SiMR, PW, PAiTM, Sebastian Korczak

PAiTM
materiały uzupełniające do ćwiczeń
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
studia inżynierskie
prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak
PODSTAWY AUTOMATYKI – CZĘŚĆ IV
Badanie stabilności
W mechanice ogólnej spotykamy się z pojęciem stateczności – układ stateczny wraca do położenia
równowagi po wytrąceniu go z tego położenia. W automatyce posługujemy się merytorycznie
zbliżoną definicją stabilności – pewien układ liniowy jest stabilny, jeśli przy istnieniu
ograniczonego wymuszenia (wejścia) otrzymujemy ograniczoną odpowiedź (wyjście). W
szczególnym przypadku przy braku wymuszenia układ ma ograniczoną odpowiedź często
zbiegającą do stałej wartości.
Badanie stabilności może dotyczyć zarówno pojedynczego obiektu z wejściem i wyjściem, jak
również bardziej nas teraz interesującego układu automatycznej regulacji, gdzie wejściem jest
wartość zadana lub sygnał zakłócenia, a wyjściem wartość regulowana.
Często rozpatruje się również stabilność układu automatycznej regulacji rozważając wpływ
zakłócenia na pracę układu i jego zdolność do powracania do stanu ustalonego po zaniku
zakłócenia.
W praktyce ocena stabilności wiąże się ze sprawdzeniem postaci pierwiastków równania
charakterystycznego danego układu – równanie to powstaje poprzez przyrównanie do zera
mianownika transmitancji układu.
y (s )
1
=
, gdzie s1 jest
pierwiastkiem
równania
x (s) s – s 1
charakterystycznego (nazywamy je biegunem). s 1 jest pewną stałą liczbą rzeczywistą lub
zespoloną.
x (t)=δ(t ) ma postać
Odpowiedź tego układu na wymuszenie impulsem jednostkowym
1
−1
−1
s t
y (t)= L {x ( s) G(s)}= L
=e
s−s 1
Po rozwinięciu na część rzeczywistą i urojoną i zastosowaniu wzoru Eulera otrzymujemy
y (t)=e(a + j b )t=e a t e j b t =e a t (cos b1 t + jsin b 1 t ). Widzimy, że część urojona pierwiastka
równania charakterystycznego odpowiada za oscylacje rozwiązania ogólnego, a część rzeczywista
pierwiastka odpowiada za stabilność układu – układ jest stabilny, gdy a 1 <0, a niestabilny, gdy
a 1 >0 . Warunek ujemnych wartości części rzeczywistych pierwiastków równania
charakterystycznego nazywamy ogólnym warunkiem stabilności (jest to warunek konieczny i
wystarczający).
Układ
transmitancji G(s)=
o
{ }
1
1
1
1
1
1
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
a1 t
ℜ y (t)=e cos b 1 t
a 1< 0
a 1=0
a 1> 0
b 1> 0
b 1< 0
b 1=0
Przykład 1
Zbadać stabilność zamkniętego układu ze sprzężeniem zwrotnym, zawierającego element inercyjny
II rzędu oraz element proporcjonalny.
x(t) +
G1 (s)=
–
y(t)
G2 ( s )=2
Transmitancja zastępcza całego układu:
G(s)=
1
s +4 s +4
2
G1
y (s )
1
1
=
= 2
=
x (s) 1+G1 G2 s + 4 s+ 6 (s−s1 )( s−s2 )
2
Δ=4 −4⋅1⋅6=−8, √ Δ= j √ 8
Zatem pierwiastki równania charakterystycznego:
s1=−2− j √ 2 , s2 =−2+ j √ 2
ℜ(s 1)< 0 ∧ ℜ( s 2)< 0 ⇒ układ jest stabilny z ogólnego warunku stabilności.
Przykład 2
Sprawdzić stabilność układu z ogólnego warunku stabilności
1
4 s + s +5 s +20 s 2 +s +1
5
4
3
Dla wielomianów wyższych stopni stosujemy metody komputerowe szukania pierwiastków
wielomianu (mathcad, mathematica, wolframalpha itp.).
