Syntetyczna Apertura

Syntetyczna Apertura
Można wyróżnić dwa, główne sposoby pozyskiwania danych przez systemy SAR
(Synthetic Aperture Radar). Jednym z nich jest tzw. Spotlight Mode. W tym trybie wiązka z
anteny jest kierowana w taki sposób, aby obiekt przez cały czas zbierania danych pozostał w
jej centrum. Spotlight Mode pozwala uzyskać najlepszą rozdzielczość.
Innym rozwiązaniem jest Stripmap Mode, mający duże znaczenie praktyczne. W tym
trybie kąt, jaki tworzy wiązka radaru z kierunkiem ruchu platformy, pozostaje stały przez cały
czas oświetlania obiektu. W dalszej części opracowania będzie rozważane właśnie to
rozwiązanie.
a) Stripmap Mode
b) Spotlight Mode
Rys. 1 Sposoby pozyskiwania danych przez systemy SAR (Synthetic Aperture Radar).
Pozyskiwanie danych przez systemy SAR odbywa się w ten sposób, że wysyłają one
podczas ruchu platformy impulsy ze stałą częstotliwością PRF (pulse repeat frequency) w
kierunku obiektu i zapamiętują odebrane echa w dwuwymiarowej tablicy (wymiary te
stanowią azymut, zwany także cross range i odległość (range)).
Systemy SAR wykorzystują fakt, że odpowiedź obiektu rozpraszającego na ziemi jest
zawarta w więcej niż w jednym echu. Odpowiednia koherentna kombinacja tych odpowiedzi
prowadzi do formowania syntetycznie powiększonej anteny- tzw. syntetycznej apertury.
Kompresja w azymucie (azimuth compresion) i odległości (range compresion) odebranych
danych pozwala uzyskać obraz oświetlanego obiektu w wysokiej rozdzielczości, znacznie
lepszej niż uzyskany za pomocą konwencjonalnych radarów.
1
Rozdzielczość odległościowa (range resolution)
z
look angle φ
azimuth
r
footprint
x
y
Rys. 2 System SAR w trybie strip-map.
Rozdzielczość w odległości określa minimalną odległość miedzy obiektami, przy której
obiekty te są rozróżniane przez radar. Zakładając, że wysyłany impuls ma postać:
a
p (t ) = 
0
dla 0 < t < τ
dla t < 0; t > τ
oraz, że odbicie następuje od dwóch różnych obiektów, będą one rozróżnialne, jeśli koniec
echa od bliżej położonego obiektu dotrze do radaru przed echem od tego drugiego.
Możliwość odróżnienia obiektów przez radar jest więc określona przez czas trwania impulsu
τ. Im krótszy czas τ, tym krótsze odebrane echo i tym samym większa rozdzielczość.
Odległość między nadajnikiem i obiektem wynosi:
r=
∆t ⋅ c
, gdzie ∆t - czas, po którym odbity impuls wraca do odbiornika;
2
c - prędkość światła.
Korzystając z powyższej zależności oraz faktu, że minimalna (rozróżnialna) odległość miedzy
obiektami określona jest przez czas trwania impulsu, rozdzielczość w odległości wynosi:
2
δr =
τ ⋅c
c
=
, gdzie B- szerokość pasma sygnału;
2 ⋅ sin φ 2 B ⋅ sin φ
φ- kąt nachylenia wiązki (look angle).
Czynnik sinφ wynika z faktu, że interesuje nas odległość na powierzchni ziemi, a nie w
kierunku "patrzenia" (slant range) radaru.
φ
Slant range (S)
ϕ
Ground range (G)
S=G*cos(ϕ)=G*cos(90-φ)=G*sin(φ)
Rys. 3 Zależność miedzy Slant range i Ground range.
Aby uzyskać dobrą rozdzielczość w odległości, konieczne jest użycie impulsu o
bardzo szerokim paśmie (co dla impulsu prostokątnego odpowiada krótkiemu czasowi
trwania τ ). Ponieważ określony SNR (signal to noise ratio) musi być zachowany w
powracającym sygnale dla poprawnego jego odbioru, wymagany jest odpowiednio wysoki
poziom mocy. Krótki czas trwania sygnału powoduje wtedy dużą gęstość energii impulsu,
która jest często trudna do osiągnięcia w praktyce dla dużych rozdzielczości.
