Matematyka finansowa - zestaw 6 - teoria Weksle, bony skarbowe

Matematyka finansowa - zestaw 6 - teoria
Weksle, bony skarbowe, obligacje.
Wcześniej mówiłem o dyskoncie lub dyskontowaniu w sensie aktualizacji wartości pewnego
kapitału na termin wcześniejszy. Jeśli od tej pory będę o nim mówił w takim sensie,
postaram się dodawać słowo: „rzeczywiste”. Natomiast w tym zestawie termin dyskonto
będziemy stosować w sensie dyskonta handlowego lub bankowego. Nazywamy tak
opłatę za pożyczkę obliczoną na podstawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym
czasie i zapłaconą z góry, czyli w chwili otrzymania pożyczki (w przeciwieństwie do
odsetek).
Czyli: odsetki zależą od kwoty otrzymanej i płaci się je z dołu (nawet jeśli obliczane są
w modelu kapitalizacji z góry), ale dyskonto zależy od kwoty oddawanej i płaci się je z
góry (dłużnik po prostu dostaje mniejszą kwotę niż ma zwrócić: 𝑊𝑛𝑜𝑚 − 𝐷𝐻 ). Dlatego
dyskonto czasem nazywa się procentem płatnym z góry.
Wszystkie operacje związane z dyskontem handlowym (głównie zagadnienia weksli i
bonów skarbowych) rozważamy w modelu oprocentowania prostego. Dyskonto handlowe
złożone nie jest używane w praktyce, zatem nie będziemy się nim w ogóle zajmować.
Stopa dyskontowa lub stopa dyskonta, to roczna stopa przy pomocy której oblicza
się wartość dyskonta.
Transakcje zawierane przy pomocy dyskonta są najczęściej krótkookresowe, więc warto
pamiętać o stosowaniu reguły bankowej co do czasu (każdy miesiąc=30 dni, rok=52
tygodnie).
W wypadku weksli, najczęściej znamy wartość nominalną, czas do wykupu oraz proponowaną stopę, a obliczamy dyskonto i stopę aktualną. W wypadku bonów skarbowych,
zwykle znamy cenę, czyli wartość aktualną (którą klient proponuje), wartość nominalną
i czas do wykupu, a modelu używamy do wyliczenia stopy dyskontowej.
By porównać inwestycje oparte na modelach oprocentowania i dyskonta, potrzebna jest
poniższa definicja:
Roczna stopa dyskontowa 𝑑 oraz roczna stopa procentowa 𝑟 są równoważne w czasie n,
jeśli dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej pożyczki są równe.
Uwaga! Równoważność stóp zależy od czasu pożyczki! Stopa 𝑟 jest wtedy stopą zysku
(rentowności) danej transakcji (gdzie 𝑛 jest czasem trwania pożyczki).
Weksel jest to zobowiązanie do zapłaty określonej kwoty w określonym terminie i ma
formę dokumentu (uregulowanego prawnie, acz ogólnego wzoru w Polsce nie ma od 2007
roku). Zwykle kupiecki, krótkoterminowy. Jest to zobowiązanie bezwarunkowe. Trasat
- osoba zobowiązana do spłaty weksla, trasant - osoba na rzecz której będzie dokonana
wpłata. Trata - weksel wystawiany przez wierzyciela (musi być zaakceptowany). Sola weksel wystawiany przez dłużnika.
Posiadacz weksla może go zdyskontować w banku komercyjnym według stopy dyskontowej. Bank, który weksel zdyskontował może przedstawić go do redyskonta w banku
centralnym. Obliczenia w obu tych wypadkach wykonujemy w taki sam sposób.
Dwa weksle są równoważne w ustalonym dniu, jeśli wartości aktualne obu weksli
obliczone na ten dzień są równe. Nie są one równoważne w innym dniu (lub przy innej
stopie dyskontowej). Analogicznie rozumiemy równoważność portfeli weksli.
Odnowieniem weksla nazywamy zamianę istniejącego weksla na weksel równoważny o
innym terminie wykupu.
Bony skarbowe (nie mylić z bonami pieniężnymi) - krótkoterminowe papiery wartościowe (w Polsce od 1992), emitowane przez skarb państwa (konkretnie ministra finansów).
Jest to sposób na pozyskanie krótkoterminowej pożyczki, a dla nabywców, płynny i w
miarę bezpieczny sposób lokowania zasobów. Oprocentowanie bonów ma charakter stały,
dyskontowy (dochodem jest różnica pomiędzy ceną zakupu, a wartością nominalną bonu).
1
2
Sprzedawane są co tydzień, na przetargach, w których wybierane są najlepsze oferty,
do zakładanego poziomu sprzedaży. Pojedynczy bon ma wartość nominalną 10000PLN.
Termin wykupu jest liczony w tygodniach (od 1 do 52): najczęściej 13 lub 52 tygodnie,
czasem 4,8 lub 26.
Rachunek bonów skarbowych, z punktu widzenia matematyki finansowej, opiera się na
dokładnie takich samych równaniach jak rachunek weksli. Co najwyżej dochodzą dodatkowe zadania związane z systemem organizacji przetargów i obliczaniem średniej
ważonej stopy rentowności bonów.