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
Przykład 3
Określić zakres parametru k p dla którego
układ spełniał ogólny warunek stabilności.
x(t) +
G 1 (s)=
–
5
2 s−1
y(t)
G2 (s )=k p
Przekształcamy transmitancję
5
5
G1
y(s)
2 s−1
5
2
G( s)=
=
=
=
=
x ( s) 1+G1 G2
5k p
2 s−1+5 k p
1 5
s− − k p
1+
2 2
2 s−1
(
Pierwiastek równania charakterystycznego układu:
)
( 12 − 52 k )
s1=
Układ będzie stabilny, gdy ℜ( s 1)<0, co nastąpi gdy k p>
p
1
5
Warto zwrócić uwagę, że obiekt o transmitancji G1 (s) jest sam w sobie niestabilny, a ujemne
sprzężenie zwrotne poskutkowało stabilizacją tego układu.
Warto obejrzeć jak wygląda odpowiedź układu na wymuszenie skokowe dla przykładowych
wartości k p
k p=
1
6
(układ niestabilny)
k p=
1
2
(układ stabilny)
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
Kryterium stabilności Hurwitza
Ponieważ obliczanie pierwiastków wielomianu bywa kłopotliwe dla jego wyższych rzędów
możemy posłużyć się kryterium Hurwitza – układ o równaniu charakterystycznym postaci
n
∑ ai si =0
ma ujemne części rzeczywiste pierwiastków tego równania, gdy dla rzędu równania
i=0
n wszystkie współczynniki a i są dodatnie i wszystkie podwyznaczniki wyznacznika
głównego Δ n są większe od zera
[
a n−1 a n
0
0 0 0
a n−3 a n−2 a n−1 a n 0 0
.
.
Δ n= a n−5 a n−4 a n−3 .
.
.
.
.
.
.
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
0
0 0 a0
Δ1 =[ a n−1 ]
[
a
an
Δ 2= n−1
a n−3 a n−2
]
]
[
a n −1 an
0
Δ 3= a n−3 a n−2 a n−1
a n −5 a n−4 a n−3
]
itd.
Kryterium to sprawdza stabilność układu, lecz nie daje informacji „jak daleko jesteśmy” od granicy
stabilności.
Przykład 4
Sprawdzić stabilność układu o transmitancji G(s)=
5 s +3
z warunku Hurwitz'a.
10 s 2+3 s+1
Przykład 5
Sprawdzić stabilność obiektu o transmitancji G(s)=
3 s−5
z warunku Hurwitz'a.
s +4 s 2+3 s+10
3
Przykład 6
Sprawdzić stabilność obiektu o transmitancji G(s)=
Przykład 7
Sprawdzić stabilność układu
w(t) +
–
1
z warunku Hurwitz'a.
3 s +4 s +6 s 2 +4 s+ 5
4
3
e(t) G1 (s)= 1 u(t) G (s )= 5 s+ 3
2
10 s
10 s 2 +3 s+1
G3 ( s)=
y(t)
5
2 s−1
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
Kryterium stabilności Nyquista
Szczególne kryterium Nyquista: zamknięty układ ze sprzężeniem zwrotnym jest stabilny, jeśli
układ otwarty jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa omija punkt o
współrzędnych zespolonych (-1, 0j) mając go po lewej stronie.
Kryterium to łatwo udowodnić.
u(t)
y(t)
w(t) + e(t)
obiekt
regulator
Dla
układu
zamkniętego
–
transmitancja
ma
postać
G R ( s) GO ( s )
G z ( s )=
1+G R ( s ) GO ( s )
Układ będzie zatem niestabilny, gdy mianownik tej transmitancji będzie równy zero, a to ma
GR GO =−1. GR G O
miejsce
gdy
jest
transmitancją
układu
otwartego
y ( s)
G otw ( s)=
=G R G O
w ( s)
Przykład 8
w(t) +
Dobrać współczynnik k z warunku na
stabilność według kryterium Nyquista.