Dlatego też, we współczesnych radarach wykorzystuje się liniową modulację częstotliwości
(chirp modulation), która pozwala na uzyskanie sygnału o dłuższym czasie trwania i zarazem
szerokim paśmie (wymóg wysokiej rozdzielczości). Energia tego sygnału jest rozłożona na
dłuższy czas trwania (mniejsza gęstość energii), ale może być skompresowana po odebraniu
przy użyciu operacji filtracji dopasowanej.
Rozdzielczość azymutalna (azimuth resolution)
a) Rozdzielczość konwencjonalnego radaru.
Rozdzielczość azymutalna jest rozdzielczością w kierunku ruchu platformy, na której
umieszczony jest radar. Rozdzielczość kątową anteny prostokątnej o długości boku Lra
możemy wyrazić następująco:
λ
α 3dB ≈
, gdzie λ- długość fali;
Lra
Lra- długość rzeczywistej anteny.
Rozdzielczość prostego, bocznego radaru (side-looking radar) równa się rozmiarowi
obszaru insonifikowanego na ziemi (footprint). Z prostych przekształceń geometrycznych
możemy wyznaczyć poszukiwaną rozdzielczość:
3
δaz
tan(
δ az
α 3dB
2
δ az
r
2
r
)=
α
= 2r ⋅ tan( 3dB )
2
dla malych α 3dB
≈
2r ⋅
α 3dB
= r ⋅ α 3dB
2
λ
L
Z powyższego wzoru wynika, że rozdzielczość zmniejsza się wraz ze wzrostem
odległości do obiektu. Jedyną możliwością uzyskania wysokiej rozdzielczości dla dużych
wysokości lotu jest użycie dużej anteny. Niestety, bardzo często nie jest to możliwe ze
względów konstrukcyjnych.
δ az = r ⋅
b) Rozdzielczość uzyskiwana za pomocą syntetycznej apertury.
Synthetic Aperture Radar (SAR) przezwyciężają te problemy, pozwalają osiągnąć
wysoką rozdzielczość azymutalną za pomocą małych anten i dla dużych odległości między
radarem i obiektem. Systemy SAR wykorzystują fakt, że odpowiedź obiektu odbijającego
wstecznie sygnał jest zawarta w więcej, niż w jednym echu. Odpowiednia koherentna
kombinacja tych odpowiedzi prowadzi do formowania syntetycznie powiększonej antenytzw. syntetycznej apertury. Ten proces formowania jest bardzo podobny do sterowania liniową
anteną grupową (antenna array), z tą różnicą, że używana jest tylko jedna antena, która przez
ruch platformy zmienia swoje położenie w czasie.
Kątowa rozdzielczość dla syntetycznej apertury o długości Lsa jest dwa razy większa
niż dla zwykłej anteny o tej samej długości.
αaz =
λ
, gdzie λ- długość fali; (1)
2 Lsa
Lsa- długość syntetycznej apertury.
Współczynnik 2 jest wynikiem procesu formowania syntetycznej apertury. Różnice fazy
pomiędzy elementami syntetycznej apertury wynikają z dwukrotnie dłuższej różnicy ścieżki i
dlatego też są dwa razy większe niż w przypadku normalnej anteny.
Maksymalna długość syntetycznej apertury jest równa odległości przebytej przez
platformę, podczas której obiekt rozpraszający jest oświetlany przez wiązkę radaru.
y
r
αaz
Lsa
x
Rys. 4 Geometryczna reprezentacja maksymalnej długości syntetycznej apertury.
4
Z powyższego rysunku wynika, że maksymalna długość syntetycznej apertury Lsa jest
równa rozmiarowi powierzchni insonifikowanej na ziemi (footprint) przy odległości r, gdzie
znajduje się obiekt rozpraszający.
λ ⋅r
Lsa = αra ⋅ r =
(2)
Lra
Jeśli więc formowana jest syntetyczna apertura o maksymalnej długości, przestrzenną
rozdzielczość azymutalną otrzymujemy przez podstawienie równania 2 do równania 1.