Obligacja – papier wartościowy emitowany w serii, w którym emitent stwierdza, że
jest dłużnikiem obligatariusza (posiadacza obligacji) i zobowiązuje się wobec niego do
spełnienia określonego świadczenia. Zazwyczaj te świadczenia to: wykup obligacji po
cenie nominalnej po upływie tzw. okresu zapadalności, a czasem także prawo do
otrzymywania okresowych płatności odsetek od tej wartości. Są to papiery masowego
obrotu, występują więc w seriach. W przeciwieństwie do akcji, obligacje nie dają posiadaczowi żadnych uprawnień względem emitenta typu współwłasność, dywidenda czy
też uczestnictwo w walnych zgromadzeniach. Obligacje reprezentują prawa majątkowe
podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne
uprawnienia wszystkim ich posiadaczom.
Emitentowi dają możliwość zaciągnięcia wysokiej pożyczki na długi okres u wielu wierzycieli, a obligatariuszowi — w miarę bezpiecznej i łatwej do zbycia inwestycji. Obligacje,
które dają prawo do wspomnianych wcześniej płatności przed upływem zapadalności to
obligacje kuponowe (pojedyncza rata odsetek jest zwana kuponem), a pozostałe nazywamy zerokuponowymi (zazwyczaj sprzedawanymi z dyskontem). Istnieją też tzw.
konsole, czyli obligacje bez terminu wykupu, dające prawo tylko do kuponów, lecz nie
będziemy się nimi zajmować.
Ważne jest, że zakup obligacji jest inwestycją o pojedynczym nakładzie, więc można
ją oceniać za pomocą wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji (im wyższa, tym lepsza dla
inwestora). W przypadku obligacji wewnętrzną stopę zwrotu określa się zwyczajowo
stopą dochodu w terminie do wykupu (ang. yield to maturity) i oznacza się przez
𝑌 𝑇 𝑀 . Odpowiada Nie należy tej stopy mylić ze stopą oprocentowania kuponów, którą
oznaczamy przez 𝑟, a która umożliwia obliczenie wartości nominalnej kuponów.
Skoncentrujemy się na obligacjach o stałych kuponach, choć są też emitowane obligacje
ze zmiennym oprocentowaniem (np. zależnym od inflacji).
Kilka wzorów i oznaczeń do zapamiętania
Poniższe oznaczenia i wzory dotyczą zarówno weksli, jak i bonów skarbowych.
𝐷𝐻 - dyskonto handlowe, 𝑊𝑛𝑜𝑚 - wartość nominalna papieru wartościowego, będącego
świadectwem pożyczki dyskontowej. 𝑑 - stopa dyskontowa, 𝑛 - ilość okresów stopy, do
momentu zwrotu pożyczki dyskontowej (może być, i zazwyczaj jest, ułamek). 𝐷𝐻 =
𝑊𝑛𝑜𝑚 𝑑𝑛. Wartość aktualna: 𝑊𝑎𝑘𝑡 = 𝑊𝑛𝑜𝑚 − 𝐷𝐻 .
Można obliczać też równoważną stopę procentową, czyli stopę zwrotu z inwestycji w
𝑑
𝑟
odpowiedni papier oparty na dyskoncie: 𝑟 = 1−𝑑𝑛
lub 𝑑 = 1+𝑟𝑛
, bądź też 𝑛 = 𝑑1 − 1𝑟 .
Bony skarbowe Wzory w zasadzie takie same jak przy wekslach. Ewentualnie przydaje
się też wzór na średnią stopę dyskontową przyjętych ofert o wartościach nominalnych
𝑊1 , . . . , 𝑊𝑛 i stopach dyskontowych 𝑑1 , . . . , 𝑑𝑛 :
𝑑𝑠𝑟 =
Σ𝑛𝑖=1 𝑊𝑖 𝑑𝑖
.
Σ𝑛𝑖=1 𝑊𝑖
Obligacje
Cena kupna obligacji - 𝑃 . 𝑊𝑛 - wartość nominalna. 𝑌 𝑇 𝑀 (yield to maturity) - stopa
zysku z obligacji w terminie do wykupu (zakładana bądź rynkowa). 𝑁 - liczba lat. 𝑚 liczba wypłat na rok. Wszystkie stopy roczne. 𝑞𝑌 𝑇 𝑀 = 1+ 𝑌1𝑇 𝑀 .
𝑚
3
Dla obligacji kuponowych:
𝑃 =
𝑁𝑚
∑
𝑡=1
(1
𝑟
𝑊𝑛
𝑚
+ 𝑌 𝑇𝑚𝑀 )𝑡
+
𝑊𝑛
(1 +
𝑌 𝑇 𝑀 𝑁𝑚
)
𝑚
=
1 − (𝑞𝑌 𝑇 𝑀 )𝑁 𝑚
𝑊𝑛
𝑟
𝑊𝑛 𝑞𝑌 𝑇 𝑀
+
.
𝑌 𝑇 𝑀 𝑁𝑚
𝑚
1 − 𝑞𝑌 𝑇 𝑀
(1 + 𝑚 )
Dla operacji bezkuponowych:
𝑊𝑛
(1 + 𝑌 𝑇 𝑀 )𝑁
Wzór przybliżony na obliczenie stopy zwrotu (w zadaniach można go używać tylko jeśli
jest to wyraźnie napisane!):
𝑃 =
𝑌 𝑇𝑀 =
𝑟
𝑛 −𝑃
𝑊𝑛 + 𝑊𝑚𝑁
𝑚
𝑚
𝑃 +𝑊𝑛
2