momentu zginającego dla brzegu utwierdzonego
(x = 0, dla i = 0) wynosi:
M anal (0) = −
py L2
,
2
00
EJ
M M RS (0) = − EJv0 = − 2 (v−1 − 2v0 + v1 ) =
λ
2
4
4
py L
− EJ
· (4 − 0 + 4) ·
=
L
EJ 4
−
py L2
= M anal (0).
2
(17)
Dziękuję za uwagę
(18)