Lra
δaz = αsa ⋅ r =
2
Z powyższego wzoru wynika, że uzyskana rozdzielczość jest całkowicie niezależna od
odległości i określona tylko przez rozmiar rzeczywistej anteny. Niezależność od odległości
można wytłumaczyć zwiększającą się syntetyczną aperturą wraz z odległością do obiektu
(zależność 2). W przeciwieństwie do konwencjonalnego radaru, krótsze anteny pozwalają
uzyskać wyższą rozdzielczość. Jest to wynik większego kąta promieniowania, a więc
większej wartości αra we wzorze 2. Dla dużych odległości między radarem i obiektem
rozpraszającym pozostaje wciąż problem małej, odbitej wstecznie od obiektu mocy. Dlatego
też, konieczne jest stosowanie anten o odpowiednio dużych rozmiarach.
Przetwarzanie danych SAR
a) Historia fazy punktowego obiektu (Phase history of a point target).
Terminem point targets (obiekty punktowe) określamy obiekty rozpraszające, dla
których istnieje tylko jeden dominujący, odbity sygnał w każdej komórce rozdzielczości. Na
przykład, ma to miejsce dla większych metalowych obiektów i budynków.
z
Azimuth
ro
r
x
Lsa
y
Rys. 5 Zależności geometryczne systemu SAR
5
Powyższy rysunek przedstawia sposób oświetlania wiązką radaru obiektu (point
target) przez radar SAR podczas pozyskiwania danych. Radar przesuwany jest wzdłuż osi x
(azymutu) i emituje impulsy w kierunku ziemi (prostokątnie do kierunku ruchu). Odległość
pomiędzy położeniem radaru x i obiektem może być wyrażona jako:
r = x 2 + ro2 , gdzie ro jest minimalną odległością miedzy nimi (dla x=0).
Ponieważ przedłużenie obszaru insonifikowanego na ziemi jest zwykle dużo mniejsze niż
odległość ( x<<ro ) można dokonać następującego przybliżenia:
r = ro 1 +
x2
x2
≈
r
+
o
ro2
2ro
Fazy odebranych ech wynikające z drogi sygnału do obiektu i z powrotem do radaru są
równe:
ϕ ( x) = 2 ⋅
2π
x2
2π ⋅ x 2
( ro +
)=
+ const
λ
2 ro
λ ⋅ ro
Zakładając stałą prędkość platformy v i oznaczając k =
czasie fazę, otrzymujemy zależność:
2π ⋅ v 2
oraz zaniedbując stałą w
λ ⋅ ro
ϕ (t ) = k ⋅ t 2
Kwadratowy charakter fazy odpowiada liniowej zmianie częstotliwości w odebranych
sygnałach wzdłuż osi x (azymutu), otrzymujemy więc efekt Dopplera.
f (t ) =
1 ∂ϕ (t ) k
= ⋅t
2π ∂t
π
Liniowy efekt Dopplera jest obecny tak długo, jak x jest pomijalnie małe w
porównaniu z ro. W przeciwnym razie należy uwzględnić składniki wyższego rzędu.
Ma to miejsce szczególnie dla przypadków z bardzo długą syntetyczną aperturą i radarów
skierowanych nie pod kątem prostym (pod kątem zwanym squint-angle).
Maksymalny czas, przez który obiekt pozostaje oświetlony przez wiązkę radaru, jest
określony przez długość syntetycznej apertury.
L
α
t max = sa = ra⋅ro
v
v
Wymagana szerokość pasma wynikająca z liniowej zmiany częstotliwości wynosi:
t
t
2 ⋅ v ⋅ αra
Ba = f ( max ) − f ( − max ) =
.