–
e(t)
G 1 (s)=
a(t)
2
2
s + 3 s + s+ 1
3
G2 (s )=k
a(s )
2k
=G1 G2= 3
w (s)
s + 3 s 2 + s+1
Układ otwarty jest stabilny (np. sprawdzając z kryterium Hurwitz'a).
Gotw ( s)=
2k−6 k ω2
P (ω)=
(1−3ω 2)2 +(ω−ω 3)2
Q(ω)=0 dla ω=0 i ω=1 ,
2k ω 3−2 k ω
Q(ω)=
(1−3 ω2 )2+(ω−ω3 )2
(
P ω=
)
1
=0
√3
P (ω=1)=−k , układ będzie stabilny, gdy P (ω=1)>−1, czyli dla k < 1.
Przykładowe wykresy transmitancji widmowej układu otwartego:
k=0,5 (układ zamknięty stabilny)
k=2 (układ zamknięty niestabilny)
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
y(t)
ZADANIA POWTÓRZENIOWE
Przykład 9
Sprawdzić stabilność układów z kryterium Hurwitz'a:
3 s−5
2
8 s +4 s +s +10
3
Przykład 10
Dobrać parametr k aby układ był stabilny z kryterium Hurwitz'a:
2
ks
,
3
2
3
2
2 s +ks +(1+k )s +3
4 s +3 s + k s +1
Przykład 11
Dobrać
współczynnik
k
stosując ogólny warunek
stabilności.
G z (s)=
w(t) +
e(t)
Gr ( s)=k
u(t)
–
G p (s)=
Go ( s )=
1
s +2
y(t)
1
s+6
Gr G o
k s+ 6 k
=…= 2
1+G r Go G p
s +8 s+12+ k
Δ=16−4k
Δ> 0 dla k <4
−8 – √ 16−4 k
s1=
=−4−√ 4−k - część rzeczywista zawsze ujemna
2
−8+ √ 16−4 k
s 2=
=−4+ √ 4−k - część rzeczywista ujemna tylko gdy k >−12
2
podsumowując k ∈(−12,4)
Δ=0 dla k =4
s1=−4 - część rzeczywista zawsze ujemna
podsumowując k =4
Δ< 0 dla k >4
−8 – √ 16−4 k
s1=
=−4−√ 4−k =−4− j √ k −4 - część rzeczywista zawsze ujemna
2
−8+ √16−4 k
s1=
=−4+ √ 4−k =−4+ j √ k −4 - część rzeczywista zawsze ujemna
2
podsumowując k > 4
Podsumowując wszystkie warunki otrzymamy stabilność układu dla k >−12. Należy jednak
zauważyć, że dla k ∈(−12,4) zachowanie układu ma postać eksponencjalną, a dla k > 4
zachowanie ma charakter oscylacyjny.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016
Przykład 12
w(t) +
Stosując kryterium Hurwitza
dobrać
współczynnik
T
–
regulatora
proporcjonalnoróżniczkującego aby układ był
stabilny.
1
4s
Go (s )= 3
Gr (s)=
2
T s+1
s +2 s + s+1
G z (s)=
e(t)
Gr (s)
u(t)
Go (s )
y(t)
Gr G o
4s
=
4
3
1+G r Go a 4 s + a 3 s + a 2 s 2 + a1 s+ a0
gdzie: a 4=T , a 3=2T+1, a 2=T + 2, a 1=T +5, a 0=1
Pierwszy warunek: a 4 >0, a 3 >0, a 2> 0, a 1 >0, a 0> 0 będzie spełniony dla T>0.
Δ1 =[ a 3] >0
→ 2T+1>0 → T >−
1
2
[ ]
Δ 2=
[
a3 a 4
=T 2 +2> 0 dla każdego T
a1 a 2
]
a n −1 an
0
Δ 3= a n−3 a n−2 a n−1 =T 3 +T 2−2 T +9> 0 dla T > 2,83
a n −5 a n−4 a n−3
Ostatecznie aby spełnione były wszystkie warunki stała T musi spełniać warunek T > 2,83.
SiMR PW, IPBM, Sebastian Korczak, zima 2015/2016, tylko do niekomercyjnego użytku edukacyjnego, 14.01.2016