2
2
λ
Ta szerokość pasma w azymucie określa także dolną granice częstotliwości wysyłania
impulsów przez radar w trakcie formowania syntetycznej apertury, tzw. PRF (pulse repetion
frequency). Po wyeliminowaniu nośnej (demodulacji w odbiorniku), częstotliwości pomiędzy
–Ba/2 i Ba/2 będą obecne w zespolonym sygnale. Zgodnie z kryterium Nyquista częstotliwość
6
próbkowania sygnału musi być co najmniej dwa razy większa od składowej o największej
częstotliwości. Tutaj częstotliwość próbkowania dana jest przez PRF.
b) Przetwarzanie w azymucie (azimuth processing).
Echo od pojedynczego obiektu punktowego (point target) jest zawarte w wielu
odebranych sygnałach, można powiedzieć, że jest rozmyte. Celem przetwarzania SAR, często
nazywanym kompresją, jest skupienie całej odebranej energii, rozłożonej w czasie oświetlania
obiektu przez radar, w jednym punkcie t=0. Aby to osiągnąć, wykorzystywana jest historia
fazy (phase history), pochodząca z procesu pozyskiwania danych.
Zakładając, że odbicie od obiektu punktowego jest niezależne od czasu oraz od kąta
pod jakim jest oświetlany i jest znacznie większe od zakłóceń i odbić pochodzących od tła,
odebrany sygnał w kierunku azymutu można zapisać w postaci:
Sa = Ao ⋅ exp(iϕ (t )) = Ao ⋅ exp(ikt 2 ) , gdzie A - amplituda odebranego
o
sygnału (wartość zespolona).
Ideą kompresji w azymucie jest teraz zmodyfikować wszystkie te wartości fazy do tej
samej wartości i następnie poddać koherentnemu sumowaniu. Można to osiągnąć dzięki
korelacji sygnału Sa z funkcją odniesienia:
R (t ) = exp(−ikt 2 )
.
Funkcja ta jest tak skonstruowana, aby w każdym punkcie była idealną odpowiedzią
impulsową, ale miała przeciwną fazę.
Ponieważ długość syntetycznej apertury i tym samym długość sygnału jest skończona,
sensowne jest ograniczenie długości funkcji odniesienia za pomocą okna W(t):

1

W(t) = 
0

dla -
tmax
tmax
<t<
2
2
w przeciwnym przypadku
Postać funkcji odniesienia z uwzględnieniem okna wyraża się wzorem:
R (t ) = W (t ) ⋅ exp(−ikt 2 )
.
Wynik korelacji jest następujący:
∞
V(t) = ∫ Sa(ξ ) ⋅ R(t + ξ)dξ =
-∞
∞
= ∫ Ao ⋅ exp (ikξ 2 ) ⋅ exp (ik(t + ξ)2 ) ⋅ W(t + ξ)dξ =
-∞
∞
= Ao ⋅ exp (-ikt ) ∫ W(t + ξ) ⋅ exp (-2ikξ )dξ
2
-∞
7
Korzystając z faktu, że tylko małe wartości t są ważne, możemy dokonać następującego
przybliżenia:
W (t + ξ ) ≈ W (ξ )
.
Oznaczmy transformatę Fouriera jako FT[...]. Używając tego oznaczenia, wynik korelacji
może być zapisany jako:
V (t ) = Ao ⋅ exp (-ikt 2 ) ⋅ 2π ⋅FT 2 kt[W(ξ )] ,
gdzie
FT 2 kt[W(ξ ) =
t max
2
∫ exp (-2ikξ )dξ =
t max
2
exp (-iktmax t ) − exp (ikt max t )
=
− 2ikt
 sin (kt max t ) 
− 2i sin (kt max t )
=
= t max 

− 2ikt
 kt max t 
=
Ostateczny wynik korelacji wyniesie więc:
 sin (ktmaxt ) 
V (t ) = Ao ⋅ tmax ⋅ 2π exp (-ikt 2 ) ⋅ 

 ktmaxt 
Podstawowy kształt wynikowej odpowiedzi impulsowej odpowiada transformacie Fouriera
sin x
funkcji okna i ma charakter funkcji
.
x
Na poniższym rysunku jest zilustrowany ten proces. Odebrany sygnał, nazywany także
chirp, ma stałą amplitudę i paraboliczny charakter fazy (na rysunku pokazano tylko jego
rzeczywistą część). Funkcja odniesienia ma amplitudę równą jedności i dokładnie przeciwną
wartość fazy w każdym punkcie niż odebrany sygnał. Po korelacji z funkcją odniesienia R(t)
sygnał jest skupiony wokół punktu t=0. Jego amplituda zwiększyła się od Ao do
|V(t)|
Re[Sa]=cos(kt2)
2π ⋅t max⋅ Ao dla wartości t=0.
t
t
8
(przyjęto jednostkowe wartości parametrów k i |Ao|, tmax=12 [s] oraz pominięto fazę amplitudy
zespolonej Ao, tzw. object phase, będącej wynikiem procesu rozpraszania na obiekcie.)
Z powyższych zależności wynika, że większy czas tmax , a tym samym dłuższa
syntetyczna apertura (przy założeniu tej samej prędkości) funkcja V(t) staje się bardziej
podobna do delty Diraca. Definiując rozdzielczość jako połowę odległości pomiędzy
±π
pierwszymi minimami przy t =
, otrzymujemy azymutalną rozdzielczość:
kt max
π ⋅ v π ⋅ v 2 ⋅ λ ⋅ r0
λ
v
L
δ sa =
=
=
=
= ra .
2
ktmax 2π ⋅ v α ra ⋅ r0 2 ⋅ α ra Ba
2
Używając bardziej poprawnej definicji rozdzielczości jako połowy długości przy
połowie wartości maksymalnej, wynikiem jest wartość o 14% większa.
Jak wynika z rysunku, pierwsze listki boczne mają znaczną wartość maksymalną.
Pierwszy listek boczny dla okna prostokątnego leży jedynie o –13dB poniżej szczytu listka
głównego, co nie jest zbyt korzystne. Może to stwarzać problemy, jeśli jakiś cel znajduje się
w otoczeniu innych słabiej odbijających obiektów. Dlatego też, zamiast używać funkcji okna
prostokątnego, bardzo często używamy okien o innym kształcie. Powszechnie używanym
oknem jest okno Hamminga zdefiniowane następująco:

 2π 
tmax
tmax
 dla <t<
α + (1 − α ) cos
2
2
 t max 

W (t ) = 
0
w przeciwnym przypadku


Zastosowanie okna Hamminga (dla α=0.54) powoduje, że pierwszy listek boczny leży
już o –43dB poniżej szczytu listka głównego. Natomiast wadą tego rozwiązania jest
zmniejszenie maksymalnej wartości listka głównego prawie o 30%. Pomimo tej wady, obrazy
przetwarzane z oknem Hamminga wydają się bardziej ostre.
Przetwarzanie w azymucie opisane powyżej jest zbyt złożone obliczeniowo, ponieważ
dla każdego piksela musi być obliczona korelacja. Proces przetwarzania można znacznie
przyśpieszyć wykorzystując teorię splotu, a mówiąc ściślej szybki splot:
∫ f (ξ ) ⋅ g (t − ξ )dξ = f (t ) ⊗ g (t ) = FT [ FT [ f (t )] ⋅ FT [ g (t )]] = FT [ f (ω ) ⋅ g (ω )] .
−1
−1
Zgodnie z teorią, splot dwóch funkcji w dziedzienie czasu jest równoważny mnożeniu ich w
dziedzinie częstotliwości. Splot można wykorzystać do obliczenia funkcji korelacji.
∫ f (ξ ) ⋅ g (t + ξ )dξ = f (t ) ⊗ g (−t )
Dlatego, pożądany, skompresowany sygnał może być otrzymany w następujący sposób:
9
V (t ) = FT −1 [ FT [ Sa (t )] ⋅ FT [ R (−t )]] .
Efekt Dopplera zależy od odległości ro i zmienia się z odległością do obiektu. Dlatego
też, konieczne jest dobranie funkcji odniesienia dla każdej linii danych. Jeśli funkcja
odniesienia zastanie poprawnie obliczona, może zostać użyta do przetworzenia całej linii
azymutalnej w jednym kroku, za pomocą szybkiego splotu.
Innym problemem konwencjonalnego przetwarzania SAR są przyczynki sygnału z
większym współczynnikiem Dopplera. Pojawiają się one dla większych kątów, a tym samym
z większymi czasami opóźnienia. Może się zdarzyć, że te części sygnałów są zapisywanie w
następnej komórce odległości. Zjawisko to nazywa się Range Cell Migration. Energia echa
jest wtedy rozłożona na kilka linii odległości i operacja przetwarzania w azymucie staje się
dwuwymiarową i konwencjonalne przetwarzanie nie jest zdolne do skupienia całej energii. W
tym przypadku konieczne jest zastosowanie bardziej zaawansowanych metod przetwarzania,
które uwzględniają ten efekt.
c) Przetwarzanie w odległości.
W kierunku odległościowym (range direction) radary SAR działają jak
konwencjonalne radary. Aby osiągnąć wysoką rozdzielczość w kierunku prostopadłym do
kierunku lotu, konieczne jest stosowanie impulsów prostokątnych o krótkim czasie trwania.
W praktyce trudno jest generować krótkie impulsy i zarazem o dużej mocy.
W dziedzinie częstotliwości można zaobserwować, że im krótszy impuls, tym szersze,
zajmowane pasmo. W tym sensie, wysoka rozdzielczość jest równoważna szerokiemu pasmu.
Rozwiązaniem tego problemu jest użycie dłuższego sygnału, lecz o szerokim paśmie. Taką
możliwość dają sygnały z liniową modulacją częstotliwości (chirp modulation).
f (t ) =
B
⋅ t dla
τ
-τ
τ
< t < , gdzie B - oznacza szerokość zajmowanego pasma
2
2
przez emitowany impuls.
Przetwarzanie odległościowe jest analogiczne do przetwarzania w azymucie.
W tym przypadku współczynnik k wynosi:
B ⋅π
k=
.
τ
Podobnie, aby skompresować sygnał należy skonstruować funkcję odniesienia, która
jednak odnosi się do znacznie szybszych zmian częstotliwości. Kompresję otrzymujemy także
dzięki korelacji sygnału z nową funkcją odniesienia.
 sin (k ⋅ τ ⋅ t ) 
V (t ) = Ao ⋅ τ ⋅ 2π exp (-ikt 2 ) ⋅ 
 k ⋅ τ ⋅ t 
Rozdzielczość w kierunku odległościowym wynosi:
δ sr =
c
, gdzie c-prędkość światła.
2B
10
Struktura procesora SAR
Procesor SAR jest techniczną realizacją kompresji sygnału w azymucie oraz
odległości. Jego celem jest stworzenie z surowych danych SAR (odebranych sygnałów)
obrazu wysokiej rozdzielczości. Podstawowa kolejność przetwarzania SAR jest pokazana na
rysunku poniżej.
Po wykonaniu jednowymiarowej transformaty Fouriera w kierunku odległości, każda
linia w odległości jest mnożona przez transformatę Fouriera funkcji odniesienia w odległości.
Po odwrotnej transformacie Fouriera IFFT wracamy z powrotem do dziedziny czasu, dane są
już skompresowane w odległości. W tej chwili może nastąpić korekta zjawiska range-cellmigration.
Nieprzetworzone dane SAR
FFT w odległości
Kompresja w
odległości
Funkcja odniesienia
w odległości
IFFT w odległości
Korekcja range-cellmigration
FFT w azymucie
Kompresja w
azymucie
Funkcja odniesienia
w azymucie
IFFT w azymucie
Obraz
Rys. 8 Struktura procesora SAR.
11
Następnie wykonywana jest transformata w kierunku azymutu, po czym mnożona przez
transformatę funkcji odniesienia w azymucie. Ta funkcja musi być dobrana zgodnie z bieżącą
odległością do obiektu. Dokonując odwrotnej transformaty IFFT otrzymujemy zespolony
obraz (każdy punkt jest wartością zespoloną).
12
Azimuth [m]
Range [m]
a) Received SAS raw data
b) After compression in range
c) After compression in range and azimuth
d) After compression in range, ideal range curvature
correction and compression in azimuth.
x104
x104
Azimuth
Range
Fig. 9. The results of the simulation for an ideal point target at location (30,0).
13